2022-2023學(xué)年山東省棗莊市薛城區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山東省棗莊市薛城區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗由題意可得：.故選：A.2.若向量，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，∵，∴，∴.故選：B.3.對(duì)于橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的向量，若它們的模相同，坐標(biāo)不同，則稱這些向量為“等模整向量”如向量是模為的“等模整向量”，則模為的“等模整向量”的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.10 D.12〖答案〗B〖解析〗設(shè)向量為，則，又為整數(shù)，所以，從中取值，故符合條件的“等模整向量”為，共有8個(gè).故選：B.4.“近水亭臺(tái)草木欣，朱樓百尺回波濆”，位于濟(jì)南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，屢毀屢建．今天我們所看到的超然樓為2008年重建而成，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個(gè)大明湖的風(fēng)景．如圖，為測(cè)量超然樓的高度，小劉取了從西到東相距104（單位：米）的A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏東的點(diǎn)D處（A，B，D在同一水平面上），在B點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏西，樓頂C的仰角為，則超然樓的高度（單位：米）為（）A.26 B. C.52 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：（米），在中，可得，則（米），在Rt中，可得等腰直角三角形，即（米）.故選：C.5.矩形中，，M為線段上靠近A的三等分點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，則（）A. B.0 C.1 D.7〖答案〗C〖解析〗以為基底向量，則，因?yàn)?，則，所以.故選：C.6.三棱錐的側(cè)棱上分別有三點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且，則三棱錐與的體積之比是（）A.6 B.8 C.12 D.24〖答案〗D〖解析〗設(shè)的面積為，設(shè)的面積為，則，，又，，∴，過(guò)點(diǎn)作平面，過(guò)點(diǎn)作平面，如圖，則，∴與相似，又，∴，∵，，∴，∴三棱錐與的體積之比是24.故選：D7.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，由正弦定理邊化角可得，，因?yàn)?，所以有，又，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.8.已知A，B，C，D四點(diǎn)都在表面積為的球O的表面上，若球O的直徑，且，則三棱錐體積的最大值為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的表面積為，故，即，∵，，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，圓心為，∴根據(jù)正弦定理知，，即，∴，∵AD是直徑，O是AD中點(diǎn)，故D到平面ABC的距離為，在△ABC中，根據(jù)余弦定理得，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴△ABC面積的最大值為，∴三棱錐A－BCD體積的最大值.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符!合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（）A B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)正確；，，，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.10.已知正四棱臺(tái)中，，則關(guān)于該正四棱臺(tái)，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.高為 C.體積為 D.表面積為〖答案〗BC〖解析〗過(guò)分別作底面、的垂線，垂足分別為、，則，可得，對(duì)于A：在Rt中，可得，且為銳角，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：正四棱臺(tái)的高即為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：正四棱臺(tái)的體積，故C正確；對(duì)于D：四棱臺(tái)的表面積，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.石墨的二維層狀結(jié)構(gòu)存在如圖所示的環(huán)狀正六邊形，正六邊形為其中的一個(gè)六元環(huán)，設(shè)，P為正六邊形內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.在上的投影向量為 D.的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，對(duì)于A：因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，則，所以在上投影向量為，故C正確；對(duì)于D：分別過(guò)、作直線的垂線，垂足分別為、，則，可得在上的投影的取值范圍為，且，所以的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.12.已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，內(nèi)一點(diǎn)N滿足與交于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，由正弦定理可得，故A正確；，可得，故D正確；，故B正確；如圖，是的角平分線，，故C不正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.___________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.中，為邊的中線，，，，則中線的長(zhǎng)為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗如圖，以邊，為鄰邊做平行四邊形，因?yàn)檫叺闹芯€，則由平行四邊形性質(zhì)知共線，且，在平行四邊形中，，，在中，由余弦定理得：，所以，.