北京市大興區(qū)2024屆高三年級上冊期末數學試題（含答案解析）

北京市大興區(qū)2024屆高三上學期期末數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集。=何》>1},集合/={x|xN2},則為/=（）

A.{x|1<x<2}B.{x|x<2}

C.{x|1<x<2}D.{x|x<l|

2.若復數Z滿足i-（2+i）=l,則復數Z的虛部是（）

A.-2B.2C.-1D.0

3.二項式的展開式中的常數項是（）

A.-15B.15C.20D.-20

4.設向量￡,不，若忖=1萬=（-3,4）,坂=2。（；1>0）,貝！]￡=（）

5.已知函數/3=2-1,則不等式/'⑺4x的解集為（）

A.（-℃,2]B.[0,1]C.[1,+℃）D.[U]

TT

6.在“8C中，箋=彳”是二出2/+5出"=1''的（）

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知定點M（L3）和拋物線C：/=8%/是拋物線。的焦點，N是拋物線C上的點,

則|2VF|+pW|的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

8.已知a>b>0且必=10,則下列結論中不正確的是（）

A.Iga+lg&>0B.lg?-lg&>0

C.Iga-1g/?<YD.曾>1

4Igb

9.木楔在傳統(tǒng)木工中運用廣泛.如圖，某木楔可視為一個五面體，其中四邊形N8CD是

邊長為2的正方形，且A/DEQBCF均為等邊三角形，EFHCD,￡尸=4,則該木楔的

體積為（）

試卷第1頁，共4頁

''.D

2V2

A.41B.2V2

10.設無窮等差數列｛%｝的公差為d,集合r=｛d/=sitt7",〃eN*｝wj()

A.7不可能有無數個元素

B.當且僅當d=0時，7只有1個元素

C.當7只有2個元素時，這2個元素的乘積有可能為g

2兀

D.當〃=丁，左221eN*時，T最多有上個元素，且這上個元素的和為0

二、填空題

11.設｛。“｝是等比數列，％=1,%，。4=16,則。5=.

2

12.若雙曲線Y一方=電>0)的一條浙近線方程為2x-y=0,貝!]6=.

13.能夠說明“設。也c是任意實數.若a>6>c,則—>/”是假命題的一組整數。也c的

值依次為.

14.如圖是六角螺母的橫截面，其內圈是半徑為1的圓O,外框是以為O中心，邊長為

2的正六邊形/8CDEF,則O到線段/C的距離為；若尸是圓。上的動點，

則就?后的取值范圍是.

15.設函數/(x)的定義域為R,且/(x)滿足如下性質：(i)若將/(x)的圖象向左平移

2個單位，則所得的圖象關于y軸對稱，(五)若將/(x)圖象上的所有點的縱坐標不變,

橫坐標縮短為原來的十,再向左平移g個單位，則所得的圖象關于原點對稱.給出下列

四個結論：

①/⑴=〃3)；

試卷第2頁，共4頁

②〃0)=0;

③〃2)+/(4)=0；

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題

16.如圖.在三棱柱/3C-44G中，Bq_L平面NBC,CA=CB=M,AA{=AB=2,

D、E分別為48、的中點.

(1)求證：平面CDE_L平面ABB4；

(2)求直線CE與平面8CG4,所成角的正弦值.

17.在AABC中a=1,b=2.

(1)若°=2也，求”8C的面積：

⑵在下列三個條件中選擇一個作為已知，使“3C存在，求NZ.

TT

條件①：NB=2N4；條件②：ZB=-+ZA；條件③：Z.C=2AA.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分：如果選擇多個符合要求的條件分

別解答，按第一個解答計分.

18.為了解客戶對A,B兩家快遞公司的配送時效和服務滿意度情況，現(xiàn)隨機獲得了某

地區(qū)客戶對這兩家快遞公司評價的調查問卷，已知A,B兩家公司的調查問卷分別有120

份和80份，全部數據統(tǒng)計如下：

快遞公司/快遞公司2快遞公司

項目

份數配送時效服務滿意度配送時效服務滿意度

評價分數

試卷第3頁，共4頁

85<x<9529241612

75<x<8547564048

65<x<7544402420

假設客戶對A,B兩家快遞公司的評價相互獨立，用頻率估計概率.

