2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-十字模型綜合應(yīng)用（知識解讀）

十字模型綜合應(yīng)用(知識解讀)

【專莖餞明】

“十字架模型”十?dāng)?shù)學(xué)平面幾何中比較重要的一個模型。常見的類型有正方

形中的十字架和矩形中的十字架。圍繞著這兩種模型的條件之下，可以推導(dǎo)出

一些比較實(shí)用的結(jié)論。這些結(jié)論對我們分析一些幾何問題會比較大的幫助。

【方放技巧】

類型一：【十字架模型】--正方形

第一種情況：過頂點(diǎn)

在正方形ABCD中，AE_LBF,可得AE=BF,借助于同角的余角相等，證明4BAF絲ZiADE(ASA)

所以AE=BF

第二種情況：不過頂點(diǎn)

在正方形ABCD中，E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA邊上的點(diǎn)，其中：EGXFH,可得

EG=FH

也可以如下證明

在正方形ABCD中，E,F,G,H分另ijAB、BC、CD、DA邊上的點(diǎn)，其中：EG±FH,可得EG=FH

類型二：【十字架模型】-矩形

在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,其中：AE_LBF,探究AE與BF的關(guān)系;

ADbb

可證：△ADEsABAF所以——=——=——AE=——BF

BFABaa

D

在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA邊上的點(diǎn)，其中：EG

±FH,探究EG與FH的關(guān)系

【解答】

EG=-?F//

a

但是只有垂直的條件，點(diǎn)的位置發(fā)生變化，那么可以證明出相似三角形，但是線段之間的關(guān)

系不在成立

在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,其中EGJ_FH,探究EG與FH的關(guān)系

AEHD

B

可證△EOHS/\GOF

【典例今折】

【典例1-1］基本模型

如圖，在正方形A2CZ）中，點(diǎn)、E、尸分別在A。，OC邊上，＞AF1BE.

結(jié)論：

?AABE^AOAF；②AF=BE；

請證明【基本模型】中的結(jié)論.

求證：①△ABE之△IMF；②AF=BE.

自主探究：若將已知條件AfUBE改為是否可以得到AFLBE?進(jìn)而是否可以

探究AF與BE交點(diǎn)的軌跡？

【典例1-2］模型演變①

如圖①，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,F,G分別在。C,AD,8c邊上，5.AEXGF.

結(jié)論：AE=GF

模型演變②

如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,〃分別在AB,DC,BC,邊上，且EFJ_

GH.

結(jié)論：EF=GH

請證明【模型演變②】的結(jié)論，

求證：EF=GH.

自主探究：在【模型演變①】和【模型演變②】中，若將己知條件中兩線段垂直與結(jié)論

中兩線段相等互換，判斷結(jié)論是否還成立？請選擇其中一個圖形進(jìn)行證明.

【典例2-1】模型演變③

如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E在邊上，且CE_LBZ).

結(jié)論：ADCEs^ADB

請證明【模型演變③】的結(jié)論.

求證：ADCEsAADB.

AED

【典例2-2】模型演變④

如圖，在矩形ABC￡＞中，點(diǎn)E,F,G,反分別在AD,BC,AB,DC邊上，且EF_LG8.

結(jié)論：里=型

GHBC

請證明【模型演變④】的結(jié)論.

求證：更=包

GHBC

【變式1-1］如圖，正方形ABC。的邊長為4,E,尸分別是BC,8上的點(diǎn)，連接AE,BF

交于點(diǎn)0.若BE=3,DF=1,則。2的長為

AD

F

B

【變式1-2］如圖，在面積為16的正方形ABC。中，E是8A延長線上一點(diǎn)，尸是上一

點(diǎn)，CP=AE,連接￡尸，過點(diǎn)。作。G,斯于點(diǎn)H,若SABEF=6,則CP=,DG

【變式1-3］如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E是邊A3上一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊，使點(diǎn)2

落在邊上的點(diǎn)尸處，連接8尸交CE于點(diǎn)G.已知AZ)=5,A2=3,則折痕CE的長

為__________

【變式1-4】如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=90°,AB=AD^10,BC=Cr)=5,點(diǎn)M,

N分別在邊8C,A8上，且典的值.

AH

【變式1-5】【教材背景】

課本上有這樣一道題目；如圖①，在正方形48。中，E是邊A8的中點(diǎn)，尸是邊8C的

中點(diǎn)，連接CE,DF.發(fā)現(xiàn)其中CE=QF.

