2024年1月眉山市高三數(shù)學(xué)（理）高考一模試題卷附答案解析

2024年1月眉山市高三數(shù)學(xué)（理）高考一模試題卷

（試卷滿分150分，考試時間120分鐘）2024.1

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合I*3。＜小叼小—叫，則4B=（）

A.0B.（-3』C.[T2）D.（T2）

1+i.

2.復(fù)數(shù)l-i,貝！|仔尸（）

A.1B.V2C.2D.4

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x值為2023,則輸出的'值為（）

/修

;11I

x=x-4

v=2

A.16B.8c.4D.萬

4.甲、乙兩個口袋中均裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩口袋中隨機取一個球交換放入另一

口袋，則甲口袋的三個球中恰有兩個白球的概率為（）

254^

A.3B.9C.9D.3

+〃8

5.已知數(shù)列｛""｝是等差數(shù)列，數(shù)列抄"｝是等比數(shù)列，若q+%+。9=9也貼8=36，則1+幽8

（）

3_3

A.2B.C.2D.3

6.如圖，正方形ABCZ）的邊長為4,E為8c的中點，尸為8邊上一點，若ARAE=|AE/，貝/河=

()

1

A.拒B.2百c.2aD.5

_71_兀

7.“'一不”是“函數(shù)>=sin（2x-9）的圖象關(guān)于直線x-%對稱”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

%22

8.已知斗歹2為雙曲線°丁了-1（">°力>°）的左、右焦點，點A在C上，若國匈=2優(yōu)A|,

乙4￡8=30。,444鳥的面積為6若，則C的方程為（）

9.甲、乙、丙、丁4個學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動，現(xiàn)有48，C￡>,E五個研學(xué)基地供選擇,

每個學(xué)校只選擇一個基地，則4個學(xué)校中至少有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（）

A.420B.460C.480D.520

小）=

10.若點尸是函數(shù)SUU+COSX圖象上任意一點，直線/為點尸處的切線，則直線/傾斜角的取值范

圍是（）

嗚］［雪）冷寺］㈤

A.3B.32c.23D.3

11.如圖，在正方體ABCD-A4cd中，點尸是線段入片上的動點（含端點），點Q是線段AC的中點,

設(shè)尸。與平面4c2所成角為夕，貝Ucos。的最小值是（）

|3逅逑

A.3B.3c.3D.3

2

kRC:=+與=l（a>6>0）.n

12.已知°為坐標原點，九%是橢圓。匕的左、右焦點，A8分別為C的左、右頂

點.p為c上一點，且尸耳，龍軸，直線北與y軸交于點/,直線BM與尸入交于點Q,直線KQ與y軸

交于點N.若I411則c的離心率為（）

J_?23

A.3B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

y<4-x

<y+2>0

13.己知實數(shù)x，y滿足U&X+2,則2x+3y的最大值為

14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：

①偶函數(shù)；②最大值為2；③最小正周期是兀.

15.在正四棱臺AB。。一4耳64內(nèi)有一個球與該四棱臺的每個面都相切（稱為該四棱臺的內(nèi)切球），若

A4=2,A8=4,則該四棱臺的外接球（四棱臺的頂點都在球面上）與內(nèi)切球的半徑之比為

16.若點尸為-ABC的重心，35sinA-PA+21siiiBPB+15smC-PC=0,貝iJcosZBAC=

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計并試運行了甲、乙兩條生產(chǎn)線.現(xiàn)對這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進行

評估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機抽取了300件進行測評，并將測評結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）

制成如下所示列聯(lián)表：

良優(yōu)合計

甲生產(chǎn)線4080120

乙生產(chǎn)線80100180

合計120180300

⑴通過計算判斷，是否有9。%的把握認為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？

3

n(ad-bc)2

K2n=a+b+c+d

(Q+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

其中

18.已知數(shù)列｛%｝與正項等比數(shù)列色｝滿足""T°g26”(“eN),且一

⑴求｛%｝與也｝的通項公式；

⑵設(shè)的=%b”,求數(shù)列｛c“｝的前"項和S”

從①4=16也=128；②4=4，a-這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

19.己知。為坐標原點，過點〃(2，°)的動直線/與拋物線己/二八相交于兩點.