(1)從該地區(qū)選擇A快遞公司的客戶中隨機抽取1人，估計該客戶對A快遞公可配送時

效的評價不低于75分的概率：

(2)分別從該地區(qū)A和B快遞公司的樣本調查問卷中，各隨機抽取1份，記X為這2份

問卷中的服務滿意度評價不低于75分的份數，求X的分布列和數學期望：

(3)記評價分數x285為“優(yōu)秀”等級，75Wx<85為“良好”等級，654x<75為“一般”等級

、已知小王比較看重配送時效的等級，根據該地區(qū)A,B兩家快遞公司配送時效的樣本

評價分數的等級情況，你認為小王選擇A,B哪家快遞公司合適？說明理由，

19.已知橢圓。的兩個頂點分別為/(-2,0),8(2,0),焦點在x軸上，離心率為弓.

⑴求橢圓C的方程；

⑵設。為原點，過點7(4,0)的直線/交橢圓C于點M,N,直線如與直線x=l相交于

點?，直線/N與V軸相交于點。.求證：A。/。與AOb的面積之比為定值.

1—y

20.已知函數f(x)=ax+ln^—.

⑴若曲線v=/(x)在點(0J(0))處的切線斜率為0,求a的值;

(2)當。=4時，求/(X)的零點個數；

(3)證明：04a42是/(x)為單調函數的充分而不必要條件.

21.若各項為正的無窮數列｛4｝滿足：對于V〃eN*,a-a：=d,其中d為非零常數,

則稱數列｛%｝為。數列.記b“=a?+l-a?.

⑴判斷無窮數列。,=6和q,=2”是否是。數列，并說明理由；

(2)若｛%｝是。數列，證明：數列｛〃｝中存在小于1的項；

⑶若｛%｝是。數列，證明：存在正整數"，使得f>2024.

z=i

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】由補集的定義運算即可得.

【詳解】由。="門>1},A={x\x>2},貝I］務N={x［l<x<2}.

故選：C.

2.A

【分析】根據復數的除法運算及減法運算得z=-2i,再根據復數的概念即可得到答案.

【詳解】由i-(z+i)=l,貝IJz=：-i=-i-i=-2i,

所以復數z的虛部是-2.

故選：A.

3.B

【分析】根據二項展開通項公式求解.

26-12

【詳解】展開式通項為：7；+1=C：(x)^-1^=(-iyC*x^,

令12-3后=0n無=4,常數項為(-1>C：=15.

故選：B

4.D

【分析】根據向量的數乘公式和模的公式代入即可求解.

【詳解】因為3=然=(-3,4)(/>0),所以a=(丁,：］,

—34

1(^>0),所以2=5,所以@=

因為同=TT95

故選：D

5.B

【分析】將不等式/(尤)Vx轉化為兩個函數必，%,在同一坐標系下作出兩個函數的圖象,

由圖像可得結果.

【詳解】因為/卜)=2:1,所以即2&+1,

令必=2，,%=尤+1,且均為增函數，則不等式為％4外,

在同一坐標系下作出兩個函數的圖象，如圖所示，

答案第1頁，共15頁

又當x=0時必=2°=1,%=0+1=1,

1

當x=1時，=2=2,_y2=1+1=2,

所以由圖像可知：必〈%的解集為：［0』,

故選：B.

6.A

【分析】根據充分條件與必要條件的定義，根據三角形內角的性質以及三角函數的誘導公式,

可得答案.

【詳解】在“中，A+B+C=it,貝?。?=兀一C-/,

充分性：當C=］時，B=^-A,sinS=sincos/,

■JT

sin?/+sin25=sin?4+cos2A=1,所以“。=5"是"sin?/+sin25=1”的充分條件；

必要性：當sin2/+sin23=l時，取/=占，8=占+￡=/+1,

121222

此時滿足sidZ+sidB=sin2M+cos2烏=1,但C=

121232

IT

所以“C=7?是“sil?/+sin25=1"的不必要條件.

2

rr

綜上所述，66C=-"是“sin2/+sin25=1”的充分不必要條件.

2

故選：A.

7.C

【分析】根據拋物線定義，數形結合即可求出|N刊+|M圖的最小值.

答案第2頁，共15頁

由題拋物線C：X?=8%尸是拋物線C的焦點，

則尸（0,2）,準線方程為y=-2,

N是拋物線C上的點，過N作垂直準線于“，

過W作叫垂直準線于乜交拋物線于M,

則由拋物線定義知|N川=|八不|,

由圖像可知|而|+=|加|+|7W以孫|+國司=,

即|?VF|+pW|的最小值的最小值為|阿|,

由M（l,3）,準線方程為尸-2,

所以|7VHj=5.

故選：C

8.D

【分析】對A：由對數性質運算即可得；對B：由對數性質運算即可得；對C：借助基本不

等式運算即可得；對D：找出反例即可得.

