重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)數(shù)學(xué)含解析

2023-2024學(xué)年高二(上)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)

數(shù)學(xué)試題

(分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.若圓的方程為(1)(為+2)+(>-2)(y+4)=0,則圓心坐標(biāo)為()

A.(1,-1)C.(-1,2)0，［一3一”

【答案】D

【解析】

【分析】

將圓一般方程配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定圓心坐標(biāo)得選項(xiàng).

【詳解】圓的方程(％—l)(x+2)+(y—2)(y+4)=0,

可化為f+j+x+zy—io=o,

即卜+口+(尹1)2=?,

所以圓心坐標(biāo)為.

故選：D

2.下列直線(xiàn)中，傾斜角最大的是()

A.y=0B.y-1-x

C.x=lD.y=x-l

【答案】B

【解析】

【分析】分別求出直線(xiàn)的傾斜角即可判斷.

【詳解】可得y=o的傾斜角為0°,因?yàn)閥=l-無(wú)的斜率為-1,所以直線(xiàn)y=l-%的傾斜角為135。，

易得直線(xiàn)x=l的傾斜角為90。，因?yàn)橹本€(xiàn)y=x-i的斜率為1,所以直線(xiàn)y=x-i的傾斜角為45°,

綜上，傾斜角最大的是y=1-

故選：B.

3.已知圓C的圓心為(TJ),且圓C與y軸的交點(diǎn)分別為4(0,4),3(0,—2),則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方

程為()

A.(x—1)~+(y+1)=10B.(x+1)^+(y—1)~=10

C.(x-1了+(〉+1)2=加D.(x+l)2+(y-l)2=710

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，圓心在直線(xiàn)y=l上，從而求出圓心坐標(biāo)，即可得到圓的半徑以及圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】因?yàn)閳A。與y軸的交點(diǎn)分別為A(o,4),5(o,—2),所以圓心在直線(xiàn)y=l上，即有/=1,圓心

c(-l,l),r=|AC|=Vl+9=VTo,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+lf+G—1)2=10.

故選:B.

4.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案，如

圖b把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體.若圖3中

每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則直線(xiàn)C。與平面AEG。所成角的正弦值為()

由1

D-

B.99

【答案】B

【解析】

【分析】利用空間向量的方法求線(xiàn)面角即可.

z

G

【詳解】ZIF/A\'^1^1

p

C-?

y

B

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，A(1,1,O),E(2,0,0),G(0,0,2),C(0,2,0),2(1,0,2),

UUULUUUL

AE=(l,-l,0),AG=(-1,-1,2),CQ=(1,—2,2),

設(shè)平面AEGD1的法向量為力Z=(%,x，zj,

m-AE=%一%=0

，令玉=1，則％=1,4=1,所以m=(1,1,1),

m-AG=-xY-%+22i=0

1-2+2_

設(shè)直線(xiàn)CQ與平面AEGD］所成角為a,所以sin。=cos(機(jī)

73x3—9

故選：B.

5.已知直線(xiàn)I：3尤+y—5=。和圓C：x2+y~—2y—4=0父于A,8兩點(diǎn)，則弦AB所對(duì)的圓心角的余

弦值為()

2722V2「99

AA.------R--------U.-----D.

552525

【答案】C

【解析】

【分析】先利用幾何法求弦長(zhǎng)，再利用余弦定理即可求解.

【詳解】圓一+丁―2y—4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+(丁—1)2=5,

圓心為C(0,l),半徑r=6,

圓心。(0,1)到直線(xiàn)3x+y—5=0的距離d=—3=2叵，

V105

所以弦長(zhǎng)=2G2―倡=2/5—|=穿。，

在一ABC中，由余弦定理可得：

uu340

5+5-------

9.

cosZACB=______25_

2xCAxCB1025

故選：C

6.折紙是一種以紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，折紙大約起游于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時(shí)的中國(guó)，

折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)

分支.如圖，現(xiàn)有一半徑為4的圓紙片（A為圓心，8為圓內(nèi)的一定點(diǎn)），且|AB|=2,如圖將圓折起一角,

使圓周正好過(guò)點(diǎn)3,把紙片展開(kāi)，并留下一條折痕，折痕上到43兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為P,如此往

復(fù)，就能得到越來(lái)越多的折痕，設(shè)尸點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C.在C上任取一點(diǎn)則面積的最大值是

C.V2D.73

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系可得到忸H+為定值4,由橢圓定義可知尸點(diǎn)軌跡方程為橢圓，結(jié)果由橢圓性

質(zhì)可得.

