2024年高考數(shù)學(xué)解三角形講義

解三角形

B）蹲窟團(tuán)好藥<3鄴）

知識(shí)點(diǎn)一余弦定理在AABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別是。，b,c,則有

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾

余語言敘述

角的余弦的積的兩倍

弦

公式表達(dá)a2=b2+c2—2Z?ccosA,按=射+/一2/ccosB,c2=房+浮一246cosC

定

爐+/一〃2〃2+。2一匕26Z2+Z72—C2

理推論

COSA=2bc，cosB=2ac，cosC=2ab

知識(shí)點(diǎn)二正弦定理

條件在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c

Qbc

結(jié)論

sinA=sinsinC

文字?jǐn)⑹鋈切蔚母鬟吪c它所對(duì)角的正弦的比相等

知識(shí)點(diǎn)三正弦定理的變形

R為L(zhǎng)ABC外接圓的半徑

1.sinA：sin5：sinC=a:A：c.

abc4+)+c

2-sinA=sinB-sinC~sinA+sinB+sinC=2R-

3.〃=2HsinA,Z?=2RsinB,c=2HsinC.

abc

4.sinA=詼，sinB=詼，sinC=2R.

Ill

知識(shí)點(diǎn)五：三角形面積公式：S"BC=2〃加inC=26csinA=2acsin5

明弱信給?圖弱國(guó)四提摟

>D組〔試真題

【696】.（2021?全國(guó)?高考真題

在一ABC中，已知3=120。，AC=^,AB=2,則3C=()

A.1B.72C.A/5D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

利用余弦定理得到關(guān)于8C長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).

【詳解】

設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,

結(jié)合余弦定理：〃=+02—2〃CCOS3可得：19=[2+4—2x.xcxcosl20,

即：〃2+2Q-15=0,解得：a=3（〃=—5舍去），

故5c=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

利用余弦定理及其推論解三角形的類型:

⑴已知三角形的三條邊求三個(gè)角；

⑵已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角;

⑶已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形.

[6971（2020?山東?高考真題?★★）

在,ABC中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別是。，b,若4+廿=c2+"sinC,且asinBcosC+

萬

csinBcosA=——b,貝！JtanA等于()

2

1—I—I

A.3B.—C.3或—D.-3或一

333

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理求出tanC=2,并進(jìn)一步判斷C>2，由正弦定理可得sin（A+C）=*nsing=乎，最后利

用兩角和的正切公式，即可得到答案；

【詳解】

/+〃jsinC「兀

cosC==>tanC=29C>一,

2ab24

sinAsin3sinC

.，4，R「.「.RA④.R

..sinA,sinD,cosC+sinC-,sinB,cosA——sinD,

2

/.sin(A+C)=nsinB,:.B=^~,

224

/.tanB=l,

,…一、tanB+tanC-

/.tanA=-tan(B+C)=---------------------=3,

1-tanB?tanC

故選：A.

【698】.（2014?江西?高考真題?★★★）

在一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則2si'回sin"的值為（）

sin2A

117

A.—B.C.1D.一

932

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理邊化角求解即可.

【詳解】

p口表…工用心2sm-8-snrA2b"-a'b3

由14n正弦定理有--------------=———=2--1.又v3a=2bn—=

sinAa)a2

,-9,7

—1=2x—1=—

42

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理邊化角的問題,屬于基礎(chǔ)題.

【699】.（2019?全國(guó)?高考真題?★★★）

1b

0ABe的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA—bsinB=4csinC,cosA=——,貝lj一=

4c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理推論得出a,b,c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.

【詳解】

詳解：由已知及正弦定理可得/-〃=4c?,由余弦定理推論可得

-l=cosA=b1+C1-〃C2-4C2_1.3c_j_

-=-x4=6故選A.

42bc2bc.?9c2

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用.

[700].（2014?四川?高考真題?★★★）

如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時(shí)氣球的高是

60m,則河流的寬度BC等于（）

C.120(73-1)/7?D.30(A/3+1)W?

【答案】C

【解析】

【詳解】

AC=120,AB=-^—ABBC

sin75sin30sin45

所以

60x^2

ABsin45=120(73-1).

sin30sin(30+45)

故選C.

