2023年高考數(shù)學(xué)真題解析 立體幾何初步

專(zhuān)題09立體幾何初步

目錄一覽

2023瓦廨現(xiàn)

考向一立體幾何的體積

考向二外接球與內(nèi)切球

考向三空間角

真題考查解讀

近年真題對(duì)比

考向一旋轉(zhuǎn)體

考向二立體幾何的體積

考向三外接球與內(nèi)切球

考向四球體的表面積

考向五空間角

考點(diǎn)六直線與平面的位置關(guān)系

命題規(guī)律解密

名校模擬探源

易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記

[2023年真題展現(xiàn)

考向一立體幾何的體積

1.(2023?新高考n?第14題)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為

2,高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為一.

【答案】28

解：如圖所示，根據(jù)題意易知△SOi4s/xso/,

會(huì)=若=余=；，又SOi=3,.?.5。=6,，。。=3,

SOOA2V22

又上下底面正方形邊長(zhǎng)分別為2,4,

，所得棱臺(tái)的體積為gx(4+16+74x16)x3=28.

s

2.（2023?新高考I?第14題）在正四棱臺(tái)48cO-4SGDI中，AB=2,4囪=1,AA\=y/2,則該棱臺(tái)的

體積為一.

【答案】乎

6

解：設(shè)正四棱臺(tái)488-4CCB的上下底面中心分別為M,N,

過(guò)小作小垂足點(diǎn)為，，由題意易知4M=//N='，又AN=yll,

：.AH=AN-HN=y,又44尸魚(yú),:.A\H=MN=^,

???該四棱臺(tái)的體積為Jx（1+4+V1V4）義。=吟

3L6

考向二外接球與內(nèi)切球

3.（2023?新高考I?第12題）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：加）的正方體容器

（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為"?的四面體

C.底面直徑為〃?，高為機(jī)的圓柱體

D.底面直徑為“7,高為，”的圓柱體

【答案】ABD

解：對(duì)于4棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)切球的直徑為1＞,選項(xiàng)4正確;

對(duì)于8,如圖，正方體內(nèi)部最大的正四面體D-力山G的棱長(zhǎng)為VM+住=魚(yú)＞1.4,選項(xiàng)8正確;

對(duì)于C，棱長(zhǎng)為1的正方體的體對(duì)角線為舊＜1.8,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡）,如圖，六邊形EFGH/J為正六邊形,E,F,G,H,1,1/為棱的中點(diǎn)，

六邊形EFGHAZ棱長(zhǎng)為三米，NGFH=NGHF=30°,

所以FH=V3FG=y/3GH=乎米，故六邊形EFGHIJ內(nèi)切圓直徑為白米，

而（'）2=|＞（1.2）2=1.44,選項(xiàng)D正確.

考向三空間角

4.（2023?新高考II?第9題）（多選）已知圓錐的頂點(diǎn)為尸，底面圓心為O,為底面直徑，NAPB=120°,

%=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-ZC-O為45°,則（）

A.該圓錐的體積為ITB.該圓錐的側(cè)面積為4751T

C.AC=2V2D.△以C的面積為百

【答案】AC

由二面角的定義可知，二面角P-4C-O的平面角即為NPDO=45°,

對(duì)于4,中，由于丹=P8=2,乙4尸8=120°,

則PO=1,40=百，

則。0=1,1/=i-3TT-1=7T,選項(xiàng)/正確.

對(duì)于8,=7TxV3x2=2V3;r,選項(xiàng)8錯(cuò)誤.

對(duì)于C,AC=2y/3—1=2V2,選項(xiàng)C正確.

對(duì)于。，PD=a,5“江=4'或'2&=2,選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

真題考查解讀

3

【命題意圖】

考查空間幾何體的表面積與體積、外接球問(wèn)題、空間角等.

【考查要點(diǎn)】

命題會(huì)涉及到體積，表面積，角度等計(jì)算，涉及到最值計(jì)算，范圍求取，考查空間想象力、運(yùn)算求解

能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力.

【得分要點(diǎn)】

1.表面積與體積公式

(I)棱柱的體積公式：設(shè)棱柱的底面積為S,高為〃，v^=sxh.

(2)棱錐的體積公式：設(shè)棱錐的底面積為S,高為九夕廿抵.

(3)棱臺(tái)的體積公式：設(shè)棱臺(tái)上底面面積為S,下底面面積為S',高為人

廠檢臺(tái)=：x(S+S'+7sxS')xh.

