湖北荊州2023年中考數(shù)學試卷

2023年湖北省荊州市中考數(shù)學一模試卷

題號—二三總分

得分

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.的相反數(shù)是（）

A.5B._5C.￡D.

55

2.下列幾何體中，主視圖是長方形的是（）

BA

c?

3.下列計算正確的是（）

A.。3.&3=2a3B.（—2a>=4Q2

C（a+b）2=a2+b2D-（a+2）（a—2）=a2-2

4.一副三角尺的位置如圖所示,其中三角尺AO6繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)a度，使它的某一邊

與BC平行，則a的最小值是（）

D

A-15°B.30°C.60。D.150。

5.平面直角坐標系中，下列函數(shù)的圖象關于原點對稱的是（）

第1頁，共26頁

A.y=Jf2B.y=：C.y=2x-4D.y=_x（x>0）

6.如圖，在中，Z/1CB90"，按以下步驟作圖：〃.以8為圓心，任意長為

半徑作弧，分別交84、BC于M、N兩點；一，分別以M、N為圓心，以大于:MN的長

為半徑作弧，兩弧相交于點P；8作射線BP,交邊4c于。點.若48=10,BC=6,

7.將無限循環(huán)小數(shù)0，化為分數(shù)，可以設o.7=x,則10x=7+*，解得：x=三防

此，將無限循環(huán)小數(shù)0.21化為分數(shù)為（）

A.LB.ZC.馬D.巴

113310199

8.如圖，C）0是A5C的外接圓，0E145交0。于點E，

垂足為點D,AE,CB的延長線交于點E若。。=3,4B=8,

則尸C的長是（）

A.10

B.8

C6

D.4

9.關于”的分式方程工—4=上的解為正數(shù).為得到k的取值范圍，下列過程或結論,

X-22-x

其中不正確的是（）

A-x-4（x-2）=AB.x=>o

C?等#2D-卜>-8且刀/一2

第2頁，共26頁

10.在平面直角坐標系中，若直線y—X+川不經(jīng)過第一象限，則關于大的方程

mx2+%+1=。的實數(shù)根的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.1或2個

、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.函數(shù)y=2±l中，自變量x的取值范圍是____.

'2x-4

12.一個僅裝有球的不透明布袋里共有4個球（只有編號不同），編號分別為1，2,3,5.

從中任意摸出一個球，記下編號后放回，攪勻，再任意摸出一個球，則兩次摸出的

球的編號之和為偶數(shù)的概率是

13.如圖，從樓頂4處看樓下荷塘c處的俯角為45。，看樓下荷

塘。處的俯角為60二，已知樓高45為30米，則荷塘的寬CO

為米（結果保留根號）.

14.如圖，平行于BC的直線CE把△A8C分成面積相等的兩

部分，則”的值為.

15.如圖，點p（4?,a）是反比例函數(shù)y>0）與00的一個交點,

圖中陰影部分的面積為17〃，則反比例函數(shù)的解析式為.

16.已知y是關于”的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點pg.t），則稱點p為函數(shù)圖象上的

“相反點”，例如：直線y=2*—3上存在“相反點”P（l,—1）,若二次函數(shù)

y=x?+2mx+m+3的圖象上存在唯一"相反點"，則"1=.

三、解答題（本大題共8小題，共72.0分）

第3頁，共26頁

17.若a=2tan45。2-1(2V3)°?求關于*的不等式2x+a>3(x—1)的解

集.

18.先化簡（工_*+1）+*2_,再從_i，0,1中選擇合適的x值代入求值.

'工+1'X2+2X+1

19.如圖，在iox10的正方形網(wǎng)格中（小正方形的頂點稱為格點），請按要求畫圖，且

所畫的點都必須是格點，兩端點都在格點上的線段稱之為格點線段.

（1）作格點線段AN,使aB/lN是等腰直角三角形（作一種情況即可）；

（2）作點4關于8。的對稱點M,保留格點線段.

第4頁，共26頁

20.某學校開展了防疫知識的宣傳教育活動.為了解這次活動的效果，學校從全校1500

名學生中隨機抽取部分學生進行知識測試(測試滿分100分，得分x均為不小于60的

整數(shù))，并將測試成績分為四個等第：基本合格(60Wx<70),合格(70Wx<80),

良好(80Wx<90),優(yōu)秀(90SxS100),制作了如圖統(tǒng)計圖(部分信息未給出).