故〖答案〗為：.15.設(shè)M為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗在取點(diǎn)，使得，則，可知：點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，即，所以與的面積之比為.故〖答案〗為：.16.早在15世紀(jì)，達(dá)·芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖（1），先制作三張一樣的黃金矩形，然后從長(zhǎng)邊的中點(diǎn)E出發(fā)，沿著與短邊平行的方向，即，再沿著與長(zhǎng)邊平行的方向剪出相同的長(zhǎng)度，即；將這三個(gè)矩形穿插兩兩垂直放置（如圖（2）），連接所有頂點(diǎn)即可得到一個(gè)正二十面體（如圖（3））．若黃金矩形的短邊長(zhǎng)為2，則按如上制作的正二十面體的表面積為_(kāi)_____________，其內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_____________．〖答案〗〖解析〗正二十面體的表面是20個(gè)全等的等邊三角形，且每個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)都等于黃金矩形的短邊長(zhǎng)2，所以表面積為：，根據(jù)對(duì)稱性可知：三個(gè)黃金矩形的對(duì)角線交于一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的球心在所有黃金矩形的對(duì)角線交點(diǎn)處，點(diǎn)O連接其中一個(gè)面ABC，如圖，作面ABC，則OA為外接球半徑，為內(nèi)切球的半徑，黃金矩形的短邊長(zhǎng)為2，設(shè)長(zhǎng)邊為，則，即，所以黃金矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以外接球的半徑為：，由正三棱錐的性質(zhì)可知，為的中心，為的外接圓半徑，所以，所以，所以，所以內(nèi)切球的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)．（1）求；（2）若z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：（1）因?yàn)?，所以．?）由（1）可得：，將代入方程得：，則，解得：．18.已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．（1）若，且，求坐標(biāo)；（2）若，且，求與的夾角．解：（1）設(shè)，由已知可得，解得或，所以或．（2）由已知可得，，由得，即，即，所以，所以，因?yàn)?，?19.如圖，圓錐的底面半徑為3，此圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓．（1）求圓錐的表面積；（2）若圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)S都在球的球面上，求球的體積．解：（1）設(shè)，由題意得：，則，所以．（2）令，由，得，解得，故．20.中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．（1）求角A的大小；（2）若，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，整理得，所以，且，?（2）因?yàn)?，可得，則，因?yàn)?，所以，則，所以，即．21.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為邊的中點(diǎn)，E為邊上任一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），F(xiàn)在線段延長(zhǎng)線上，且．（1）當(dāng)最小時(shí)，求的值；（2）求的取值范圍．解：（1）如圖，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，最小，此時(shí).（2）由（1）知，故，因?yàn)?，因?yàn)?，所?22.中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.解：（1）因?yàn)橹?，，故，因?yàn)椋?（2）（i）證明：中，由正弦定理得①，又②，同理在中，③，④，BD是的角平分線，則，則，又，故，故①÷③得⑤，即，由②④得，，則，即.（ii）因?yàn)椋?，則由⑤得，則，由以及（i）知，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立，故，即的最大值為.山東省棗莊市薛城區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗由題意可得：.故選：A.2.若向量，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，∵，∴，∴.故選：B.3.對(duì)于橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的向量，若它們的模相同，坐標(biāo)不同，則稱這些向量為“等模整向量”如向量是模為的“等模整向量”，則模為的“等模整向量”的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.10 D.12〖答案〗B〖解析〗設(shè)向量為，則，又為整數(shù)，所以，從中取值，故符合條件的“等模整向量”為，共有8個(gè).故選：B.4.“近水亭臺(tái)草木欣，朱樓百尺回波濆”，位于濟(jì)南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，屢毀屢建．今天我們所看到的超然樓為2008年重建而成，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個(gè)大明湖的風(fēng)景．如圖，為測(cè)量超然樓的高度，小劉取了從西到東相距104（單位：米）的A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏東的點(diǎn)D處（A，B，D在同一水平面上），在B點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏西，樓頂C的仰角為，則超然樓的高度（單位：米）為（）A.26 B. C.52 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：（米），在中，可得，則（米），在Rt中，可得等腰直角三角形，即（米）.故選：C.5.矩形中，，M為線段上靠近A的三等分點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，則（）A. B.0 C.1 D.7〖答案〗C〖解析〗以為基底向量，則，因?yàn)?