(4)圓柱的體積和表面積公式：設(shè)圓柱底面的半徑為r,高為〃(母線長(zhǎng)0,則

v圓柱=nr2h

S圓柱=2xnr2+2nrl=2nr(r+/)'

(5)圓錐的體積和表面積公式：設(shè)圓錐的底面半徑為廣，高為//(母線長(zhǎng)I),母線長(zhǎng)為/：

V圓錐=!什2/1

S圓錐="2+Ttrl=nr(r+/),

(6)圓臺(tái)的體積和表面積公式：設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，?，下底面半徑為R,高為爪母線長(zhǎng)為/：

'V圓臺(tái)=^nh(r2+R2+Rr)

S圓臺(tái)=nN+nR2+nrl+nRl=7r(r2+7?24-r/+RI)

(7)球的體積和表面積：設(shè)球體的半徑為R,匕g=^兀/?3,S,^=4TTK.

2.外接球題型歸類(lèi)：

(1)三線垂直圖形

計(jì)算公式：三棱錐三線垂直n還原成長(zhǎng)方體n2R=行*?

（2）由長(zhǎng)方體（正方體）圖形的特殊性質(zhì)，可以構(gòu)造如下三種模型:

①三棱錐對(duì)棱相等.n2R〃，/是三個(gè)對(duì)棱棱長(zhǎng).

②等邊三角形與等腰直角三角形連接.

③投影為矩形.

（3）線面垂直型：線垂直一個(gè)底面（底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形（少），它的外接

圓半徑是廠，滿足正弦定理）.

計(jì)算公式R=與jCD

+r2；其中2r=

sinA

（4）面面垂直型

一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型

（5）垂線相交型

等邊或者直角：等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過(guò)球心.

直角三角形斜邊中點(diǎn)（外心）做面垂線，必過(guò)球心.

許多情況下，會(huì)和二面角結(jié)合.

3.直線和平面所成的角：

一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問(wèn)題（空間問(wèn)題）是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為

兩條相交直線的度量問(wèn)題（平面問(wèn)題）來(lái)解決的.具體的解題步驟與求異面直線所成的角類(lèi)似，有如下的

環(huán)節(jié)：

（1）作：作出斜線與射影所成的角.

（2）證：論證所作（或找到的）角就是要求的角.

（3）算：常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求

出角.

（4）答：回答求解問(wèn)題.

4.線面角的求解方法:

傳統(tǒng)求法：可通過(guò)已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過(guò)解

直角三角形求得.

向量求法：設(shè)直線/的方向向量為平面的法向量為二直線與平面所成的角為。，Z與晟的夾角為<p,

必i

則有sin0=|cos<p|=

5.二面角的平面角求法:

（1）定義法.

（2）三垂線定理及其逆定理.

（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)

面的交線所成的角，就是二面角的平面角.

（4）平移或延長(zhǎng)（展）線（面）法.

（5）射影公式.

（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角.

（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：

設(shè)平面a和0的法向量分別為蔡和一若兩個(gè)平面的夾角為8,則

,TT-rr->TTT.15

①當(dāng)OW<u,v><0=Vu,V>,COS0=COS<U,V>=

2|u||v|

—>—?

②當(dāng)巳VV〃，時(shí)，COS0=-cos<u,u>=—=.

2|u||v|

近年真題對(duì)比

考向一旋轉(zhuǎn)體

5.（2021?新高考I）已知圓錐的底面半徑為衣，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.2B.2&C.4D.4&

【解答】解：由題意，設(shè)母線長(zhǎng)為/，

因?yàn)閳A錐底面周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的弧長(zhǎng)，圓錐的母線長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的半徑，

則有2兀?&=兀?1，解得1=2^，

所以該圓錐的母線長(zhǎng)為2&-

故選:B.

考向二立體幾何的體積

5.(2022?新高考I)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已

知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為h，，；水位為海拔”7時(shí)，相應(yīng)水面的面積為將該水

庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔〃7上升到〃?時(shí)，增加的水量約為(夜心)

()

A.X109w3B.XI09w3C.X109w3D.X109m3

【解答】解：140km2=140X106w2,ISOkm2=180X106m2,

根據(jù)題意，增加的水量約為140X106+180X106+V140Xio6x180X1。6X(157.5-148.5)

3

=(140+180+6077)火力

"3X9

一(320+60X)X106X3=1437X106??X109/n3.故選:C.

