四川省南充市高三第二次模擬（理）試卷試題

南充高中高2021級(jí)高三第二次模擬

數(shù)學(xué)試卷（理）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合/={T°/LN={xeNklWxW2},則等于（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{x|-l<x<2}D.{-1,0,1,2）

【答案】D

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)集合N,根據(jù)并集的定義寫出MuN.

【詳解】2V={xeN|-l<x<2}={0,l,2},

...MuTV={-1,0,1,2）.

故選：D.

-2-i

2.復(fù)數(shù)---的共軌復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

1+i+i3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合共軟復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

-2-i-2-i

【詳解】E=-2T,其共軌復(fù)數(shù)為-2+i，

1+i+i3

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-2,1）所在的象限為第二象限.

故選：B.

3.在中國(guó)文化中，竹子被用來象征高潔、堅(jiān)韌、不屈的品質(zhì).竹子在中國(guó)的歷史可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)代，早在

新石器時(shí)代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了.竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡(jiǎn)、竹簽、竹扇、竹筐、

竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積四,%人,為（單位:

L)依次成等差數(shù)列，若%+4+4=3.6,ag=0.4,則見+a2T------Ftz9=()

A5.4B,6.3C.7.2D.13.5

【答案】C

【解析】

9

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得叼=12,進(jìn)一步利用％+出+…+%=5（%+%）進(jìn)行求解即可?

【詳解】???{4}為等差數(shù)列，

q+/+4=3a2=3.6,故%=12

9,、

％+電+…+Q9=Q（"1+Q9）

99

=—（2+tz8）=—x（1.2+0.4）=7.2.

故選：C.

4.已知a,4都是第二象限角,則“sin（a-1）＞（P是”tana＞tan。呃（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可得正確的選項(xiàng).

【詳解】若sin（a一日）＞0,貝依吊＜7（：05，一（：05。5也尸＞0即5也（/（：05，〉（：05（75①，，

而a,尸都是第二象限角，故cos/cosa〉0,故tana〉tan",

故"sin（tz—萬）＞0"是"tana＞tan，”的充分條件.

若tana〉tan夕，因?yàn)閍,/?都是第二象限角，故cos，cosa〉0,

所以sinacos,＞cosarsing即sin（a—尸）＞0,

故"sin（a-4）＞0tana＞tan"”的必要條件，

所以"sin（a-尸）＞0"是"tana〉tan夕”的充要條件.

故選：C.

5.將函數(shù)/（x）=2cos12x—的圖象向左平移E個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則曲線y=g（x）

與直線y=6的所有交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得g(x)=2cos(2x-?,再解方程求解可得答案.

6

【詳解】函數(shù)/(X)=2cos12X-3的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到函數(shù)g(x)的圖象，g(x)=2cos(2x+￡-￡)=2cos(2x-g),

326

令2cos(2%—2)=6,cos(2x--)=，

662

ITITTT7T

則2x—=2尤兀+—,k、eZ,或2x—=2左2?！?￡Z,

6666

即1=左1兀+四，k、eZ,或％=左2兀，左2￡Z,

6

一,口717711371

可得X=-，—，---，…，

666

x=0,兀,2兀,…,

7T

相鄰交點(diǎn)距離的最小值為一.

6

故選：A.

6.設(shè)加、〃是不同的直線，a、￡是不同的平面，以下是真命題的為()

A.若tz_l_分，加//tz,則加，夕B.若〃_L(z,,，夕，則夕//a

C.若eJ_耳，加_1_戊，則加//夕D.若加_La,加_1_"，則〃//a

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，借助于正方體，逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】

對(duì)于A,如上圖正方體中，設(shè)平面48與4為

平面481GA為P,CD為m,

滿足mlla,此時(shí)加//萬，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)椤╛L(z,n工(3,a、產(chǎn)是不同的平面，則必有/?//a,

故B正確；

對(duì)于C,如上圖正方體中，設(shè)平面/8片4為

平面451G2為/,為m,

滿足以_1_?,mA-a,此時(shí)加U，，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如上圖正方體中，設(shè)平面28用4為a,

4R為m,44為n,

則滿足M_La,m-Ln,此時(shí)“ua,故D錯(cuò)誤.

故選:B.

7.已知函數(shù)”x)的局部圖象如圖所示，則"X)的解析式可以是()

A.f(%)=-sin-^-xB.=e|v|-cos^x

7171

C/(x)=In|x|-sin—xD./(x)=In|x|cos-x

,22

【答案】D

【解析】

【分析】利用排除法，根據(jù)奇偶性和/(X)在xe(O,l)時(shí)的函數(shù)值正負(fù)可排除.

