1-4 平面匯交力系的合成和平衡講解

第4節(jié)平面匯交力系的合成各力的作用線都處在同一個平面內(nèi)的力系稱為平面力系。

在平面力系中，如果各力的作用線全都匯交于一點，稱為平面匯交力系。一、平面匯交力系的合成1.三角形法則

作用在物體上同一點上的兩個力，根據(jù)平行四邊形法則，可以合成為作用在同一點上的一個力，其產(chǎn)生的效果不變。點A的兩個力F1、F2，以它的方向和大小為兩個鄰邊作平行四邊形，所得到的對角線即是合力F，如圖1-15a所示。其矢量表達式為F=F

1+F2

為了簡便，作圖時直接將F1平移連到F2的末端，通過三角形ACD即可求得合力F，如圖1-15b所示。這種方法稱為三角形法則，適用于求解二力匯交的合力。2.多邊形法則當多個力匯交于一點求其合力時，運用三角形法則更為方便快速。如圖1-16所示，剛體上點O匯交了力系F1

、F2

、F3、F4，連續(xù)使用三角形法則來求合力F。先求F1與F2的合力FR1，再將FR1與F3合成為FR2，最后求出FR2與F4的合力F。用矢量表達式為F

=

F1+F2+F3+F4

從圖1-16中可見，求解合力F時，只需將各力F1

、F2

、F

3、F

4的首尾相接，形成一條折線，最后連接其封閉邊，從共同的始點O指向F

4的終端所形成的矢量即為合力F

。這種方法稱為力的多邊形法則。

力的多邊形封閉邊即為力系的合力，且合力的大小和方向與各力相加的次序無關。

推論：平面匯交力系的合力等于力系中各力的矢量和，合力的作用線通過力系的匯交點。用F代表合力，

F1

、F2

、F

3、…、Fn

代表分力，其矢量表達式為3.力在坐標軸上的投影

對于平面匯交力系的力的合成，應用力在坐標軸上投影的方法，更為準確簡便，是用解析法求解力系平衡的基礎。F為作用于物體上點A的力，取直角坐標Oxy，如圖1-17所示。從力F的兩端A和B分別向x軸和y軸作垂足，得到線段ab和線段a1b1，稱為力F在x軸和y軸的投影，分別用Fx

、Fy表示。

投影的正負號規(guī)定：投影的起點到終點的方向與坐標軸的方向一致為正，相反為負。

如果力F的大小和它與x軸的夾角已知，力在軸上的投影Fx

和Fy可以按下式計算：Fx=Fcosα

Fy=Fsinα

力在坐標軸上的投影是代數(shù)值，而分力是矢量，具有確定的大小、方向和作用點。4.合力投影定理假定物體上受到平面匯交力系F1

、F2

、F3

的作用，如圖1-18所示，應用平行四邊形法則求出F1

、F2

的合力F；F、F3

的合力FR。

FR為F1

、F2

、F3的合力。將合力FR與各力F1

、F2

、F3向x軸投影得FRx=adF1x=abF2x=bcF3x=－cd由圖得出

ad=ab+bc－cd所以

FRx=F1x

+F2x

+F3x

同理可得

FRy=F1y

+F2y

+F3y

因此，可推廣到n個力組成的平面匯交力系的計算通式：FRx=F1x+F2x+F3x+…+Fnx=∑Fx

FRy

=F1y+F2y+F3y+…+Fny=∑Fy

合力投影定理：合力在任意一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。合力的大小為FR=

合力的方向為

α是合力FR與x軸的夾角，合力的方向要根據(jù)FRy與FRx的正負值來判斷。二、平面匯交力系的平衡

當匯交力系的合力等于零時，即FR=0只有當

與

都等于零，合力FR才能等于零。

平面匯交力系平衡的解析條件：力系中所有各力在兩個坐標軸上的投影的代數(shù)和都分別等于零。

平面匯交力系的平衡方程為

=0

=0

例1-3簡易起重機如圖1-19所示，繩索繞過滑輪吊起重物，重物G為10kN，不計各桿件和滑輪的重量，用平面匯交力系平衡方法求桿AB和BC所受力的大小。

解：（1）取支承點B為研究對象，畫出如圖1-19b所示的受力圖。圖中桿件AB和BC僅在兩端受力，都是二力桿，對點B的約束反力分別為F1與F2；滑輪兩邊繩索拉力相等，即F=G。

（2）選取坐標系Bxy，列出平衡方程式：=0F2cos30°－F1

－

Fsin30°=0=0F2sin30°－

Fcos30°－G=0求得

F2=37.3kNF1

=27.3kN

F1

和F2的值都是正值，說明圖