[701].（2014?全國(guó)?高考真題

鈍角三角形ABC的面積是《，AB=1,BC=6,則AC=

A.5B.75C.2D.1

【答案】B

【解析】

【詳解】

由面積公式得：gx0sinB=g,解得sin3=乎，所以3=45或8=135,當(dāng)3=45時(shí)，

由余弦定理得：AC2=1+2-2A/2COS45=1,所以AC=1,又因?yàn)锳B=1,BC=y/2，所以此時(shí)AABC為等腰直

角三角形，不合題意，舍去；所以8=135,由余弦定理得：AC2=1+2-2A/2COS135=5,所以AC=A/L

故選B.

考點(diǎn)：本小題主要考查余弦定理及三角形的面積公式，考查解三角形的基礎(chǔ)知識(shí).

【702】.(2017?山東?高考真題?★★★)

在AABC中，角A,&。的對(duì)邊分別為。，b,c.若AABC為銳角三角形，且滿足

sinB(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是

A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A

【答案】A

【解析】

【詳解】

sin(A+C)+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC

所以2$1113￡：05。=$1114<：0$。=2$1113=$1114=2/>=0:,選A.

【名師點(diǎn)睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.首先用兩角和的正弦公

式轉(zhuǎn)化為含有A,B,C的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到。=勸.解答三角形中的問題時(shí)，三角形

內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個(gè)隱含條件，不容忽視.

[7031(2016?天津?高考真題

在一ABC中，若=713,BC=3,ZC=120,貝i]AC=

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【詳解】

余弦定理AS?=BC2+AC2-aficxcc將各值代入

得AC?+3AC—4=0

解得AC=1或AC=T（舍去）選A.

[7041（2022?浙江?高考真題?★★★★）

我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積"，它填補(bǔ)了

我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是S=其中a,b,c

是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊a=^,b=^,c=2,則該三角形的面積S=

【答案】孚

【解析】

【分析】

根據(jù)題中所給的公式代值解出.

【詳解】

22

c2+a2-b2,所以s=J；4+2-3V23

因?yàn)镾=4x2-

224

故答案為：亨

[7051(2022,全國(guó)?高考真題?★★★★)

AT

已知ABC中'點(diǎn)D在邊BC上,加=12。。,32。=2犯當(dāng)罰取得最小值時(shí)，BD=

【答案】V3-1##-1+A/3

【解析】

【分析】

AC2

設(shè)CD=230=2%>0,利用余弦定理表示出結(jié)合基本不等式即可得解.

AB7

【詳解】

設(shè)CD=2BD=2m>。,

則在△ABD中，AB-=BD-+AD2-2BDADCOSZADB=m2+4+2m，

在"CD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

AC2_4病+4-4利_4"+4+2時(shí)-12。+%)_4_12

222

期以AB7M+4+2mm+4+2m(k1\,3

?+l)+小

>4——1=4—2百

+3

V)m+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)"7+1=—；即〃7=6-1時(shí)，等號(hào)成立，

m+1

4r

所以當(dāng)-取最小值時(shí)，m=A/3—1.

故答案為：6-1.

【706】.（2022?上海?高考真題

JT

在母48。中，ZA=-,AB=2,AC=3,貝必4BC的外接圓半徑為

【答案】岑

【解析】

【分析】

運(yùn)用正弦定理及余弦定理可得解.

【詳解】

根據(jù)余弦定理：

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosABAC=4+9-2x2x3x-=l,

1V7V21

由正弦定理△ABC的外接圓半徑為2.九一3

sm—

故答案為:早.

【707】.（2021?浙江?高考真題?★★★★）

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形

拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3,4,記大正方形的面積為加，小正方形

S,

的面積為邑，則亍=.

【答案】25

【解析】

【分析】

分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.

【詳解】

由題意可得，大正方形的邊長(zhǎng)為：。=好了不=5，

2

則其面積為：51=5=25,

小正方形的面積：52=25-4XQX3X4^|=1,

S,25一

從而三=7=25.

故答案為：25.

【708】.（2021?全國(guó)?高考真題?★★★）

記，ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為百，B=60。，a2+c1=3ac,則人=

【答案】2夜

【解析】

【分析】

由三角形面積公式可得ac=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】

由題意，SARr=—acsinB=-^-ac=>/3,

A。。24

所以QC=4,=12,

所以/=Q2+C2_2〃CCOS5=12-2x4x；=8,解得Z?=2四（負(fù)值舍去）.