【詳解】由圖可得/(x)的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，即/(X)為偶函數(shù)，

7

其中A選項(xiàng)，/(-x)=eH.sin1x=_eH,sinLx=^f^,故/(x)為奇函數(shù)，與圖象不符，故排

除A；

C選項(xiàng)，/(-x)=In|-x|-sinf-j=-In|x|-sinyx=-/(x)-故/(x)為奇函數(shù)，與圖象不符，故

排除c；

B選項(xiàng)，當(dāng)xe(O,l)時(shí)，0同〉0，cos—x>0,則/(x)>0,與圖象不符，故排除B.

故選：D.

8.AA8C的外接圓的圓心為。，半徑為1,2AO=AB+AC>且|)|=|彳回，則向量血在向量能方

向上的投影為()

A.--B,—C.--D.1

2222

【答案】D

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)=+，可得礪=-*，則。，民C共線，由4瓦。均在圓上，且。為圓心，

故為直徑，求得N4BC=60°，利用數(shù)量積的幾何意義可得結(jié)果,.

因?yàn)?%=益+/，所以2厲+方+充=6，

所以E+益+方+%=。，

所以礪=一反，

所以。，民C共線，

因?yàn)?瓦。均在圓上,且。為圓心，故為直徑，長(zhǎng)度為2,在圓上直徑所對(duì)的角為直角，所以商，公,

因?yàn)閨刀=|方，所以|厲=|方|=1,

又因?yàn)閨就|=2,所以N48C=60°

,如圖所示.

____—.1

所以向量而在向量BC方向上的投影為IA4IcosZABC=-.

【點(diǎn)睛】向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是:

（1）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（2）三角形法則（兩箭頭間向量

是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題,

往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單）.

9.甲乙兩位游客慕名來到百色旅游，準(zhǔn)備分別從凌云浩坤湖、大王嶺原始森林、靖西鵝泉和樂業(yè)大石圍天

坑4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)，已知甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則甲和乙恰好一人選擇樂業(yè)大石圍天坑的

概率為（）

3311

A.—B.-C.-D.一

4824

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合古典概型概率公式和排列組合公式，即可求解.

C'r11

【詳解】則甲和乙恰好一人選擇樂業(yè)大石圍天坑的概率P==-

A：2

故選：C

22

10.過雙曲線￡：=-2=l（a〉0S〉0）的左焦點(diǎn)尸作的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為？，該切線與

雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)4若成=3而，則雙曲線E的離心率為（

【答案】C

【解析】

【分析】取線段NT中點(diǎn)，根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及直角三角形勾股定理求解作答.

【詳解】令雙曲線E的右焦點(diǎn)為戶'，半焦距為c,取線段NT中點(diǎn)連接。川

FkO

因?yàn)镋4切圓/+/=/于T,則有|尸7|=5?！竱2_|。7『=舊一］=b，

因?yàn)槌?3百，則有|2"|=|九"|=|/。=6,\AF'|=|AF\-2a=3b-2a,

而。為"，的中點(diǎn)，于是尸M//OT,即/\F'M\=2\0T\=2a,

在Rt△/尸M中，(2行+/=(36-2a)2,整理得2=—,

a2

所以雙曲線￡的離心率6=￡=J1+4=R叵.

a\a22

故選：C

11.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(x—l)+exT—e「x—x+4,則滿足/(x)+/(3—2x)<6的x的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-co,-3)D.(-3,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=sinx+ex—b―x,xeR,發(fā)現(xiàn)g(x)為奇函數(shù)，從而可得/(x)的對(duì)稱中心為

(1,3),得到/(x)+/(2-x)=6,再通過求導(dǎo)可得g(x)與/(x)在R上單調(diào)遞增，繼而求解不等式即可.

【詳解】設(shè)g(x)=sinx+eX—ef—x,xeR,

由g(-X)=sin(-x)+e~x-ex+x,得g(x)+g(-x)=0,

所以g(x)為奇函數(shù)，

而/(x)=sin(x-l)+eA'_1-el-x-x+4=sin(x-l)+ex-1-el-JC-(x-l)+3=g(x-l)+3,

則其圖象是g(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，

所以/(x)的對(duì)稱中心為(1,3),所以〃x)+/(2—x)=6,

因?yàn)間(x)=sinx+eA-e-r-x,xeR,所以g[x)=cosx+e*+e-x-1,

x

可得d+e->2&嘰尸=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，

而一1?cosx<1,貝!J-2Vcosx-1<0,

所以g'(x)=cosx+e”+尸—1?0恒成立，即g(x)在R上單調(diào)遞增，

所以/(x)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(x)+/(3—2x)<6=/(x)+/(2—x),

得/（3-2x）</（2-x）,

所以3-2x<2-x,解得x>l.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx+e'-er-x,xeR,利用其奇偶性結(jié)合函數(shù)圖象的平移

和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得到/（3-2x）</（2-x）,

即3-2x<2-x,解出即可.

