08-第八章-平面向量1

PAGE用心愛心專心第八章平面向量知識網(wǎng)絡向量向量向量的概念向量的運算向量的運用向量的加、減法實數(shù)與向量的積向量的數(shù)量積平面向量的基本定理及坐標表示向量的坐標運算物理學中的運用幾何中的運用兩向量平行的充要條件兩向量垂直的充要條件向量的夾角向量的模兩點間的距離第1講向量的概念與線性運算★知識梳理★1．平面向量的有關概念：（1）向量的定義：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.（2）表示方法：用有向線段來表示向量.有向線段的____長度_____表示向量的大小，用_____箭頭所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.特別提醒：模：向量的長度叫向量的模，記作|a|或||.零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向不確定.單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線.相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2．向量的線性運算1.向量的加法：（1）定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.如圖，已知向量a，b，在平面內任取一點，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b特殊情況：對于零向量與任一向量a，有aaa（2）法則：____三角形法則_______，_____平行四邊形法則______（3）運算律：____a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______2.向量的減法：（1）定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.已知向量a、b，求作向量∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a減法的三角形法則作法：在平面內取一點O，作=a,=b,則=ab即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量注意：表示ab強調：差向量“箭頭”指向被減數(shù)用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b)顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一abAABBB’OabaabbOAOBaabAABBB’OabaabbOAOBababBAOb（2）法則：____三角形法則_______3.實數(shù)與向量的積：（1）定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，規(guī)定：|λa|=|λ||a|.當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa與a平行.（2）運算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.特別提醒：向量的加、減及其與實數(shù)的積的結果仍是向量。重要定理：向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.★重難點突破★1.重點：理解向量及與向量相關的概念，掌握向量的幾何表示，掌握向量的加法與減法，會正確運用三角形法則、平行四邊形法則．2.難點：掌握向量加法的交換律、結合律，并會用它們進行向量化簡與計算．3.重難點：.問題1:相等向量與平行向量的區(qū)別答案：向量平行是向量相等的必要條件。問題2:向量平行（共線）與直線平行（共線）有區(qū)別答案：直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。問題3：對于兩個向量平行的充要條件：a∥ba=λb，只有b≠0才是正確的.而當b=0時，a∥b是a=λb的必要不充分條件.問題4；向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段★熱點考點題型探析★考點一：向量及與向量相關的基本概念題型1.概念判析[例1]判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向(2)若(3)單位向量都相等(4)向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同(6)若，，則；(7)若，，則(8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9)的充要條件是且；[解題思路]：正確理解向量的有關概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明。解析：解：(1)不正確，零向量方向任意,(2)不正確，說明模相等,還有方向(3)不正確，單位向量的模為1,方向很多(4)不正確，有向線段是向量的一種表示形式(5)正確，（6）正確，向量相等有傳遞性（7）不正確，因若，則不共線的向量也有，。(8)不正確,如圖（9）不正確，當，且方向相反時，即使，也不能得到；【名師指引】對于有關向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過舉出反例而排除或否定相關命題。【新題導練】1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是＝⑤模為0是一個向量方向不確定的充要條件；⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關系必須把握好.2．下列命題正確的是（）A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以Ｄ不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應選C.考點二:向量的加、減法題型1:考查加加、減法運算及相關運算律[例2]化簡[解題思路]：考查向量的加、減法，及相關運算律。解法一（統(tǒng)一成加法）==解法二（利用）===解法三（利用）設O是平面內任意一點，則===【名師指引】掌握向量加減的定義及向量加法的交換律、結合律等基礎知識．