湖南省長沙市芙蓉區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(含解析)

2023-2024學(xué)年芙蓉區(qū)八年級上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題）

i.現(xiàn)實世界中,對稱現(xiàn)象無處不在,中國的方塊字中有些也具有對稱性，下列美術(shù)字是軸

對稱圖形的是（）

A.誠B.信C.友D.善

X

2.要使分式一?有意義，則x的取值應(yīng)滿足（）

x-2

A.xw2B.x_2C.x=2D.x=-2

3.點（3,-5）關(guān)于〉軸對稱的點的坐標是（）

A.（-3,5）B.（5,-3）C.（-3,-5）D.（3,5）

4.下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）

A.a\x-y)=ax-ayB.a2-62=(Q+人兒-6)

c.X2-4X+3=X(X-4)+3

D.Q2+1=QClH----

a

5.下列計算正確的是()

1

A.asa2=a4B.a3<4=0/7C.(2a2)3=6。6D.)-2=—

44

6.下列各式中，正確的是()

b1b_b+2

A.-------=-------B.

a+2ba+2aa+2

-a+ba+ba+2_。2-4

C.----------=---------

ccci-2Q-21

7.Y4BC與LADC的AC邊重合,AB=AD.添加下一個條件后，仍無法判定

△48。絲ZUDC的是（）

A.CB=CDB.ABAC=ADAC

C.AB=AD=90°D.ZACB=ZACD

8.如圖，在A4BC中，AB=AC,45的垂直平分線交于點E,交BC于點F,連接

AF,若/FAC=『B,則NE4B的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.35°D.50°

9.如圖，在A45c中，AD平分NBAC,ZB=2/ADB,AB=4,CD=7,則ZC的長為

）

C.15D.9

11122

10.關(guān)于%的方程%+—=4+—的兩個解為x=a,x=—；1+—=。+—的兩個解為

xa12ax〃

23331010

x=a,x=一x+-=a+一的兩個解為x=a,x=-,則關(guān)于x的方程x+―-=a+——；■的

12

i2axaax-\a-\

兩個解為（）

10-4+8

A.x=a,x=—B.x=a.x=------

i2i2

aa-l

a+9

D.x=a,x

12ci—1

、填空題（共6小題）

11.計算：（-3%=

12.數(shù)0.0000046用科學(xué)記數(shù)法表示為：

13.已知G+4）G-9）=X2+加尤-36,則加的值為

14.我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不

知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齊足”其大意是：“牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不

知與多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完''若設(shè)有牧童x人，根據(jù)題意,

可列方程為.

_.ba

15.已知a+b=5,ab='5,—+—=.

ab------

16.如圖，在AABC中，4B=/C,點。和點A在直線6C的同側(cè)，

BD=BC,ABAC=82°,ADBC=38°,連接則的度數(shù)為

三、解答題(共9小題)

17.計算(5)T-(兀-7行)。+11-V5l

18.分解因式:

(1)16-/72；

(2)3a-6axy+3吵

19.先化簡，再求值：(a—2)(a+2)—(a+2),其中。=—5.

20.解分式方程

21.如圖，在平面直角坐標系中，點N(-3,0),點3(-1,5).

(1)①畫出線段關(guān)于y軸對稱的線段CD；

②在y軸上找一點尸使P/+PB的值最小(保留作圖痕跡)；

⑵按下列步驟，用不帶刻度的直尺在線段CD找一點。使乙8/。=45。.

①在圖中取點E,使得BE=R4,且3E1A4,則點E的坐標為;

②連接/￡交CD于點0,則點。即為所求.

22.已知，在V/3C中，乙4c8=90。，AC=BC,ADICE,BELCE,垂足分別為點

(1)如圖1,求證：DE=AD+BE；

(2)如圖2,點。為N8的中點，連接OD,OE.請判斷VODE的形狀？并說明理由.

23.“軍運會”期間，某紀念品店老板用5000元購進一批紀念品，由于深受顧客喜愛，很快

售完，老板又用6000元購進同樣數(shù)目的這種紀念品，但第二次每個進價比第一次每個進價

多了2元.