【拓展延伸】

如圖②，在正方形ABC。中，。為對角線8。上一點(diǎn)，連接AO并延長，交QC于點(diǎn)E,

過點(diǎn)B作BFLAE于點(diǎn)G,交于點(diǎn)R連接EE,BE.

【問題解決】

(1)若DO=DE,求證：AABG%40BG；

(2)若8尸=6,求四邊形AFE8的面積；

(3)如圖③，連接CG,若CG=BC,求證：E是邊DC的中點(diǎn).

圖①

圖②

【變式1-6】如圖①，在矩形ABC。中，AB=6,8C=8.點(diǎn)E,尸分別在邊A。，BC上,將

該矩形沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)9落在C。邊上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A,連接28.

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)⑶與點(diǎn)。重合時，連接8E,試判斷四邊形的形狀，并證明；

(2)求折痕EE的最大值；

(3)如圖③，過點(diǎn)E作EML8C于點(diǎn)當(dāng)四邊形EMC。為正方形時，求CF的長.

A'

圖①

圖③

【變式1-7](滕州市校級模擬)已知四邊形A8C。中，E、尸分別是48、AO邊上的點(diǎn),

DE與CF交于點(diǎn)、G.

(1)如圖①，若四邊形A3。是矩形，S.DE1CF,求證：些=也；

CFCD

(2)如圖②，若四邊形A8CQ是平行四邊形，試探究：當(dāng)與/EGC滿足什么關(guān)系時,

使得更=3旦成立？并證明你的結(jié)論;

CFCD

(3)如圖③，若癡=2。=2,DA=DC=\^),ZBA￡>=90°,DELCF,試求理的值.

圖⑶

十字模型綜合應(yīng)用（知識解讀）

【專觀餞明】

“十字架模型”十?dāng)?shù)學(xué)平面幾何中比較重要的一個模型。常見的類型有正方

形中的十字架和矩形中的十字架。圍繞著這兩種模型的條件之下，可以推導(dǎo)出

一些比較實(shí)用的結(jié)論。這些結(jié)論對我們分析一些幾何問題會比較大的幫助。

【方注技巧】

類型一：【十字架模型】-正方形

第一種情況：過頂點(diǎn)

在正方形ABCD中，AE_LBF,可得AE=BF,借助于同角的余角相等，證明△BAFgZ\ADE(ASA)

所以AE=BF

第二種情況：不過頂點(diǎn)

在正方形ABCD中，E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA邊上的點(diǎn)，其中：EGXFH,可得

EG=FH

也可以如下證明

在正方形ABCD中，E,F,G,H分另（］AB、BC、CD、DA邊上的點(diǎn)，其中：EG±FH,可得EG=FH

類型二：【十字架模型】-矩形

在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,其中：AE±BF,探究AE與BF的關(guān)系;

――A,AEADb“尸b八L

可證：AADE^AABAF所以——=——=-AE=-BF

BFABaa

在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA邊上的點(diǎn)，其中：EG

XFH,探究EG與FH的關(guān)系

【解答】

可證：AADN^ABAM

EGANADb

EG=-?F//

但是只有垂直的條件，點(diǎn)的位置發(fā)生變化，那么可以證明出相似三角形，但是線段之間的關(guān)

系不在成立

在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,其中EG_LFH,探究EG與FH的關(guān)系

可證△EOHS/\GOF

【典例今折】

【典例1-1】基本模型

如圖，在正方形428中，點(diǎn)、E、尸分別在A￡>,0c邊上，>AF±BE.

結(jié)論：

①△ABE四△IMF；②AF=BE；

請證明【基本模型】中的結(jié)論.

求證：①AABE咨4DAF；②AF=BE.

自主探究：若將已知條件APLBE改為是否可以得到AB,BE?進(jìn)而是否可以

探究AF與BE交點(diǎn)的軌跡？

【解答】基本模型：證明：①???四邊形A2C。為正方形,

：.ZBAE=ZD=90°,AB=AD,

：.ZABE+ZBEA^90Q,

'：AF.LBE,

：.ZDAF+ZBEA=90°,

：.ZABE=ZDAF,

在AABE和中,

，ZABE=ZDAF

<AB=AD，

ZBAE=ZD

.?.△ABE<△DAE(ASA),

@'：AABE^ADAF(ASA),

：.AF=BE；

自主探究：解：：四邊形ABC。為正方形,

.\ZBAE=ZD=90°,AB^AD,

在RtAABE和RtADAF中，

[AB=AD,

lBE=AF，

/.RtAABE^RtADAF(HL),

：.ZABE=ZDAF,

VZABE+ZBEA=90°,

AZDAF+ZBEA=90Q,

ZAGE=9Q°,

貝ljBELAF.

