山東省煙臺市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題

2022～2023學年度第二學期期末學業(yè)水平診斷高一數(shù)學注意事項：1．本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.2．使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.3．答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若隨機事件，互斥，且，，則（）A.0 B.0.18 C.0.6 D.0.9【答案】D【解析】【分析】由互斥事件概率加法公式計算.【詳解】隨機事件，互斥，且，，所以，故選：D.2.下列幾何元素可以確定唯一平面的是（）A.三個點 B.圓心和圓上兩點C.梯形的兩條邊 D.一個點和一條直線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面的確定方法求解.【詳解】對A，三個不共線的點才能確定唯一平面，A錯誤；對B，當圓上的兩點和圓心共線時，三個點不能確定唯一平面，B錯誤；對C，梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面，所以確定的平面唯一，C正確；對D，當點在直線上時，這個點和直線不能確定唯一平面，D錯誤，故選:C.3.若一水平放置的正方形的邊長為2，則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積是（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】由求解.【詳解】解：因為一水平放置的正方形的邊長為2，且，所以其直觀圖的面積是，故選：A4.某汽車生產(chǎn)廠家用比例分配的分層隨機抽樣方法從，，三個城市中抽取若干汽車進行調(diào)查，各城市的汽車銷售總數(shù)和抽取數(shù)量如右表所示，則樣本容量為（）城市銷售總數(shù)抽取數(shù)量42028020700A.60 B.80 C.100 D.120【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的方法求解.【詳解】由題可得，，，三個城市的銷售總數(shù)比為，所以，所以所以樣本容量為100.故選:C.5.在正四面體中，，分別是，中點，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)四面體棱長為2，取取中點，連結(jié)，，利用三角形中位線性質(zhì)作出異面直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】取中點，連結(jié)，，，，設(shè)正四面體的棱長為2，因為，分別是，中點，所以，所以或其補角是與所成角.又，是中點，在中，，因為，分別是，中點，所以，又，在中，由余弦定理可知，又，所以與所成角.故選：B6.甲、乙、丙三人破譯一份密碼，若三人各自獨立破譯出密碼的概率為，，，且他們是否破譯出密碼互不影響，則這份密碼被破譯出的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的概率乘法公式求解.【詳解】設(shè)這份密碼被破譯出為事件，所以,所以,故選:D.7.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為5、圓心角為的扇形，過上一點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，當圓柱的側(cè)面積最大時，相應(yīng)圓柱的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓錐的半徑和高，然后設(shè)出圓柱的底面半徑和高，利用圓錐軸截面結(jié)合圓柱側(cè)面積公式求得側(cè)面積，利用二次函數(shù)求得最值時圓柱的底面半徑和高，代入圓柱體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，因為圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為5、圓心角為的扇形，所以圓錐的母線長為，即，則，作出圓錐軸截面如圖所示：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由題意可知，可得，則圓柱的側(cè)面積，所以當時，圓柱的側(cè)面積取得最大值，此時圓柱的體積為.故選：C8.如圖，一個質(zhì)地均勻的正八面體，八個面分別標以數(shù)字1到8，拋擲這個正八面體兩次，記它與地面接觸的面上的數(shù)字分別為，，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分別求得基本事件的總數(shù)與滿足要求的基本事件個數(shù)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，基本事件的總數(shù)為，則事件“”包含的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，所以事件的概率.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，為空間中兩條不同的直線，，，為空間中三個不同的平面，則（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，若，，則或，故A不正確；對于B，若，，，則（線面平行的性質(zhì)定理），故B正確；對于C，若，，所以，又且，是空間兩個不同的平面，則，故C正確；對于D，因為，如下圖，若分別為面、面、面，且為，顯然面，則，故D正確；故選：BCD.10.某學校對高一學生選科情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)學生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（）A.