建筑力學 課件 第十二章 靜定結構的位移

§12靜定結構的位移結構的位移:平動產(chǎn)生線位移、轉動產(chǎn)生角位移線位移角位移AFP相對線位移CDFP相對角位移

結構在外界因素作用下，會發(fā)生變形。因此而使結構各點的位置發(fā)生相應的改變，這種改變稱為結構的位移。一、結構位移的種類二、產(chǎn)生位移的原因

荷載作用產(chǎn)生變形

溫度變化和材料脹縮

支座沉降等靜定結構位移的概念本專業(yè)僅要求掌握靜定結構在荷載作用下產(chǎn)生的位移！三、實功與虛功P1Δ11ΔPΔ11P1OABΔij位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因P1在自身引起的位移Δ11上作的功為：§12-2虛功原理&結構位移計算公式

實功：力在自身引起的位移上所作的功。如W11，實功恒為正。狀態(tài)1

在簡支梁上先加載P1

，使力P1作用點的位移達到終值△11;

狀態(tài)2

再加載P2，使力P1的作用點發(fā)生位移△12;W12=P1△12即狀態(tài)1的力在狀態(tài)2的位移上做功。

力P1在位移△12上作的功叫虛功,表示為：

P1P2Δ11Δ22Δ12在Δ12過程中，P1的值不變，相當于常力的功。虛功：力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如W12

如力與位移同向，虛功為正，反向時，虛功為負?！?2由P2引起的，與P1無關?！?2-2虛功原理&結構位移計算公式P1P2Δ11Δ22Δ12

先后坐進汽車里的兩個人：

虛功：后坐進汽車里的人使汽車又下沉一定的位移，前一人的重力在此位移上作虛功。

實功：先坐進汽車里的人使汽車下沉一定的位移，人的重力在該位移上作實功?！?2-2虛功原理&結構位移計算公式狀態(tài)2

W12=P1△12即狀態(tài)1的力在狀態(tài)2的位移上做功。

力P1在位移△12上作的功叫虛功,表示為：

P1P2Δ11Δ22Δ12P1Δ11狀態(tài)1

力P:可以是集中力、集中力偶和支座反力等，稱為廣義力；位移△:與廣義力相對應的廣義位移。廣義力和廣義位移乘積應具有功的量綱！§12-2虛功原理&結構位移計算公式外力虛功=內力虛功變形體系的虛功原理

任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體系，當由于其他原因產(chǎn)生符合約束條件的微小的連續(xù)虛位移，則外力在相應虛位移上所作虛功恒等于內力在相應變形上所作的虛功，即虛功原理在具體應用時有兩種方式：（1）虛力原理：對于給定的位移狀態(tài)，另虛設一個力狀態(tài)，利用虛功方程來求解位移狀態(tài)中的位移。（2）虛位移原理：對于給定的力狀態(tài)，另虛設一個位移狀態(tài)，利用虛功方程來求解力狀態(tài)中的未知力?！?2-2虛功原理&結構位移計算公式△kP=?

如何求荷載作用下，該結構某位置在某指定方向的位移？例如：求該結構在荷載作用下D點沿著k方向的線位移D結構位移計算公式D實際受力狀態(tài)（狀態(tài)1）虛擬受力狀態(tài)（狀態(tài)2）△kP=?

D結構位移計算公式D實際受力狀態(tài)（狀態(tài)1）狀態(tài)1(實際受力狀態(tài))中的內力:

