第六章計(jì)數(shù)原理檢測(cè)試題解析

第六章檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(xy)n的二項(xiàng)展開式中,第m項(xiàng)的系數(shù)是(D)A.Cnm C.Cnm-1 D.(解析:(xy)n的二項(xiàng)展開式中第m項(xiàng)為Tm=Cnm-1(y)m1所以系數(shù)為Cnm-1(2.已知Cn+16Cn6A.14 B.15 C.13 D.12解析:由組合數(shù)性質(zhì)知,Cn6+Cn7=Cn3.高二年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí),去哪個(gè)工廠可以自由選擇,甲工廠必須有班級(jí)要去,則不同的參觀方案有(C)A.16種 B.18種 C.37種 D.48種解析:根據(jù)題意,若不考慮限制條件,每個(gè)班級(jí)都有4種選擇,共有4×4×4=64(種)方案,其中工廠甲沒有班級(jí)去,即每個(gè)班都選擇了其他三個(gè)工廠,此時(shí)每個(gè)班級(jí)都有3種選擇,共有3×3×3=27(種)方案,則符合條件的方案有6427=37(種).4.有7名學(xué)生參加“學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽”,咨詢比賽成績(jī),老師說:“甲的成績(jī)是最中間一名,乙不是7人中成績(jī)最好的,丙不是7人中成績(jī)最差的,而且7人的成績(jī)各不相同.”那么他們7人不同的可能位次共有(D)A.120種 B.216種C.384種 D.504種解析:因?yàn)榧椎某煽?jī)是中間一名,所以只需安排其余6人位次,因?yàn)橐也慌诺谝幻?丙不排最后一名,所以由間接法可得A662A55+A5.將5名志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有(C)A.60種 B.120種 C.240種 D.480種解析:根據(jù)題意,有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者,其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者,可以先從5名志愿者中任選2人,組成一個(gè)小組,有C52種選法;然后連同其余三人,看成四個(gè)元素,四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置,四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)為4!,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,完成這件事,共有C6.已知多項(xiàng)式(x2)5+(x1)6=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,則a1等于(B)A.11 B.74 C.86 D.1解析:對(duì)于(x2)5,其展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5rx5r(2)令5r=1,得r=4,故T5=C54x(2)對(duì)于(x1)6,其展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6kx6k(1)令6k=1,得k=5,故T6=C65x(1)5所以a1=806=74.7.某公司安排五名大學(xué)生從事A,B,C,D四項(xiàng)工作,每項(xiàng)工作至少安排一人且每人只能安排一項(xiàng)工作,A項(xiàng)工作僅安排一人,甲不能從事B項(xiàng)工作,則不同的分配方案的種數(shù)為(C)A.96 B.120 C.132 D.240解析:若甲從事A項(xiàng)工作,則剩余4人安排在B,C,D三項(xiàng)工作中,共有C3若甲不從事A項(xiàng)工作,則從事C或D項(xiàng)工作,共有C41C21所以共有36+96=132(種)方案.8.(1+1x+1x2)(1+x)6A.15 B.20 C.30 D.50解析:因?yàn)?1+1x+1x2)(1+x)6=(1+x)6+1x(1+x)6+所以(1+1x+1x2)(1+x)6展開式中含x2的項(xiàng)為C62x2+1x·(C63x3)+1所以(1+1x+1x2)(1+x)6二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.若(x21x)nA.n=8B.n=7C.展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為35D.