所抽取的學生知識測試成績的頻數(shù)直方圖所抽取的學生知識測試成績的扇形統(tǒng)計圖

(1)求測試成績?yōu)楹细竦膶W生人數(shù)，并補全頻數(shù)直方圖.

(2)求扇形統(tǒng)計圖中“良好”所對應的扇形圓心角的度數(shù).

(3)這次測試成績的中位數(shù)是什么等級？

(4)如果全校學生都參加測試，請你根據(jù)抽樣測試的結果，估計該校獲得優(yōu)秀的學

生有多少人？

第5頁，共26頁

21.若一個函數(shù)當自變量在不同范圍內(nèi)取值時，函數(shù)表達式不同，我們稱這樣的函數(shù)為

為縱坐標，描出相應的點，如圖所示.

(1)如圖，在平面直角坐標系中，觀察描出的這些點的分布，作出函數(shù)圖象;

(2)研究函數(shù)并結合圖象與表格，回答下列問題：

8點4(-5,%),見一分2)，C(x*),。(j6)在函數(shù)圖象

上，則yiy2,與；(填“>”，“=”

或“<”)

2當函數(shù)值y=2時，求自變量X的值；

總在直線X=—1的右側的函數(shù)圖象上有兩個不同的點p(x3,y3),

Q(X4，y?)，且>3=丫4，求均+八的值；

/若直線y=a與函數(shù)圖象有三個不同的交點，求a的取值范圍.

第6頁，共26頁

22.如圖，。。是△48C的外接圓，是00的直徑，F(xiàn)是；W延長線上一點，連接CD,

CF,S.ADCF=ACAD.

（1）求證：CF是0。的切線；

（2）若cosB=g,AD=2,求FD的長.

23.一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該

商品每周的銷售量y（件）與售價x（元/件）。為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關系，下表

記錄的是某三周的有關數(shù)據(jù)：

%（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y與x的函數(shù)關系式（不求自變量的取值范圍）；

（2）在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件.若

某一周該商品的銷售量不少于6000件，設這一周該商場銷售這種商品獲得的

利潤為w（元）,求w與x之間的函數(shù)關系式，并指出”的取值

范圍.

第7頁，共26頁

24.如圖［,在矩形.BCD中，AR=8>BC=6，點"為線段CD上的一個動點，點P從D點

出發(fā)，以每秒4個單位的速度從點。向點C運動，過點P作4C的平行線交4。于點Q,

將△PDQ沿PQ折疊，點。落在點E處，連OE、AE,如圖2,設運動的時間為/?秒；

(1)觀察猜想：

/當點P運動時的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，求sinUDE的變化范圍，

若不發(fā)生變化，直接寫出sinzJDE的值.

②在P點運動過程中，線段AE的最小值為(直接寫出答案)；

(2)推理探究：設APQE與△4CD的重疊部分的面積為5,請你直接寫出S與t的函數(shù)

解析式，并寫出自變量t的取值范圍.

(3)拓展延伸：延長PE交直線4c于F，交直線B4于G,在運動過程中，當尸為EG的

中點時(如圖3),試求出t的值.

第8頁，共26頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了相反數(shù)，解決本題的關鍵是熟記相反數(shù)的定義.

根據(jù)相反數(shù)的定義，即可解答.

【角度】

解：一士的相反數(shù)是a

2.【答案】A

【解析】解：圓柱體的主視圖是長方形，圓錐的主視圖是等腰三角形，球的主視圖是圓

形，四面體的主視圖是三角形，

故選：A.

根據(jù)各個幾何體的主視圖的形狀進行判斷即可.

本題考查簡單幾何體的三視圖，主視圖就是從正面看該物體所得到的圖形.

3.【答案】B

【解析】解：a3-a3=a6,故選項A錯誤；

(—2a)2=4a2,故選項B正確；

(a+b)2-a2+2ab+b2,故選項C錯誤；

(a+2)(a-2)=a2-4,故選項D錯誤；

故選：B.

根據(jù)各個選項中的式子，可以計算出正確的結果，從而可以解答本題.

本題考查整式的運算，解答本題的關鍵是明確整式運算的計算方法.

第9頁，共26頁

【答案】A

【解析】解：如圖，當4E//BC時,

??/.CAD=15°,

即a的最小值是15。.

故選：A-

當4E//BC時，由平行線的性質(zhì)可得出/CAE=60。，則可得出答案.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確畫出圖形是解題的關鍵.

