建筑力學(xué) 課件 第12章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

第4章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

結(jié)構(gòu)在外界因素作用下，會發(fā)生變形。因此而使結(jié)構(gòu)各點的位置發(fā)生相應(yīng)的改變，這種改變稱為結(jié)構(gòu)的位移。絕對位移截面A角位移A點線位移包含：水平線位移豎向線位移一、結(jié)構(gòu)位移的種類

線位移—

結(jié)構(gòu)上某點沿直線方向移動的距離。角位移—

結(jié)構(gòu)上某截面旋轉(zhuǎn)的角度?！Y(jié)構(gòu)中某一截面位置或方向的改變§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念CD兩點的水平相對線位移：相對位移——結(jié)構(gòu)中某兩個截面之間相對位置或方向的改變AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角：§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念結(jié)構(gòu)中兩截面的相對位移即為兩個截面各自沿相反方向的相應(yīng)的絕對位移之和！二、產(chǎn)生位移的原因

荷載作用

溫度變化和材料脹縮

支座沉降和制造誤差§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念三、位移計算的目的1）驗算結(jié)構(gòu)的剛度：檢驗位移是否超過允許的位移限制2）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算打基礎(chǔ)§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念疊加原理適用(1)線彈性材料(2)小變形四、位移計算的假定五、實功與虛功§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念P1P2Δ11Δ22Δ12ΔPΔ11P1再加P2，P2在自身引起的位移Δ22上作的功為：在Δ12過程中，P1的值不變，相當(dāng)于常力的功。Δ12與P1無關(guān)OABΔij位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因P1在自身引起的位移Δ11上作的功為：P1在位移Δ12上作的功為：P1P2Δ11Δ22Δ12

實功：是力在自身引起的位移上所作的功。如W11，W22，實功恒為正。虛功：是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如W12

如力與位移同向，虛功為正，反向時，虛功為負?！?-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念P1P2Δ11Δ22Δ12

先后坐進汽車?yán)锏膬蓚€人：

虛功：后坐進汽車?yán)锏娜耸蛊囉窒鲁烈欢ǖ奈灰?，前一人的重力在此位移上作虛功?/p>

實功：先坐進汽車?yán)锏娜耸蛊囅鲁烈欢ǖ奈灰?，人的重力在該位移上作實功。虛功——使力作功的位移不是由該力本身引起的，即：作虛功的力與相應(yīng)于力的位移彼此獨立無關(guān)，不存在因果關(guān)系。P112P212P1在Δ12上作虛功：P2在Δ21上作虛功：計算虛功的要點：1）對于單個力：相應(yīng)的位移是該力作用點的位移在力作用方向上的分量。ΔmP（力）（位移）計算虛功的要點：mβ2）對于單個力偶：則相應(yīng)的位移是它所作用截面的轉(zhuǎn)角。P（力）（位移）計算虛功的要點：3）對于等值、反向的一對力：PPttABΔBΔA4）對于等值、反向的一對力偶:AB

ABmm

A

B表示AB兩點間距的改變，即AB兩點的相對線位移AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角（力）（位移）（力）（位移）兩種狀態(tài)：既然力與位移彼此獨立無關(guān)，故可將力與位移視為兩種獨立的狀態(tài)。PΔm力狀態(tài)位移狀態(tài)對于任一結(jié)構(gòu)，其力狀態(tài)上的力在不相干的位移狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的功一定是虛功。

任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體系，當(dāng)由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的無限小連續(xù)變形時，則變形體系所受外力在虛位移上所作的總虛功W，恒等于變形體各微段截面上的內(nèi)力在其虛變形上所作的虛功總和V。即恒有如下虛功方程成立：W

=V外力虛功=內(nèi)力虛功一、變形體系的虛功原理§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法W

=V§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體系（力狀態(tài)），對于同一體系在其它原因作用下的符合約束條件的變形狀態(tài)（位移狀態(tài)），則變形體系力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上所作的總外力虛功W，恒等于變形體力狀態(tài)各微段截面上的內(nèi)力在其位移狀態(tài)的變形上所作的總內(nèi)力虛功V。變形體系虛功原理的另一種說法：外力虛功=內(nèi)力虛功位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法dsds位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12dsds§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法積分是沿桿長積分得到該桿件的內(nèi)力虛功求和是將所有桿件的內(nèi)力虛功相加位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12外力虛功=內(nèi)力虛功§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12——位移計算一般公式（單位荷載法）（給定）（人為設(shè)立）§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法——位移計算一般公式（單位荷載法）計算結(jié)構(gòu)中的指定位移時，題目給定的狀態(tài)作為位移狀態(tài)，而力狀態(tài)一般根據(jù)所求位移的位置和類型加上相應(yīng)的單位荷載來虛設(shè)，稱為虛力狀態(tài)?！灰朴嬎阋话愎剑▎挝缓奢d法）虛力狀態(tài)建立的原則：在所求位移的位置沿所求位移的方向加上單位荷載。二、結(jié)構(gòu)位移計算一般公式：§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法該公式可用來求解位移狀態(tài)上的任何位移！具體的位移與虛力狀態(tài)上所施加的單位力相對應(yīng)。dsdsK實際位移狀態(tài)1ds虛力狀態(tài)二、結(jié)構(gòu)位移計算一般公式：§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法dsdsK實際位移狀態(tài)1ds虛力狀態(tài)該公式一次只能求解一個位移！需要求解多個位移時必須分別建立虛力狀態(tài)然后應(yīng)用公式?！獜澢冃螌ξ灰频挠绊憽S向變形對位移的影響——剪切變形對位移的影響——支座移動對位移的影響§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

