（預(yù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義07 用空間向量研究直線 平面的位置關(guān)系（原卷版）

第第頁1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（1）1.能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.重點(diǎn)：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系難點(diǎn)：用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系

一、自主導(dǎo)學(xué)（一）空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.點(diǎn)的位置向量在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量OP來表示.我們把向量OP稱為點(diǎn)P的位置向量.如圖.2.空間直線的向量表示式如圖①，a是直線l的方向向量，在直線l上取AB=a，設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得AP=ta，即AP=tAB.如圖②，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使OP=OA+ta，或OP=OA+tAB①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.3.空間平面的向量表示式如圖，取定空間任意一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使OP=OA+xAB+yAC.我們把這個(gè)式子稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可知，4.平面的法向量如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·AP=0}.點(diǎn)睛：空間中，一個(gè)向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個(gè)條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.（二）、空間中直線、平面平行的向量表示位置關(guān)系向量表示線線平行設(shè)μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R，使得μ1=λμ2.線面平行設(shè)μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?μ⊥n?μ·n=0.面面平行設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1=λn2.點(diǎn)睛：1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行，根據(jù)共線向量定理，只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外，證明線面平行也可用共面向量定理，即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時(shí)，要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點(diǎn)，證明平面與平面平行時(shí)也要注意兩平面沒有公共點(diǎn).二、小試牛刀1.下列說法中正確的是()A.直線的方向向量是唯一的B.與一個(gè)平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個(gè)D.平面的法向量是唯一的2.若直線l過點(diǎn)A(﹣1，3，4)，B(1，2，1)，則直線l的一個(gè)方向向量可以是()A.-1,12,-33.若兩個(gè)向量AB=(1，2，3)，AC=(3，2，1)，則平面ABC的一個(gè)法向量為()A.(﹣1，2，﹣1) B.(1，2，1)C.(1，2，﹣1) D.(﹣1，2，1)4.若兩條直線的方向向量分別是a=(2，4，﹣5)，b=(﹣6，x，y)，且兩條直線平行，則x=，y=.

5.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(﹣1，2，﹣3)，平面β的法向量為n=(4，﹣1，﹣2)，則l與β的位置關(guān)系是.

一、情境導(dǎo)學(xué)牌樓與牌坊類似，是中國傳統(tǒng)建筑之一，最早見于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時(shí)牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種，多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物，一般較高大。如圖，牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直，我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?二、典例解析例1.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個(gè)法向量.延伸探究：本例條件不變，你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個(gè)法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x，y，z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1，b1，c1)，b=(a2，b2，c2).(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組n(4)解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量;(2)求平面SAB的一個(gè)法向量;(3)求平面SCD的一個(gè)法向量.例2.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，點(diǎn)P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點(diǎn).求證:PQ∥RS.歸納總結(jié)：利用空間向量證明線與線平行的方法證明兩直線平行，可先求出兩直線的方向向量，然后證明兩直線的方向向量共線，從而證明兩直線平行.跟蹤訓(xùn)練2.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段A1D上，點(diǎn)Q在線段AC上，線段PQ與直線A1D和AC都垂直，求證:PQ∥BD1.例3.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a，b是共面向量，即滿足p=xa+yb(x，y∈R)，則p，a，b共面，從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線，再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量，證明方向向量與法向量垂直，從而證明直線與平面平行.跟蹤訓(xùn)練3.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).求證:AM∥平面BDE.例4.如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問:當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO?利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行，然后借助向量共線進(jìn)行證明;(2)通過證明兩個(gè)平面的法向量平行證明.跟蹤訓(xùn)練4.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面EFBD.金題典例：如圖，在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，求證:平面AB'D'∥平面BDC'.1.若不重合的直線l1，l2的方向向量分別為a=(1，2，﹣2)，b=(﹣3，﹣6，6)，則()A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1，l2相交但不垂直 D.不能確定2.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9，﹣3，4)，B(9，2，1)，則直線AB()A.與坐標(biāo)平面xOy平行 B.與坐標(biāo)平面yOz平行C.與坐標(biāo)平面xOz平行 D.與坐標(biāo)平面yOz相交3.若平面α∥β，則下面可以是這兩個(gè)平面法向量的是()A.n1=(1，2，3)，n2=(﹣3，2，1)B.n1=(1，2，2)，n2=(﹣2，2，1)C.n1=(1，1，1)，n2=(﹣2，2，1)D.n1=(1，1，1)，n2=(﹣2，﹣2，﹣2)4.已知l∥α，且l的方向向量為(2，m，1)，平面α的法向量為1,12,25.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理.(邏輯推理)3.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系.(邏輯推理)重點(diǎn)：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系難點(diǎn)：用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系

一、自主導(dǎo)學(xué)空間中直線、平面垂直的向量表示位置關(guān)系向量表示線線垂直設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為μ1，μ2，則l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2=0線面垂直設(shè)直線l的方向向量為μ，平面α的法向量為n，則l⊥α?μ∥n??λ∈R，使得μ=λn面面垂直設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0二、小試牛刀1.判斷下列說法是否正確，正確的在后面的括號內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交.()(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.()(3)兩個(gè)平面垂直，則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.()(4)若兩平面α，β的法向量分別為u1=(1，0，1)，u2=(0，2，0)，則平面α，β互相垂直.()2.設(shè)平面α的法向量為(1，2，﹣2)，平面β的法向量(﹣2，﹣4，k)，若α⊥β，則k=()A.2 B.﹣5 C.4 D.﹣2一、情境導(dǎo)學(xué)類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？二、典例解析例1.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動.求證:無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.延伸探究本例條件不變，求證:AF⊥BC.利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩直線方向向量的坐標(biāo)，然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律，結(jié)合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練1在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為AC的中點(diǎn).求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.例2在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別為棱AB，BC，B1B的中點(diǎn).求證:D1M⊥平面EFB1.利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線的向量，也用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=2，AD=22，PA⊥平面ABCD，PA=4.求證:BD⊥平面PAC.例3如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，BB1=1，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.利用空間向量證明面面垂直的方法1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑:一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，由兩個(gè)法向量垂直，得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系，恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=12AD.求證:平面AMD⊥金題典例如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點(diǎn)，E是B1C的中點(diǎn).(1)求cos<BE,(2)在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B1DF?若存在，求出|AF|;若不存在，請說明理由.應(yīng)用空間向量解答探索性(存在性)問題立體幾何中的存在探究題，解決思路一般有兩個(gè):(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，并用向量表示出來，然后再加以證明，得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在.1.若直線l的方向向量為a=(1，﹣2，3)，平面α的法向量為n=(﹣3，6，