12.已知數(shù)列｛4｝：1,1,2,3,5,8,13,……這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記｛4｝

+=

前〃項(xiàng)和為S“.給出以下結(jié)論：①%+。3+%^---。2〃-1=。2"-1，（2）O2+t?4----02?+1,

③5“=。2"+2-1,④如+而+靖+…+4其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得且〃之3時(shí)，-2,運(yùn)用累加法，結(jié)合數(shù)列的遞推式，對(duì)各個(gè)

選項(xiàng)一一判斷，可得結(jié)論.

【詳解】對(duì)于①，由%=%=1,且〃時(shí)，an=an_｛+an_2,

可得4+%+a5H---ha2n-\=+a5H----hai?-\

=%+。5+...+。2”.1=。6+…+。2"-1=…=。2"，故①錯(cuò)誤；

?X寸,%+%+。6+?,,+%〃=4+。2+。4+。6+…+—

=%+。4+。6+…+。2〃—1

=。5++.?.+/〃一1=。2〃+1—1，故②錯(cuò)誤；

?X寸,Sn=Q[+2+。3+…+%=。2+%+。2+%+。4+,?,+〃〃—1

=%+%+。3+。4+…+。n—1=%+。3+。4+…+一1

=a5+a4+...+an—l=...=an+2-1,故③錯(cuò)誤；

對(duì)*于+Q；+Q；+…+=Q]%+Q；+Q；+...+Q；

=。2（。1+。2）+。；+???+&；=a2a3+a3+…+Q；=%。4+.??+*=…=，故④正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推式和累加法的運(yùn)用，關(guān)鍵是反復(fù)利用/=%_]+4_2并項(xiàng)及累

加得出結(jié)論.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

x+y-5>0

13.已知實(shí)數(shù)x，V滿足約束條件|4x-y>0,則z=2x+3y的最小值為.

x-y+l<0

【答案】13

【解析】

【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，平移目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y,找出最優(yōu)解，即可求出z的最小值.

x+j-5>0

【詳解】畫出不等式組<4x-v>0表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：

x-y+l<0

平移目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y,當(dāng)z=2x+3y過點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值,

x-v+1=0

由<得2(2,3),

x+v-5=0

所以z=2x+3y的最小值為2x2+3x3=13.

故答案為：13.

4X-4=0

2n

%+I是函數(shù)f(x)=x-bnx+2的兩個(gè)零點(diǎn)，則狐=

【答案】64

【解析】

【分析】由4，4+1是函數(shù)/(X)=/—"x+2"的兩個(gè)零點(diǎn)，可得4+4計(jì)］=〃，anan+i=r,進(jìn)而由遞

推關(guān)系依次求解數(shù)列的項(xiàng)結(jié)合=aw+an即可得解.

【詳解】由%,%7是函數(shù)/(》)=必—"x+2"的兩個(gè)零點(diǎn)，可得%+4m=如anan+i=T.

2c4c8/16”32o

由q=1,得出=—=2,a3=一=2,a4=一=4,a5=一=4,a6=一=8,

aia2%

=世=16,夕空=16,須=當(dāng)=32,?！何?32

d-yQ

Ao=40+%二64.

故答案為64.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，采用的方法數(shù)一一列舉的方式呈現(xiàn)規(guī)律，屬于中檔題.

22

15.已知直線/過圓(X+2)2+J/=4的圓心，且與圓相交于/,8兩點(diǎn)，尸為橢圓看+會(huì)=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則萬?麗的最大值為.

【答案】32

【解析】

【分析】求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的運(yùn)算推出方.麗=可/_疝2,再由橢圓性質(zhì)即可得解.