該校高一學生總數(shù)為B.該校高一學生中選考物化政組合的人數(shù)為C.該校高一學生中選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多D.用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學生抽取人，則生史地組合抽取人【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)政史地人數(shù)和占比可確定A正確；計算出物化生的人數(shù)后即可確定B錯誤；分別計算選考歷史和物理的人數(shù)，則知C正確；確定生史地組合人數(shù)占比后，根據(jù)分層抽樣原則可知D錯誤.【詳解】對于A，選科為政史地的人數(shù)為人，占比為，該校高一學生共有人，A正確；對于B，選科為物化生的人數(shù)為人，選科為物化政的人數(shù)為，B錯誤；對于C，選考歷史的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多，C正確；對于D，選科為生史地的學生人數(shù)占比為，采用分層抽樣抽取人，生史地組合應(yīng)抽取人，D錯誤.故選：AC.11.一個袋子中有標號分別為、、、的個球，除標號外沒有其他差異．從袋中隨機摸球兩次，每次摸出個球，設(shè)事件“第一次摸出球的標號小于”，事件“第二次摸出球的標號小于”，則以下結(jié)論錯誤的有（）A.若摸球方式為有放回摸球，則與互斥B.若摸球方式為有放回摸球，則與相互獨立C.若摸球方式為不放回摸球，則與互斥D.若摸球方式為不放回摸球，則與相互獨立【答案】ACD【解析】【分析】以、分別表示第次、第次摸球的編號，以為一個基本事件，列舉出所有的基本事件，以及事件、、所包含的基本事件，利用互斥事件以及獨立事件的定義逐項判斷，即可得出合適的選項.【詳解】以、分別表示第次、第次摸球的編號，以為一個基本事件.對于AB選項，若摸球方式為有放回摸球，則所有的基本事件個數(shù)為個，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，則事件包含的基本事件有：、、、，則，即與不互斥，A錯，，，即與相互獨立，B對；對于CD選項，若摸球方式為不放回摸球，則所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，即與不互斥，C錯，，，即與不相互獨立，D錯.故選：ACD.12.在棱長為1的正方體中，，分別是，中點，，，，分別是線段，，，上的動點，則（）A.存在點，，使得B.三棱錐的體積為定值C.的最小值為D.直線與所成角的余弦值的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用線線平行的坐標運算判斷A；利用等體積法判斷B；利用空間中兩點距離公式表示距離，然后利用三點共線最小求解判斷C；利用異面直線夾角的向量坐標公式求出余弦值函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解范圍判斷D.【詳解】如圖：如圖以為原點，分別以、、方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標系，則，，設(shè)，，設(shè)，則，設(shè)，則，對于選項A，，，若，則，所以，矛盾，故不存在點，，使得，錯誤；對于選項B，因為平面平面，所以點M到平面的距離為正方體的棱長1，又，所以為定值，正確；對于選項C，，，所以記，，因為表示點到點與點的距離之和，由平面幾何知識，當、、三點共線時距離和最小，所以，又，所以當時，有最小值為，所以的最小值為，正確；對于選項D，設(shè)直線與所成的角為，又，，所以，令，則，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以，所以，所以，所以，所以直線與所成角的余弦值的取值范圍為，正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：立體幾何中的動態(tài)問題：①幾何法：根據(jù)圖形特征，尋找兩點之間的距離的范圍；②坐標法：建立空間直角坐標系，利用坐標求范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某學校高一男生、女生的人數(shù)之比為，現(xiàn)采用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取90人，若樣本中男生的平均身高為171，女生的平均身高為160.2，則該校高一學生平均身高的估計值為___________（單位：）．【答案】165【解析】【分析】利用平均數(shù)的求法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)樣本中高一男生人數(shù)為，則樣本中高一女生的人數(shù)為，故，解得，則樣本中高一男生人數(shù)為，高一女生的人數(shù)為，所以樣本中高一學生平均身高為，故而該校高一學生平均身高的估計值為.故答案為：165.14.已知正四棱臺上、下底面邊長分別為2和4，側(cè)棱長為3，則此棱臺的體積為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)棱臺的體積公式直接計算即可.【詳解】由題意可知此棱臺的上、下底面對角線長、，所以棱臺的高，所以棱臺的體積，故答案為：15.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有1個陽爻的概率是___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概率模型求解.【詳解】由題可知，共有個不同的重卦，恰有1個陽爻的有個，則該重卦恰有1個陽爻的概率是，故答案為:.16.邊長為2的正三角形中，，分別為，中點，將沿折起，使得，則四棱錐的體積為___________，其外接球的表面積為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】作出四棱錐的高，計算出高和底面積，可得體積.