⑴求0408；

(2)在平面直角坐標系xQy中，是否存在不同于點P的定點Q,使得恒成立？若存在，求

出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

20.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，直線G"平面ABC,平面平面BBCC.

⑴求證：AC,S瓦;

3M

(2)若40=80=84=2,在棱4月上是否存在一點尸，使二面角「-2。-6的余弦值為-13"?若存在,

BF

求a用的值；若不存在，請說明理由.

21.已知函數(shù)/(x)="3+2sinxTCOsx(其中0為實數(shù)).

a=--fo,—

⑴若2I2A證明：〃上°；

⑵探究〃x)在(一兀㈤上的極值點個數(shù).

4

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

C［x=tcGsa

22.在直角坐標系中，已知曲線Ui+yJ國+'（其中y>°）,曲線「1y=fsina"為參數(shù)，

（x=-tsina兀

。2：彳t>O,O<a<—

1>°）,曲線［y=tcosa。為參數(shù)，2）.以坐標原點。為極點，了軸的正半軸為極

軸建立極坐標系.

⑴求C的極坐標方程；

⑵若曲線c與C「C2分別交于48兩點，求面積的最大值.

［選修4-5：不等式選講］（10分）

23,設(shè)函數(shù)/（%）=|2%-2|+|%+2|.

⑴解不等式/（X）45-2%；

⑵令A(yù)x）的最小值為T,正數(shù)0/滿足^+62+26=7,證明：a+b<2^2-l.

1.B

【分析】先求出集合8,再根據(jù)交集的定義即可得解.

…“B=W+4x-5<0}={x|-5<x<l}

則A3=（-3』

故選：B.

2.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案.

【詳解】j（j）（"i）2,則比了=2,

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)可知每循環(huán)一次x值減少4,當*<0時，得到丁=2:

【詳解】第1次循環(huán)：^=2023-4.

第2次循環(huán)：x=（2023—4）-4=2023-4x2；

第3次循環(huán)：>（2023-4x2）—4=2023-4x3；

由以上可知，第"MN*）次循環(huán)：x=2023-4心eN*）；

5

當無2。時，一直循環(huán)，所以由x=2023-4〃N0,且“eN*,解得"W505（”eN

因止匕，第506次循環(huán)：x=2023—4x506=-1,即x=-l,

y=2^=—

則2,輸出2.

故選：D.

4.B

【分析】利用互斥事件以及獨立事件概率乘法公式運算求解即可.

【詳解】由題意可知：若甲口袋的三個球中恰有兩個白球，

則從甲袋中取出的球為黑球，乙袋中取出的球為黑球，或從甲袋中取出的球為白球，乙袋中取出的球為

白球，

n11225

所以甲口袋的三個球中恰有兩個白球的概率為一3333-9.

故選：B.

5.C

【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)分析求解.

at+a5+a9=3a5=9,5=3

【詳解】由題意可得1她,解得[么=百，

a2+必2%63

所以1+b2b81+及1+32.

故選：C.

6.D

【分析】建系，設(shè)1°同="€[°，4],根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標運算求得。=3,即可得結(jié)果.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，設(shè)口耳?目。，司,

-----------------

則A（0,0）,E（4,2）*（a,4）,可得A尸=（a,4）,AE=（4,2）

因為AFAE=[4E|2,即4a+8=20,解得a=3,

即取=（3,4）,所以他=用=存百=5.

6

故選：D.

7.A

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

x=-y=sin（2x5+?]=sin2

【詳解】若6,則當6,可得I66）2，為最大值，

_兀

所以函數(shù)y=sin（2x-⑴的圖象關(guān)于直線X-%對稱，即充分性成立；

_兀

若函數(shù)y=sin（2x一°）的圖象關(guān)于直線'一Z對稱，

2x（p=ku,—，左￡Z（p——kit，左wZ

則62解得6,

71

（D-----

6不一定成立，即必要性不成立；

_71_兀

綜上所述：““一%”是“函數(shù)y=sin（2x-0）的圖象關(guān)于直線x-%對稱”的充分不必要條件.