【詳解】由題意，H(X+2)2+/=4,

所以設(shè)圓心/(-2,0),半徑為2,

因?yàn)橹本€/過圓(x+2)2+/=4的圓心，且與圓相交于A,3兩點(diǎn)，

所以雙3=一通,

故蘇.麗=(而+而>(而+而)=兩2_疝2引頻f_4,

22

又尸為橢圓上+2=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，易知M(-2,0)為橢圓的左焦點(diǎn)，

1612

故當(dāng)點(diǎn)尸位于橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，|麗|最大，

此時(shí)|初回=4-(-2)=6,

則蘇?麗的最大值為62-4=32.

故答案為：32.

16.已知菱形/BCD中，對(duì)角線3。=2,將△/皿沿著3。折疊，使得二面角/—8?！狢為120°,

AC=3,則三棱錐/-BCD的外接球的表面積為.

【解析】

【分析】將AaaD沿AD折起后，取AD中點(diǎn)為E,連接4E,CE,得到NZEC=120°,在△NEC中

由余弦定理求出/￡的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出的長(zhǎng),分別記三角形△45。與△5CD的重心為G、F,記該

幾何體45CD的外接球球心為。，連接。尸，OG,證明火/AOGE與火/AOEE全等，求出再推出

BDLOE,連接OC,由勾股定理求出OC,即可得出外接球的表面積.

【詳解】將△48。沿折起后，取RD中點(diǎn)為E，連接4E,CE,

則/CELBD,

可知N/EC即為二面角Z—BD—C的平面角，即NZEC=120°；

設(shè)AE—a,則AE=CE=a，

在△ZEC中，由余弦定理可得：AC2=AE-+EC2-2AE-CE-cosnQ°，

gp9=?2+a2-2xtzxtzx解得a=V3，

即AE=Vs，可得AB=Jl+3=2，

所以△4BD與ABCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

分別記三角形△/皿與ABCD的重心為G、F,

則EG=ER=」ZE="，CF=-CE=^~;EF=EG；

3333

因?yàn)椤?5。與△BCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以點(diǎn)G是AABD的外心，點(diǎn)尸是公BCD的外心；

記該幾何體A8CO的外接球球心為。，連接。尸，OG,

根據(jù)球的性質(zhì)，可得OFJ_平面BCD,0G,平面48。,

所以AOGE與△。也都是直角三角形，且?！隇楣策?

所以Rt^OGE與Rt^OFE全等，因此NOEG=ZOEF=-AAEC=60°,

2

FF

所以-------=1;

tan60°

因?yàn)镃ELBD,AEICE=E,/￡,CE<z平面/EC,

所以平面AEC；

又?！?lt;=平面/EC,所以BDJ.OE,

連接。C,則外接球半徑為。。2=。廠2+0/2=」,

3

r。Q

所以外接球表面積為S=4兀義’=旦.

33

?28兀

故答案為：----.

3

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解幾何體外接球體積或表面積問題時(shí)，一般需要結(jié)合幾何體結(jié)構(gòu)特征，確定球心位

置，求出球的半徑，即可求解；在確定球心位置時(shí)，通常需要先確定底面外接圓的圓心，根據(jù)球心和截面

外接圓的圓心連線垂直于截面，即可確定球心位置；有時(shí)也可將幾何體補(bǔ)型成特殊的幾何體（如長(zhǎng)方體），

根據(jù)特殊幾何體的外接球，求出球的半徑.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17?21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分

17.2023年冬，甲型流感病毒來勢(shì)洶洶.某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明

顯差異.在某地的兩類人群中各隨機(jī)抽取20人的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指

標(biāo)的頻率分布直方圖，利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值將該指標(biāo)小于。的人判定為陽性,

大于或等于。的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（a）；誤診率是將

未患病者判定為陽性的概率，記為9伍）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，用頻率估計(jì)概率.

患病者

(1)當(dāng)臨界值a=20時(shí)，求漏診率p(a)和誤診率q(a)；

(2)從指標(biāo)在區(qū)間［20,25］樣本中隨機(jī)抽取2人，求恰好一人是患病者一人是未患病者的概率.

【答案】(1)0.1,0.05

⑵3

5

【解析】

【分析】(1)由頻率分布直方圖計(jì)算可得；

(2)利用頻率分布直方圖的特點(diǎn)，再利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖可知p(20)=0.02x5=0.1,q(20)=0.01x5=0.05.

【小問2詳解】

樣本中患病者在指標(biāo)為區(qū)間［20,25］的人數(shù)是20x0.02x5=2,記為4B-未患病者在指標(biāo)為區(qū)間

［20,25］的人數(shù)是20x0.03x5=3,記為見8c,總?cè)藬?shù)為5人.

