（19題結(jié)構(gòu)）2024高考數(shù)學模擬卷02-沖刺2024年高考數(shù)學考前必刷題（新高考）解析版

第頁2024高考數(shù)學模擬卷02（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）絕密☆啟用前注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．某校為了提高學生的安全意識，組織高一年級全體學生進行安全知識競賽答題活動，隨機抽取8人的得分作為樣本，分數(shù)從低到高依次為:84，85，87，87，90，a，b，99，若這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為94，則利用樣本估計此次競賽的平均分約為（

）A．85 B．86 C．90 D．95【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)以及平均數(shù)的計算即可求解.【詳解】由于，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第六個和第七個數(shù)的平均數(shù)，故，故，故平均數(shù)為，故選：C2．若復數(shù)滿足，則（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】先求出復數(shù)的代數(shù)形式，再根據(jù)復數(shù)的除法運算及復數(shù)的模的計算公式即可得解.【詳解】由，得，所以，所以，所以.故選：D.3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．－36或36 B．－36 C．18 D．36【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項和公式進行計算即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設公比為q，且，，則，則，則，則，故選：D.4．，的展開式中項的系數(shù)等于40，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合二項式定理展開式通式的對應關系求出，再由充分、必要條件判斷即可.【詳解】的展開式中含項為，故，解得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5．若，都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】將代入，利用基本不等式直接求解即可得出結(jié)論．【詳解】若，都是正數(shù)，且，當且僅當時等號成立，故選：A.6．英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件，存在如下關系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率，結(jié)合全概率公式與貝葉斯公式即可得解.【詳解】依題意，設用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件B，被檢測者患病為事件A，未患病為事件，則，，，，故，則所求概率為.故選：C.7．在中，已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和角的正切公式求出，再代入計算即得.【詳解】在中，，否則，，，矛盾，并且有，，因此，而，則，，所以.故選：A8．已知四面體，是邊長為6的正三角形，，二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出圖形，找出外接球球心的位置，利用以及圖形幾何關系表示出相應的線段長度，結(jié)合勾股定理列方程求出外接球半徑即可得解.【詳解】如圖，取中點，連接，因為是邊長為6的正三角形，，則由三線合一可知，所以二面角的平面角為，取三角形的外心，設外接球的球心為，則平面，且，其中為四面體外接球的半徑，過點作垂直平面，垂足為點，由對稱性可知點必定落在的延長線上面，由幾何關系，設，而由正弦定理邊角互換得，進而，由勾股定理得，從而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面體的外接球的表面積為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：關鍵是合理轉(zhuǎn)換二面角的大小為，并求出外接球半徑，由此即可順利得解.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】求出集合，根據(jù)集合的運算即可判斷A，B；結(jié)合，可判斷C；由，結(jié)合判別式，可求得a的范圍，即可判斷D.【詳解】由題意得，故，，A錯誤，B正確；由于，故，則，C正確；若，則能取到所有的正數(shù)，即，則或，即，D正確，故選：BCD10．已知函數(shù)的最小正周期為2，則（

）A． B．曲線關于直線對稱C．的最大值為2 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AB【分析】借助三角恒等變換公式將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)后，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得.【詳解】，對A：由的最小正周期為2，故，即，故A正確；對B：當時，，由是函數(shù)的對稱軸，故曲線關于直線對稱，故B正確；對C：又，故，故C錯誤；對D：當時，，由不是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故不是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯誤.故選：AB.11．費馬原理是幾何光學中的一條重要定理，由此定理可以推導出圓錐曲線的一些性質(zhì)，例如，若點是雙曲線（為的兩個焦點）上的一點，則在點處的切線平分.已知雙曲線的左?右焦點分別為，直線為在其上一點處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的一條漸近線與直線相互垂直B．若點在直線上，且，則（為坐標原點）C．直線的方程為D．延長交于點，則的內(nèi)切圓圓心在直線上【答案】ABD【分析】根據(jù)雙曲線方程即可求出漸近線可判斷A，由角平分線性質(zhì)可得G點坐標，求出直線方程可判斷C，設出B點坐標由條件可判斷B，假設的內(nèi)切圓圓心在直線上，由內(nèi)心性質(zhì)可判斷D.【詳解】選項A：雙曲線的一條漸近線方程為與相互垂直，故A正確；選項BC：因為，所以，，所以，，又，所以，所以，直線：，即，故C錯誤，設，則，化簡得：，所以，則，故B正確；選項D：，直線，聯(lián)立，化簡得：，解得，所以，，所以直線，因為的內(nèi)切圓圓心在直線直線：上，若又在直線上，則內(nèi)切圓圓心為，圓心到直線的距離為：，圓心到直線的距離為：，即，所以點也在的角平分線上，即點為的內(nèi)切圓圓心，圓心在直線上，故D正確；故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：充分利用角平分線的性質(zhì)得出G點坐標，根據(jù)直線垂直關系及點到直線距離公式可判斷各項.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知為坐標原點，，為圓上一點且在第一象限，，則直線的方程為．【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合求得直線的傾斜角，進而即可求得直線方程.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