6.(2021?新高考H)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為()

A.20+125/3B.28</2C.園D.義返.

33

【解答】解法一：如圖/8CO-//iCiZ)i為正四棱臺(tái)，AB=2,小8|=4,43=2.

在等腰梯形小2184中，過(guò)/作可得出后=生2=1,

2

但《卜卜/一“2.

連接/C,A\C\,

^C=V4+4=2V2.J1Cl=716+16=472.

過(guò)“作ZGL41G，N1G=至反學(xué)逗_=&,

2

正四棱臺(tái)的體積為：

s上+s=+4s上下

----------n----------Xh

2222

2+4+V2X4x

3

=28企

~3~,

解法二：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖,

???該四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

該棱臺(tái)的高h(yuǎn)=個(gè)淤_（2近-a）2=&,

下底面面積Si=16,上底面面積$2=4,

則該棱臺(tái)的體積為：

fZ==

-1h（S1+S2+7s1S2）yxV2x（16+4+764）=-^^-

7.（多選）（2022?新高考［I）如圖，四邊形為正方形，EQ_L平面力8C0,FB//ED,AB=ED=2FB.記

三棱錐E-/C。，F(xiàn)-ABC,F-力CE的體積分別為力，%，匕，則（）

C.匕=匕+憶2D.2匕=3H

【解答】解：設(shè)AB=ED=2FB=2,

ri=Ax5A,4CDX|￡￡)|=A(

33

%=^XSA.CX|q|=2,

33

如圖所示,

連接8。交NC于點(diǎn)郵，連接EA/、FM,

則尸M=?,EM=4^,EF=3,

故S〉EMF=yXV§XV6=^^>

匕=我所*/。=yX^y-X2>/2=2>

故C、。正確，/、8錯(cuò)誤.

故選：CD.

8.（多選）（2021?新高考I）在正三棱柱中，AB=AA\^\,點(diǎn)P滿足而=入前+口麗;其

中入C[O,1],ne[0,1],貝IJ（）

A.當(dāng)入=1時(shí)，△481尸的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)n=l時(shí)，三棱錐尸-38C的體積為定值

C.當(dāng)入=費(fèi)寸，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得4PLBP

D.當(dāng)四=工時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得出8，平面/81P

2

【解答】解：對(duì)于/,當(dāng)人=1時(shí)，BP=BC+nBBf即而=（1BB,所以而“BB：

故點(diǎn)P在線段CCi上，此時(shí)△481P的周長(zhǎng)為AB\+B\P+AP,

當(dāng)點(diǎn)p為ca的中點(diǎn)時(shí)，△Ns/的周長(zhǎng)為代+72,

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)C1處時(shí)，的周長(zhǎng)為2\歷+1，

故周長(zhǎng)不為定值，故選項(xiàng)4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,當(dāng)四=|時(shí)，BP=XBC+BB7-即晤=人前，所以帝#氏，

故點(diǎn)P在線段81cl上，

因?yàn)閲鐶〃平面41BC,

所以直線B\C\上的點(diǎn)到平面小8c的距離相等，

又△小8C的面積為定值，

所以三棱錐P-m8c的體積為定值，故選項(xiàng)8正確；

對(duì)于C,當(dāng)人=工時(shí)，取線段8C,81cl的中點(diǎn)分別為A/,Mi，連結(jié)MM,

2

因?yàn)榘萸墒?U麗;即而二W而;所以而〃麗;

則點(diǎn)尸在線段上，

當(dāng)點(diǎn)尸在M處時(shí),AiMilBiCi，

又31cd5i8=B，所以小Mi，平面BBC。,

又8Miu平面881clC,所以nB|JAiPlBP,

同理，當(dāng)點(diǎn)P在M處，A\PYBP,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)口=微時(shí)，取CC1的中點(diǎn)。1，881的中點(diǎn)Q,

因?yàn)锽P=、BC玲BBj即DP=為BC，所以DP4BG

則點(diǎn)P在線的。功上，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。?處時(shí)，取4c的中點(diǎn)E,連結(jié)小后BE,

因?yàn)?E_L平面4CC1/I，又/Oiu平面/CCi/i，所以ZZ)i_L8E,

在正方形4CCMi中，AD\LA\E,

又BEC4iE=E,BE,/〔Eu平面小8￡;