(1)求該紀念品第一次每個進價是多少元？

3

(2)老板以每個15元的價格銷售該紀念品，當?shù)诙渭o念品售出5時，出現(xiàn)了滯銷，于是

決定降價促銷，若要使第二次的銷售利潤不低于900元，剩余的紀念品每個售價至少要多少

元？

24.如圖，在四邊形/3CD中，8。所在的直線垂直平分線段/C,過點A作/尸〃BC交CD

(2)求證：ZFAD=ZE；

⑶若/瓦4。=90。，AE=5,ZX/EC的面積為，，求CF的長.

25.閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：

(一)由于20,所以02-2a6+6?20,即02+42lab,并且當。=6時，42+62=2ab;

對于兩個非負實數(shù)。，b,由于所以（右）-2、5、取+（匹）之0,即

a-2>[ab+Z>>0,所以a+622>/^F,并且當a=6時，a+b-2y/ab;

（二）分式和分數(shù)有著很多的相似點，如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性

質(zhì).小學(xué)里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分數(shù)，類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)

的分式稱為真分式，反之，稱為假分式.對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和

（1）在①①?、②上、③一④業(yè)這些分式中，屬于假分式的是（填

序號）；

（2）已知：求代數(shù)式上的值；

X2+13X4+1

（3）當x為何值時，x+*■工+5有最小值？并求出最小值.（寫出解答過程）

Vx+2+l

參考答案與解析

1.D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐一進行分析即可得.

【詳解】A.不是軸對稱圖形，故不符合題意；

B.不是軸對稱圖形，故不符合題意；

C.不是軸對稱圖形，故不符合題意；

D.是軸對稱圖形，符合題意，

故選D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的識別，熟知“平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形''是解題的關(guān)鍵.

2.A

【分析】根據(jù)分式的分母不為0可得關(guān)于x的不等式，解不等式即得答案.

Y

【詳解】解：要使分式一7有意義，則x-2#0,所以x/2.

x-2

故選：A.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，屬于應(yīng)知應(yīng)會題型，熟知分式的分母不為0是解題

的關(guān)鍵.

3.C

【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，即可完成解

答.

【詳解】解：點】,-5)關(guān)于y軸對稱的點的坐標是(-3,-5)；

故選：C.

【點睛】本題考查了點關(guān)于坐標軸對稱的問題，熟悉點關(guān)于坐標軸對稱的特點是關(guān)鍵.

4.B

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；

B.是因式分解，故本選項符合題意；

C.右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；

D.右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意:

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解.

5.B

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)倦的乘除法法則，嘉的乘方與積的乘方運算法則以及負整數(shù)指數(shù)得

的運算法則逐一判斷即可.

【詳解】解：A.afca2=a6,故本選項不合題意；

B.ai-a4=a7,正確；

C.(2.2)3=806,故本選項不合題意；

D,(—)-2=4,故本選項不合題意.

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)賽的乘除法，嘉的乘方與積的乘方以及負整數(shù)指數(shù)累，熟記

累的運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，根據(jù)分式的性質(zhì)逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、等號右邊工分子分母同時乘以6,得丁「看左邊，故A錯誤,不合

題意；

B、分式的分子分母同時加一個非零的數(shù)，得到的分式值與原分式不一定相等，故B錯誤,

不合題意；

—-a+bb—aa+bU-AU?、曰-T-人ax上

C、------=------w------,故C錯誤，不合就思；

CCC

D、分子分母同時乘以(。-2),即g=(:2)(t2)=,故口正確，符合題意.

“一2(q-2)2(a-2)2

故選：D

7.D

【分析】本題考查了全等三角形的判定定理.根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可.

【詳解】解A、AB=AD、AC=AC,BC=CD,符合全等三角形的判定定理SSS,能推

出A48C名△4DC,故本選項不符合題意；

B、AB=AD,ABAC=ADAC,AC=AC,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出

AABC^AADC,故本選項不符合題意；

C、AB=AD、4C=AC、NB=ND=9Q。，符合全等三角形的判定定理HL,能推出

△ABgAADC,故本選項不符合題意；

D、AB=AD,AC=AC,乙4cB=NACD,不符合全等三角形的判定定理，不能推出

AABC^AADC,故本選項符合題意；

故選：D.