故選：A.

8.B

【分析】先根據(jù)雙曲線的定義求出閨在耳區(qū)中，利用正弦定理求出A心耳，再根據(jù)三角形的

面積公式求出利用勾股定理可求得進而可求出答案.

【詳解】因為閨H=2因所以閨A|＞優(yōu)&

又因為點A在C上，所以EH區(qū)H=2a,

即2/A|一優(yōu)4=2a,所以區(qū)4=2a,寓H=4a,

一閶—

在AAK工中，由正弦定理得sin…鳥sin4工可

IAFIsin30°

sinNA耳片=1

所以M

又0。＜乙峭片＜180。，所以乙隹G=90。，故/耳A4=60。，

則邑.=g網(wǎng)/而60。=2島2=6石所以〃=3,

22

則閨*=(Ze)?=\AF^-\AF2f=16?-W=12a=36,所以0?=9

所以〃=C2-〃=6,

所以C的方程為36

7

故選：B.

9.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用兩個原理結(jié)合排列、組合應(yīng)用列式計算即得.

【詳解】求不相同的選擇種數(shù)有兩類辦法：恰有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不同有種方法,

4個學(xué)校所選研學(xué)基地都不相同有人；種方法，

所以不相同的選擇種數(shù)有。武+八；=6*60+120=48。（種）.

故選：C

10.C

【分析】求出函數(shù)“盼的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率的范圍即可得解.

2A/3COSX

/（x）=

【詳解】函數(shù)sinx+cosx中，sinx+cosxwO,即sin2x>-l,設(shè)點

2v3[-sinx(sinx+cosx)一cosx(cosx-sinx)]

八尤）=

2

求導(dǎo)得(sincosx)

2^3(cos2x+sin2x)2石11

------------------=-----------------之—

l+2sinxcosx1+sin2xf由一l<sin2xWl,得0<l+sin2x?2,gp1+sinlx2,

,

/（x0）=——<-73

因此函數(shù)“X）的圖象在點P處的切線/斜率l+sm2x°,顯然直線’的傾斜角為鈍角,

（火當

所以直線/的傾斜角的取值范圍是2'3.

故選：C

11.A

【分析】以點。為原點建立空間直角坐標系，設(shè)"=九峭"40，1],利用向量法求解即可.

【詳解】如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系,

X

8

設(shè)AP=九明,2e[0,l],不妨設(shè)Afi=2,

則A（2,0,0）,C（0,2,0）,Q（l,l,0），A（0,0,2），4（2,2,2）,

故AC=（-2,2,0）,陰=（一2,0,2）,

PQ=AQ-AP=AQ-AABl=（-l,l,O）-A（O,2,2）=（-l,l-22,-22）

設(shè)平面AC2的法向量為"=（%、z）,

n-AC=—2x+2y=0

<

則邛=—2x+2z=0,可取〃

II|尸。?"1-1+1-2A-2/l|42

sin6=cosPQ,n\=~~1—=「/=

^1+（1-22）2+（-22）2X73A/3-V822-42+2

42

cos0=Jl-sin26」T-h8.一

〔6?故2—4X+2Jv12A2-62+3

所以

當;i=o時，cos9=l,

88

1-1-

。。電卜屋6"363-

193|--1I+9

當丸￡(0,1］時,口一丁正12

當卜，即行1時,。）,=—

cos/nun3

￡

綜上所述，cose的最小值是上

故選：A.

12.B

【分析】根據(jù)。加"PFi，分別在△尸，OBM和西月中，利用相似比求出,再根據(jù)

\ON\=^\OM\

即可得解.

