用好變式策略發(fā)展核心素養(yǎng)

【摘

要】重復(fù)練習(xí)、低水平訓(xùn)練是現(xiàn)實(shí)教學(xué)中常見的現(xiàn)象。為了解決這個(gè)問題，教師可以采用變式的方法，根據(jù)教材中的一道習(xí)題變化出各種層次的題目，把相關(guān)知識(shí)串聯(lián)起來，讓學(xué)生在不同層次的習(xí)題練習(xí)中，以少練、精練實(shí)現(xiàn)減負(fù)提質(zhì)增效。以一道計(jì)算平行四邊形面積的習(xí)題為例，提出“從復(fù)雜變簡單、從直接變間接、從正向到逆向、從封閉到開放、從單一到綜合、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從數(shù)學(xué)到生活”七個(gè)變式策略，幫助學(xué)生有效鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本技能，提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！娟P(guān)鍵詞】變式策略；平行四邊形面積計(jì)算；核心素養(yǎng)；習(xí)題“雙減”政策頒布以來，作業(yè)設(shè)計(jì)成為專家、學(xué)者和一線教師共同關(guān)注的焦點(diǎn)。然而，現(xiàn)實(shí)教學(xué)中仍然存在重復(fù)練習(xí)、低水平訓(xùn)練的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生只能停留在“了解”“理解”水平，很少達(dá)到“掌握”“運(yùn)用”水平。為了解決這個(gè)問題，教師可以采用變式的方法，根據(jù)教材中的一道習(xí)題變化出各種層次的題目，把相關(guān)知識(shí)串聯(lián)起來，讓學(xué)生在不同層次的習(xí)題練習(xí)中，以少練、精練實(shí)現(xiàn)減負(fù)，提質(zhì)增效，幫助學(xué)生有效鞏固知識(shí)、形成技能，提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。那么，怎樣將一道習(xí)題變式為具有探索性和綜合性的習(xí)題，以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？具體有哪些習(xí)題變式的基本策略呢？下面以一道計(jì)算平行四邊形面積的習(xí)題為例談?wù)劸唧w做法。一、原題呈現(xiàn)與價(jià)值分析【原題】如圖1，計(jì)算這個(gè)平行四邊形的面積。這是人教版教材五年級(jí)上冊“練習(xí)十九”第2題中的第（3）小題，屬于平行四邊形面積計(jì)算的常規(guī)性習(xí)題，主要考查學(xué)生是否能運(yùn)用公式求平行四邊形的面積，以發(fā)展學(xué)生的公式應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)算能力。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程內(nèi)容中指出：“探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式”“在圖形認(rèn)識(shí)與測量的過程中，進(jìn)一步形成量感、空間觀念和幾何直觀”“會(huì)計(jì)算平行四邊形、三角形、梯形的面積，能用相應(yīng)公式解決實(shí)際問題”。由此可見，在公式的探索、應(yīng)用過程中，還應(yīng)同時(shí)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。為此，教師可采用七種策略，對這道題進(jìn)行適當(dāng)變式，助力學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)。二、變式策略變式時(shí)，應(yīng)以平行四邊形面積的計(jì)算為基礎(chǔ)，融合三角形、正方形、長方形、梯形的面積計(jì)算等知識(shí)，設(shè)計(jì)不同層次的習(xí)題，從而發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。（一）從復(fù)雜變簡單當(dāng)原題給出的條件較多時(shí)，可以通過減少條件或改變所求問題，使變式題變得簡單、有針對性?！咀兪?】如圖2，已知AB=2cm，DE=2.4cm，求平行四邊形ABCD的面積?！咀兪?】如圖2，已知DE=2.4cm，BC=3cm，DF=1.6cm，求平行四邊形ABCD的面積；【變式3】如圖1，求平行四邊形的周長。變式價(jià)值：理解和運(yùn)用平行四邊形的面積公式、周長公式進(jìn)行計(jì)算。（二）從直接變間接把原題中的一些直接條件變?yōu)殚g接條件，增加題目的難度，從而提高學(xué)生解決問題的靈活度和綜合能力?！咀兪?】如圖2，已知DE=2.4cm，BC=3cm，平行四邊形ABCD的周長是10cm，求平行四邊形ABCD的面積。變式價(jià)值：鞏固平行四邊形的面積公式、周長公式，提高分析和解決問題的能力。（三）從正向到逆向平行四邊形面積公式的正向考查：已知平行四邊形的底及對應(yīng)的高，求面積。逆向考查：已知平行四邊形的面積和一條底（或高），求對應(yīng)的高（或底）?！咀兪?】