展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為27解析:由已知Cn3=展開式中含x2項(xiàng)為C74(x2)3(1x)4令x=1,得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為0,而展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為27,故D錯(cuò)誤.10.某城市街道如圖,某人要走最短路程從A地前往B地,則不同走法有(AB)A.C52種 B.C53種解析:因?yàn)閺腁地到B地路程最短:①要走的路程最短必須走5步(向右走3步,向下走2步),且不能重復(fù);②向右的走法定出后,向下的走法隨之確定,所以我們只要確定出向右的三步或向下的兩步走法有多少種即可,故不同走法的種數(shù)有C53=11.若(3x2)2023=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2023x2023(x∈R),則下列選項(xiàng)正確的是(BD)A.a0=22023B.a0+a2+a4+…+a2022=1C.a1+a3+a5+…+a2023=-D.a13+a232+a解析:當(dāng)x=0時(shí),a0=(02)2023=22023,故A錯(cuò)誤;當(dāng)x=1時(shí),a0+a1+a2+…+a2023=(32)2023=1,當(dāng)x=1時(shí),a0a1+a2…+a2022a2023=(32)2023=52023,所以a0+a2+a4+…+a2022=1-a1+a3+a5+…+a2023=1+5令x=13,可得(3×132)2023=a0+a13+a2故a13+a232+a333+…+a12.將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)分別標(biāo)有1,2,3號(hào)的盒子中,不允許有空盒子的放法,關(guān)于放法的種數(shù),下列選項(xiàng)正確的是(BC)A.C31CC.C31解析:根據(jù)題意,4個(gè)不同的小球放入3個(gè)分別標(biāo)有1,2,3號(hào)的盒子中,且沒有空盒子,則3個(gè)盒子中有1個(gè)盒子中放2個(gè)球,剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè).法一分兩步進(jìn)行分析.①先將4個(gè)不同的小球分成3組,有C4②將分好的3組全排列,對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中,有A3則沒有空盒的放法有C4法二分兩步進(jìn)行分析.①在4個(gè)小球中任選2個(gè),在3個(gè)盒子中任選1個(gè),將選出的2個(gè)小球放入選出的小盒中,有C3②將剩下的2個(gè)小球全排列,放入剩下的2個(gè)小盒中,有A2則沒有空盒的放法有C3三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.2022年11月,第五屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉辦,組委員會(huì)準(zhǔn)備安排5名工作人員去A,B,C,D這4所場(chǎng)館,其中A場(chǎng)館安排2人,其余場(chǎng)館各1人,則不同的安排方法種數(shù)為.

解析:分為兩步,第一步:安排2人去A場(chǎng)館有C52種結(jié)果,第二步:安排其余3人到剩余3個(gè)場(chǎng)館,有A3答案:6014.(x2+1)(2x1x)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為解析:(2x1x)6展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k·(2x)6k(x1)k=(1)k·26kC6令62k=0,得k=3,令62k=2,得k=4,所以常數(shù)項(xiàng)為23C63+22C6答案:10015.某元宵燈謎競(jìng)猜節(jié)目,有6名守擂選手和6名復(fù)活選手,從復(fù)活選手中挑選1名選手為攻擂者,從守擂選手中挑選1名選手為守擂者,則攻擂者、守擂者的不同構(gòu)成方式共有種.

解析:由分步乘法計(jì)數(shù)原理,從復(fù)活選手中挑選1名選手為攻擂者,共C61=6種選法,從守擂選手中挑選1名選手為守擂者,共C6答案:3616.已知(x+2x)n(n∈N*,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.