根據(jù)球的性質(zhì)找到球心，求出半徑可得表面積.【詳解】取的中點，的中點，連，因為為邊長為的正三角形，，分別為，中點，所以，，所以四邊形平行四邊形，所以，，又，所以，因為，所以，又因為，所以，因為，，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，過作，垂足為，則在的延長線上，因為平面，平面平面，所以平面，因為，所以，，，，所以.因為，所以為四邊形外接圓圓心，設(shè)正三角形外接圓圓心為，四棱錐的外接球球心為，則平面，平面，所以，，則是四邊形的外接圓直徑，因為，所以由正弦定理得，所以，即四棱錐的外接球半徑為，所以四棱錐的外接球表面積為.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用球的性質(zhì)找到球心，求出球的半徑是解題關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.某農(nóng)場在兩塊面積相同的水稻試驗田中分別種植甲、乙兩種水稻，已知連續(xù)6季的產(chǎn)量如下：品種第1季第2季第3季第4季第5季第6季甲/550580570570550600乙/540590560580590560現(xiàn)在該農(nóng)場決定選擇其中一種水稻進行推廣種植，若你是農(nóng)場經(jīng)營者，你會如何選擇？請使用統(tǒng)計學的有關(guān)知識進行說明．【答案】答案見解析【解析】【分析】分別求出兩種水稻的平均數(shù)與方差，再根據(jù)平均數(shù)與方差即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)甲種水稻產(chǎn)量平均值和方差分別為，，乙種水稻產(chǎn)量的平均值和方差分別為，，由題中數(shù)據(jù)可得，，，，，因為，，所以兩種水稻產(chǎn)量的總體水平相同，但甲種水稻的產(chǎn)量較穩(wěn)定，所以應(yīng)推廣甲種水稻種植．18.如圖，在三棱錐中，底面，．（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面垂直平面的判定定理即可證明；（2）要求直線與平面所成角的正弦值，先作出直線與平面所成角，進而可求解.【小問1詳解】證明：因為平面，平面，所以．又因為，，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】在平面內(nèi)過點作于，連接．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．所以即為直線與平面所成的角．因為，不妨設(shè)，則，因為平面，平面，所以，所以，，又因為，所以，故，即直線與平面所成角的正弦值為．19.某商場隨機抽取了100名員工的月銷售額（單位：千元），將的所有取值分成，，，，五組，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求，的值；（2）設(shè)這100名員工月銷售額的第75百分位數(shù)為．為調(diào)動員工的積極性，該商場基于每位員工的月銷售額制定如下獎勵方案：當某員工的月銷售額不足5千元時，不予獎勵；當時，其月獎勵金額為0.3千元；當時，其月獎勵金額為0.8千元；當不低于時，其月獎勵金額為1.1千元．根據(jù)頻率分布直方圖，用樣本頻率近似概率，估計上述獎勵方案下該商場一名員工的月獎勵金額的平均值．【答案】（1），（2）0.699（千元）．【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各小長方形面積和為1并結(jié)合即可求解；（2）先求第75百分位數(shù)，然后確定獎勵方案，進而估算出月獎勵金額的平均值.【小問1詳解】由已知得，所以，又因為，所以，．【小問2詳解】由于，所以員工月銷售額的第75百分位數(shù)為20，所以，當時，獎勵金額為0.3千元；當時，獎勵金額為0.8千元；當時，獎勵金額為1.1千元，所以，該商場一位員工的月獎勵金額的平均值為：（千元）．20.如圖，在正三棱柱中，是中點．（1）證明：平面；（2）若，，求到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定可得結(jié)論；（2）利用體積橋可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【小問1詳解】連接，交于點，連接，四邊形為平行四邊形，為中點，又為中點，，又平面，平面，平面.【小問2詳解】設(shè)，到平面的距離為，，，，又為中點，，又為等邊三角形，，解得：，，，，解得：，即到平面的距離為.21.如圖，在圓錐中，為頂點，為底面圓的圓心，，為底面圓周上的兩個相異動點，且，．（1）求面積的最大值；（2）已知為圓的內(nèi)接正三角形，為線段上一動點，若二面角的余弦值為，試確定點的位置．【答案】（1）（2）點為線段上靠近點的四等分點．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，由三角形面積公式及均值不等式求最值即可；（2）先證明即為二面角的平面角，由三角形面積公式及余弦定理求解，即可確定點的位置.【小問1詳解】取中點，連接，．設(shè)，，又，，所以在和中，，，所以，，當且僅當，即時，等號成立．所以面積的最大值為．【小問2詳解】因為為圓的內(nèi)接正三角形，由正弦定理得：．過點作于點，連接．因為，所以．所以即為二面角的平面角．連接，設(shè)，，則，．在中，，所以．在中，由余弦定理得：，將，代入上式，解得．所以點為線段上靠近點的四等分點．22.已知甲、乙兩個袋子中各裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的3個紅球和3個黑球，現(xiàn)設(shè)計如下試驗：從甲、乙兩個袋子中各隨機取出1個球，觀察兩球的顏色，若兩球顏色不同，則將兩球交換后放回袋子中，