【詳解】不妨令點尸在第一象限，設(shè)P(C，％)(X>°),

因為OM〃尸乙

\OM\|(?A|

在△尸A居中，則西二函,

a

yM=a

即易a+c,所以加一4+/1

9

\QF2\_\BF2\

在中，則。閭[02|,

yQ_a-ca-ca-caa-c

~~~T>Q=------=-------------------X=-------X

即V"a,所以aaa+c〃+c,

\ON[=\OF^=i

在倒g中，則I。閭,凡I2,

yN11a-c

所以為2,所以22（a+c）,

\ON\=^\OM\

因為4,

a-c1a「1

所以2（"+c）4a+c，所以。2,

即C的離心率為萬.

故選：B.

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得。、。的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；

(2)齊次式法：由己知條件得出關(guān)于。、。的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

13.11

【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的

坐標代入目標函數(shù)得到答案.

y<4-x

<y+2>0

【詳解】由約束條件［y4x+2,畫出可行域，如圖:

10

2z

丫—__JQ_|___

令z=2x+3y,化為斜截式方程得一-33,

2z

y=——x+—

由圖可知，當直線”33過點B時，直線在y軸上的截距最大.

（y=4-xp=l

由L=x+2得i>=3,即B（l，3）,

所以點"1'3）代入目標函數(shù)可得最大值，即最大值為z=2xl+3x3=ll.

故答案為：11.

14.〃X）=2COS2X（答案不唯一）

【分析】根據(jù)的奇偶性、最值以及周期性分析判斷.

【詳解】例如,（X）=2COS2X,可知其定義域為R,

則/（—X）=2COS2（-X）=2COS2X=/（X）,即/（%）為偶函數(shù)；

顯然了⑺的最大值為2；

且的最小正周期為一耳一'

所以〃x）=2cos2x符合題意.

故答案為：〃x）=2cos2x（答案不唯一）.

尿

15.4

【分析】利用正棱臺的性質(zhì)，分別求出內(nèi)切球與外接球的半徑即可得解.

【詳解】根據(jù)題意，該正棱臺的軸截面，如圖：

由題意，由A4=2,A2=4知HM=1,?=2,

由圓的切線長性質(zhì)可知MQ=HM=1,FQ=KF=2,所以ME=3,

所以HK=^MF2-(KF-HM^=A/9^1=20

11

r=—HK=A/2

所以該四棱臺的內(nèi)切球的半徑為2,

下面畫出正四棱臺"BCD-ABCa,

連接AC,BQ,交于點01,連接AC,30,交于點02,如圖,

由4g=2,AB=4可得AQ=血Oa=HK=2近AO?=2五,

設(shè)外接球的半徑為R,則002=2e,

R2=A0：+O0：7

由U2=四++0&得萬+產(chǎn)=僅?2+(20-『，解得，=運，

爐=6+產(chǎn).+竺=竺R-華

于是88,則2夜.

病

R不邛尿

所以r一0一4

765

故答案為：~.

13

16.14

【分析】由點尸為他C的重心，可得PB+PC+總=0,再結(jié)合題意可得35sinA=21sin3=15sinC,

再利用余弦定理即可得解.

【詳解】設(shè)點。為BC邊上的中點，

因為點P為的重心，所以AP=2PD,

貝ljPB+PC=2PD=-PA,

所以PB+PC+尸4=6,所以=

12

因為35sinAPA+21sinBP5+15sinCPC=0,

▼-35sinA?-PB-PC+2IsinB?PB+15sinC-PC=0

所以\'

即(21sin3—35sinA)PB=(35sinA—15sinC)PC

因為PB，PC不共線且尸8*0,PCH0,

所以21sin5-35sinA=0,35sinA-15sinC=0

所以35sinA=21sinB=15sinC,

由正弦定理可得35。=21b=15c,

不妨設(shè)°=3,6=5,c=7,

b2+c2-a225+49-913

2x5x714

故答案為：14

9DC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)重心的性質(zhì)結(jié)合已知得出35sinA=21sin3=15sinC,是解決本題的關(guān)鍵.

17.(1)有9。%的把握認為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系

(2)X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1