【詳解】設(shè)點(diǎn)與，B關(guān)于“折痕”所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即折前點(diǎn)8在圓上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)⑸.連接A片交“折痕”于

點(diǎn)尸，則點(diǎn)P到A,5兩點(diǎn)距離之和最小，且|5。|+|人目=|明|=4,所以P的軌跡R是以A,B為焦

點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2。=4的橢圓，焦距2c=|A卻=2,c=l,故短半軸6=6，所以面積的最

大值為，x2cxZ?=g.

2

故選：D.

7.已知橢圓的方程為彳+>2上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,設(shè)尸為橢圓上一點(diǎn)，則AE45面積

的最大值為拒+l.若已知M卜G,0）,N（6,0）,點(diǎn)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，則向+向的最小值

為（）

9

A.2B.3+20C.3D.-

4

【答案】D

【解析】

【分析】當(dāng)AftW面積的最大值時(shí)，直線(xiàn)A3與橢圓相切，設(shè)與直線(xiàn)A3平行的橢圓的切線(xiàn)方程為

y=-x+b,與橢圓聯(lián)立得到6=_夜，由ARAB面積的最大值為④'+1,求得。=2,

a

\QM\+\QN\^2a^4,由均值不等式即得解.

【詳解】在橢圓中，

點(diǎn)4（0,1）,8（—。,0）,則|陰=荷+1,kAB=^,

11

直線(xiàn)AB的方程為y=—%+1,設(shè)與直線(xiàn)AB平行的橢圓的切線(xiàn)方程為y=-x+b,

aa

’17

y=—x+b

由方程組120得2/+2"%+0202一。2=0,

X2,

—+r=i

〔礦

由A=（2ab）2—4義2（/"—〃）=o,得k=2,則/,=_a,

則AfAB面積的最大值為g|AB卜〃=行+1,得。=2,

：.\QM\+\QN\^2a=4,

14if14)

?____1_____—_______1_____?(|QM|+|QN|)

??|QN|\QM\41|QN|\QM\)

1\QM[\QN[

44\QN\\QM\

|QN|一9

-4^4|22V|\QM\"

當(dāng)且僅當(dāng)\QM\=2|QN|時(shí)取等號(hào).

【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)和橢圓綜全、，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

8.設(shè)雙曲線(xiàn)1―y2=i的左、右焦片三為耳、F2,漸近線(xiàn)方程為y=±gx,過(guò)K直線(xiàn)/交雙曲線(xiàn)左支于A、3

a

兩點(diǎn)，則1M|+忸閶的最小值為（）

15

A.9B.10C.14D.——

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)漸近線(xiàn)方程求得。，利用雙曲線(xiàn)的定義，通過(guò)求的最小值來(lái)求得|A片|+忸耳|的最小值.

【詳解】雙曲線(xiàn)二一/=1,對(duì)應(yīng)/7=1,

a

漸近線(xiàn)方程為y=土;x,所以。=2

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為土=22

1，c=a+b=A/5>

4-

根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義有|9|-|蝴|=4,照H阿=4,

兩式相加得（|A閭+|%A4卜-R|）=8,

|A閭+|%|=8+（|A周+忸制）=>i+\AB\,

依題意可知直線(xiàn)/與x軸不重合，雙由線(xiàn)的左焦點(diǎn)為-卜布,0）,

設(shè)直線(xiàn)1的方程為x=my-非,

x=my-y[5

由/,消去x并化簡(jiǎn)得（"2-4）y2—2sj5my+1=0,

-----V=]

[4'

所以2點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,10)或(0,0-2).

故選：AC.

10.下列四個(gè)命題中真命題有()

A.直線(xiàn)y=x-2在y軸上的截距為2

B.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4(0,2)的直線(xiàn)都可以用方程y=丘+2表示

C.直線(xiàn)6x+5y+4"7-12=0(meR)必過(guò)定點(diǎn)

D.己知直線(xiàn)3x+4y-l=0與直線(xiàn)6x+陽(yáng)—12=0平行，則平行線(xiàn)間的距離是1

【答案】CD

【解析】

【分析】利用截距的定義可判斷A選項(xiàng)；取點(diǎn)4(0,2)且垂直于x軸的直線(xiàn)，可判斷B選項(xiàng)；求出直線(xiàn)