故4)i_L平面4BE,又//U平面Z18E,所以小8_L45i,

在正方體形/8B1由中,A\B±ABi，

又幺DiC4Bi=4,AD\,/8iu平面Z81O1,所以J_平面/田。,

因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)A與定直線A\B垂直的平面有旦只有一個(gè)，

故有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得/|8_L平面Z81P,故選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

考向三外接球與內(nèi)切球

9.(2022?新高考I)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36m且3

W/W3盜，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.［18,爭(zhēng)B.吁,學(xué)C.［苧號(hào)］D.［18,27］

【解答】解：如圖所示，正四棱錐P-/8CD各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接力C與8。交于點(diǎn)E,連接PE,

則球心O在直線PE上，連接OA,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為/?,

在Rt△以E中，PA2=AE2+PE2,BP2+h2=ya2+h2,

:球。的體積為36TT,...球。的半徑/?=3,

22,

在Rt^OAE中，OA2^OE2+AE2,即R2=%-3）+（^|^~）

,1212al門(mén)■12,2

,?5a+h-6h=U,+h=61r

：4=6h,又：3W/W3愿，

該正四棱錐體積/（〃）=ya2h=-7（12h-2h2）h=-yh3+4h2-

ooO

?；/（〃）=-2h2+Sh=2h（4-〃），

...當(dāng)&<h<4時(shí)，p（〃）>0-y⑺單調(diào)遞增；當(dāng)4<h42時(shí)，尸⑺<0,V（h）單調(diào)遞減，

；?/（力）max=V（4）=箜，

3

又=2L,v（J.）="，且

242444

?,岑<V（h）<第

3O

即該正四棱錐體積的取值范圍是［.,等］,

故選：C.

10.（2022?新高考II）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3JE和4加，其頂點(diǎn)都在同一球

面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTTB.128nC.144nD.192ir

【解答】解：當(dāng)球心在臺(tái)體外時(shí)，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為一當(dāng)反一二3，卜底

2sin60

面所在平面截球所得圓的半徑為《反。=4,如圖，

2sin60

設(shè)球的半徑為R,則軸截面中由幾何知識(shí)可得_32=i，解得

｛R2,^R2_42R=5,

/.該球的表面積為4n7?2=4nX25=100n.

當(dāng)球心在臺(tái)體內(nèi)時(shí)，如圖，

此時(shí)JRZ-/+在2_42二1，無(wú)解.

綜上，該球的表面積為lOOn.

故選：A.

考向四球體的表面積

11.（2021?新高考H）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球

靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000A機(jī)（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面

的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為。，半徑廠為6400h”的球，其上點(diǎn)力的緯度是指。4與赤道平面所

成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,該衛(wèi)星信號(hào)覆

蓋地球表面的表面積S=2m2（1-cosa）（單位：km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

地球靜止同步軌道

則。尸=36000+6400=42400,那么cosa=3也-上

4240053

衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積SuZnr2（1-cosa）,

那么，S占地球表面積的百分比為2兀r（1-cosa）=/_42%.

2

471r106

故選：C.

考向五空間角

12.（多選）（2022?新高考I）已知正方體/8C。-381C1G，則（）

A.直線8。與。小所成的角為90°

B.直線8cl與。1所成的角為90°

C.直線8cl與平面881。。所成的角為45°

D.直線8cl與平面/8CZ）所成的角為45°

【解答】解：如圖，

連接8C，由/i8i〃DC,A\B\=DC,得四邊形為平行四邊形,

可得￡>4〃8C，...直線8。與。小所成的角為90°,故/正確;

"：A\B\A.BC\,BC\LB\C,A\B\HB\C=B\,...BCil.平面D4i8C,而C/iu平面D4/C,

：.BC\LCA\,即直線8。與C4所成的角為90°,故8正確；

設(shè)小連接80,可得CiOL平面8815。，即NQ8O為直線8。與平面881OQ所成的

角，

0C,1

-：smZC\BO=—L=_L,.?.直線8cl與平面5800所成的角為30°,故C錯(cuò)誤；

BCj2

：CQ_L底面/8CD,8c為直線8。與平面所成的角為45°,故。正確.

故選：ABD.