從5人中隨機(jī)抽取2人有：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc,共10種情況

抽取的兩人恰好一人是患病者一人是未患病者有4a,/aZc,5a,5c,共6種情況

故抽取的兩人恰好一人是患病者一人是未患病者概率為^=|.

18.在①2csin8cosZ=6(sinZcosB+cosZsinB)；②sin?B+sin?C+cos?/-1=sin(/+8)sin(/+C)；

_bsinB+csinC-asmA2.,

③------------------------=FSinZ；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面對(duì)問題中，并解答問題.

csin5V3

在“BC中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.

(1)求A；

(2)若的面積為16百，。為/C的中點(diǎn)，求的最小值.

IT

【答案】(1)條件選擇見解析，/=

⑵472

【解析】

【分析】(1)選①：利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦化簡(jiǎn)求解；選②：利用平方關(guān)系結(jié)合正弦定理

角化邊，再利用余弦定理求解；選③：利用正弦定理角化邊得cosN=*sin/即可求解；

(2)由面積得秘=64,結(jié)合余弦定理和基本不等式求最值.

【小問1詳解】

若選擇①：2csin5cos/=6(sin/cosB+cos/sin5),

由正弦定理可得2sinCsin8cos/=sin5sin(J+5)=sin5sinC,

因Ce(0,7i),8e(0,兀)，故sinCwO,sinBwO,

171

則有cosZ二一，因/￡(0,兀)，故/二Q.

23

若選擇②：sin25+sin2C+cos2A-l=sin(4+8)sin(4+C),

則sin2B+sin2C-sin2A=sin(4+B)sin(Z+C)=sinCsin5,

由正弦定理可得方+。2一〃2=bc,

b1+C1-/

故cos4=

2bc2

因/e(0,兀)，故/=g.

bsinB+csinC-asmA=^sinZ；

若選擇③

csiafiJ3

由正弦定理可得，=立=2

sin4,

再由余弦定理得，cos/=qsinZ,即tanZ=百，

JT

Ae(0,7i),：,A=—

3

【小問2詳解】

S&ABC=萬,in4=1,又4二百，/.be=64,

bj-2cj.c°s巴，

在三角形BCD中，BD2=BA2+AD2-2-BA-AD-cosA=c2+

123

2bb2211,c2b21,1,c

=c-H---------cb>2.c~---------cb=-cb=32，

42422

當(dāng)且僅當(dāng)c=2=4正時(shí)取等號(hào),

2

:.BD的最小值為40?

19.已知多面體48CDEE中，AD//BC//EF,且4D=CD=DE=2,BC=EF=\,

（1）證明：ADLBF；

（2）若BF=C，求二面角C—Z廠—8的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵皿

44

【解析】

【分析】（1）結(jié)合余弦定理先利用線面垂直的判定定理證出2。，平面再由線面垂直的性質(zhì)定理即

可得證；

（2）利用向量法直接求解二面角的余弦值即可.

【小問1詳解】

如圖所示，連接AD,DF,

JI

在△BCD中，DC=2,BC=\,ZBCD=-,

3

BD2=BC2+DC2-2BC-DCcos-=3,

3

所以CZ）2+8。2可得N。3c=5IT，即BDLBC,

同時(shí)可得同理可得止，力O，

又BDu平面ADE,u平面BDF,

且所以平面3。廠；

又因?yàn)?bu平面所以4DLAF.

【小問2詳解】

在VADE中，BD=FD=也,且BF=娓,

即BO?+ED?=892,所以助,陽，同時(shí)8。，/。，DFLAD，

以。為原點(diǎn)，方7,麗，礪的方向分別為X軸、＞軸、Z軸正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖.其中2(2,0,0),8(0,也,0),尸(0,0,我,C(-1,6,0)，

所以方=(-2,V3,0),AF=卜2,0,6),%=(-3,6,0),

設(shè)向量元=(x，N，2)為平面Z3尸的法向量,

n-AB=0—2x+-\/3y-0

滿足＜即「

n-AF=0—2x+J3z—0

不妨令X=百，則＞=z=2,故為=(省,2,2),

設(shè)向量m=(p,q,r)為平面ACF的法向量,

m-AF=0-2p+yf3r=0

滿足＜即1L

m-AC=0一3p+N3q=0

不妨令P=6，則r=2,q=3,故比=(、回,3,2),

Hi?a1313而

所以cos〈龍，萬〉

\m\\n\Vllx444

由圖可知二面角為銳角，所以二面角C-4F-5的余弦值為應(yīng)I

44

＜x

20.已知函數(shù)一x^aeR)有三個(gè)極值點(diǎn)七,》2，匕(芯＜々3)?