如圖，設(shè)ARBE交于點(diǎn)、H,AC、BD交于點(diǎn)O,

'：BE±AF,

：.ZAHB=90°,

點(diǎn)X在以AB為直徑的圓上，

；點(diǎn)E、尸分別在4。，0c邊上,

：.AF與BE交點(diǎn)的軌跡為俞.

【典例1-2］模型演變①

如圖①，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,F,G分別在DC,AD,8c邊上，且A￡_LGF.

結(jié)論：AE=GF

模型演變②

如圖②，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,F,G,”分別在A3,DC,BC,邊上，且

GH.

結(jié)論：EF=GH

請證明【模型演變②】的結(jié)論，

求證：EF=GH.

自主探究：在【模型演變①】和【模型演變②】中，若將已知條件中兩線段垂直與結(jié)論

中兩線段相等互換，判斷結(jié)論是否還成立？請選擇其中一個圖形進(jìn)行證明.

【解答】證明：過點(diǎn)E作EMLDC于點(diǎn)M,過點(diǎn)H作HNLBC于點(diǎn)N,

圖②

???四邊形ABCD是正方形，

：.EM=AD=DC=HN,

"：EM±HN,EF±HG,

：.ZMEF^ZNHG,

在AMEF與ANUG中，

'NMEF=NNHG

<EM=HN，

ZEMF=ZHNG

/\MEF^/\NHG(ASA),

：.EF=GH；

自主探究：解：不成立，

證明：選擇[模型演變①],設(shè)AE與FG相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作。C的平行線/,將尸G沿

直線/對稱得到尸G,

圖①

由(1)可得：AELFG,

；.FG與AE不垂直，

,若條件與結(jié)論互換，結(jié)論不成立.

【典例2-1】模型演變③

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在A。邊上，且CE_LBZ).

結(jié)論：ADCEsAADB

請證明【模型演變③】的結(jié)論.

求證：ADCEsAADB.

【解答】證明：..?四邊形ABC。是矩形,

ZA=ZADC=90°,

：.ZADB+ZCDO=90°,

CELBD,

：.ZDOC=90°,

/.ZDCE+ZCDO=90°,

/ADB=ZDCE,

'：ZA^ZEDC^90°,

.,.△DCE^AADB.

【典例2-2】模型演變④

如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E,F,G,H分別在ADBC,AB,DC邊上，且EFJ_GH.

結(jié)論：EF=CD

GHBC

請證明【模型演變④】的結(jié)論.

【解答】證明：如圖，過點(diǎn)G作GMLCO于過點(diǎn)E作ENJ_BC于點(diǎn)M

AZGMH=ZENF=90°,

???四邊形ABC。是矩形,

：.ZB=ZC=90°,

VEFXG/7,

/.ZBGH+ZBFE=1SO°,ZBGH+ZGHM=90°,

：.ZBFE=ZGHM,

:.AEFNSAGHM,

?EF=EN=CD

，，-GHGM前.

【變式1-1］如圖，正方形ABC。的邊長為4,E,尸分別是5C,。上的點(diǎn)，連接ASBF

交于點(diǎn)0.若BE=3,DF=1,則08的長為

【解答】解：???正方形A3CO的邊長為4,

ZABC=90°=/BCD,AB=BC=CD=4f

?:BE=3,DF=1,

:.BE=CF=3,

：.AABE^ABCF(SAS),

???/AEB=/BFC,

VZBFC+ZFBC=90°,

AZAEB+ZFBC=90°,

AZBOE=90°,

：.BO±AEf

/.2sLABE=AB*BE=AE*OB,

???AB=4,BE=3,

?*,AE=7AB2+BE2=5，

05=跳呻后三

AE5

故答案為：12.