故答案為：2vL

[709],（2019?全國(guó)?高考真題?★★★）ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，c.已知加inA+acosB=0,

則B=.

【答案】手3兀.

4

【解析】

【分析】

先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合角的范圍可得.

【詳解】

由正弦定理,得sinBsinA+sinAcosZ?=0.AG（0,n）,Be（0,兀）,sinAw0,得sin3+cos3=0,即tan3=-1,

3兀

B=—.故選D.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸

思想解題.忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在（。,萬）范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變

化求角.

【710】.（2019?全國(guó)?高考真題?★★★）

JT

ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若6=6,a=2c,B=—,貝U_ABC的面積為.

【答案】673

【解析】

【分析】

本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于c的方程，應(yīng)用。的關(guān)系、三角形面積公式計(jì)算求解，本題屬于常見題

目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查.

【詳解】

由余弦定理得6?=a2+c2-2accosB，

所以（2c）2+c2-2x2cxcx^=62,

即c』2

解得c=c=-2石（舍去）

所以a=2c=4,

SAABC=-^sinB=-^x4A/3X2>/3x=6>/3.

【點(diǎn)睛】

本題涉及正數(shù)開平方運(yùn)算，易錯(cuò)點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯(cuò)誤.解答此類問題，關(guān)鍵是在

明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計(jì)算.

[711],(2022?全國(guó)?高考真題?★★★)

記一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,E^DsinCsin(A-3)=sin3sin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

⑵證明：2/=廿+°2

【答案】⑴5浮jr

O

⑵證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可得，sinC=sin(C-A),再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；

(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開得sinasinAcosB-cosAsinBbsinWsinCcosA-cosCsinA),再

根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出.

(1)

由A=23,sinCsin(A-3)=sin3sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),而OvBv],所以

sinBe(O,l),即有sinC=sin(C-A)>0,而0<C<兀,0<C-A<兀，顯然CwC-A,所以，C+C—4=兀，

5兀

ffijA=2B?A+B+C=TI,所以C=

o

(2)

由sinCsin(A_6)=sin5sin(C—A)可得，

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sin3(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB—bccosA=bccosA-abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

22

+C+C—a2)=g(02+。2+/一/),化簡(jiǎn)得：

2a2=b2+c\故原等式成立.

[712].(2022?全國(guó)?高考真題?★★★)

cosA_sin2B

記:ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,

1+sinA1+cos25

⑴若。二^-,求8;

(2)求上^的最小值.

c

【答案】(l)g

o

(2)472-5.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將普當(dāng)=產(chǎn)空^化成cos(A+B)=sinB,再結(jié)合

1+sinAl+cos2B

TT

0<B<-,即可求出；

2

2r2Q

(2)由(1)知，C=<+B,A==-28,再利用正弦定理以及二倍角公式將化成4cos2臺(tái)+--—-5,

22c2cos2B

然后利用基本不等式即可解出.

(1)

cosA_sin23_2sinBcosB_sinB

即sinB-cosAcosB-sinAsin3=cos(A+B)=-cosC=—,

1+sinA1+cos252cos2Bcos5

而0<B《，所以3哈

(2)

兀兀

由(1)知，sinB=-cosC＞0,所以一＜。＜兀,0＜3＜一,

22

jfjjsinB=-cosC=sinlC-^-

TTTT

所以C=5+5,即有-2反

a2+b2sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以

sin2Ccos2B

(2cos?5—1)2+1-cos2B

=4COS2B+--——522通-5=40-5-

cos2Bcos"2

當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=等時(shí)取等號(hào)，所以餐/的最小值為40一5.

[7131(2022?浙江?高考真題?★★★★)

在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c.已知4。=石c,cosC=m.

⑴求sinA的值;

(2)若6=11,求eABC的面積.

【答案】①g；

(2)22.

【解析】

【分析】

(1)先由平方關(guān)系求出sinC,再根據(jù)正弦定理即可解出；

(2)根據(jù)余弦定理的推論cosC==^C以及4a=&c可解出即可由三角形面積公式S=1a6sinC求

2ab2

出面積.

(1)

34I—

由于cosC=[，0<C<7C,貝lJsinC=g.因?yàn)?〃二辰，

由正弦定理知4sinA=J^sinC,貝!jsinA=￥^sinC=,

(2)

21o[162[1a

因?yàn)?a=A，由余弦定理，得?a12+b2-c2a+121-y?11-y3,

cosC=---------=-------------=------=—

2ab22a2a5

4

即/+6〃-55=0,解得a=5,而sinC=1,Z?=11,

114

所以.ABC的面積S=—他sinC=—x5xllx—=22.