6x+沖+4機(jī)—12=0(機(jī)eR)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；利用兩直線(xiàn)平行求出用的值，結(jié)合平行

線(xiàn)間的距離公式可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線(xiàn)y=x-2在y軸上的截距為—2,A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)4(0,2)且垂直于x軸的直線(xiàn)方程為％=0,不能用方程y=Ax+2表示，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，將直線(xiàn)方程6x+72+4加-12=0(meR)變形為6(x-2)+〃z(y+4)=0,

由<+4_0可得<__4，故直線(xiàn)6%+陽(yáng)+癡T2=0(meR)過(guò)定點(diǎn)(2,4),C對(duì)；

6tn—12

對(duì)于D選項(xiàng)，若直線(xiàn)3x+4y—1=0與直線(xiàn)6x+7“y—12=0平行，則一=—w——，解得加=8,

34-1

直線(xiàn)方程6x+叼-12=。可化為3x+4y-6=0,

1-1-(-6)1

故兩平行直線(xiàn)間的距離為d=l,工〃=1,D對(duì).

故選：CD.

11.設(shè)a>0,b>。.若/+。=3廿+25，則()

A.a<bB.b<a

C.a<2bD.b<2a

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)方程表示的曲線(xiàn)或函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng)。

【詳解】解法一：根據(jù)題意，36^+^—+=1,

于是該方程對(duì)應(yīng)的圖象是雙曲線(xiàn)的一部分，如圖.

b

因此一的取值位于雙曲線(xiàn)在點(diǎn)。處的切線(xiàn)斜率和雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)斜率之間.

a

考慮到雙曲線(xiàn)在點(diǎn)0處的切線(xiàn)方程0?a+”9=3?0?。+2?,其斜率為1.

222

m1,1bV3

2a3

1b

由一<一,可得av2b,故C正確；

2a

由2<走<1,可得匕<a,b<—a<2a，故BD正確，A錯(cuò)誤.

a33

解法二：

因?yàn)?廿+2匕>/+。=3廿+26>/+6，

h

而y=/+%在(0,+00)上單調(diào)遞增，所以/<b<〃<2b.

故選：BCD

22

12.已知雙曲線(xiàn)C:5-4=1(a>0,b>0),過(guò)左焦點(diǎn)耳作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P,過(guò)右焦

a2b2

點(diǎn)工作一條直線(xiàn)交C的右支于A，B兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓與-A相切于點(diǎn)。，則()

b2

A.線(xiàn)段AB的最小值為幺

a

B.片AB的內(nèi)切圓與直線(xiàn)A3相切于點(diǎn)F2

C.當(dāng)歸周=|Q周時(shí),C的離心率為2

D.當(dāng)點(diǎn)耳關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在另一條漸近線(xiàn)上時(shí)，C的漸近線(xiàn)方程為氐±y=0

【答案】BD

【解析】

【分析】設(shè)出直線(xiàn)A3方程，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可判斷A,根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義

TT

和內(nèi)切圓性質(zhì)可判斷B,由題可得5=2〃進(jìn)而可判斷C,根據(jù)條件可得漸近線(xiàn)與x軸的夾角為一可判斷

3

D.

22

【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)與=1的右焦點(diǎn)為月（c,o），A（x1,y1）,B（x2,y2）,

ab

7A2

當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x=c,貝UA3|=——，

當(dāng)直線(xiàn)A5斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)A3的方程為丁=左（X-c）,

y=

聯(lián)立,消去，得僅一片左）彳

4/y2y222+2a2ck2x-a2c2k2-a2b2=0,

--tr=1

Yab

2a2ck2a2c2k2+a2b2

12b2-a2k212b2-a2k2

22

2ack八w7b…ib

由<…“菖云〉。,解得上〉一或上<——，

aa

02c2k2+a2b2c

卬—-0-2左2〉°

22加儼+I）_2或2k2

所以|AB|=J（l+左2）［（玉+X2）-4X1X2

a2k2-b2=a2k2-b2~a

2ac2c2c2c2b2

--------r-2a>-------2a=-----

7baa

°帚

所以當(dāng)直線(xiàn)AB與*軸垂直時(shí)，的長(zhǎng)最小，即最小值為工，故A錯(cuò)誤;