如圖2，已知平行四邊形ABCD的面積是4.8cm2，AB=2cm，求DE?！咀兪?】如圖2，已知平行四邊形ABCD的面積是4.8cm2，DE=2.4cm，DF=1.6cm，求AB或BC（或求平行四邊形ABCD的周長）。變式價(jià)值：逆用平行四邊形的面積公式，理解面積與高、底之間的關(guān)系，發(fā)展逆向思考能力。（四）從封閉到開放封閉性數(shù)學(xué)問題的條件通常指向所求問題，所求問題或結(jié)論也是唯一的。而開放性數(shù)學(xué)問題的條件和問題并不一定對應(yīng)，具有開放性。1.條件開放【變式7】如圖2，已知平行四邊形ABCD的邊長都是整數(shù)，面積是4.8cm2，周長是10cm，求AB、BC、DE和DF。解題分析：由“周長是10cm”可得到兩條鄰邊的和為5cm。又因?yàn)椤斑呴L都是整數(shù)”，利用分類討論，可知這兩條邊長AB和BC可能是1cm與4cm或2cm與3cm。再根據(jù)“面積是4.8cm2”，求出DE和DF。變式價(jià)值：逆用公式，滲透分類討論思想?！咀兪?】如圖2，已知平行四邊形ABCD相鄰兩邊的長分別是6cm和4cm，一條高是5cm，求這個(gè)平行四邊形的面積。解題分析：分兩種情況，即這條高分別是兩鄰邊的高。第1種情況，AD=4cm，高DE=5cm，結(jié)果不成立，排除。第2種情況，AD=6cm，高DE=5cm，結(jié)果成立，可以求出問題。變式價(jià)值：靈活運(yùn)用公式解決數(shù)學(xué)問題，滲透分類討論思想，發(fā)展說理能力。2.綜合性開放【變式9】已知一個(gè)平行四邊形，請按要求完成任務(wù)。（1）畫一條線，把平行四邊形分成面積相等的兩個(gè)部分，并說明理由。（2）畫一條線（可以是曲線），把平行四邊形分成周長相等的兩個(gè)部分。解題分析：問題（1），連接一組對邊的中點(diǎn)或畫兩個(gè)對角頂點(diǎn)的連線（對角線），共4種情況（圖略）。問題（2），學(xué)生一般會(huì)認(rèn)為周長相等意味著圖形的形狀和大小都一樣，面積也相等。實(shí)際上，周長相等并不一定要圖形面積相等或圖形形狀大小一樣，而是有無數(shù)種情況。變式價(jià)值：解決新的問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)新意識(shí)。（五）從單一到綜合從圖形的構(gòu)成角度思考，幾何類習(xí)題包括簡單圖形和復(fù)雜圖形。通過把簡單圖形變成復(fù)雜圖形，可以形成綜合性探索問題，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。1.由基本圖形串聯(lián)相關(guān)圖形【變式10】如圖3，網(wǎng)格中的小正方形邊長都是1cm，某個(gè)圖形只露出它的一條邊和這條邊上的高。已知圖形的邊長和高都是整數(shù)，猜一猜，完整的圖形可能是我們學(xué)過的哪些幾何圖形呢？請你把想到的圖形畫出來，并求出這個(gè)圖形的面積。變式價(jià)值：溝通幾種常見幾何圖形的面積，鞏固畫圖技能，發(fā)展逆向思維和分散思維能力。2.由多個(gè)相同圖形組成復(fù)雜圖形【變式11】：如圖4，兩個(gè)平行四邊形的形狀和大小完全一樣，通過平移把它們合在一起，可構(gòu)成一個(gè)新的平行四邊形。請?jiān)诰W(wǎng)格上（網(wǎng)格上的小正方形邊長都是1cm）按要求畫出新的平行四邊形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格點(diǎn)上），并回答問題。（1）新的平行四邊形面積比兩個(gè)平行四邊形面積的和少，有哪些拼的方法？你能計(jì)算出每種拼法的面積是多少嗎？（2）新的平行四邊形周長比兩個(gè)平行四邊形周長的和少，有哪些拼的方法？你能計(jì)算出每種拼法的周長是多少嗎？【變式12】如圖5，平行四邊形ABCD和BEFC完全相同，BE=2cm，EF=3cm，DG=2.4cm。求DH?！咀兪?3】如圖6，平行四邊形ABCD、BEFC、EGHF完全相同，DP=2.5cm，EG=1cm，GH=3cm。求DQ?！咀兪?4】如圖7，平行四邊形ABCD和DCEF完全相同，AB=2cm，DG=2.4cm，F(xiàn)H=1.6cm。求CE。解題分析：先求組合平行四邊形的面積，再逆用公式求邊長。變式價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生分析復(fù)雜圖形、借助所學(xué)知識(shí)解決新問題的能力。3.由單一圖形衍生復(fù)雜圖形【變式15】如圖8，已知平行四邊形AECF，分別延長CF和AE，使得DF=CF，BE=AE，得到平行四邊形ABCD，其中平行四邊形ABCD的面積是9.6cm2。求平行四邊形AECF的面積和三角形AFD的面積?！咀兪?6】如圖9，已知平行四邊形AECF，分別延長CF和AE，得到長方形ABCD。測得AB=6cm，BC=3cm，AE是EB的2倍。求平行四邊形AECF的面積和三角形AFD的面積?！咀兪?7】如圖10，分別以平行四邊形ABCD的BC、AD為邊，向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形的面積之和為15cm2。DG=1.6cm，EP=2.5cm。求平行四邊形ABCD的面積?！咀兪?8】如圖11，平行四邊形ABCD的邊AB=2cm，高DH=1.6cm，周長為10cm，以BC邊向外作正方形BEFC。求正方形BEFC的面積。4.