【詳解】對A：lg“+lg6=lgab=l>0,故A正確；

對B：由a>6>0,貝!!lga>lg6,故lga-lgb>0,故B正確；

對C：由lg°+lgb=lga6=l,故IgaJgb=；,

當且僅當a==時等號成立，由a>6>0,故等號不成立，

即lga-lgb<!，故C正確；

對D：當。=100、6=0.1時，符合題意，

答案第3頁，共15頁

但此時粵=三=-2<1,故D錯誤.

1g6-1

故選：D.

9.D

【分析】如圖，分別過點43作E尸的垂線，垂足分別為G,H,連接DG,CH,取/。的

中點。，連接G。，求出結合三棱錐和三棱柱的體積公式計算即可.

【詳解】如圖，分別過點/,3作E了的垂線，垂足分別為G,H,連接。G,C〃，

則由題意等腰梯形43EF全等于等腰梯形CDE尸,

則EG=HF=士2=1,4G=GD=BH=HCS.

2

取4。的中點。，連接G。，因為4G=GQ,所以GOL4),

則GO=J(百『一］2=0，

?,S2DG=SABCH=］又6X2=41.

因為4B//EF,AGLEF,所以48_L/G,因為四邊形/BCD為正方形，

所以AB_LAD,又因為4C>n/G=/,4D,/Gu平面4DG,所以481平面4DG,

所以EF工平面/GD,同理可證斯人平面BS,

...多面體的體積%=嚏棱錐E-4DG+嚏棱錐尸—BCK+嚏棱柱/GD—BHC=2嚏棱錐與一/。6+嚏棱柱BHC

=-x5/2xlx2+>/2x2=§也,

33

故選：D.

10.D

【分析】對于A,B選項，可取特殊數列驗證即可；對于C可假設成立，結合圖象推出與

已知矛盾；對于D,結合正弦函數的周期，即可判斷.

【詳解】選項A,取%=〃，則1=1,由ysin%,因為｛4｝是無窮等差數列，正弦函數是

周期為2兀的函數，所以：=sin%在每個周期上的值不相同，故A錯誤；

答案第4頁，共15頁

選項B,取%=必，即4=兀，則，=sina,=sin"7i=0,只有一個元素，故B錯誤;

選項C,假設T只有2個元素4,%,這2個元素的乘積為如圖可知當f等于4或芍時,

顯然｛%｝不是等差數列，與已知矛盾，故C錯誤；

選項D,當"二丁時，

tx=sin41,

.（271

/2=sin4+彳

t3=sin[q+2x2兀）

L,

“二sina+（k-,

xyK_

tM=sin[ax+k-=sinflj,L,所以T最多有左個元素，

又因為正弦函數的周期為2兀，數列｛。,｝的公差為"=%,

所以為.化±2,左eN*）把周期2兀平均分成左份，所以左個元素的和為0,故D正確.

故選:D.

【點睛】方法點睛：本題考查等差數列與正弦函數性質相結合，采用特例法，數形結合的方

法判斷.

11.16

【分析】結合等比數列通項公式計算即可得.

【詳解】設。“,則a2a4=/=16,故。5=%/=16.

故答案為：16.

12.2

【分析】根據雙曲線漸近線方程即可求解.

2

【詳解】雙曲線一一方=1初＞0）的漸近線方程為戶土笈，所以6=2

答案第5頁，共15頁

故答案為：2

13.2,-1,-2(答案不唯一)

【分析】利用列舉法，寫出滿足題意的結果即可.

【詳解】當a=2,6=-l,c=-2時，滿足a>6>c,但是=-2,c?=4,ab<c2.

故答案為：2,-1,-2(答案不唯一)

【分析】根據正六邊形的性質即可求解空1,利用向量的坐標運算即可由三角函數的性質求

解.

【詳解】取/C中點為

由于正六邊形4BCD斯的邊長為2,所以乙4OC=120°,CM=OC=2,

因此O到線段/C的距離為=

建立如圖所示的直角坐標系，則/(-2,0),C(l,-6),P(cosasin8)8eR,

就=(3,-9,萬=(cos6+2,sin8),

就/=3cos6?+6-Gsin6?=2石+6,

由于6￡R,cosW，

71

^AC-AP=2y[3cos0八+—+66-2/3,6+2/3],

I6

15.①③④

【分析】利用函數的對稱性、奇偶性與周期性即可判斷各結論是否正確.