在求解時需將雜亂的向量運算式有序化處理，必要時也可化減為加，減低出錯律．題型2:結合圖型考查向量加、減法[例3](2008·廣州市一模)在所在的平面上有一點，滿足，則與的面積之比是()A．B．C．D．BCABCAP5-1-2【解析】由,得,即,所以點是邊上的第二個三等分點,如圖所示.故．【名師指引】三角形中兩邊對應向量已知，可求第三邊所對應的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞錯．當向量運算轉化成代數(shù)式運算時，其運算過程可仿照多項式的加減運算進行．【新題導練】3．若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.解析：記3ｍ＋2ｎ＝ａ①ｍ－３ｎ＝ｂ②3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.∴ｎ＝ａ－ｂ④將④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝ａ＋ｂ4．如圖，在ΔABC中，D、E為邊AB的兩個三等分點，eq\o(CA,\s\up6(→))=3a，eq\o(CB,\s\up6(→))=2b，求eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))．ABCDE解析：eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=－3a+2b，ABCDE因D、E為eq\o(AB,\s\up6(→))的兩個三等分點，故eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))=－a＋b=eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))=3a－a＋b=2a＋b，eq\o(CE,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))=2a＋b－a＋b=a＋b．考點三:向量數(shù)乘運算及其幾何意義題型1:三點共線問題[例4]設是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點共線,求k的值[解題思路]：證明存在實數(shù)，使得解析：,使得[例5]已知A、B、C、P為平面內四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數(shù)m、n，使eq\o(PC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))+neq\o(PB,\s\up6(→))，且m+n=1．[解題思路]：A、B、C三點共線的一個充要條件是存在實數(shù)λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))．很顯然，題設條件中向量表達式并未涉及eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))，對此，我們不妨利用eq\o(PC,\s\up6(→))=eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))來轉化，以便進一步分析求證．解析：證明充分性，由eq\o(PC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))＋neq\o(PB,\s\up6(→))，m＋n=1，得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))＋n（eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))）=（m＋n）eq\o(PA,\s\up6(→))＋neq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(PA,\s\up6(→))＋neq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))=neq\o(AB,\s\up6(→))．∴A、B、C三點共線．必要性:由A、B、C三點共線知，存在常數(shù)λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))=λ（eq\o(AP,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))）．eq\o(PC,\s\up6(→))=（λ－1）eq\o(AP,\s\up6(→))＋λeq\o(PB,\s\up6(→))=（1－λ）eq\o(PA,\s\up6(→))＋λeq\o(PB,\s\up6(→))，m=1－λ，n=λ，m＋n=1，eq\o(PC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))＋neq\o(PB,\s\up6(→))．【名師指引】1、逆向應用向量加法運算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡便，值得一提的是，一個向量拆成兩個向量的和，一定要強化目標意識．2、這是一個重要結論，要牢記。題型2:用向量法解決幾何問題[例6]已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：+++=4[解題思路]：由平行四邊形的對角線互相平分和相等向AOAODCB解析：證明：∵E是對角線AC和BD的交點∴==,==在△OAE中，+=同理+=，+=，+=以上各式相加，得+++=4【名師指引】用向量法解平面幾何問題，實質上是將平面幾何問題的代數(shù)化處理，在解題中應注意進行向量語言與圖形語言的互譯【新題導練】5-1-35．已知、是兩個不共線的向量，若它們起點相同，、、t（+）三向量的終點在一直線上，則實數(shù)t=_________.5-1-3【解析】如圖,∵、、t（+）三向量的終點在一直線上,∴存在實數(shù)使:t（+）—=（—）得（t—）=（——t）又∵、不共線，∴t—=0且——t=0解得t=6．向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。已知四邊形ABCD，AC與BD交于O，AO=OC，DO=OB，求證：ABCD是平行四邊形。證：如圖：∵又由已知∴，故AB與DC平行且相等，所以ABCD是平行四邊形?！飺尫诸l道★基礎鞏固訓練1.