上式是普遍公式。（因為在推導(dǎo)中未涉及變形因素、結(jié)構(gòu)類型、材料性質(zhì)）可考慮任何情況：①

變形類型：彎曲、軸向、剪切變形。②產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移動等。③結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超靜定。④材料性質(zhì)：彈性、非彈性。公式中的“△”可以代表任一絕對位移和相對位移！即該公式可以求解任一絕對位移和相對位移！1ds虛力狀態(tài)位移計算的一般步驟：(1)建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位力；(2)求虛力狀態(tài)下的內(nèi)力及反力表達式;(3)用位移公式計算所求位移，注意正負號問題。

若求得⊿為正，表明位移⊿的實際方向與所設(shè)單位荷載方向一致；⊿為負則表明位移⊿的實際方向與所設(shè)單位荷載方向相反?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法三、虛力狀態(tài)的建立方法：在所求位移的位置，沿所求位移的方向施加單位力（或單位力偶）?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法1、求絕對位移

求圖示結(jié)構(gòu)上A點的豎向線位移或水平線位移§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求圖中結(jié)構(gòu)上截面A的角位移，可在該處加一單位力偶。§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求如圖所示桁架中AB桿的角位移，則應(yīng)在桿件上加一個單位力偶。在鏈桿兩端結(jié)點上施加的一對力（大小等于桿長的倒數(shù)，方向垂直于桿軸），相當(dāng)于在該桿上施加了一個單位力偶?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求圖中結(jié)構(gòu)上A、B兩點沿其連線方向的相對線位移，可在該兩點沿其連線加上一對方向相反的單位力。2、求相對位移§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求兩個截面的相對角位移，可在這兩個截面上加兩個方向相反的單位力偶。（求鉸A左右兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角）AB§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求如圖所示桁架中AB桿和CB桿的相對轉(zhuǎn)角，即

ABC的改變量，則應(yīng)加一對方向相反的單位力偶。二、結(jié)構(gòu)位移計算一般公式：§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法該公式可用來求解位移狀態(tài)上的任何位移！具體的位移與虛力狀態(tài)上所施加的單位力相對應(yīng)。dsdsK實際位移狀態(tài)1ds虛力狀態(tài)二、結(jié)構(gòu)位移計算一般公式：§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法dsdsK實際位移狀態(tài)1ds虛力狀態(tài)該公式一次只能求解一個位移！需要求解多個位移時必須分別建立虛力狀態(tài)然后應(yīng)用公式。三、虛力狀態(tài)的建立方法：在所求位移的位置，沿所求位移的方向施加單位力（或單位力偶）?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法1、求絕對位移

求圖示結(jié)構(gòu)上A點的豎向線位移或水平線位移§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求圖中結(jié)構(gòu)上截面A的角位移，可在該處加一單位力偶?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求如圖所示桁架中AB桿的角位移，則應(yīng)在桿件上加一個單位力偶。在鏈桿兩端結(jié)點上施加的一對力（大小等于桿長的倒數(shù)，方向垂直于桿軸），相當(dāng)于在該桿上施加了一個單位力偶。§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求圖中結(jié)構(gòu)上A、B兩點沿其連線方向的相對線位移，可在該兩點沿其連線加上一對方向相反的單位力。2、求相對位移§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求兩個截面的相對角位移，可在這兩個截面上加兩個方向相反的單位力偶。（求鉸A左右兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角）AB§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求如圖所示桁架中AB桿和CB桿的相對轉(zhuǎn)角，即

ABC的改變量，則應(yīng)加一對方向相反的單位力偶?！?-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移研究對象：靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性材料。dsK1ds實際位移狀態(tài)虛力狀態(tài)dsdsdsd

,du,dv,dsK實際位移狀態(tài)d

,du,dv,dsdsds§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移——荷載下的位移計算公式實際位移狀態(tài)的荷載引起的內(nèi)力、、虛力狀態(tài)的單位荷載引起的內(nèi)力、、k

截面形狀系數(shù)1.2§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移抗彎剛度抗拉剛度抗剪剛度

梁和剛架

桁架——忽略剪切變形和軸向變形對位移的影響——內(nèi)力只有軸力，且同一桿件內(nèi)所有截面軸力均相同積分法計算梁和剛架位移的步驟：（1）求實際荷載作用下任意截面x的彎矩方程

；（2）求虛設(shè)單位荷載作用下任意截面x的彎矩方程；（3）代入公式計算所求位移。（直桿）§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移計算桁架位移的步驟：（1）求實際荷載作用下各桿的軸力