225

【714】.(2022?北京?高考真題?★★★)

在一ABC中，sin2C=^3sinC.

⑴求“；

(2)若人=6,且ABC的面積為6?,求ABC的周長(zhǎng).

【答案】⑴?

O

⑵6+66

【解析】

【分析】

(1)利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得cosC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角C的值；

(2)利用三角形的面積公式可求得。的值，由余弦定理可求得。的值，即可求得的周長(zhǎng).

(1)

解：因?yàn)镃e(O,1),貝l|sinC>0,由已知可得指sinC=2sinCcosC,

可得cosC=立，因此，C=-.

26

(2)

解：由三角形的面積公式可得SABc=；a6sinC=：a=66,解得a=46.

由余弦定理可得c?=/+/一2。6cosc=48+36-2x4百x6x走=12,.?.c=2&，

2

所以，A5c的周長(zhǎng)為a+b+c=66+6.

【715】.(2010?遼寧?高考真題?★★★)

在0ABe中，。，瓦c分別為內(nèi)角A,民C的對(duì)邊，且2osinA=(26+c)sin8+(2c+6)sinC.

(0)求A的大??；

(0)求sinB+sinC的最大值.

【答案】(0)120°；(0)1.

【解析】

【分析】

。由題意利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理可得她的大?。?/p>

(助由題意結(jié)合(明的結(jié)論和三角函數(shù)的性質(zhì)可得sinB+sinC的最大值.

【詳解】

(0)-2?sinA=(2/?+c)sinB+(2c+/?)sinC,

2a~=(2/?+c)b+(2c+/?)c,BPa2=￡>2+c2+Z?c.

;5=占上-,/.A=120°.

2bc2

(0)sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)=2^cosBsinB=sin(60°+,

0°<B<60°,團(tuán)當(dāng)600+3=90°即8=30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1.

【點(diǎn)睛】

在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一

般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解

決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.

[7161(2020?天津?高考真題?★★★)

在.ABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為已知a=20b=5,c=岳.

(0)求角C的大?。?/p>

(團(tuán))求sinA的值；

(0)求sin(2A+?)的值.

【答案】(回)C=J;(0)sinA=^^；(0)sinf2A+-K^^.

4134J26

【解析】

【分析】

(E)直接利用余弦定理運(yùn)算即可；

(0)由(回)及正弦定理即可得到答案；

(0)先計(jì)算出5?4,8$4,進(jìn)一步求出5m24,8524,再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.

【詳解】

(0)在二ABC中，由。=20,6=5,c=M及余弦定理得

a2+b2-c28+25-13叵

cosC=

lab2x20x5-2

jr

又因?yàn)閏w（o,m,所以c二:；

4

（回）在ABC中，由C=f,a=2后,c=而及正弦定理，可得asinC3叵;

4sinA=--------=-----7=—=1&

C71313

（0）由a<c知角A為銳角，由$也4=友3,可得cosA=Jl—sii?A=,

1313

125

進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-l=——,

1313

所以sin（2A+工）=sin2Acos工+cos2Asin^=Ux^^+9x^^=單垃.

44413213226

【點(diǎn)晴】

本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,

是一道容易題.

[717].(2022?河北?滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)?★★★★)(多選題)

在.ABC中，三邊長(zhǎng)分別為mb,c,且%=2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a2b<2+ab1B.ab+a+b>2\/2

C.a+b2+c2>4D.a+b+c<25/2

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得"（。-力<2=Me,結(jié)合邊的關(guān)系即可判斷A；根據(jù)邊的關(guān)系及基本不等式即可判斷BC；用邊

長(zhǎng)為1,應(yīng)，行的三角形的周長(zhǎng)判斷D

【詳解】

對(duì)于A,a2b<2+ab2,Wa2b-ab2<2,也就是曲。一6）<2=Hc,

另一方面，在sAFC中，ab>O,a-b<c,貝！]。伏。-6）<成立，故A正確；

對(duì)于B,ab+a+b>ab+c>2\Jabc=2^/2,故B正確；

對(duì)于C,a+b2+c2>a+2bc>2.^2^=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=2=2c=2時(shí)取等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D,邊長(zhǎng)為1,忘,忘的三角形，滿足而c=2,但a+b+c=l+2近>20，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