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若毛22%,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴

(2)

【解析】

【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化為/'（x）=o有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，再參數(shù)分離為。=至，轉(zhuǎn)化為y=a與

ex

g（x）=*有三個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的圖象，即可求解;

e

(2)首先由ae4=3x；,ae*=3x；轉(zhuǎn)化為％=迎牛J22,t=—>2,

再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求

巧的取值范圍，再根據(jù)a=g（z）=率的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.

【小問1詳解】

函數(shù)/（》）=。/一/（。eR）有三個(gè)極值點(diǎn)^，/，七（看

則/'（X）=ae*-3/=0有三個(gè)不等實(shí)根西,馬，》3（西

即方程a=—有三個(gè)不等實(shí)根X,x2,x3（玉<x2<x3)

ex

3T23x(2-x)

令g(x)=r,則g(%)=

uex

由g'(x)>0得0<X<2,由g'(x)<0得X<0或X>2

g（x）在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,+⑹上單調(diào)遞減,

10,所以［金］。,?

又g(0)=0,g(2)=—

e

【小問2詳解】

由(1)知西<0<%<2<退，ae*=3x；,aeX3=3xj

2

?21nZc

區(qū),令/二三22,則e(T*2=/,X

所以e"3f=2=一~~”-2

t-L

（、2In，》e

令A(yù)9（'）=7T'''2,則9?）=

11-t1

令冽（。=1------lnZ,Z>2,則加'?）=——<0,m（/）<m（2）=--ln2<0

即d⑺<0,夕（?！断Γ?）=21n2,故％2W（0,21n2]

a=g（%）=答在（0,2如2]上單調(diào)遞增,所以ae（0,3（ln2『].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第二問的關(guān)鍵是根據(jù)a=g（x）='-的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求％=——,/22的

取值范圍.

21.已知點(diǎn)/（叫）/0）伉工0）是拋物線C：x2=4y上的定點(diǎn)，點(diǎn)P,0是。上的動(dòng)點(diǎn)，直線4P,/。的斜率

分別為%,左2,且勺+左2=0,直線/是曲線。在A點(diǎn)處的切線.

（1）若X。=2,求直線尸。的斜率；

（2）設(shè)△4P。的外接圓為E,試判斷直線/與圓E的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）-1

（2）相切，理由見解析

【解析】

【分析】（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P,。的方程，結(jié)合直線的斜率公式表示出尢，左2,結(jié)合后1+左2=0

即可求解；

（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可表示拋物線在點(diǎn)A出的切線斜率左=會(huì)，結(jié)合直線垂直關(guān)系求出4P,20的

垂直平分線方程，然后求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合直線的斜率與位置關(guān)系即可求解.

【小問1詳解】

2

若%=2,則％）=半=1,即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,1）,

片一1

設(shè)「（國(guó)，乃），。（%，%），則kKT「4_*+2，

X]—2X]—24

同理得左2=注2

由已知左+左2=%+；2+4=0得X]+%=—4

直線P。的斜率A_Jl-^2_T~T_X1+X2_

K

PQ——~A~

玉-x2Xj-x24

【小問2詳解】

y2,Y

由》2=4^得y=--,其導(dǎo)函數(shù)y=~,

，拋物線。在點(diǎn)A處的切線的斜率左=至，

2

2222

玉x0x2XQ

又k+k=%+%=44+44

X]-Xox2-xoX]-x0x2-x0

rX1+X2+2%_0

一4一'

所以Xj+x2=-2x0,

由（1）知線段4P,2。的中點(diǎn)坐標(biāo)分別為:

,再+/X：+X；、^x2+x0

28JI28J

22

Y+Y4xX1+X。

「?線段AP的中垂線方程為V--工①

o%!+x0

同理可得線段2。的中垂線方程為y-迤14xX2+/

O

4I2-4x+x

由①②消去》得-------十/------------------Xn------2----------0---rZ

國(guó)+x08

即X=_（$+々）（西+%）（%+%）

3216

%,2+2x,x+3xg

代入①得了=--------0-----1-2二2

8

8+6

，A4P0外接圓￡的圓心坐標(biāo)為-

16

7

&+X°)?X；?2X；

則直線AE的斜率k'=一『——飛——上="-

Xo（X]+Xo）xo

^6”。

：.k-k'=-l,即/￡_L/,故直線/與圓E相切.

（二）選考題：共10分.考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

x=2cose

22.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為〈（。為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),

y=-2+2s