；（2）求虛設(shè)單位荷載作用下各桿的軸力；（3）代入公式計算所求位移?！?-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移【例】求圖示矩形截面懸臂梁在A端的豎向位移。解：實際荷載lx虛力狀態(tài)lx1、實際荷載作用下的內(nèi)力2、建立虛力狀態(tài)§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移【例】lxlx3、求（）求圖示矩形截面懸臂梁在A端的豎向位移。實際荷載虛力狀態(tài)§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移【例】圖示簡支梁受集中荷載作用。試求梁兩端截面A、B的相對轉(zhuǎn)角。解：1、實際荷載作用下的內(nèi)力2、建立虛力狀態(tài)，求內(nèi)力ablabl（）x虛力狀態(tài)xx00解：求圖示剛架C端的角位移。已知抗彎剛度為EI。實際荷載作用下的內(nèi)力為：AB桿BC桿建立虛力狀態(tài)：AB桿BC桿aaxABCq（）【例】xxx虛力狀態(tài)【例】解：求桁架結(jié)點B的豎向位移，各桿EA=常數(shù)。dddddABCDE實際荷載作用下的內(nèi)力ABCDE

虛力狀態(tài)下的內(nèi)力（）求ΔDy5P－8PF=15/3－4/30000000000－1－3P（）各桿EA=常數(shù)，PPP4m×3=12m3mABDC

梁和剛架

桁架求梁和剛架位移的積分法能否改進？桿軸為直線；EI＝常數(shù)；

圖和圖中至少有一個為直線圖形ABdxABx圖乘法條件dAxy

§4-4圖乘法桿軸為直線；EI＝常數(shù)；

圖和圖中至少有一個為直線圖形ABdxABCx圖乘法條件dAAxy

§4-4圖乘法正負號規(guī)則：面積A與縱標(biāo)yC同側(cè)為正，反之為負圖乘法公式：A不一定是MP圖的面積，但yC必須取自直線彎矩圖！§4-4圖乘法yC

—是與計算面積A的彎矩圖之形心所對應(yīng)的在另一個直線彎矩圖上的彎矩縱標(biāo)！A和yC必須取自兩個不同的彎矩圖！圖乘法公式：§4-4圖乘法圖乘法計算步驟：1、作MP圖；2、建立虛力狀態(tài)，作M圖；3、用圖乘法公式求位移。A1圖乘具體問題：1、兩個直線圖形相乘——可直接圖乘A2§4-4圖乘法A1§4-4圖乘法A12、反梯形與三角形相乘——可直接圖乘A1A23、應(yīng)用疊加法分面積A1A2A3§4-4圖乘法二次拋物線4、曲線圖與折線圖相乘——應(yīng)分段圖乘§4-4圖乘法A1A2A3A4二次拋物線l/3A=hl/2lhl/2l/2h二次拋物線A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線A=hl/3二次拋物線A=2hl/3h頂點幾種常見圖形的面積和形心位置:頂點頂點在彎矩圖形的頂點處，剪力應(yīng)為零！只有當(dāng)頂點存在，才能采用面積公式和形心坐標(biāo)！【例】求圖示矩形截面懸臂梁在A端的豎向位移。解：l實際荷載作用下的內(nèi)力圖

虛力狀態(tài)下的內(nèi)力圖l（）A虛力狀態(tài)qllEIB1l求B點豎向位移。ql2/83ql2/2A1A2

非頂點！q（）【例】解：求圖示剛架C端的角位移。已知抗彎剛度為EI。aaABCqABCABCABC11A1A2（）【例】解：求圖示剛架在均布荷載作用下點B的水平位移。EI為常數(shù)。qllABCBAC（）ABCA1A2A3

已知EI

為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角。lqll

已知EI

為常數(shù)，求B截面轉(zhuǎn)角。3m4m2m虛力狀態(tài)3m4m2mA1A2

判斷下列圖乘結(jié)果正確與否：

①Ay0②③④A1y1A2y2⑤⑥

（

）√AAy0y0（

）×AAy0y0（

）×（

）×（

）×（

）×桿軸為直線；EI＝常數(shù)；

圖和圖中至少有一個為直線圖形ABABC圖乘法條件A§4-4圖乘法圖乘法公式：正負號規(guī)則：面積A與縱標(biāo)yc同側(cè)為正，反之為負圖乘法公式：A不一定是MP圖的面積，但yc必須取自直線彎矩圖！§4-4圖乘法yc

—是與計算面積A的彎矩圖之形心所對應(yīng)的在另一個直線彎矩圖上的彎矩縱標(biāo)！A和yc必須取自兩個不同的彎矩圖！圖乘法公式：§4-4圖乘法圖乘法計算步驟：1、作MP圖；2、建立虛力狀態(tài)，作M圖；3、用圖乘法公式求位移。A1圖乘具體問題：1、兩個直線圖形相乘——可直接圖乘A2§4-4圖乘法A1§4-4圖乘法A12、反梯形與三角形相乘——可直接圖乘A1A23、