5.【答案】B

【解析】解：4、y=x2,關于y軸對稱，此選項不符合題意；

、y=2,兩個分支處在一、三象限，關于原點對稱，此選項符合題意；

X

C、y=2x-4，過一、三、四象限，此選項不符合題意；

D、y=_*(x>0)，第四象限的角平分線，此選項不符合題意?

故選：B-

分別根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來判斷是否對稱.

本題考查反比例函數(shù)的對稱性，解題的關鍵是要熟練掌握反比例函數(shù)不但關于原點對

稱，也關于象限的角平分線對稱.

6.【答案】A

C

【解析】解：由作法得5D平分445C，

隊共26頁

EMB

過。點作DEI4B于E,如圖，則DE=DC,

在Rt△ABC中，AC=y/AB2—BC2=V102—62=8，

,:S?BD+S?BCD=S&8C，

**?—,D￡*x10-1—?CDx6=—x6x8,

222

即5DE+3CD=24,

:.CD=3.

故選：A-

利用基本作圖得8。平分/NBC,過。點作0E148于E,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到

則DE=DC,再利用勾股定理計算出AC=8,然后利用面積法得到

i-DExlO+^CDx6=1x6x8,最后解方程即可.

本題考查了作圖一基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）.也考查了角平分

線的性質(zhì).

【答案】B

【解析】解：設0.21=X，

則100x=21+x,

移項，可得：100x-x=21,

合并同類項，可得：99x=21,

系數(shù)化為1,可得：x=f

**7

???0.21=—.

33

故選：B.

設0.21=x，則100x=21+x,根據(jù)解一元一次方程的方法，求出x的值即可.

此題主要考查了無限循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的方法，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握

頁，共26頁

解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

【答案】A

【解析】解：由題知，4C為直徑，

=90。，

vOE±AB,

OD//BC,

???04=OC,

???OD為三角形4BC的中位線，

AD=-AB=-X8=4,

22

又???OD=3,

0A=V/1D2+OD2=V42+32=5,

:.0E-OA=5,

vOE//CF,點。是AC中點，

???OE是三角形4CF的中位線，

CF—20E-2x5=10,

故選：A.

由題知，4c為直徑，得OD//BC,且OD是△48C的中位線，OE是三角形4FC的中位

線，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑即可.

本題主要考查勾股定理，三角形中位線等知識點，熟練掌握勾股定理和三角形中位線的

性質(zhì)是解題的關鍵.

9.【答案】A

頁，共26頁

【解析】解：去分母得：x-4(x-2)=-k,

解得：x=節(jié)

x>0且x*2,

...?>0且殍#2,

解得：4>一8且*#一2,

二選項符合題意；

故選：A-

根據(jù)題意列出求k的取值范圍的解答過程，再對比每個選項即可得出答案.

本題考查了分式方程的解及解一元一次不等式，根據(jù)題意正確得出不等式組是解決問題

的關鍵.

【答案】D

【解析】解：?直線y=-x+m不經(jīng)過第一象限，

:.m<0,

當m=0時，方程ntx2+x+1=o是一次方程，有一個根，

當m<0時，

???關于x的方程mV+x+1=0,

I2—4m>0,

二關于x的方程m*2+*+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：D.

由直線解析式求得，nW0,然后確定△的符號即可.

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式：一元二次方程ox2+bx+c=0(a*0)的根

與△=〃-4ac有如下關系：當△>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時，方

頁，共26頁

程有兩個相等的實數(shù)根；當△<0時，方程無實數(shù)根.

【答案】x>1且x豐2

【解析】解：由題意得，x-lNO且2》一4工0,

解得x>1且x豐2.

故答案為：丫21且萬R2.

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式計算即可得解.

本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：

(1)當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

(2)當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.

12.【答案】s

8

【解析】

【分析】

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結果求出"，再

從中選出符合事件4或8的結果數(shù)目，”，求出概率.

畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果數(shù)，再找出兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的結果

數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】

解：根據(jù)題意畫圖如下：

開始

1235123512351235

頁，共26頁

共有16種等情況數(shù)，其中兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的有10種，

則兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的概率是2=

故答案為：

8

【答案】(30-10V3)

【解析】解：由題意可得，Z4DB=60°,44cB=45°,AB=30m,

在RtAABC中,

-.-Z.ACB=45°,

AAB=BC,

在Rt△ABD中,

???4。8=60。，

BD=gAB=10V3(m),

CD=BC-BD=(30-10V3)m,

故答案為：(30—10百).

在兩個直角三角形中，利用特殊銳角的三角函數(shù)可求出答案.