8.A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得2=NC=ZA4凡設(shè)乙B=x,則

△A8C的三個內(nèi)角都可用含x的代數(shù)式表示，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得關(guān)于x的方

程，解方程即得答案.

【詳解】M："AB=AC,.-.^B=AC,

???E尸垂直平分48,：.FA=FB,：.Z.B=^BAF,

21

設(shè)4B=x,HI'UBAF=^C=X,ZFAC=—x,

21

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得：3x+yx=1800,解得：x=25。，即/工48=25。.

故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬

于常見題型，熟練掌握上述基本知識是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】在NC上截取連接。E,如圖，先根據(jù)SAS證明三△，￡￡),然后根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)和已知條件可得乙進而可得CD=EC,再代入數(shù)值計算

即可.

【詳解】解：在/C上截取NE=48,連接?！?如圖，

?；AD平分乙BAC,；/BAD=H4C,又，；AD=AD,

.-.AABD^AAED(SAS),

■,-Z-B=/-AED,/-ADB=/.ADE,

,■Z-B—2Z-ADB,Z.AED=2/.ADB,

而/-BDE=Z^4DB+Z^4DE=2Z-ADB,

；/BDE=UED,；.4CED=KEDC,；CD=CE,

：.AC=AE+CE=AB+CD=A+1=11.

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)，正確

作出輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

10.D

ViTiV1

【分析】根據(jù)題意可得：x+-=a+—的兩個解為x=〃,x=—，然后把所求的方程變形為:

xa12a

-1+二的形式，再根據(jù)上述規(guī)律求解即可.

X-1<7-1

rirjri

【詳解】解：根據(jù)題意，得：X+—=。+—的兩個解為x=n,x=-,

xa12a

'31010口「寸110110

???方程x+-----=。+----即為：x-l+------=a-l+------,

x-Ia—Ix—Ia—I

1010包&力、，II為110

?,?%+——-=a+——7的解為：x-l=a-l^x-l=——-,

X—IQ—1d—1

Ema+9

解得：X=a,X=--.

12fl-1

故選：D.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，解題時要注意給出的例子中的方程與解的規(guī)律，還要

注意套用例子中的規(guī)律時，要保證所求方程與例子中的方程的形式一致.

11.1

【分析】根據(jù)零指數(shù)嘉公式可得答案.

【詳解】解：(-3>=1;

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了零指數(shù)得，任何非。數(shù)的。次嘉等于1.

12.4.6x10-6

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法解答即可.

【詳解】解：0.0000046=4,6x10^.

故答案為：4.6x10-6.

【點睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為0X10〃的形式，其中

1<|?|<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

13.-5

【分析】等式左邊根據(jù)多項式的乘法法則計算，合并后對比兩邊系數(shù)即得答案.

［詳解】解：??,(x+4)(r-9)=x2-9x+4x-36=x2-5x-36,(x+4)(r-9)=x2+mx-36,

X2-5x-36=+mx-36,-'-m=-5.

故答案為：-5.

【點睛】本題考查了多項式乘多項式的運算法則，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握多項式乘法的運

算法則是解題關(guān)鍵.

14.6x+14=8x

【分析】設(shè)有牧童x人，根據(jù)“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的總數(shù)不

變，列出方程，即可.

【詳解】解：設(shè)有牧童x人，

根據(jù)題意得：6x+14=8x,

故答案是：6x+14=8x.

【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)

鍵.

19

15.

T

【分析】將a+b=5、ab=3代入原式=生二竺=91也衛(wèi)，計算可得.

abab

【詳解】當a+b=5、ab=3時,

人2+Q2

原式=

ab

(a+b>-2ab

ab

=52-2x3

一_3~

19

-T,

故答案為—.

【點睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減運算法則和完全平

方公式.

16.30°

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理以及角的和差求出的度數(shù),

然后作點。關(guān)于直線43的對稱點￡,連接5￡、CE、AE,如圖，貝U乙EBA=^DB,

乙BEA=^BDA,進而可得乙砥C=60。，由于從而可證△EBC是等邊三角形，可得

Z5EC=6O°,EB=EC,進一步即可根據(jù)SSS證明A4E52A4￡C,可得乙8￡4的度數(shù)，問題即

得解決.