a

設(shè)二大A方的內(nèi)切圓與三角形三邊的切點(diǎn)分別是。，及N,由切線(xiàn)長(zhǎng)性質(zhì)，可得

|筋卜忸叫=|A。—忸同=|期|—忸N|,

因?yàn)殂@|=2a=忸用—忸閭，所以|/閡—忸耳|=|A可—忸閱,所以B與N重合,

即.4A3的內(nèi)切圓與直線(xiàn)A8相切于點(diǎn)心，故B正確；

由題可知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為法土分=0,￡(-。,0),貝凰=5^=b,

荷+/

由上可知閨。|=|四卜|你|=2匹所以b=2a,所以e=￡=Jl+(=#,故C錯(cuò)誤；

a\a1

TT

若《關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在另一條漸近線(xiàn)上時(shí)，則漸近線(xiàn)與無(wú)軸的夾角為則其漸近線(xiàn)方程為

y/3x±y=0,故D正確.

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知直線(xiàn)方程為x-y-3=0,則該直線(xiàn)的傾斜角為.

,.711

【答案】一##—兀##45°

44

【解析】

【分析】求出直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而得到直線(xiàn)的傾斜角.

【詳解】直線(xiàn)的斜率為1,設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為8,則tan8=l,

因?yàn)?。€[0,兀)，所以6=:.

7T

故答案為：一.

4

22

14.橢圓c:看+￡=1(0<%<4)上有且僅有4個(gè)不同的點(diǎn)Pj(z=1,2,3,4)滿(mǎn)足山耳=2由旬，其中

Al-1,01,.6(-6,0),則橢圓C的離心率的取值范圍為.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)P的軌跡方程，從而圓好+產(chǎn)=9與橢圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(x,y),由卜21PH得J"+6『+y=2J[x++/,

化簡(jiǎn)得好+/=9,

22

依題意得圓必+y2=9與橢圓c看+2=1(0<%<4)有四個(gè)交點(diǎn),

所以人<3,即/<9,即。2<9,所以J7<c<4,

15.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯^ApolloniusofPerga,約公元前262?190年)發(fā)現(xiàn)：平面上兩定點(diǎn)A,B,

則滿(mǎn)足愛(ài)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓，后人稱(chēng)這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.在直角坐

標(biāo)系xOy中，已知A(4,0),5(l,0),C(l,-4),動(dòng)點(diǎn)〃滿(mǎn)足幽=2,則ZW4c面積的最大值為

MB

【答案】13

【解析】

【分析】根據(jù)題意求點(diǎn)M的方程與邊AC,利用圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最遠(yuǎn)距離為圓心到直線(xiàn)的距離加上半

徑，即可求出邊AC的高，進(jìn)而求出ZW4c面積的最大值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x，y),MA=y](x-4)-+y2,MB=+y2

MAc

---二2

MB

J(尤-4)2+/=2J(%―1)2+/

/+y2=4,故點(diǎn)"的方程為％2+,2=4.

直線(xiàn)AC的方程為4x—3y—16=0

.|-16|16

圓心（0,0）到直線(xiàn)AC的距離d=也；+（；）2=T-

設(shè)點(diǎn)N到邊AC的高為無(wú)，/z=—+2=—

max55

\AC\=7（4-l）2+（0+4）2=5

的最大值為gx5xg=13.

故答案為：13.

16.如圖拋物線(xiàn)口的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線(xiàn)為小焦準(zhǔn)距為4；拋物線(xiàn)上的頂點(diǎn)為8,焦點(diǎn)也為「

準(zhǔn)線(xiàn)為，2,焦準(zhǔn)距為6.:T］和：T2交于P、。兩點(diǎn)，分別過(guò)P、。作直線(xiàn)與兩準(zhǔn)線(xiàn)垂直，垂足分別為〃、

N、S、T,過(guò)歹的直線(xiàn)與封閉曲線(xiàn)AP3。交于C、。兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

司

TQS

「25"

0|AB|=5；②四邊形MNST的面積為40n；@FS-FT=Q；④的取值范圍為5,y.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得|4用=5判斷①，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物

線(xiàn)口的方程為V=8x,可得|MT|=|NS|=4C，進(jìn)而判斷②，利用拋物線(xiàn)的定義結(jié)合條件可得

JT

N7FS=—可判斷③，利用拋物線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷④.