易知點在圓上，由可知，，所以，又因為，所以，則直線斜率，故直線的方程為．故答案為：.13．大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中四邊形均為正方形，，則.【答案】【分析】建立直角坐標系，由數(shù)量積的坐標表示求解即可.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，因為，所以，所以，所以.故答案為：.14．函數(shù)的最小值是．【答案】3【分析】解法一：求函數(shù)的導函數(shù)，再利用導數(shù)研究的零點及零點兩側(cè)函數(shù)值的正負，由此確定函數(shù)的單調(diào)性，再求其最值可得.解法二：利用切線放縮可得【詳解】解法一：，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增,，設，因為在上單調(diào)遞增，因為，存在，使，且，故當時，，即，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，當時，，即，所以在區(qū)間單調(diào)增，所以．解法二（最優(yōu)解）：設，則，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，即，當且僅當時，等號成立；所以，當且僅當時等號成立，設，可得單調(diào)遞增，又，所以有解，所以.故答案為：.【點睛】方法點睛：解法一：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．解法二：常見的切線放縮有.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負，本局比賽結(jié)束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽.設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立.(1)求前3局比賽甲都取勝的概率；(2)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式計算即得；（2）列出隨機變量X的所有可能的值，分別求出每個值對應的概率，列出分布列，求出期望值.【詳解】（1）因各局比賽的結(jié)果相互獨立，前3局比賽甲都獲勝，則前3局甲都取勝的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，則；所以X的分布列為X0123P故X的數(shù)學期望為.16．（15分）如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長為2等邊三角形，，點為的中點，點為上一點（與點不重合）．(1)證明：；(2)當為何值時，直線與平面所成的角最大？【答案】(1)證明見解析；(2)2.【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得，結(jié)合條件可得，然后利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得；（2）利用坐標法，表示出平面的法向量，利用向量夾角公式結(jié)合基本不等式即得.【詳解】（1）因為三角形是等邊三角形，且E是中點，所以，又因為平面，平面平面，平面平面，所以平面，又因為面，所以，因為，，所以，，所以，即，因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）設F是中點，以E為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，由已知得，設，則、設平面的法向量為，則，令，有，設直線與平面所成的角，所以，當且僅當時取等號，當時，直線與平面所成角最大．17．（15分）設函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若時，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個公共點，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）借助導數(shù)對、及分類討論即可得；（2）原問題可等價于即在上無解，構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)研究即可得.【詳解】（1）的定義域為，，①當時，，由，得，由，得，當時，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，②當時，，，當時，，的區(qū)間上單調(diào)遞減，③當時，由，得或，且.當變化時，的變化情況如下表：遞減遞增遞減綜上所述，當時，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間上的單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若時，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個公共點，即關于的方程，即在區(qū)間上僅只有一個解，是方程的解，且時，問題等價于即在上無解，即曲線或與直線無公共點，，由得，當或時，變化時，，的變化情況如下表：遞減，負值無意義遞減，正值極小值遞增，正值且當且時，；當且時，.故的取值范圍為.18．（17分）已知拋物線的焦點為，在軸上的截距為正數(shù)的直線與交于兩點，直線與的另一個交點為.(1)若，求；(2)過點作的切線，若，則當?shù)拿娣e取得最小值時，求直線的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意計算直線的斜率，寫出直線的方程，聯(lián)立拋物線計算交點坐標，由過焦點的焦點弦長公式可得結(jié)果；（2）設直線的方程為：，并設，聯(lián)立直線與拋物線方程可得韋達定理以及弦長，求出在點處的切線斜率，寫出直線的方程，求解點的坐標，以及點到直線的距離，用點坐標化簡計算，可求出面積最小時的的值，從而求出，可求出斜率.【詳解】（1）由題意可知，因為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，即，解得，當時，，則，故.（2）設直線的方程為，并設，聯(lián)立，消可得，則，恒成立，，設過點的切線方程為：，聯(lián)立，得，因為，則有，因為在拋物線上，所以，代入求解可得，所以的直線方程為：，設，聯(lián)立，消去可得，因為在拋物線上，所以，代入可得，則有，所以，，即，點到直線的距離為，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以當時，三角形面積最小，因為，所以或，此時.

.19．（17分）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對中的部分求導，并使之為0，得到三個方程組，如下：，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點．的值代入到中即為極值．補充說明：【例】求函數(shù)關于變量的導數(shù)．即：將變量當做常數(shù)，即：，下標加上，代表對自變量x進行求導．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對進行求導．(1)求函數(shù)關于變量的導數(shù)并求當處的導數(shù)值．(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設實數(shù)滿足，求的最大值．(3)①若為實數(shù)，且，證明：．②設，求的最小值．【答案】(1)，；