1QQO_/D

【詳解】解：?.?/3=/C,ABAC=82°,：.AABC=——三——=49°,

ZD3C=38°43。=49°-38°=11°,

作點。關(guān)于直線月8的對稱點￡,連接BE、CE、AE,如圖，貝［

/.EBA=/iDBA=no,ABEA=ABDA,

.?z￡8C=l1°+11°+38°=60°,

?:BD=BC,；.BE=BC,是等邁三角形,；/BEC=60°,EB=EC,

又；AB=AC,EA=EA,

■■.AAEB^AAEC(SSS),；.4BEA=4CEA=|NBEC=30°,

山。8=30。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、

全等三角形的判定和性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)等知識，涉及的知識點多、綜合性強，難度較大，

作點。關(guān)于直線的對稱點E,構(gòu)造等邊三角形和全等三角形的模型是解題的關(guān)鍵.

17.尤

【分析】先按照負整數(shù)指數(shù)累、零次累、絕對值的概念計算，再進一步合并即可.

【詳解】（；）」-（兀-的）。+H-及I

=2-1+尤-1

=->/2.

【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)嘉、零指數(shù)倦、絕對值的運算，解答本題的關(guān)鍵是明確它們

各自的運算法則.

18.（1）（4-6）（4+6）；（2）3a（x-仆.

【分析】（1）根據(jù)平方差公式儂-"2=（"L〃）G〃+〃）分解即可；

（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解.

【詳解】解：（1）16-62=（4-6）?+6）；

(2)3axi-6axy+3ay2=3aQ-2孫+產(chǎn))=3a(尤-y)2.

【點睛】本題考查了多項式的因式分解，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握分解因式的方法是解題關(guān)

鍵.

19.一4a-8；-2

【分析】先用平方差公式、完全平方公式展開，再去括號、合并同類項進行化簡，最后代入

求值.

【詳解】（a-2）Q+2）-（a+2〉

=C/2-4)-Q+4a+4)

=。2-4-a2-4a-4

=-4a-8

當Q=一］時

原式=-4〃—8

=-2

【點睛】本題考查平方差公式、完全平方公式、整式的化簡求值，熟練進行整式的化簡是解

題的關(guān)鍵.

20.(l)x=-l

(2)無解

【分析】本題考查了分式方程的解法.

(1)方程兩邊同乘G-1)化為整式方程3+2(x-l)=x,解得x=—1,經(jīng)檢驗x=-l是原方程

的解；

(2)方程兩邊同乘(x+2)(r-2),得x(x+2)-(x+2)(v-2)=8,解得X=2,經(jīng)檢驗x=2不

是原分式方程的解，即可得到原分式方程無解.

【詳解】(1)解：方程兩邊同乘G-D,得3+2(x-l)=x,

解得x=-l,

檢驗：當X=-1時，尤一1/0,

是原方程的解；

(2)解：方程兩邊同乘(x+2)(r-2),得x(x+2)-(x+2)Q-2)=8,

解得x=2,

檢驗：當x=2時，G+2)G-2)=0,

.?.x=2不是原分式方程的解，

二原分式方程無解.

21.(1)見解析

(2)①圖見解析，E(4,3)；②見解析

【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)可作出線段CD,連結(jié)/C交了軸于點尸；

（2）①由垂直的定義可作出線段BE,可寫出點￡的坐標；

②連接/￡交CD于點Q,由等腰直角三角形的性質(zhì)可知乙8/。=45。，點。即為所求.

【詳解】（1）解：①如圖所示，線段CZ）即為所求.

②如圖所示，點P就是所求的點;

（2）解：①由垂直的定義可作出線段2E,點E坐標為（4,3）,

故答案為:（4,3）；

②如圖所示，點0即為所求.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是靈活運用等腰直

角三角形的性質(zhì).

22.(1)見解析；

(2)V0DE是等腰直角三角形，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)垂直的定義及直角三角形中兩個銳角互余得出角相等，再由全等三角形的

判定和性質(zhì)即可證明；

(2)連接。C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及斜邊上的中線的性質(zhì)得出/。=8。=CO,

ACAB=ZCBA=45°,CO1AB,再由全等三角形的判定得出VOCO附VEBO(SAS),

VADO密CE8SSS),最后結(jié)合圖形證明即可.