狀態(tài)1(實際受力狀態(tài))中的變形:拉壓變形、剪切變形、彎曲變形dsdu

dsdθds

dv結構位移計算公式k—等效修正系數(shù)6/510/9

虛擬狀態(tài)中只在所求位移地點沿所求位移方向加一單位荷載，以使荷載虛功恰好等于所求位移，這種計算位移的方法稱為——單位荷載法

等于狀態(tài)2中的內力在狀態(tài)1中的相應變形上作的虛功:結構位移計算公式BAC

（a）求B點水平方向位移ΔBx

ACB（b）求B點豎直方向位移ΔCyBAC（c）求C截面轉角φC

（d）求AB兩點水平方向相對位移ΔABAB

A

B（e）求AB兩點豎直方向相對位移ΔAB

如何施加單位力：在所求位移的位置沿所求位移的方向加上單位荷載（單位力或單位力偶)。例如：(f)求C左右兩側截面相對轉角φC

C

實際位移狀態(tài)的荷載引起的內力、、虛力狀態(tài)的單位荷載引起的內力、、k

剪切截面形狀系數(shù)k=1.2抗彎剛度抗拉剛度抗剪剛度求和是將所有桿件的內力虛功相加積分是沿桿長積分得到該桿件的內力虛功結構位移計算公式

梁和剛架

桁架——忽略剪切變形和軸向變形對位移的影響——內力只有軸力，且同一桿件上軸力為常數(shù)靜定結構位移計算公式

組合結構——剛架和桁架組合（僅了解）積分法計算梁和剛架位移的步驟：

（直桿）靜定結構由荷載引起的位移計算桁架位移的步驟：

靜定結構由荷載引起的位移（直桿）求圖示懸臂梁在A端的豎向位移，梁的EI已知。解：實際荷載lx虛力狀態(tài)lx1、實際荷載作用下的內力2、虛力狀態(tài)下的內力例題（）3、計算位移

解：實際荷載lx虛力狀態(tài)lx1、實際荷載作用下的內力2、虛力狀態(tài)下的內力例題3、計算位移（）圖示簡支梁受集中荷載作用。求梁兩端截面A、B的相對轉角。解：1、實際荷載作用下的內力2、建立虛力狀態(tài)，求內力ablabl（）x虛力狀態(tài)x00例題3、代入公式計算位移解：求桁架結點B的豎向位移，各桿EA=常數(shù)。dddddABCDE實際荷載作用下的內力ABCDE

虛力狀態(tài)下的內力（）例題求ΔDy5P－8P

5/3－4/30000000000－1－3P（）各桿EA=常數(shù)，PPP4m×3=12m3mABDC例題計算兩種狀態(tài)下各桿軸力：解：在B、D兩點施加一對反向共線的單位力求桁架B、D兩點相對位移，各桿EA=常數(shù)。例題

求圖示剛架C點的水平位移，剛架各桿EI已知。兩個狀態(tài)下的彎矩方程

BC段：AB段：例題

C

C

虛力狀態(tài)

BC段：AB段：求圖示剛架C點的轉角，剛架各桿EI已知。例題

C

C

虛力狀態(tài)有簡便方法計算該積分嗎？

梁和剛架

桁架靜定結構由荷載引起的位移靜定結構由荷載引起的位移計算公式：桿軸為直線；EI＝常數(shù)；

圖和圖中至少有一個為直線圖形ABdxABx圖乘法條件dAxy

§12-4圖乘法桿軸為直線；EI＝常數(shù)；

圖和圖中至少有一個為直線圖形ABdxABCx圖乘法條件dAAxy

§12-4圖乘法3.正負號規(guī)則：面積A與縱標yC同側為正，反之為負圖乘法公式：§12-4圖乘法1.yC—是計算面積A的彎矩圖之形心所對應的在另一個直線彎矩圖上的彎矩縱標！2.

縱坐標yC必須取自直線的彎矩圖中。若兩個圖形均為直線圖形，則面積、縱標可任意分別取自兩圖形；幾點說明：4.

當yC所在圖形由若干段直線組成，須分段計算。5.

如彎矩圖形狀復雜，可分解為簡單圖形。l/3A=hl/2lhl/2l/2h二次拋物線A=2hl/3h3l/4l/4二次拋物線A=hl/3二次拋物線A=2hl/3頂點幾種常見圖形的面積和形心位置:頂點頂點在彎矩圖形的頂點處，彎矩圖斜率（剪力）應為零！

只有當頂點存在，才能采用面積公式和形心坐標！5l/83l/8h求圖示矩形截面懸臂梁在A端的豎向位移。解：l實際荷載作用下的內力圖

虛力狀態(tài)下的內力圖l（）A虛力狀態(tài)例題縱坐標yC必須取自直線的彎矩圖中。qllEIB1l求B點豎向位移。ql2/83ql2/2A1A2

非頂點！q（）例題求梁中點C處的撓度和轉角。梁為等截面直梁，EI為常數(shù)。1.作出位移狀態(tài)（真實受力狀態(tài)）下的彎矩圖2.根據(jù)所求位移，建立虛力狀態(tài)，作出虛力狀態(tài)下的彎矩圖3.利用圖乘法計算位移BAaaCqqa2/2BAaaC

a/2當yC所在圖形由若干段直線組成，須分段計算。利用積分法驗證：BAaaC

BAaaCqx【例】解：求圖示剛架C端的角位移。已知抗彎剛度為EI。aaABCqABCABCABC11A1A2（）【例】解：求圖示剛架在均布荷載作用下點B的水平位移。EI為常數(shù)。qllABCBAC（）ABCA1A2A3

已知EI

為常數(shù)，求鉸C兩側截面相對轉角。lqllA1圖乘具體問題：1、兩個直線圖形相乘——可直接圖乘A2§12-4圖乘法A12、應用疊