[7181（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測(cè)?★★★★）（多選題）

已知ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,O為一ABC外接圓的圓心，/為一ABC內(nèi)切圓的圓心，則下列敘述正

確的是（）

A.ABC外接圓半徑為她B..ABC內(nèi)切圓半徑為苴

32

c.AOBC=SD.AIBC=1

【答案】BCD

【解析】

【分析】

對(duì)A,由余弦定理求得cosA,即可得出sinA,再由正弦定理即可求出；對(duì)B,利用三角形面積關(guān)系可求出；

對(duì)C,由ZO-2C=MO-（AC-AB）可求出；對(duì)D,由4八3。=4八（4?一42）可求出.

【詳解】

在,ABC中，cosA二^一+5-一7一=_j_,所以S皿4=且，

2x3x522

2BCJ=146

,則氏=述，故A錯(cuò)誤；

設(shè)，ABC外接圓半徑為R,則一sin^—3

3

3

x3x5x亙解得r=斑,故B正確;

設(shè)ABC內(nèi)切圓半徑為廠，則SABC=g（3+5+7）r=g

22

13一|AC2573

—AB—3八

因?yàn)閏osZBAO=----=-2=-------cosZCAO=

OA7G140A—773—14'

33

所以AO-3C=AO.（AC-A8）=

7相_573773a3A/3Q痂「不面

=----x5x----------x3x----=8，故C止確；

314314

設(shè)內(nèi)切圓與三角形分別切于D,E,F,則設(shè)AE=EF=x,CE=CD=y,BD=BF=z,

>+y=5

<x+z=3,解得x=g,y=|>z=|^,所以4/=，4尸2+,2=],

j+z=7-

則cosABAI=—,cosZ.CAI=—,

22

所以A/-3C=A/-（AC-A8）=A/-AC-A/YB=lx5x』—lx3x』=l,故D正確.

V722

故選：BCD.

[7191（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測(cè)?★★★）（多選題）

三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,下列條件能判斷一ABC是鈍角三角形的有（）

A.4=2,b=3,c=4B.AB-BC=-2a

sinA-sinBc

C.―———；---=----D.bo1sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC

smC+sinBa+b

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)余弦定理、正弦定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義逐一判斷即可.

【詳解】

A：因?yàn)閍=2,b=3j。=4,所以角C最大,

22+32—42

由cosC==——<0=>—<C<TI?

2x2x342

所以ABC是鈍角三角形，因此本選項(xiàng)正確;

JT

B：由245?3。=-2々=>-皿855=-2々=>*055=2=>5￡（0,5）,不能判斷:ABC是鈍角三角形，所以本選

項(xiàng)不正確;

一1口的十#…esmA-sinBca-bc27227

C：根據(jù)正弦7E理，由「二;一「；=---7=-----7=-----=b+c+bc,

smC+sinBa+bc+ba+b

由余弦定理可知：cos&=J+C=必」—4所以ABC是鈍角三角形，因此本選項(xiàng)正確;

2bc2bc23

D：根據(jù)正弦定理，由

2222222

）2sinC+csinB=2Z?ccosBcosC=>sinBsinC+sinCsinB=2sinBsinCcosBcosC

.71

nsinBsinC=cosBcosC=>cos（B+C）=0=>cos（7i-A）=0=>cosA=A=—,

所以.ABC是直角三角形，不符合題意，

故選：AC

[7201（2022?湖南衡陽(yáng)?二模?★★★）（多選題）

下列結(jié)論中正確的是（）

A.在—ABC中，若4>3,則sinA>sinB

B.在，ABC中，若sin2A=sin23,貝UABC是等腰三角形

C.兩個(gè)向量a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使b=Xa

D.對(duì)于非零向量a,6,"a+6=0"是"“〃//'的充分不必要條件

【答案】AD

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的邊與角的關(guān)系，以及根據(jù)共線向量的定義，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可得到正確答案.