解析:由題意得Cn0+Cn1+C因?yàn)閚∈N*,所以n=10(舍去),從而n=9.則二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C9r(x)9r·(2x設(shè)Tr+1為最大項(xiàng),則滿足C即9解得173≤r≤20因?yàn)閞∈N,所以r=6.所以系數(shù)最大項(xiàng)為T7=C96(x)3(2x)6答案:95376x四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)利用二項(xiàng)式定理證明:49n+16n1(n∈N*)能被16整除.證明:49n+16n1=(48+1)n+16n1=Cn0·48n+Cn1·48n1+…+Cn=16(Cn0·3×48n1+Cn1·3×48n2所以49n+16n1(n∈N*)能被16整除.18.(本小題滿分12分)把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子中,求下列方法的種數(shù).(1)每個(gè)盒子都不空;(2)恰有一個(gè)空盒子;(3)恰有兩個(gè)空盒子.解:(1)先把6個(gè)相同的小球排成一行,在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板,然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板,共有C510種方法.(2)恰有一個(gè)空盒子,插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板,并在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板,如|0|000|00|,有C52種插法,然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒,如|0|000||00|,有C41種插法,故共有(3)恰有兩個(gè)空盒子,插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板,并在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙插一塊隔板,如|00|0000|,有C5①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子,如||00||0000|,有C3②將兩塊板與前面三塊板之一并放,如|||00|0000|,有C3故共有C51·(C319.(本小題滿分12分)已知在(x+123x)n的展開式中,前3項(xiàng)的系數(shù)分別為a1,a2,a3,且滿足2a2=a1(1)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng);(3)展開式中所有有理項(xiàng).解:(1)因?yàn)?x+123x)n展開式的通項(xiàng)為Tk+1=Cnk(x)nk·(1所以a1=120Cn0=1,a2=121Cn依題意得2×12n=1+n即n(n1)=8(n1),由已知n≥2,所以n=8,所以(x+123x所以T5=124C(2)由(1)知,Tk+1=12設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第k+1項(xiàng),則1即8即9解得2≤k≤3,所以k=2或k=3,所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T3=122C82x24-10(3)由Tk+1=12kC所以展開式中所有有理項(xiàng)為T1=120C80x246=x20.(本小題滿分12分)用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).(1)在組成的三位數(shù)中,求所有偶數(shù)的個(gè)數(shù);(2)在組成的三位數(shù)中,若十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小,則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”,如301,423等都是“凹數(shù)”,試求“凹數(shù)”的個(gè)數(shù);(3)在組成的五位數(shù)中,求恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個(gè)數(shù).解:(1)將組成的三位數(shù)中所有偶數(shù)分為兩類:①若個(gè)位數(shù)為0,則共有A4②若個(gè)位數(shù)為2或4,則共有2×3×3=18(個(gè))符合題意的三位數(shù).故共有12+18=30(個(gè))符合題意的三位數(shù).(2)將這些“凹數(shù)”分為三類:①若十位上的數(shù)字為0,則共有A4②若十位上的數(shù)字為1,則共有A3③若十位上的數(shù)字為2,則共有A2故共有12+6+2=20(個(gè))符合題意的“凹數(shù)”.(3)將符合題意的五位數(shù)分為三類:①若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在萬位和百位上,則共有A2五位數(shù);②若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在千位和十位上,則共有A2③若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在百位和個(gè)位上,則共有A2故共有12+8+8=28(個(gè))符合題意的五位數(shù).21.(本小題滿分12分)在下面三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并對(duì)其求解.條件①:第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等;條件②:只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;條件③:所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256.問題:在(2x213x)n(n∈N(1)求n的值與展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和;(2)這個(gè)展開式中是否存在有理項(xiàng)?若存在,將其一一列出;若不存在,請(qǐng)說明理由.注:若選擇多個(gè)條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.解:(1)選①,第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則Cn2=所以n=2+6=8;令x=1,則(2×12131)8=1選②,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以n2令x=1,則(2×12131)8=1選③,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則2n=256,解得n=8;令x=1,則(2×12131)8=1(2)二項(xiàng)式(2x213x)Tr+1=C8r(2x2)8r(x-13)r=(1)r依題意可知,當(dāng)r=0,3,6時(shí),二項(xiàng)展開式中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)都是有理項(xiàng).所以當(dāng)r=0時(shí),T1=256x16;當(dāng)r=3時(shí),T4=1792x9;當(dāng)r=6時(shí),T7=112x2.所以展開式中有理項(xiàng)分別為T1=256x16,T4=1792x9,T7=112x2.22.(本小題滿分12分)如圖,在以AB為直徑的半圓周上,有異于A,B的六個(gè)點(diǎn)C1,C2,C3,C4,C5,C6,直徑AB上有異于A,B的四個(gè)點(diǎn)D1,D2,D3,D4.(1)以圖中的10個(gè)點(diǎn)(不含A,B)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形可作出多少個(gè)?其中含點(diǎn)C1的有多少個(gè)?(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A,B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),可作出多少個(gè)四邊形?解:(1)可分三種情況處理:①C1,C2,…,C6這六個(gè)點(diǎn)任取三點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形,有C6②C1,C2,…,C6中任取一點(diǎn),D1,D2,D3,D4中任取兩點(diǎn)可