【分析】(1)根據(jù)2x2列聯(lián)表，求得K?,即可判斷；

(2)用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，從甲、乙生產(chǎn)線分別抽取2,4件，結(jié)合超幾何分布求分布列和期

望.

ibc*=3°0x(4°xl0°一80x8°『x3,704>2,706

120x180x180x120

所以有90%的把握認為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系.

(2)在測評結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品,

,40?，80,

6x----=26x------4

則應(yīng)在甲生產(chǎn)線抽取120件產(chǎn)品，在乙生產(chǎn)線抽取120件產(chǎn)品，

由題意可知：X=0,1,2,則:

13

C°C3

P（x=o）=^^=—4=-1,P（X=l）

\'C：205\7等*Ij（X=2）=*3

可得X的分布列為

X012

131

P—————

555

131

E（X）=0x-+lx-+2x-=l

所以X的數(shù)學(xué)期望V7555

18.⑴"=2M，a，，=〃+l（〃eN'.*

⑵Si.*

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為4>°,對于①②：根據(jù)等比數(shù)列的通項公式運算求解;

（2）由⑴可得：C"=（〃+l）-2"M=d2"+2-（〃-1>2",利用裂項相消法運算求解.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為“

若選①：因為&=16也=128,則如2=g如5=128,解得伉=4,q=2,

所以〃=4x2"T=2用,%=log?/?"=〃+1（〃eN*）.

若選②：因為仇=4,4-她=。,則也一金二。,解得q=2,

所以a=4X2'T=22,%=log2〃,=〃+l（〃eN*）

⑵由⑴可得：c“，f=（"+l）2+j-2"+2_gi）.*,

所以邑=1x23—0x22+2*24—1x23+3x25—2*24+…+

19.⑴f

⑵存在，（一2，°）.

【分析】（1）設(shè)出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合數(shù)量積的坐標表示計算即得.

（2）利用（1）中信息，結(jié)合斜率坐標公式列式求解即得.

【詳解】（1）顯然直線/不垂直于y軸，設(shè)直線/的方程為x=〃+2,4%,%），3（無2，%）,

\x=ty+2

由fy2=4x消去X并整理得^-的-8=0,顯然A>0,于是%%=-8,

14

OA.OB—x,x7+y%=————8=—4

所以44

（2）由⑴知%+%=4"跖=_8,

假定存在不同于點尸的定點°,使得尸恒成立，由拋物線對稱性知，點Q在x軸上，設(shè)

Q（m,O）

上+4=。

則直線QAQ3的斜率互為相反數(shù)，即?【加x「m,即％（仇+2-聞+%（電+2-m）=0,

整理得加％+（2-利）（％+%）=。，即-⑹+41（2-m）=0,亦即4?-2-機）=0,而r不恒為°,貝打九二4,

所以存在不同于點P的定點0,使得乙4。？：/8。？恒成立，點Q的坐標為（-2,0）.

1

20.（1）證明見解析；（2）存在，3.

【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定推理即得.

（2）作Cz"C\B,建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法求解即得.

【詳解】（1）在三棱柱A'。-A瓦G中，由G"平面ABC,AC,BCcABC,CiB1BC^QB±AC

在平面B8[C]C內(nèi)過§作BO_LCC]于0,由平面AACC_L平面,平面441cle?平面BBCC=CG,

得301平面MGC,而ACU平面MGC,則有301AC,

顯然50。13=850,。]8（=平面53℃,因此ACJ_平面,又BS]u平面,

所以AC，叫.

\\51Z\

\\\p

B

15

(2)過點C作Cz〃GB,由GB，BC,CJB，AC,得Cz，C4,Cz，C8,

由(1)知AC,平面BBiGC,BCu平面BBC。，則CALCB,即直線C4,CB,Cz兩兩垂直,

以點C為原點，直線C4CB,Cz分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

由AC=8C=8G=2,得A(2,0,0),2(0,2,0),G(0,2,2),瓦(0,4,2)；CB=(0,2,0),BA=(2,-2,0),

3M

假定在棱A4上存在一點尸，使二面角P-BC-Ci的余弦值為晨,