知識(shí)點(diǎn)的綜合【變式19】如圖12，已知平行四邊形ABCD中，AB=2cm，AE是EB的3倍，DE=2.4cm。點(diǎn)G和點(diǎn)H分別是DE和AD的中點(diǎn)，連接HG。（1）求△AED的面積；（2）求△HGD的面積；（3）求四邊形AEGH的面積。變式價(jià)值：運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，靈活運(yùn)用三角形面積的計(jì)算方法，解決三角形和四邊形等積變形問題，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)。（六）從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待靜態(tài)中的問題。通過變式，讓原題中靜態(tài)的圖形“動(dòng)”起來，形成新題，深度理解平行四邊形的面積，同時(shí)探索得到更多新知。1.平行四邊形兩鄰邊不變，探索高的變化【變式20】一個(gè)平行四邊形，相鄰兩條邊分別是2cm和3cm，以2cm的邊為底的平行四邊形的高的最大值是多少？解題分析：畫出圖13，固定AB，DA繞點(diǎn)A往左拉動(dòng)，高DE不斷變長，直至點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，得到長方形ABCD。由于“高要畫在底邊AB上”，所以此時(shí)高DE是符合條件的最大值，DE=DA=3cm。變式價(jià)值：在運(yùn)動(dòng)變化中，理解平行四邊形與長方形的關(guān)系，發(fā)展幾何直觀、空間觀念和推理意識(shí)。2.正方形、長方形利用同底變形成平行四邊形，探索面積的變化【變式21】如圖14，正方形ABCD的邊長是2cm，求拉動(dòng)后形成的平行四邊形ABEF的面積。【變式22】如圖15，長方形ABCD的寬是2cm，面積是4.8cm2。求平行四邊形ABEF的面積。變式價(jià)值：體會(huì)同底等高的正方形、長方形和平行四邊形的面積和位置關(guān)系，發(fā)展幾何直觀和推理意識(shí)。3.長方形的兩鄰邊不變，探索以長方形的長和寬為鄰邊的平行四邊形的面積變化【變式23】如圖16，一個(gè)可活動(dòng)的長方形ABCD的寬是3cm，長是4cm。把它拉成一個(gè)平行四邊形ABEF，AF=AD=4cm，它的周長和面積有什么變化？解題分析：學(xué)生在探索中發(fā)現(xiàn)，周長不變，且由于底不變，高變短了，所以所得的平行四邊形的面積變小了。變式價(jià)值：探索兩鄰邊相等的長方形與平行四邊形的周長和面積的關(guān)系，發(fā)展幾何直觀和推理意識(shí)。（七）從數(shù)學(xué)到生活數(shù)學(xué)習(xí)題分為純數(shù)學(xué)問題和應(yīng)用性問題。通過改變原題的純數(shù)學(xué)問題背景，可以將其變成現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性問題。平行四邊形的面積在生活中有著廣泛應(yīng)用，將原題變式為應(yīng)用問題，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。1.挖水池問題【變式24】一塊平行四邊形菜地兩鄰邊的長分別為4m和3m。沿著菜地的一邊挖掉一個(gè)長1.5m、寬1m的長方形蓄水池，剩下部分的周長是多少？2.停車位問題【變式25】圖17是根據(jù)實(shí)際測量繪制出的某地人行道上的電動(dòng)摩托車停車位。請結(jié)合示意圖說一說，為什么電動(dòng)摩托車的停車位要畫成平行四邊形？解題分析：現(xiàn)實(shí)中，停車位（包括汽車停車位）一般畫成平行四邊形，主要是為了便于停車、開車。此外，還考慮到了人行道的寬度問題。變式價(jià)值：發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和推理意識(shí)。三、啟示（一）怎樣的變式才是好的變式對一道計(jì)算平行四邊形面積的習(xí)題進(jìn)行變式，形成的習(xí)題分為兩類：一類是學(xué)完這一內(nèi)容后的變式。有的是基礎(chǔ)的變式，可以作為學(xué)生的鞏固練習(xí)；有的是綜合性、探索性和挑戰(zhàn)性的變式，可以作為學(xué)生的拓展練習(xí)。另一類是單元學(xué)習(xí)后的變式，強(qiáng)調(diào)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)知識(shí)的遷移應(yīng)用，具有很強(qiáng)的綜合性和拓展性，對發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)有著重要作用。教學(xué)時(shí)，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況選擇其中的習(xí)題，供不同層次的學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，從而促進(jìn)各層學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階。（二）怎樣對一道習(xí)題進(jìn)行變式《促進(jìn)高階思維發(fā)展的習(xí)題變式策略探究》［1］一文提出了變式的六個(gè)策略，即從直接變間接、從正向到逆向、從封閉到開放、從單一