本題考查直角三角形的邊角關系，掌握直角三角形的邊角公式是正確解答的前提.

14.【答案】①

2

【解析】解：???DE//BC,

Z-ADE-zfi,Z.AED=zC,

:△ADES^ABC,

.(AD\2_%/DE

???SyDE=S四邊形BCED，

9AD_DE_42

*9"AB~正一W

頁，共26頁

故答案為：g

2

由。E//BC可得出△4DE"公力8C,利用三角形相似的性質(zhì)結合SAADE=5四必施"。，

可得出=變=立即可求解.

ABBC2

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方

是解題的關鍵.

15.【答案】y="

【解析】解：???圖中陰影部分的面積為17萬，

二圓的面積=4x17n-68",

.?.圓的半徑=2舊，

P(4a,a)在圓上，

16a2+a2=(2V17)2,解得a=2或一2(舍去)，

尸點坐標為(8,2),

把P(8,2)代入y=三導k=8X2=16,

.??反比例函數(shù)的解析式為y=—.

故答案為丫=—.

根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性得到圓的面積=4x177r=68",再計算出圓的半徑

=2舊，然后利用勾股定理得到16a2+a2=(2g)2,解得a=2或—2(舍去)，則P點

坐標為(8,2),然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求得仁

本題考查了待定系數(shù)法以及反比例函數(shù)圖象的對稱性：反比例函數(shù)圖象既是軸對稱圖形

又是中心對稱圖形，對稱軸分別是：/二、四象限的角平分線y=—x；②一、三象限的

角平分線y=x；對稱中心是：坐標原點.

16.【答案】且或—在

22

第16頁，共26頁

【解析】解：由題意可知，方程一t=t2+2mt+m+3有唯一解，

整理得：t2+(2m+l)t+m+3=0,且4=0.

即(2m+I)2—4x(m+3)=0,

解得m=土弓.

故答案為：理或一旦.

22

根據(jù)題意列出關于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判別式可得關于"1的一元二次

方程，解方程即可求解.

此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，新定義、一元二次方程根的判別式、解

一元二次方程等，對“相反點”的理解是解決本題的關鍵.

17.【答案】解：Ya=2xl—+1

=2-1+1-1

=1,

工把a=1代入不等式得：2x+1>3(x—1),

去括號得：2x+l>3x-3,

移項合并得：—x>-4,

解得：x<4.

【解析】利用特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)嘉、負整數(shù)指數(shù)嘉法則，以及算術平方根定

義求出a的值，代入不等式計算即可求出解集.

此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關鍵.

18.【答案】解：(H__x+i)士/一

、*+1'X2+2X+1

=[二…+

lx+lJ(x+1)2

x2-(x+l)(x-l)(x+1)2

X+1(x+l)(x-l)

]X+1

x+1x-1

第17頁，共26頁

-x-f

??,分式的分母x+1*0,x2—10,/+2》+1/0,

解得：XW±1,

?,?取x=0,

當x=0時，原式=7—7=—L

0—1

【解析】先算括號內(nèi)的加法和減法，把除法變成乘法，算乘法，最后求出答案即可.

本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵.

19.【答案】解：。）如圖所示，線段AN即為所求?

（2）如圖所示，點M即為所求.

【解析】（1）作點B關于4。的對稱點即可；

（2）作以48、4。為鄰邊的菱形即可得出答案.

本題主要考查作圖一軸對稱變換，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的定義與性質(zhì)及菱形的

性質(zhì)等知識點.

20.【答案】解：（1）30+15%=200（人），

200-30-80-40=50（人），

直方圖如圖所示：

第18頁，共26頁

所摘取的學生知識淵試成援的探數(shù)?方圖

(2)“良好”所對應的扇形圓心角的度數(shù)=36(Tx獸=144。.

(3)這次測試成績的中位數(shù)是良好.

(4)1500X孩=300(人)，

答：估計該校獲得優(yōu)秀的學生有300人.

【解析】本題考查頻數(shù)分布直方圖，樣本估計總體，扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)等知識，解題

的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

(1)根據(jù)基本合格人數(shù)和已知百分比求出總人數(shù)即可解決問題.

(2)根據(jù)圓心角=360。x百分比計算即可.

(3)根據(jù)中位數(shù)的定義判斷即可.

(4)利用樣本估計總體的思想解決問題即可.