2

【詳解】設(shè)直線(xiàn)A3與直線(xiàn)LA分別交于G、由題可知|G4|=|”|=2,|EB|=|BH|=3,

所以|GM=WM=10,|AB|=5,故①正確；

如圖以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則/（2,0）,4：x=-2,

所以?huà)佄锞€(xiàn)r?的方程為V=8%,

連接PF,由拋物線(xiàn)的定義可知|尸耳=|"P3尸耳=|NP|,X|W|=10,

所以％=3,代入丁二球，可得力=26，

所以|MT|=|NS|=4#,X|W|=1O,故四邊形跖VST的面積為40幾，故②正確；

連接QE，因?yàn)閨。司=|。刀=|。司，所以NQFT=NQTF,ZQFS=ZQSF,

7y

所以Z.TFS=ZQFT+ZQFS=+/℃；+'QSF=|

故鄧?尸丁=0，故③正確；

根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)。在封閉曲線(xiàn)APBQ的上部分，

設(shè)C。在直線(xiàn)k,/2上的射影分別為G,2,

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線(xiàn)6P，點(diǎn)。在拋物線(xiàn)AQ上時(shí)，|cq=|CG|+|￡@|,

當(dāng)。,。與4,3重合時(shí)，|。。|最小，最小值為|CD|=5,

當(dāng)。與尸重合，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)AQ上時(shí)，因?yàn)镻（3,2、/可，尸（2,0）,

直線(xiàn)CD:y=2"（九一2）,

與拋物線(xiàn)「1方程為/=8x聯(lián)立，可得31—13X+12=0，

1325

設(shè)。（七,%）,。（%2，%），則可+尤2=§，|。。|=石+%+4=§,

「2S一

所以|CD|e5,y；

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線(xiàn)24,點(diǎn)。在拋物線(xiàn)AQ上時(shí)，設(shè)CD:x=9+2,

與拋物線(xiàn)「I的方程為/=8x聯(lián)立，可得V-89-16=0,

設(shè)。（七，％），。（X4，％），則%+%=8,|8|=七+*4+4=《%+%）+8=8產(chǎn)+828,

當(dāng)/=0,即CDLAB時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)|CD|e8,y；

「25~

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線(xiàn)Q4,點(diǎn)C在拋物線(xiàn)QB上時(shí)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，|S|e5,y；

「25-

綜上，|CD|e5,—,故④正確.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合拋物線(xiàn)定義可求解長(zhǎng)度和角度問(wèn)題，判斷①②，

根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，判斷NQET=NQ7F,ZQFS=ZQSF,

UH/sc/CB,/CK/QTF+NQFT+/QFS+/QSF?！坝尧桕底?/p>

從而ZTFS=ZQFT+ZQFS=—----------——---------------=-,從而判斷③，

分別討論C、。的位置，然后判斷CD的取值范圍，判斷④，是本題的難點(diǎn).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，己知直四棱柱A3CD—中，A4]=2,底面ABCD是直角梯形，NA為直角,AB〃C。，

AB=4,AD=2,￡>C=b請(qǐng)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的概念求解.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以DA,DC,DR所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,0,0),A(2,0,0),5(2,4,0),C(0,l,0),4(2,0,2),B/2,4,2),￡(0,1,2),D/0,0,2).

18.圓V+y2—2%—8丁+13=0截直線(xiàn)雙+y—1=0所得的弦長(zhǎng)為26，求〃的值

4

【答案】—

3

【解析】

【分析】先化圓標(biāo)準(zhǔn)式方程，再求圓心到直線(xiàn)距離，最后根據(jù)垂徑定理列方程解得結(jié)果.

［詳解］Qx2+y2-2x-8y+13=0.\（x-1）2+（y-4）2=4

|〃+4—11|〃+3|

因此圓心到直線(xiàn)依+y—1=0距離為「—=r-——

+1，/+］

因?yàn)閳A好+y2-2%—8y+13=0截直線(xiàn)公+,一1=0所得的弦長(zhǎng)為26，

所以（2^11）2+（拽了=4二a=—3

V77123

【點(diǎn)睛】本題考查由圓弦長(zhǎng)求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

19.已知拋物線(xiàn)C:y2=2Pxs0）的焦點(diǎn)為%）（%>0）是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)且三角形MOF的面積為工

8

（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），不過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C交于P,。兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,

過(guò)點(diǎn)M作MN，P。交PQ于點(diǎn)N.

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）求證直線(xiàn)尸。恒過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)N的軌跡方程.

【答案】（1）/=%；（2）證明見(jiàn)解析，一+丁―3x+l=0（xWl）.

【解析】

【分析】（1）由題可得為=而，利用條件可求°=；，即得；

（2）由題可設(shè)直線(xiàn)P。的方程為1=沖+。，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理法可得直線(xiàn)P。恒過(guò)定

點(diǎn)，然后利用條件可求點(diǎn)N的軌跡方程.