【詳解】(1)解：證明：ADLCE,

NE=ZD=90°,

:.ZEBC+ZBCE=90°.

?：ZACB=90°,

ZBCE+ZACD=90°,

:.ZEBC=ZDCA.

在VCE8和乙位）。中,

/E=/D,

?：<NEBC=/DCA,

BC=AC,

.VCEB義V4DC(AAS),

/.BE=DC,AD=CE,

DE=DC+CE=AD+BE,

即DE=AD+BE；

(2)VODE是等腰直角三角形.

理由：如圖2,連接。C.

圖2

AC=BC,

ZACB=9。。,

點。是48中點，

/.AO=BO—CO,

NCAB=/CBA=45。,

CO1AB,

ZAOC=ZBOC=ZADC=/BEC=90°.

???ZBOC+/BEC+ZECO+ZEBO=36(P,

.?./EBO+NECO=180。,

且NOCO+"00=180%

/.ZDCO=ZEBO.

在YDCO和YEBO中,

CO=BO,

?.?</DCO=/EBO,

DC=BE,

NDCOaEBOQSAS)

：,EO=DO,ZEOB=ZDOC.

在和VCEO中，

AD=CE,

<AO=CO,

DO=EO,

:NADO卦CESSSS)

ZAOD=ZCOE.

ZAOD+ZDOC^9CP,

ZDOC+ZCOE=90°,

:"DOE=9S,且。O=O￡,

.?.VQDE是等腰直角三角形.

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜

邊上的中線的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

23.（1）10元；（2）至少要12元.

【分析】（1）設(shè)該紀念品第一次每個進價是x元，則第二次每個進價是（x+2）元，再根據(jù)

等量關(guān)系：第二次進的個數(shù)=第一次進的個數(shù)即可列出方程，解方程即得結(jié)果；

（2）設(shè)剩余的紀念品每個售價y元，由利潤=售價-進價，根據(jù)第二批的銷售利潤不低于900

元即可列出關(guān)于y的不等式，解不等式即得結(jié)果.

【詳解】解：（1）設(shè)該紀念品第一次每個進價是x元，由題意得：

經(jīng)檢驗x=10是分式方程的解,

答：該紀念品第一次每個進價是10元；

（2）設(shè)剩余的紀念品每個售價y元，由（1）知，第二批購進要=500（個），

32

根據(jù)題意，得：15、500*寫+/<500'《-6000N900,解得：y>U.

答：剩余的紀念品每個售價至少要12元.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和不等式的應(yīng)用，屬于常考題型，正確理解題意、找準

相等關(guān)系是解題關(guān)鍵.

24.（1）見解析

（2）見解析

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到R4=2C,進而得到NA4C=N8C4,根據(jù)

BC//AF,得到/C4F=/8G4,即可得到NC4尸=N5/C,問題得證；

(2)根據(jù)線段垂直平分線段性質(zhì)得到D4=DC,進而得到/0/。=/0可，即可得到

NE+NEAC=ZFAD+NCAF,根據(jù)ZCAF=ZEAC即可證明NFAD=NE；

(3)先證明CF，/尸，過點。作。勿，力￡,垂足為W,根據(jù)△NEC的面積為:求出

4

33

CM=3,根據(jù)/。平分NEZb,CM1AE,CF工AF,即可求出CF=].

【詳解】(1)證明：???8。所在的直線垂直平分線段/C,

BA=BC,

???/BAC=/BCA,

vBC//AF,

???/CAF=/BCA,

??.ZCAF=ABAC,

即4。平分/￡4/；

(2)證明：???所在的直線垂直平分線段4C,

:,DA=DC,

??.ZDAC=NDCA,

???ZDCA是的一個外角，

：.ZDCA=ZE+ZEAC,

??.ZE+ZEAC=ZFAD+ZCAF,

???ZCAF=ZEAC,

???/FAD=ZE；

(3)解：-ZEAD=90°,

.-.ZE+ZADE=90°,

又?：FAD=/E,

???/FAD+/ADE=90。,

ZAFD=90°9

CF1AF.

過點C作垂足為M,

???△/EC的面積為

4

.-.-AE-CM=—,

24

又「AE=5,

3

:.CM=一,

2

?：AC平分/EAF