21.【答案】(1)如圖所示:

(2)4X(-5,九)，B(-py2),

A與B在y=-j上，y隨x的增大而增大，二月v丁2；

第19頁，共26頁

C(x1(1),D(X2,6),

觀察圖象可得XI<x2；

故答案為V,<;

②當y=2,x4—1時，2=-j二*=-1；

當y=2時，x>-1時，有2=|x-1|,

x=3或x=-1；

③P(x3,y3)，Qg，")在*=一1的右側，

.??-1WXW3時，點關于x=l對稱，

?=丫4，

與+X4=2;

1由圖象可知，0<a<2；

【解析】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠通過描點準

確的畫出函數(shù)圖象是解題的關鍵.

(1)描點連線即可；

(2)J4與B在y=-：上，y隨x的增大而增大，所以yi<y2；觀察圖象可得

②當y=2時，2=|x-l|,則有x=3或》=一1;

3由圖可知-1WXW3時，點關于X=1對稱，當曠3=時+工4=2；

，由圖象可知，0<a<2；

22.【答案】解：

(1)連接0C,

第20頁，共26頁

???4。是00的直徑，

??/.ACD=900,

AZ4DC4-ZC4D=90°,

又???0C=OD9

??Z-ADC=zOCD,

又：乙DCF=Z-CAD.

AzDCF+zOCD=90°,

???NOCT=90。，

即OC1FC,

FC是0。的切線；

3

(2)vzff=Z-ADC,cosB=

3

:.cos^-ADC=

在RSACD中,

???cosN4DC=?=g,AD=2,

5AD

???CD=AD-COS/.ADC=2x|=|,

AAC=V4D2-CD2=心一(J=冬

.CD_3

??就―1，

乙FCD=￡FAC,Z.F=ZF,

/.△FCD9FAC,

.CD_FC_FD_3

a，7c~7A~7c~49

設FD=3x,則ZT=4x,4F=3x+2,

又???FC2=FDFA,

即(4x)2=3x(3x+2),

解得x=，或x=0（舍去）,

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:.FD=3x若.

【解析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關系以及相似三

角形，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答

的前提.

(1)根據(jù)切線的判定，連接0C,證明出OC±FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角以

及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；

(2)由cosB=g,根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義，圓周角定理和勾股定理可求出CD、AC反

—證明在R4C,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到獸=；,設FD=3x,則

AC4FC4

FC=4x,4F=3x+2,進而可求出答案.

則(

23.【答案】解：(1)設y和X的函數(shù)表達式為/;4丫+乩4k+b=10000

、(5k+b=9500'

解得觸溫

故y和x的函數(shù)表達式為y=-500x+12000；

(2)設這一周該商場銷售這種商品的利潤為w元,

由題意得｛:高：1/：2000>6000)

解得3sxs12,

則w=y(x-3)=(-500x+12000)(x-3)=-500x2+13500x-36000,

???w與x之間的函數(shù)關系式w=-500x2+13500X-36000,自變量的取值范圍為

3<x<12.

【解析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)由周利潤二每件的利潤x銷售量列出函數(shù)解析式，并根據(jù)銷售單價不低于成本價，且

不高于15元/件求出自變量x的取值范圍.

本題主要考查了一次函數(shù)的實際應用，二次函數(shù)的實際應用，一元一次不等式組的實際

應用，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，關鍵是讀懂題意，正確列出函數(shù)解析式和不等式

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組.

24.【答案】2

s

【解析】解：的大小不變，sin/-ADE=理由如下:

???四邊形48CD是矩形，

???4D=90。，

AAC=V/1D2+CD2=10,

由折疊得：ZF=ZD=90°,乙EPQ=3PQ,

.-.zD+zE=180°,

???點。、Q、E、P共圓，

AADE=乙EPQ=/.DPQ,

"PQ1AC,

'.Z.ACD=Z.DPQ,

ALACD—/-ADE,

vsin/-ACD=-AC=-10="S,

:.sin/-ADE=1；

2由sin4DE=g,

318

???當4E1DE時，4E@小=AD-sinZ-ADE=6x-=",

故答案是：蔡；

(2)vzD=90°,

???DQ=PD?tanzDPQ=PD-tanz.4CD=4t?-=3t,

8

當0<tv2時，

s=LPDDQ=^X4t-3t=6t2,

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如圖1,

連接DE交PQ于尸交4c于。點，

312

vDF=PD'sinZ-ACD=4t--=-t,

：.DE=2DF=^-t,

???DO^CD-sinz4CD=8x3=g24,

???EO=DE-OD=g(t-1),

由△ERT-DCA得，

'OD)