判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）共線向量一定在同一條直線上。 （ ）（2）所有的單位向量都相等。 （ ）（3）向量共線，共線，則共線。 （ ）（4）向量共線，則 （ ）（5）向量，則。 （ ）（6）平行四邊形兩對邊所在的向量一定是相等向量。 （ ）解：（1）錯。因為兩個向量的方向相同或相反叫共線向量，而兩個向量所在直線平行時也稱它們?yōu)楣簿€向量，即共線向量不一定在同一條直線上。（2）錯。單位向量是指長度等于1個單位長度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意義。（3）錯。注意到零向量與任意向量共線，當為零向量時，它不成立。（想一想：你能舉出反例嗎？又若時，此結論成立嗎？）（4）對。因共線向量又叫平行向量。（5）錯。平行向量與平行直線是兩個不同概念，AB、CD也可能是同一條直線上。（6）錯。平行四邊形兩對邊所在的向量也可能方向相反。2.(四川省成都市一診)在四邊形ABCD中，“EQ\o(AB,\s\up5(→))＝2\o(DC,\s\up5(→))”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件答案：A四邊形ABCD為梯形，但反之不成立.選A3．已知向量，若向量共線，則下列關系一定成立的是（）A、B、C、D、或答案：D提示：考慮情況要充分。4．．D、E、F分別是△ABC的BC、CA、AB上的中點，且，，給出下列命題，其中正確命題的個數(shù)是（）①②③④A、1B、2C、3D、4答案：D提示：結合圖形及向量加減法的幾何意義，易得4個命題均是正確命題。5．已知：，則下列關系一定成立的是（）A、A，B，C三點共線B、A，B，D三點共線C、C，A，D三點共線D、B，C，D三點共線答案：C解析：，所以C，A，D三點共線6．（廣東北江中學2008高三統(tǒng)測）若則向量的關系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．不確定ABCDABCD綜合拔高訓練7．(安徽省合肥市2008年高三年級第一次質檢)如圖，已知，用表示，則（）A． B．C． D．答案：B解析：8．已知+=，-=，用、表示=。答案：提示：（+）+（-）=+=所以=9．已知，且，試求t關于k的函數(shù)。答案：，則-3t=(2t+1)(k2–1)10．如圖，在△OAB中，，，AD與BC交于M點，設，，（1）試用和表示向量（2）在線段AC上取一點E，線段BD上取一點F，使EF過M點，設，。求證：。解：（1）設，則+，，∵A、M、D三點共線，∴共線，∴∴m+2n=1……①而，=，∵C、M、B三點共線，∴共線∴=∴4m+n=1……②聯(lián)立①、②解得m=，n=，故。（2）證明：∵=（-），=∵共線，∴=∴-∴。第2講平面向量的基本定理與坐標表示★知識梳理★1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個_____不共線_____不共線向量，那么對于這一平面內的__任一__向量，有且只有_一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2特別提醒：(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量2．平面向量的坐標表示如圖，在直角坐標系內，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個__單位向量_、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得…………eq\o\ac(○,1)，我們把叫做向量的（直角）坐標，記作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標表示與相等的向量的坐標也為特別地，，，特別提醒：設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示3．平面向量的坐標運算（1）若，，則=，=兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差（2）若，，則一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標（3）若和實數(shù)，則實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標4．向量平行的充要條件的坐標表示：設=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要條件是★重難點突破★1.重點：（1）了解平面向量基本定理及其意義,了解基底和兩個非零向量夾角的概念,會進行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐標的概念,掌握平面向量的坐標運算,會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；2.難點：用坐標表示的平面向量共線的條件,能用向量的坐標形式判斷兩向量以及三點是否共線.3.重難點：（1）平行的情況有方向相同和方向相反兩種問題1：和=(3,－4)平行的單位向量是_________；錯解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量就是，即(EQ\F(3,5)，－EQ\F(4,5))錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。正解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量是，即(EQ\F(3,5)，－EQ\F(4,5))或(－EQ\F(3,5)，EQ\F(4,5))BBCAOMD★熱點考點題型探析★考點一：平面向量基本定理題型1.利用一組基底表示平面內的任一向量[例1]在△OAB中，，AD與BC交于點M，設=，=，用,表示.[解題思路]：若是一個平面內的兩個不共線向量，則根據(jù)平面向量的基本定理，平面內的任何向量都可用線性表示.本例中向量,可作基底,故可設=m+n,為求實數(shù)m,n,需利用向量與共線,向量與共線,建立關于m,n的兩個方程.解析：設=m+n，則,∵點A、M、D共線，∴與共線，∴，∴m+2n=1.① 而，∵C、M、B共線，∴與共線，ABCQRP∴，∴4m+ABCQRP聯(lián)立①②解得:m=，n=，∴[例2]已知是所在平面內一點,的中點為,的中點為,的中點為.