【詳解】

對(duì)于A：大角對(duì)大邊，用正弦定理可得該命題正確；

JT

對(duì)于B：若sin2A=sin23,貝ij2A=28或2A+23=萬，即A=3或A+B=—

2

即」ABC是等腰三角形或直角三角形，所以該命題不正確；

對(duì)于C：若6H0,a=0,滿足向量a,b共線，但不存在實(shí)數(shù)4,使所以該命題不正確;

對(duì)于D：若““+6=0",貝若于〃則"a+b=0"不一定成立.所以該命題正確；

故選：AD

【721】.（2020?海南?高考真題?★★★★）（多選題）

在①雙=6，②csinA=3,③c=&這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存

在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在ABC,它的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA=6sinB,C=￡,?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】

方法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a力的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長(zhǎng)度長(zhǎng)

度，由余弦定理得到c的長(zhǎng)度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.

【詳解】

［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理

dbsinA=6sin5可得：\=6,不妨設(shè)a==m(m>0),

貝！J：c2=a2+b2-2abcosC=3m2+m2-2義有mxmx更~=而，即。

2

若選擇條件①:

據(jù)止匕可得：ac=y/3mxm=V3m2=^3,=止匕時(shí)c="i=l.

若選擇條件②:

病+4―3m2￡

據(jù)此可得:8sA=j三

2bc一W2

則：sinA=|,此時(shí)：csinA==3,則：c-m=243-

若選擇條件③:

可得5='=1，。="，與條件0=符矛盾，則問題中的三角形不存在.

bm

［方法二］:正弦定理

7TS/r

由。=一,4+5+。=），得人=——B.

66

由sinA=^/5sin5,得sin（-^--3］=6sin3,即；853+^^51口3=石51口5,

得tanB=—.由于0<_8<?,得B=§.所以。=c,A=4-

363

若選擇條件①：

a

由'得sm-sin”得。

sinAsinC

36

解得。=匕=1,。=百.所以，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)。=1.

若選擇條件②:

2萬一

由csinA=3,得csiny=3,解得c=2j§\貝!jz>=c=2百.

a_c

ac

由得.2%.n,得〃

sinAsinCsin——sin—

36

所以，選條件②時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=2百.

若選擇條件③:

由于c=W與b=c矛盾，所以，問題中的三角形不存在.

【整體點(diǎn)評(píng)】

方法一：根據(jù)正弦定理以及余弦定理可得。,反。的關(guān)系，再根據(jù)選擇的條件即可解出，是本題的通性通法,

也是最優(yōu)解；

27r7T

方法二：利用內(nèi)角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角A,可求出角B,從而可得6=。,4=丁,3=。=二,

再根據(jù)選擇條件即可解出.

【722】.（2020,江蘇?高考真題?★★★）

在MBC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,c="s=45。.

A

(1)求sinC的值；

4

(2)在邊BC上取一點(diǎn)D,使得cosZAPC=-g,求tanND4c的值.

【答案】(1)sinC=或；(2)tanZDAC=—.

511

【解析】

【分析】

(1)方法一：利用余弦定理求得6,利用正弦定理求得sinC.

(2)方法一:根據(jù)cos/ADC的值,求得sin/ADC的值，由(1)求得cosC的值,從而求得sin/ZMC,cos/DAC

的值，進(jìn)而求得tan/ZMC的值.

【詳解】

(1)【方法一］:正余弦定理綜合法

由余弦定理得〃=a2+c2-2accosB=9+2-2x3x&x走=5,所以》=君.

2

由正弦定理得，=2nsinC=皿0=蟲.

sinCsinBb5

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

過點(diǎn)A作垂足為E.在Rt&WE中，由,=^2,B=45?,可得AE=BE=1,又。=3,所以EC=2.

在Rt_ACE中,AC=V^T^二石,因止匕sinC——j=—

忑5

（2）［方法一］:兩角和的正弦公式法

由于cosZADC=—1,NAOCe?，萬），所以sin/ADC=Jl-cos?ZADC=g.

由于所以Ce］o,a1所以cosC=Jl-sin?C=竿.

所以sinNDAC=sin(不一ZDAC)=sin(ZADC+ZC)

32\/5(4)&_26

=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=-x------1-

55

由于所以cosZDAC=Jl-sin?ND4c=

25

sinZDAC2

所以tanZDAC=---------=一

cosZDAC11

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

44

在(1)的方法二的圖中，由cosZADC=--,KfcosZADE=cos(^-ZADC)=-cosZADC=—,從而

55

?/?l/fL4/?尸sinZDAE4

sinZDAE=cosZ