考點(diǎn)六直線與平面的位置關(guān)系

13.（多選）（2021?新高考H）如圖，下列正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方

體的頂點(diǎn)，則滿足MN_LO尸的是（)

【解答】解：對(duì)于/，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,設(shè)與0P所成角為仇

則tanO=「」一=退_,；.不滿足的7，?！?，故/錯(cuò)誤；

2

對(duì)于8,如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

則N(2,0,0),M(0,0,2),P(2,0,1),O(1,1,0),

而=(2,0,-2),0P=(I，-I，1)，

誦，祈』，.?.滿足仞口0尸，故8正確；

對(duì)于C,如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

則M(2,2,2),N(0,2,0),O(1,1,0),尸(0,0,1),

而二(-2,0,-2),QP=(-1.-1?1),

福?而=0，滿足MNLOP,故C正確；

對(duì)于￡),如圖,

作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

則M(0,2,0),N(0,0,2),尸(2,1,2),。(1,1,0),

而=(0,-2,2),0P=(1，0,2),

疝?而=4,，不滿足MAaOP，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

命題規(guī)律解密

本章內(nèi)容是高考必考內(nèi)容之一，多考查空間幾何體的表面積與體積，空間中有關(guān)平行與垂直的判定，

空間角等問(wèn)題。

高考對(duì)本章內(nèi)容的考查比較穩(wěn)定，針對(duì)這一特點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)，首先梳理本章重要定理、公式與常用結(jié)論,

掃清基礎(chǔ)知識(shí)和公式障礙；然后分題型重點(diǎn)復(fù)習(xí)，重視立體幾何表面積與體積、內(nèi)接球與外切球、空間角

的解題思路。

名校模擬探源

棱柱的結(jié)構(gòu)特征(共2小題)

1.(2023?鹽亭縣校級(jí)模擬)已知正方體488的棱長(zhǎng)為3,以力為球心，上行為半徑的球被

該正方體的表面所截，則所截得的曲線總長(zhǎng)為.

【解答】解：根據(jù)題意可知，正方體45CD-小的棱長(zhǎng)為3,以力為球心，蓊為半徑的球被該

正方體的表面所截，如下圖所示：

故在此三面上所截得的曲線長(zhǎng)為12LX3=73兀，

3

球在面BCC\B\,面CDD\C\,面小BCiDi所截得的曲線長(zhǎng)均為工xVs孌冗，

22

故在這三面上所截得的曲線長(zhǎng)的和為返2Lx3=3近兀,

22

故所截得的曲線總長(zhǎng)為?兀+3手兀=5等匚

2.（多選）（2023?晉江市校級(jí)模擬）直三棱柱N8C-小81。，中，ABLAC,N8=/C=44i=l,點(diǎn)。是線

段8。上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則以下正確的是（）

A.NC〃平面小8。

B.CD與4cl不垂直

C.N/OC的取值范圍為I，—]

<42J

D.ZO+OC的最小值為愿

【解答】解：依題作圖，如圖1,并將其補(bǔ)成正方體，如圖2

對(duì)于4因?yàn)?。〃小。，/Ciu平面小8。，所以平面48。，故4正確；

對(duì)于8,當(dāng)。為。8的中點(diǎn)，8與C3i重合，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得C￡>_L4。，故8錯(cuò)；

對(duì)于C,判斷以4C為直徑的球與C\B的交點(diǎn)情況，

如圖3,取/C中點(diǎn)尸，貝I」FC廣FB=^~，

當(dāng)尸DLB1C時(shí)，F(xiàn)D=JFB2-晝，3）2=

所以以/c為直徑的球與Ci8沒(méi)有交點(diǎn).所以NADC<*，故c錯(cuò)；

對(duì)于。，將面C8。翻折至與4BQ共面，此時(shí)點(diǎn)C與Ei重合，所以/D+DC的最小值為AE[=百，故

。正確.圖1圖2圖3

故選：AD.

二.旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）（共1小題）

3.（2023?河南模擬）已知圓臺(tái)。。的上、下底面半徑分別為八R,高為人平面a經(jīng)過(guò)圓臺(tái)OQ的兩條

母線，設(shè)a截此圓臺(tái)所得的截面面積為S,則()

A.當(dāng)R'R-r時(shí)，S的最大值為(R+2r)h

B.當(dāng)時(shí)，S的最大值為(也■)L"Jr)1

2(R-r)

C.當(dāng)”<R-r時(shí)，S的最大值為(R+2r)h

22

D.當(dāng)〃<R-r時(shí)，s的最大值為、咫二)」旦」:.(RM)-L

2(R-r)

【解答】解：如圖，將圓臺(tái)。。補(bǔ)成圓錐尸0.