今4尸=彳耳4=/1胡=(24—2%0),0<%<1,貝|「(244—242),CP=(22,4—2尢2),

n-CP=22x+(4-2A)y+2z=0

<

設(shè)平面PBC的一個法向量〃=(x,y,z),則[〃CB=2y=。，

令x=l,得w=(l，0T),顯然平面BCG的一個法向量機=(1,0,。)，

/、13回1BXP.1

依題意，Jl+Zexl10，解得3,即443,

3MB[PJ

所以在棱A片上存在一點尸，使二面角尸一2C—G的余弦值為一I鼠，AA3.

21.(1)證明見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明即可;

(2)求導(dǎo)r(x)=3加+cosx+xsinx,“X)在(一兀㈤上的極值點個數(shù)即為函數(shù)/'⑺在(一兀㈤上零點的

cosx+xsinx

個數(shù)，當心。時，令/(力=°,分離參數(shù)可得~3a~

,構(gòu)造函數(shù)

cosx+xsinx

/z(x)=(一無,0)U(0,TI)j(\

,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)”(即的單調(diào)區(qū)間，畫出其大致圖象，結(jié)合圖

象即可得出答案.

a=--f(x]=——x3+2sinx—xcosx

【詳解】⑴若2,2

/'(x)一9

則

3

人g(X)=-5“+cosx+xsinx則g，(x)=-3x+xcosx=x(-3+cosx)

,所以cosxe(0,l),

因為

16

所以g'(x)=x(-3+cosX)<。，

所以函數(shù)g(“在1°'21上單調(diào)遞減,

二T*°sx+?在修

/'(%)

即函數(shù)上單調(diào)遞減,

兀("3勸二0

g(O)=l>O,g

又8

故存在“以02),使得g⑺二。，

則當xe(O,%)時，g(x)>0,即/'(x)>0

當日詞時,g(H<°,即r(M<。,

所以函數(shù)/(“)在(°'不)上單調(diào)遞增，在I"'，)上單調(diào)遞減,

亡+2=32-兀332-3.1423八

/(0)=0,/>--------->0

又161616

所以/(x)f

(2)f,[x)=3ax2+cosx+xsinx

/(x)在(-兀，兀)上的極值點個數(shù)，

即為函數(shù)0(x)在(一兀'兀)上零點的個數(shù)(零點兩邊異號),

因為所以。不是函數(shù)廣⑴的零點，

當xwO時,

ccosx+xsinx

人/'(%)=3辦之+cosx+xsinx=0-3a=------------

貝！J%

cosx+xsinx

/i(x)=,xe(-7i,0)u(0,7i)

令

h(-x)=cos(T)zg)=c°sx+jsinx=人⑴

因為(一。廠

17

所以函數(shù)"⑺為偶函數(shù),

x2cosx-2xsinx-2cosx

h'^x）=

x3

令°（%）=%2cosx-2xsinx-2cos羽％￡（0,兀）

貝I」（1）=-x2sinx<0,xe（0,兀）

所以函數(shù)0（x）在（°戶）上單調(diào)遞減,

所以0（%）<0（0）=_2<0,彳€（0,兀）,

x2cosx-2xsinx-2cosx

h'（x\-<0,XG（0,7l）

即X3

所以函數(shù)“⑺在（。㈤上單調(diào)遞減,

又X?O,7I）,當X-0時，〃（x）f+8,小卜一至

cosx+xsinx

h（%）=

如圖，作出函數(shù)x2’的大致圖象,

",至7時，函數(shù)/'（力=3加+cosx+xsinx無零點,

所以函數(shù)在（一兀㈤上沒有極值點，

-11

—3d>-----CI<---Z-

當兀一，即37r時，

函數(shù)/'（"=3辦2+85彳+彳411”有2個不同的零點，且零點兩邊異號，

所以函數(shù)“X）在（一兀㈤上有2個極值點，

1

綜上所述，當““五7時，函數(shù)/（龍）在（一私辦上沒有極值點;

1

當“,至7時，函數(shù)“X）在（一兀㈤上有2個極值點.

18

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖

象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)

形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由〃x)=°分離變量得出"=g("),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y="與函數(shù)y=g(")的

圖象的交點問題.

22(])P=|cosq+sin0,0&(0,n)

(2)1

【分析】