【詳解】由⑴可得/(x+2)=/(r+2),即有/(x)關于x=2對稱;

答案第6頁，共15頁

由(ii)可得/卜卜+^=-f21丫+口，即/'(2x+l)=-一2x+l),

用楙代替x,有/(x+l)=-/(-x+l),即/(無)關于(1,0)對稱；

由/(X)關于*=2對稱，故/■⑴=/(3),即①正確；

由x=2關于(1,0)對稱的直線為x=0,

故/'(x)關于x=0對稱，則/10)不一定等于0,故②不正確；

對/(x+2)=/(-x+2),令x=2,則有〃4)=/(0),

對/(x+l)f(-X+1),令x=l,則有〃2)=-/(0),

故/⑵+/(4)=/(0)-/(0)=0,故③正確;

對/(尤+2)=/(-x+2),即有/(x)=/(-x+4),

對/(x+l)=-〃r+1),即有/(x)=-/(-x+2),

即/(x)=/(-x+4)=-/(-x+2),即/(x+4)=-/(x+2),

則/(x+2)=-/(x),即有〃x+4)=/(x),

故/(x)周期為4,貝

對/(X+1)=-〃T+1),令》=-|，則"一］=一/1(■)，

i——12

即'(―-0,故④正確.

故答案為：①③④.

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是由題意去得到函數的對稱性，并根據對稱性去推導函數的

奇偶性與周期性，遇到此類問題一般采用賦值法對等式左右進行變形，從而得到函數的其它

性質.

16.(1)證明見解析

,八2同

~二—

【分析】(1)由題意先由線面垂直的性質得到線線垂直，再借助線線垂直得到線面垂直，即

答案第7頁，共15頁

可得到面面垂直；

（2）建立空間直角坐標系后借助空間向量計算即可得.

【詳解】（1）；Bq_1_平面48C,CDu平面48C,，84_LCD,

又,：CA=CB,且。為中點，CDLAB,

又；BB1、平面48814，且BBq4B=B,

\CD"平面ABB{AX,又-.-CDu平面CDE,

平面CDEJ_平面ABBXAX?

（2）取中點E,以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標系,

則有。(0,0,0),由CD_L/8,CA=CB=45,AAX=AB=2,

則/。=為8=1,CD=^(V5)2-I2=2,

即C(0,2,0)、￡(1,0,1),5(-1,0,0),耳(一1,0,2),

則而=(1,-2,1)、而=(1,2,0)、函=(0,0,2),

令平面BCC/i的法向量為〃=(x,%z),

fx+2y-0-.、

則有，=0，可取>2,貝1J"=(2,-l,0),

則cos(CE,n)=,2+2_^^2回

'/Vl+4+lx>M+l15

故直線CE與平面BCC/i，所成角的正弦值名畫.

15

答案第8頁，共15頁

17.⑴小

嗚

【分析】（1）由余弦定理可得cosC=-1,進而可得sinC=立，再由打灰=!。尺出。求解

442

即可；

（2）若選①，結合正弦定理可得cos/=1,不滿足題意，故舍去；

若選②，結合正弦定理及三角恒等變換可得百sin（/-$=0,求解即可;

6

若選③，由正弦定理可得c=2cos/,再由余弦定理求解即可.

【詳解】（1）解：由題意可知。=1,6=2,0=2也，

匕匚1、1人2+。2―。23

所以cosC=--------------=-----<0，

2ab4

又因為。￡（0,兀），

JT

所以?！?萬,兀),

立

所以sinC=Jl-cos2c=4

且

所以以的=

j^sinC=4

(2)角軍：若選①，則有N5=2N4且。=1,6=2,

,ab.乙日121

由----=----，可得—---=-----=---------

sin4sin5sin4sin274sinAcosA

所以即cosZ=l,不滿足題意；

cosA

TT

若選②，則有且。=1,6=2,

%1=2

由號=三，可得而7一?,無上八，

sinAsinBsin(j+A)

所以2sin/=sin(]+4)=乎cos/+/in/,

即asin/-cosZ=0,V3sin(A-y)=0,

226

rr

又因為/e(0,兀)，解得/=自；

o

若選③，則有/C=244且。=1,6=2,

答案第9頁，共15頁

由‘^=」,可得——，

sin/sinCsin/sin2/2sin4cosZ

所以c=2cos/,

r-r-HI+02—。23+4cos2A.

所以cosZ=----------------=-----------------，

2bc8cos4

所以cos24=-,

4

因為。＜b,所以A不可能為鈍角或直角，只能為銳角,

所以cos4=^~，

2

所以/=￡TT.

6

7T

綜上，選②或選③，A=y.

6

19

18.(1)—

'’30

17

⑵分布列見解析，E(X)=￡

（3）我認為小王應該選擇B快遞公司，因為B快遞公司中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比比A公司

大.（言之有理即可）

【分析】（1）從表中讀取數據后計算即可得;

（2）先得出兩個公司分別不低于75分的概率，再由離散型隨機變量性質計算即可得;

（3）得出各個公司等級情況后，言之有理即可.