設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為/,則/2=%2+(R-r)2,等腰梯形Z8S為過(guò)兩母線的截面.

設(shè)「C=x,NAPB=6,由工―得

Rx+1R-r

則$=表(x+l)2-x2]sin8=y器711in8>

當(dāng)時(shí)，0W9O°,當(dāng)sin。最大,即截面為軸截面時(shí)面積最大,

貝1JS的最大值為/(2R+2r)h=(R-^)h-

當(dāng)時(shí)，0>90°,當(dāng)sinO=l時(shí)，截面面積最大，

則S的最大值為f"、：[2=(R+r)屈+(")2]

2(R-r)2(R-r)

故選：D.

三.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積(共3小題)

4.(2023?南通三模)已知底面半徑為廠的圓錐SO,其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑

為王，則此圓柱與圓錐的側(cè)面積的比值為()

3

A.2B.近C.2D.2V1_

9939

【解答】解：圓錐的高聲r(shí)，如圖，

s

101MSOiI

由△SOA/S/XSOB可得：±=_1_=_L,二so.

3OBSO13

???。。[]■、。烏耳小

oo

圓柱側(cè)面積s=2n.lr③兀2,

1339

圓錐側(cè)面積Sc』?2兀r-2r=2兀=2,包=生應(yīng)」=2叵.

2

2S2929

故選：D.

5.（2023?安陽(yáng)二模）2022年12月7日為該年第21個(gè)節(jié)氣“大雪”“大雪”標(biāo)志著仲冬時(shí)節(jié)正式開(kāi)始,

該節(jié)氣的特點(diǎn)是氣溫顯著下降，降水量增多，天氣變得更加寒冷.“大雪”節(jié)氣的民俗活動(dòng)有打雪仗、

賞雪景等.東北某學(xué)生小張滾了一個(gè)半徑為2分米的雪球，準(zhǔn)備對(duì)它進(jìn)行切割，制作一個(gè)正六棱柱模型

ABCDEF-A\B\C\D\E\F\,設(shè)"為團(tuán)田的中點(diǎn)，當(dāng)削去的雪最少H寸，平面截該正六棱柱所得的截

面面積為平方分米.

【解答】解：設(shè)正六棱柱/8C0EF-小BiCiGEiQ的底面邊長(zhǎng)為a,高為兒

若要使該正六棱柱的體積最大，正六棱柱應(yīng)為球的內(nèi)接正六棱柱中體積最大者,

22r~

所以號(hào)+a2=22'即a?=4與乂SAECDEF=6X-^a?，

所以該正六棱柱的體積為v=5DEFh=6x與a2

ABe(16-h^)h,

設(shè)/（〃）=(16-層)h,0<h<4,

則/(A)=16-3/,令/(〃)=0,得

>0,解得0<h<生應(yīng)；由/（刀）<0,解得生應(yīng)<h<4,

由/由）

33

所以/"）在（0,全巨）上單調(diào)遞增，在

,4）上單調(diào)遞減，

3

,即正，a里應(yīng)時(shí)/取得最大值，

所以f（h）max=f

33

過(guò)M作尸?！ㄐi，交/|尸1于點(diǎn)P,交于點(diǎn)0，則P,。分別是小Q,的中點(diǎn),

又小G〃4C,所以PQ〃ZC,則矩形/C0尸即為平面4CM截該正六棱柱所得的截面.

22

0^PQ=A1C1=V3a=2V2，且AP=CQ=JAA：+慶產(chǎn)=Jh^a=V6，

所以矩形力C0P的面積為ACXAP=2&X遙=4a.

故答案為：4^3-

6.（2023?皇姑區(qū)校級(jí)模擬）用一張正方形的紙把一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體形禮品盒完全包好，不將紙撕開(kāi),

則所需紙的最小面積是.

【解答】解：把5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成十字形，

并在四端加上四個(gè)斜邊為1的等腰直角三角形，

就可以包住棱長(zhǎng)為1的正方體，而這個(gè)形狀可以用邊長(zhǎng)為2注的正方形來(lái)覆蓋，

而這個(gè)正方形面積為8,

二所需包裝紙的最小面積為8.

故答案為：8.