證明:只有唯一的一點使得與重合.[解題思路]：要證滿足條件的點是唯一的,只需證明向量可用一組基底唯一表示.解析：[證明]設，則,由題設知:由于,是確定的向量，所以是唯一的一個向量，即所在平面內只有唯一的一點使得與重合.【名師指引】解決此類類問題的關鍵在于以一組不共線的向量主基底，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把其它相關的向量用這一組基底表示出來，再利用向量相等建立方程，從而解出相應的值?！拘骂}導練】1．若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是()A．與—B．3與2C．＋與—D．與2BABACPNM2．在△ABC中,已知AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4，BN與CM交于點P,且,試用表示.解：∵AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4,，∴，，∵M、P、C三點共線，故可設，t∈R,于是，……①同理可設設，s∈R,．…②由①②得，由此解得，∴．考點二:平面向量的坐標表示與運算題型1:向量加、減、數(shù)乘的坐標運算[例3]已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且,,求點M、N的坐標及向量的坐標.[解題思路]：利用平面向量的基本本概念及其坐標表示求解。解析：∵A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）∴∴=3（1，8）=（3，24），=2（6，3）=（12，6）設，則因此得，∴同理可得，∴=（9—0，2—20）=（9，—18）【名師指引】靈活運用向量的坐標運算公式?！拘骂}導練】若A(0,1),B(1,2),C(3,4)則2=答案：(-3,-3)解：2=（1，1）2（2，2）=(-3,-3)4．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P點的坐標；解：設P(x,y)則(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,)∴∴P點坐標為(-1,-)考點三:向量平行的充要條件題型1:平行、共線問題[例4]（廣東省高明一中2009屆高三月考）已知向量，，若∥，則銳角等于（）A．B． C．D．[解題思路]：已知a、b的坐標，當求a//b時，運用兩向量平行的充要條件x1y2－x2y1=0可求值．解析：B解：，故選B【名師指引】數(shù)學語言常有多種表達方式，學會轉化與變通是求解的關鍵．本題以幾何特征語言形式出現(xiàn)，最終落足點要變式成方程的語言來求解，這一思想方法在求解向量問題時經(jīng)常用到．【新題導練】5．若向量=(-1,x)與=(-x,2)共線且方向相同，求x解：∵=(-1,x)與=(-x,2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0∴x=±∵與方向相同∴x=6．已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求(1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限。(2)四邊形OABP能否構成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由。解：(1)=(1+3t,2+3t)，若P在x軸上，只需2+3t=0，∴；若P在y軸上，只需1+3t=0，∴；若P在第二象限，只需∴(2)∵若OABP為平行四邊形，則由于無解，故四邊形OABP不能構成平行四邊形?！飺尫诸l道★基礎鞏固訓練1.（廣東省惠州市2009屆高三第二次調研考試）設平面向量，則（）A． B． C． D．答案：B解析：2.（廣東省深圳外國語學校2009屆高三統(tǒng)測（數(shù)學理））在中，，．若點滿足，則()A． B． C． D．答案：A解析：由，，3．已知a=（1，2），b=（－3，2），當ka+b與a－3b平行，k為何值（）AB－C－D答案：C解析：由已知a=（1，2），b=（－3，2），得a－3b=（10，－4），ka＋b=（k－3，2k＋2）．因（ka＋b）∥（a－3b），故10（2k＋2）＋4（k－3）=0．得k=－．4．（廣東省黃岐高級中學2009屆高三月考）如圖,線段與互相平分,則可以表示為()A.B.C.D.答案：B線段與互相平分，所以=5．如圖，設P、Q為△ABC內的兩點，且，＝＋，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為()A．B．C．D．答案：B[解析]如圖,設,則由平行四邊形法則知NP∥AB，所以=，同理可得。故,即選B.6．（2009年廣東省廣州市高三年級調研測試數(shù)學（理科））如圖，在△中，已知，，，ABCHM于，ABCHM則.答案：解析：，，所以BH=1，為的中點，所以綜合拔高訓練7．（廣東省深圳外國語學校2009屆高三統(tǒng)測（數(shù)學理））已知向量，，則的最大值為 ．答案：2解析：＝.8．(江西省鷹潭市2008屆高三第一次模擬)已知向量，若不超過5，則的取值范圍是 ．答案：[-6，2]解析：=解得的取值范圍是[-6，2]9．已知,當實數(shù)取何值時,＋2與2—4平行？【解析】方法一:∵2—4,∴存在唯一實數(shù)使＋2=2—4）將、的坐標代入上式得（—6，2＋4）=14，—4）得—6=14且2＋4=—4，解得=—1方法二：同法一有＋2=（2—4）,即（—2＋（2＋4=0∵與不共線，∴∴=—110．已知點O（0，0），A（1，2），B（4，5），且eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))．當t變化時，點P是否在一條定直線上運動？當t取何值時，點P在y軸上？OABP能否成為平行四邊形？若能求出相應的t值；若不能，請說明理由．解：（1）由eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))可得eq\o(AP,\s\up6(→))=teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))都過A點，故A、P、B三點在同一條直線上，而A、B為定點，所以P點恒在直線AB上運動.（2）eq\o(OP,\s\up6(→))=（1＋3t，2＋3t），若P在y軸上，則1＋3t=0，t=－.