【詳解】（1）由題意得先=而，

故SvMOF=彳*與X^2p=—,解得P=—>

LLo2

故拋物線(xiàn)C的方程為y2=x.

（2）易得”（1,1）,由題意可設(shè)直線(xiàn)尸。的方程為％=5Y+a,P（玉,％）,。（馬,多），

x=my+a,

由〈2，消去x，-my-a=0,

U=%

故A=+4〃>0,%+%=yxy2——a,

因?yàn)镹PM2=90°,

所以MP-MQ=0,即(七一1)(%—1)+(%—1)(%-1)=°，

整理得xlx2-(xl+x2)+y1y2-(yl+y2)+2=0,

即寸式—(％+%)2+3%%—(%+%)+2=0，

??6/2一根2—3a—M+2=0，

313

所以〃——=加+—或〃—

222

當(dāng)〃一?!=—［加+,即〃=一切+1時(shí)，

直線(xiàn)尸。的方程為％=絲+〃=M(丁-1)+1,此時(shí)直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(U),不合題意舍去;

31

當(dāng)Q—=m+—,即〃=加+2時(shí)，

22

直線(xiàn)PQ的方程為x=njy+a=m{y+X)+2,此時(shí)直線(xiàn)尸。恒過(guò)定點(diǎn)H(2,-l).

設(shè)N(x,y),

uuuuuu.

則由政VLNW，即MV-NH=0，

^(x-l)(x-2)+(y+l)(y-l)=0,

即點(diǎn)N的軌跡方程為x2+y2-3x+l=0(x^1).

20.如圖，在四棱錐P—A6CD中，平面PCD,平面A3CD,且-PCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四

邊形A3CD是矩形，3c=20，M為6C的中點(diǎn).

AB

(1)求證：AM±PM；

(2)求直線(xiàn)P3與平面AMP所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)。到平面AMP的距離.

【答案】(1)見(jiàn)解析.

⑵旦

6

⑶城

3

【解析】

【分析】(1)以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)。A、。。為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可

求得

(2)利用空間向量法可求得直線(xiàn)PB與平面AMP所成角的正弦值

(3)利用空間向量法可點(diǎn)。到平面AMP的距離.

【小問(wèn)1詳解】

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)DA。。為無(wú)軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意，可得

D(0,0,0),P(0,1,A/3),A(2A/2,0,0),3(20,2,0)

2,0),PM=(也,1,-為鵬=(-V2,2,0)，,PMAM=(e,1,-6)?(-2,0)=0,

即PM±AMAM_LPM.

【小問(wèn)2詳解】

r

設(shè)〃=(羽y,z)為平面AMP的法向量，

n.PM=0,^2%+y-6z=0,

則即L

n.AM=0,[-yjlx+ly=0,

取y=l,得"=(拒』,6).

PB=(272,1,-73),

sin〈PB.“〉=kos〈P3.〃〉|=J'；：=與.

?1\PB\\n\6

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)點(diǎn)。到平面AMP的距離為d,由⑵可知〃=(72,1,73)為平面AMP的一個(gè)法向量，

又SDu平面SW,所以ABLSD

（2）根據(jù)（1）可知：過(guò)點(diǎn)A作z軸垂直平面ABCD

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z

設(shè)AB=2,所以4（0,0,0）,3（2,0,0）,。（0,2,0）,5（0,1,百）

所以S。=（0,1,—G）,=（2,—2,0）

設(shè)平面SDB的一個(gè)法向量為n=（%,y,z）

n-SD=0y-#>z=0

所以〈=>〈-令z=6所以x=y=3

n-DB=0[2x-2y=0

所以“=（3,3,G）

平面必⑦的一個(gè)法向量為m=（1,0,0）

n\-n3\/21

所以二面角A—SO—5的余弦值為p-jp=[x同=一廠

【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明以及面面角的求法，熟練掌握線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間的關(guān)系以及利用

向量的方法求解線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角，屬中檔題.

L4

22.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，一個(gè)焦點(diǎn)為尸（、瓦0）的橢圓被直線(xiàn)>=*-1截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為二.

（1）求此橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)/：y=C+m（人/0,7%>0）與橢圓交于尸,Q兩點(diǎn)，且以P。為對(duì)角線(xiàn)的菱形的一個(gè)頂點(diǎn)為

M（-l,0）