5

【變式1-2］如圖，在面積為16的正方形ABC。中，E是胡延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是CB上一

點(diǎn)，CB=AE,連接ER過點(diǎn)D作。G,跖于點(diǎn)H,若SABEF=6,則CB=,DG

【解答】解：：正方形ABC。的面積為16,

正方形ABC。的邊長為4,

iSCF=x,貝ijBF=4-x,BE=4+x,

,*,S4BEF=6,

(4-x)(4+x)=6,

2

：.x=±2(負(fù)值舍去)，

：.CF=2=AEf

：.BF=BC-CF=4-2=2,BE=AB+AE=4+2=6,

；?EF=7BF2+BE2=V22+62=2百^，

'：DG±EF,

：.NAGD=90°-/E=ZBFE,

又NB=90°=ZDAG,

：./\EBF^/\DAG,

?BEEF

=BD6=2VW_

ADDG4DG

解得￡>G=.4VT5,

3

故答案為：2.

【變式1-3］如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E是邊48上一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊，使點(diǎn)B

落在AD邊上的點(diǎn)尸處，連接2尸交CE于點(diǎn)G.已知AZ)=5,AB=3,則折痕CE的長

為________.

【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知，BE=EF,2C=FC=A￡>=5,

在RtaCQF中，CF=5,CD=AB=3,

DF—<^52_g2=4,

：.AF=AD-DF=5-4=1,

設(shè)BE=x,貝！JEF=x,A￡=3-x,

在RtZWEB中，由勾股定理得，

AF1+AE2=EF-,

即1+(3-x)2=x2,

解得尤=$，

3

即BE=S,

3

在Rtz\BCE中，由勾股定理得，

CE=VBC2+BE2

=代+號)2

-5^10

----------,

3_

故答案為：雙邊.

3

【變式1-4】如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=90°,AB=AD^10,8。=8=5,點(diǎn)M,

N分別在邊8C,A8上，且AALLDM處的值.

AH

【解答】解：過點(diǎn)。作A8的平行線，交過點(diǎn)A作8C的平行線于G,交BC的延長線于

H,過點(diǎn)。作。PL4B于尸，

'：AB=AD,CB=CD,

：.ZADC=ZABC=90°,

:./ADG+NCDH=90°,

VZA￡>G+ZDAG=90°,

：.ZDAG=ZHDC,

又,：NG=/H,

：.△ADGS/\DCH,

??CH-DH二CD=1—，

DGAGAD2

.,.設(shè)CH=x,則。G=2x,

.'.DH=W-2x,AG=5+x,

；.5+x=2(10-2x),

解得無=3,

■:NNDP=/BAM,NDPN=/ABM,

：.AABMsADPN,

-DN_DP_8_4

"AM"ABHF"?,

【變式1-5】【教材背景】

課本上有這樣一道題目；如圖①，在正方形中，E是邊A2的中點(diǎn)，尸是邊BC的

中點(diǎn)，連接CE,DF.發(fā)現(xiàn)其中CE=Q尸.

【拓展延伸】

如圖②，在正方形ABC。中，。為對角線8。上一點(diǎn)，連接A。并延長，交DC于點(diǎn)、E,

過點(diǎn)8作BFLAE于點(diǎn)G,交于點(diǎn)尸，連接FE,BE.

【問題解決】

(1)若DO=DE,求證：4ABG冬△OBG；

(2)若8尸=6,求四邊形A尸￡8的面積；

(3)如圖③，連接CG,若CG=BC,求證：E是邊OC的中點(diǎn).

【解答】【教材背景】證明：如圖1中,：ABC。是正方形,

：.AB=BC=CD,ZEBC=ZFCD=90°

又,：E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，

；.BE=CF,

在△CEB和△。尸C中，

'BC=CD

<ZB=ZDCF-

BE=CF

:.ACEB咨ADFC,

:.CE=DF；

【問題解決】（1）證明：如圖②中,

:四邊形ABC。是正方形,

：.AB//CD,

：.ZBAO=ZAED,

,:DO=DE,

???/DOE=/DEO,

???ZAOB=ZDOE,

：.ZBAO=ZAOB,

：.BA=BO,

VBF±AE,

：.AG=OG,

在△B4G和ABOG中，

'BA=BO

,BG=BG，

AG=OG

AAABG^AOBG(SSS)；

(2)解：如圖②中，過點(diǎn)E作由，AB于點(diǎn)H.