【詳解】（1）調查問卷中共有120份，其中不低于75分的份數為29+47=76,則P=上=癡,

19

故可估計該客戶對A快遞公可配送時效的評價不低于75分的概率為二；

（2）A快遞公司的樣本調查問卷中抽取的1份服務滿意度評價不低于75分的概率為:

24+562

P1~120-3,

B快遞公司的樣本調查問卷中抽取的1份服務滿意度評價不低于75分的概率為：

12+483

=--------二一.

X的可能取值為0,1,2,

2

p(X=0)=|1Irlr1

n,

2'325

p(X=l)=1x--1——x

4312

答案第10頁，共15頁

故其分布列為:

（3）A快遞公司的樣本調查問卷中“優(yōu)秀”等級占比為云，

4744

“良好”等級占比為二，“一般”等級占比為二;

120120

B快遞公司的樣本調查問卷中“優(yōu)秀”等級占比為黑=j，

805

“良好”等級占比為4券0=：1,“一般”等級占比為2二4=32；

8028010

其中A快遞公司的樣本調查問卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比為奇=■,

B快遞公司的樣本調查問卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比為",

我認為小王應該選擇B快遞公司，因為B快遞公司中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比比A公司大.

2

19.（1）1-+/=1

（2）證明見解析

【分析】（1）根據頂點得到“，根據離心率得到。，則得到橢圓方程；

（2）設直線/的方程為》-4=磔，聯(lián)立橢圓方程得到韋達定理式，求出兩直線方程，得到

面積表達式，化積為和，代入化簡即可.

【詳解】（1）由題意得。=2,9=弓，則c=6,則八,一⑸=1,

則橢圓C的方程為土+「=1.

4

（2）顯然當直線/的斜率為0和不存在時，不合題意，

則可設直線/的方程為x-4=gv,/（國,乂），N（x2,y2）,

2x-4=my

則聯(lián)立橢圓方程工+/=1有/，化簡得（川+4”2+8〃沙+12=0,

4——+/=1、7

[4/

答案第11頁，共15頁

2

貝ijA=64m一48（冽2+4）>o,解得m>2或加v—2^3，

則%+%=——2~~7，y^2=――7，玉二町1+4,x=my+4必％=一?。ū?%）,

m+4m+4222mf

則心則直線AMr的方程為y=上^（x-2）,令x=l,貝ij%,

x1-2xx-22-x1

kAN=-^>則直線NN的方程為y=*7（x+2）,令x=0,貝1］坨=&\,

%+2x2+2x2+2

1II2|y|11121yli12

則%皿=尸2%=?7,S皿.=x4譚=#，因為乂%==^>0,則必%同號,

11

2x2+222-x1m+4

貝1邑°蟲_2|%|2-占_2_再_一加乂_2=％叼］+2

'S.OTPX2+22聞必|X2+2Rmy2+6必my2+6

33+1

町為+2為：f?百8+乃）+2為=-2^2^=J

陽而+6%一“：（％+為）+6%%,-\23

2m22

20.（l）a=2

⑵3個

（3）證明見解析

【分析】（1）結合導數的幾何意義計算即可得；

（2）結合函數的單調性與零點的存在性定理去研究函數零點個數問題即可得；

（3）當0VaV2時去推導/（x）為單調函數可證明充分性，找出不在該范圍內的。亦能使

/（X）為單調函數即可證明不必要條件.

X1+X-（1+X）-（1-2

【詳解】⑴八…+―=“+

x2-l

2

則/'（0）=4H----=0,即a=2；

答案第12頁，共15頁

1—y1—丫

(2)當°=4時，/(x)=4x+ln-則——>0,即

1+x\+x

又/(-x)=-4x+ln^|=一卜+ln^^[=_/g),

故/'(x)為奇函數，

2

（X）=4H—---,—1<X<1,

令廣（力>0,即《十一^〉。，m1--<x<—，

x-l22

令/（x）<0,即變或也<工<1,

22

故/⑴在上單調遞減,在-m上單調遞增,

\7\7

在巧,11上單調遞減,

由/（0）=0+lnl=0,則/—>0,X/（0.99）=3.96-lnl99<0,

I2J

故/⑴在（』上必有一零點，

由/（X）為奇函數，則/（X）在T-1上亦有一零點，

V7

故當。=4時，/⑺的零點個數為3個；

（3）f'（x}=a+^—=a^~a+2,-1<X<1,

、）x2-lx2-l

由故一一l<0，

ax?-a+2=a（x?-1）+2,即-a+2<a（x~-l