四.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共13小題）

7.（2023?鄭州模擬）陀螺又稱(chēng)陀羅，是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)健身玩具之一，在山西夏縣新石器時(shí)代的遺

址中就發(fā)現(xiàn)了石制的陀螺.如圖所示的陀螺近似看作由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其中圓柱的

底面半徑為1,圓錐與圓柱的高均為1,若該陀螺由一個(gè)球形材料削去多余部分制成，則球形材料體積的

最小值為（）

A.言兀B.孚兀C.空兀D.萼兀

33448

【解答】解：依題意當(dāng)該陀螺中圓錐的頂點(diǎn)及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時(shí)，球形材料體積

的最小，

設(shè)此時(shí)球形材料的半徑為R由題意得（2-R）2+12=/?2,解得R4，

所以球形材料的體積最小值為件71R3嗤^兀.

故選：D.

8.（2023?寧夏三模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2,線段用口上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F（E在F

的左邊），且下列說(shuō)法不正確的是（）

A.異面直線AB\與BC\所成角為60°

B.當(dāng)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面E/"_L平面ZCCi/]

C.當(dāng)E,尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)E,F使得4E〃BF

D.當(dāng)E,F運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐體積8-NEF不變

【解答】解：對(duì)于4如下圖所示：

將8。平移到力。，連接的功易知在△，囪中，AB\AD\即為異面直線與8cl所成的平面角,

由正方體-A\B\C\D\的棱長(zhǎng)為2,利用勾股定理可知AB]=AD]=B[D]=2^2,

即為正三角形，所以異面直線工8|與8。所成角為60°,即“正確;

對(duì)于8,連接/C,AC\,如下圖所示:

由4BCD-小8心。1為正方體即可得,44」平面而平面4向C15,

所以小又EL在線段上，所以小/LEE又/i&CiG為正方形，所以小Cj_L8iD”即

AiCiLEF,

又/Ci0441=4,A\C\,又iu平面4CG4,所以*'J■平面NCCMi，

又EFu平面EE4,所以平面E"_L平面/CCM”即8正確；

對(duì)于C,易知點(diǎn)下不在平面/8￡■內(nèi)，假設(shè)/￡〃8尸，又4Eu平面BFC平面ABE,所以8尸〃平面

ABE,

顯然這與8FC平面矛盾，所以假設(shè)不成立，即C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)E,尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，由等體積法可知三棱錐體積與三棱錐”的體積相等。一小尸=

VA-BEF；

易知三棱錐4-8E產(chǎn)的底面積SABDF寺F-BB[=J5，易知/C，平面BEF,

所以點(diǎn)N到平面BEFiKj距圖為d=_，AC=V^，所以B.AEF=VA.BEF~=JLx&x&=2,

33

即當(dāng)E,尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐5-4M體積不變，即。正確;

故選：c.

9.（2023?新羅區(qū)校級(jí)三模）已知正六棱錐尸-NBCCEF的各頂點(diǎn)都在球。的球面上，球心。在該正六棱

錐的內(nèi)部，若球。的體積為36m則該正六棱錐體積的最大值為（）

A.2773B.1673c.loV3D.973

【解答】解：如圖，過(guò)P作尸M_L平面/I8C￡>EF,則球心。在尸河上，

設(shè)N8=a,PM=h,外接球的半徑為火，

因?yàn)榍颉５捏w積為36TT,所以■兀R3=36兀解得R=3,

在RtZvlOA/中，(〃-3)2+。2=9,所以"=6〃-42,

正六棱錐的體積為V《Sh-|x6X與a?h當(dāng)(6h-h?)h哼(一1?+6112)，

f(x)(-X3+6X2)>f'(x)=3,(-x2+4x),

令/（x）>0解得0<x<4,

令/（x）<0解得x<0或x>4,

所以/（x）在（-8,0）單調(diào)遞減，（0,4）單調(diào)遞增，（4,+8）單調(diào)遞減,

因?yàn)榍蛐?。在該正六棱錐的內(nèi)部，所以力>3,

所以V考~（_h3+6h2）在（3,4）單調(diào)遞增，（4,+8）單調(diào)遞減，

所以Vjriax（-64+96）=16V3，

10.（2023?吉安一模）已知正三棱柱81cl的底面邊長(zhǎng)AB=2料，其外接球的表面積為20n,。是

SiCi的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段小。上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)8c且與/P垂直的截面a與NP交于點(diǎn)E,則三棱錐Z-BCE

的體積的最大值為（）

A.3B.近c(diǎn).V3D.旦

222

【解答】解：外接球的表面積為20n,可得外接球半徑為遙.