，則，所以.故選：C.6.三棱錐的側(cè)棱上分別有三點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且，則三棱錐與的體積之比是（）A.6 B.8 C.12 D.24〖答案〗D〖解析〗設(shè)的面積為，設(shè)的面積為，則，，又，，∴，過(guò)點(diǎn)作平面，過(guò)點(diǎn)作平面，如圖，則，∴與相似，又，∴，∵，，∴，∴三棱錐與的體積之比是24.故選：D7.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，由正弦定理邊化角可得，，因?yàn)?，所以有，又，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.8.已知A，B，C，D四點(diǎn)都在表面積為的球O的表面上，若球O的直徑，且，則三棱錐體積的最大值為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的表面積為，故，即，∵，，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，圓心為，∴根據(jù)正弦定理知，，即，∴，∵AD是直徑，O是AD中點(diǎn)，故D到平面ABC的距離為，在△ABC中，根據(jù)余弦定理得，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴△ABC面積的最大值為，∴三棱錐A－BCD體積的最大值.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符!合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（）A B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)正確；，，，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.10.已知正四棱臺(tái)中，，則關(guān)于該正四棱臺(tái)，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.高為 C.體積為 D.表面積為〖答案〗BC〖解析〗過(guò)分別作底面、的垂線，垂足分別為、，則，可得，對(duì)于A：在Rt中，可得，且為銳角，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：正四棱臺(tái)的高即為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：正四棱臺(tái)的體積，故C正確；對(duì)于D：四棱臺(tái)的表面積，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.石墨的二維層狀結(jié)構(gòu)存在如圖所示的環(huán)狀正六邊形，正六邊形為其中的一個(gè)六元環(huán)，設(shè)，P為正六邊形內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.在上的投影向量為 D.的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，對(duì)于A：因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，則，所以在上投影向量為，故C正確；對(duì)于D：分別過(guò)、作直線的垂線，垂足分別為、，則，可得在上的投影的取值范圍為，且，所以的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.12.已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，內(nèi)一點(diǎn)N滿足與交于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，由正弦定理可得，故A正確；，可得，故D正確；，故B正確；如圖，是的角平分線，，故C不正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.___________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.中，為邊的中線，，，，則中線的長(zhǎng)為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗如圖，以邊，為鄰邊做平行四邊形，因?yàn)檫叺闹芯€，則由平行四邊形性質(zhì)知共線，且，在平行四邊形中，，，在中，由余弦定理得：，所以，.故〖答案〗為：.15.設(shè)M為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗在取點(diǎn)，使得，則，可知：點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，即，所以與的面積之比為.故〖答案〗為：.16.早在15世紀(jì)，達(dá)·芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖（1），先制作三張一樣的黃金矩形，然后從長(zhǎng)邊的中點(diǎn)E出發(fā)，沿著與短邊平行的方向，即，再沿著與長(zhǎng)邊平行的方向剪出相同的長(zhǎng)度，即；將這三個(gè)矩形穿插兩兩垂直放置（如圖（2）），連接所有頂點(diǎn)即可得到一個(gè)正二十面體（如圖（3））．若黃金矩形的短邊長(zhǎng)為2，則按如上制作的正二十面體的表面積為_(kāi)_____________，其內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_____________．〖答案〗〖解析〗正二十面體的表面是20個(gè)全等的等邊三角形，且每個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)都等于黃金矩形的短邊長(zhǎng)2，所以表面積為：，根據(jù)對(duì)稱性可知：三個(gè)黃金矩形的對(duì)角線交于一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的球心在所有黃金矩形的對(duì)角線交點(diǎn)處，點(diǎn)O連接其中一個(gè)面ABC，如圖，作面ABC，則OA為外接球半徑，為內(nèi)切球的半徑，黃金矩形的短邊長(zhǎng)為2，設(shè)長(zhǎng)邊為，則，即，所以黃金矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以外接球的半徑為：，由正三棱錐的性質(zhì)可知，為的中心，為的外接圓半徑，所以，所以，所以，所以內(nèi)切球的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)．（1）求