VAE±BF,

AZAGB=90°,

VZABF+ZBAG=90°,ZDAE+ZBAG=90°,

???ZABF=ZDAE,

'：BA=ADfZBAF=ZADE=90°,

：.ABAF^AADE(ASA),

：.BF=AE=6f

VAE±BF,

:?S^mAFEB=-9AE*BF=-X6X6=18；

22

(3)證明：過點(diǎn)。作C7U8G交A3于點(diǎn)T,連接GT.

■:CG=CB,BTLBG,

?,?CT垂直平分線段BG,

:?TB=TG,

：.ZTBG=ZTGBf

VZTBG+ZBAG=90o,ZAGT+ZTGB=90°,

：.Z7AG=ZTGA,

：.TA=TG,

：.AT=TB,

VAE1BF,CT上BF,

J.AE//CT,

U：AT//CE,

???四邊形ATCE是平行四邊形，

：.AT=CE,

\9AB=CD=2AT,

：.CD=2CE,

：.DE=EC.

【變式1-6】如圖①，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8.點(diǎn)、E,尸分別在邊AO,BC將

該矩形沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)8落在CD邊上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A,連接BB'.

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)笈與點(diǎn)。重合時，連接5E,試判斷四邊形尸的形狀，并證明；

（2）求折痕跖的最大值；

（3）如圖③，過點(diǎn)E作于點(diǎn)當(dāng)四邊形EMC。為正方形時，求C尸的長.

圖①

圖③

【解答】解：（1）四邊形尸是菱形，理由如下：

由折疊的性質(zhì)得：ZBFE^ZB'FE,E尸垂直平分82',

：.BE=B'E,BF=B'F,

:四邊形A8C￡＞是矩形，

J.AD//BC,

：.ZB'EF=NBFE,

：.ZB'EF=ZB'FE,

：.B'E=B'F,

：.BE=B'E=B'F=BF,

四邊形BE）下是菱形；

（2）過點(diǎn)E作EG_LBC于G,設(shè)E尸與8夕交于點(diǎn)O,如圖①所示:

51lJZ￡GF=9O°,四邊形ABGE為矩形，

:./GEF+/EFG=90°,EG=AB=6,

由折疊的性質(zhì)得：EFLBB',

：.ZBOF=90°,

：.ZEFG+ZB'8/=90°,

；.NGEF=/B'BF,

???四邊形ABC。為矩形，

：.CD=AB=6,ZC=90°,

：.ZC=ZEGF,

:.△EGFsABCB',

?EF=EG=6=3

"BBy而百了

：.EF=^.BB',

4

:.當(dāng)BB,取最大值，EF取得最大值，

此時，點(diǎn)2'與點(diǎn)。重合，

連接3D,

在RtaBC。中，B￡?=VBC2+CD2=V82+62=10,

尸最大=旦8。=3乂10=至；

442

(3)連接BE、B'E,如圖③所示：

由折疊的性質(zhì)得：EF垂直平分8夕，

：.BF=B'F,BE=B'E,

:四邊形EMCD是正方形，

EM=MC=CD=ED=6,

.'.AE=BM=S-6=2,

在RtZXEMB和RtZ\ED8'中，

(EM=ED,

IBE=B?E'

RtA￡MB^RtA￡DB'(HL),

：.DB'=BM=2,

：.CB'=CD-DB'=6-2=4,

設(shè)CF=x,

則F=8-x,

在RtZ^CB'尸中，由勾股定理得：Cp2+cB'2=B'F1,

即/+4?=(8-x)2,

解得：x—3,

.?.CF的長為3.

圖①

【變式1-7](滕州市校級模擬)已知四邊形A3。中，E、尸分別是A3、AD邊上的點(diǎn),

DE與CF交于點(diǎn)、G.

(1)如圖①，若四邊形4BCD是矩形，S.DE1CF,求證：理=膽；

CFCD

(2)如圖②，若四邊形ABC。是平行四邊形，試探究：當(dāng)與/EGC滿足什么關(guān)系時,

使得剪=歿成立？并證明你的結(jié)論;

CFCD

(3)如圖③，若5A=5C=2,DA=DC=娓,ZBAD=90°,DE上CF,試求理的值.

圖⑶

【解答】(1)證明：???四邊形是矩形,

：?NA=/FDC=90°,

VCFXDE,

AZDGF=90°,

??./ADE+/CFD=9U°,ZADE+ZAED=90°,

：.ZCFD=ZAEDf

,?ZA=ZCDF,

：.LAEDs^DFC,

?DE=