因?yàn)檎庵鵄BC-A\B\Ci的底面邊長(zhǎng)AB=2

所以A1D率A31有加=3，

所以△小為。的外接圓半徑為r=3A1D=2,

設(shè)三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為力，則有由）2+=2=5,解得人=2,即側(cè)棱/4=4=2,

設(shè)8c的中點(diǎn)為F,作出截面如圖所示，

因?yàn)镹PJ_a,EFua,所以4ELEF,所以點(diǎn)E在以NF為直徑的圓匕

當(dāng)點(diǎn)E在弧/E的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E到底面/BC距離的最大，且最大值為/研卷又喙X2V^

因?yàn)榉菜源藭r(shí)點(diǎn)P在線段/Q上，符合條件，

所以三棱錐力-8CE的體積的最大值為上又上研義、△妞。烏義得X今X（落戶罵^

323242

故選：A.

11.（2023?雅安三模）已知圓錐的高為3,底面半徑為盜，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面

上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為（）

A.—B.—C.—D.—

3939

【解答】解：設(shè)球的半徑為七

??,圓錐的高〃=3,底面圓的半徑廠=通，

2

：.R=（R-〃）2+3，即尺2=（R-3）2+3,

解得：R=2,

故該球的體積V=—7TX..

33

圓錐體積為：V=—X7Tx（V3）2x3=3K1

3

32兀

.??這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為：，一=」―=旦2.

V’3兀9

故選：B.

12.（多選）（2023?臨泉縣校級(jí)三模）在正三棱臺(tái)N8CF陽(yáng)C1中，小81=1,AA\=2,AB=3,而=2瓦,

CN=2NA，過(guò)腦V與4小平行的平面記為a,則下列命題正確的是（）

A.四面體的體積為叵

2

B.四面體N881C1外接球的表面積為12n

C.a截棱臺(tái)所得截面面積為2

D.a將棱臺(tái)分成兩部分的體積比為&

13

【解答】解：如圖，。，。1分別是正三棱臺(tái)的底面中心，OOi_L平面/8C,

由題意，可得0C=炳，0jCj=~過(guò)點(diǎn)。作。4，。。于點(diǎn)兒

由44i=CG=2,CH=0C-0H=2^,可得棱臺(tái)的高h(yuǎn)=00]=JcC；-CH2d2?-（當(dāng)3”上醇，

連結(jié)MMNCi,由BH=2MA，CN=2NA，得出M，N分別為/C的三等分點(diǎn)，

所以MV〃BC,又BC"B\C\,所以MV〃8Ci，也歸4，=1，/向=田。=1,

3

所以MV=8iCl，所以四邊形仞VC/i為平行四邊形，A\B\=AM=\,A\B\//AM,

所以四邊形4MBi4為平行四邊形，

所以//i〃A/8i，又3A/|U平面施VC181，441C平面何\?81,

所以441〃平面MVC1B1，則a為平面腦VC181，

對(duì)于/,由GN〃加81，同理可證GN〃平面/M581，

三角形/5N的面積為金普，當(dāng)?shù)狡矫鍹C的距離為00］居￡

則四面體的體積%BB,「VC「叫=》鈾.=9乎*乎=喙,故/正確:

設(shè)外接球半徑為"，由00］罵0［C廣參，ocS，"產(chǎn)JooJ+oc2=y=oc，可知

球心即為。，

故r=0C=炳，所以外接球表面積S=4n2=i2n,故8正確；

對(duì)于C,如圖，。0/平面/8C,8Cu平面/8C,所以O(shè)Oi_L8C,

5LAOLBC,AOC\O\O=O,所以8c_L平面40014,又/4u平面4。。①,

所以/H48C,所以8iM_LMV,

a截棱臺(tái)所得截面為長(zhǎng)方形MNCiBi,故其面積為2,故C正確;

對(duì)于。，棱臺(tái)體積/=」■（返■+*/§+9后）叵=型巨，

344436

y=^^,乂2A=V^_,y：（K-y）=2^2_：色旦=_^-,故。

vV

AMN-A1B1c1432AMN-A,B1C1WA,B^,2310

錯(cuò).

故選：ABC.

13.（多選）（2023?遼寧模擬）如圖，正方體/8C￡i-/i8iCbE>i的棱長(zhǎng)為1,線段站。1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F,

B.EF〃平面月BCD

C.三棱錐/-BEF的體積為定值

D.的面積與△8EF的面積相等