（3）A、B、P三點在同一條直線上，OABP不可能為平行四邊形，若用eq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(PB,\s\up6(→))可列方程組，但方程組無解.第3講平面向量的數(shù)量積★知識梳理★1．兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作＝，＝，則_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角.特別提醒：向量與向量要同起點。2．平面向量數(shù)量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cos__叫與的數(shù)量積，記作，即有=||||cos特別提醒：（０≤θ≤π）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0兩個向量的數(shù)量積的性質：設、為兩個非零向量，是與同向的單位向量==||cos；=0當與同向時，=||||；當與反向時，=||||特別的=||2或cos=；||≤||||3．“投影”的概念：如圖定義：_____|b|cos_______叫做向量b在a方向上的投影特別提醒：投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為|b|；當=180時投影為|b|4．平面向量數(shù)量積的運算律交換律：=數(shù)乘結合律：()=()=()分配律：(+)=+5．平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量，，設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以6.平面內兩點間的距離公式如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么：7.向量垂直的判定：設，，則 8.兩向量夾角的余弦（）cos=★重難點突破★1.重點：掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；能利用數(shù)量積的5個重要性質及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關問題；2.難點：掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題3.重難點：.(1)向量數(shù)量積與向量加、減、數(shù)乘運算的區(qū)別問題1:兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量加、減、數(shù)乘運算的運算結果是向量。例：規(guī)定，·=·=0(不是零向量，注意與λ=(λ∈R)區(qū)別)（2）向量數(shù)量積與實數(shù)相關概念的區(qū)別問題2:表示方法的區(qū)別數(shù)量積的記號是，不能寫成，也不能寫成(所以有時把數(shù)量積稱為“點乘”，記號另外有定義，稱為“叉乘”)．問題3:相關概念及運算的區(qū)別⑴若a、b為實數(shù)，且a·b=0，則有a=0或b=0，但·=0卻不能得出=或=．因為只要⊥就有·=0，而不必=或=．⑵若a、b、c∈R，且a≠0，則由ab=ac可得b=c，但由·=·及≠0卻不能推出=．因若、夾角為θ1，、夾角為θ2，則由·=·得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(見圖)．⑶若a、b、c∈R，則a(bc)=(ab)c(結合律)成立，但對于向量、、，則(·)·與·(·)都是無意義的，這是因為·與·是數(shù)量，已不再是向量了，而數(shù)量與向量是沒有點乘定義的．同時，(·)≠(·)，這是因為數(shù)量·與向量相乘是與共線的向量，而數(shù)量·與向量相乘則是與共線的向量，所以一般二者是不等的．這就是說，向量的數(shù)量積是不滿足結合律的．⑷若a、b∈R，則|a·b|=|a|·|b|，但對于向量、，卻有|·|≤||·||，等號當且僅當∥時成立．這是因為|·|=||·||·|cosθ|而|cosθ|≤1．★熱點考點題型探析★考點一：平面向量數(shù)量積的運算題型1.求數(shù)量積、求模、求夾角[例1]；[解題思路]：直接用定義或性質計算解析：[例2][解題思路]：考慮公式cos=。解析：【名師指引】注意公式，當知道的模及它們的夾角可求的數(shù)量積，反之知道的數(shù)量積及的模則可求它們的夾角。題型2。利用數(shù)量積解決垂直問題[例3]若非零向量、滿足，證明:[解題思路]：只須證明。解析：[證明]由得:展開得:,故[例4]在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一個內角為直角，求k值[解題思路]：注意分情況計論解析：當A=90時，=0，∴2×1+3×k=0∴k=當B=90時，=0，==(12,k3)=(1,k3)∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=當C=90時，=0，∴1+k(k3)=0∴k=【名師指引】是一個常用的結論?！拘骂}導練】1．（廣東省普寧市城東中學2009屆高三上學期第三次月考）已知向量，，若，則（）A．B．C．D．答案：D解析：解得2．執(zhí)信中學2008-2009學年度高三數(shù)學試卷知為的三個內角的對邊，向量．若，且，則角的大小分別為（）A． B．C． D．答案：C解析：由可得即所以角，且及可得考點2利用數(shù)量積處理夾角的范圍題型1：求夾角范圍[例5]已知,且關于的方程有實根,則與的夾角的取值范圍是()A.[0,]B.C.D.[解題思路]：要求兩向量夾角θ的取值范圍,可先求cosθ的取值范圍.解析：由關于的方程有實根，得:.設向量的夾角為θ，則cosθ=,又，∴θ∈.[答案]B.【名師指引】要求兩向量夾角θ的取值范圍,可先求cosθ的取值范圍.【新題導練】3．設非零向量=，=，且，的夾角為鈍角，求的取值范圍[解析]，的夾角為鈍角,解得或(1)又由共線且反向可得(2)由(1),(2)得的范圍是4．已知，,如果與的夾角為銳角,則的取值范圍是答案：或且解析：與的夾角為銳角即且，可得或且★搶分頻道★基礎鞏固訓練1.2009年廣東省廣州市高三調研測試數(shù)學（理科）已知向量a=（x，1），b=（3，6），ab，則實數(shù)的值為A．B．C．D．答案：B解析：2.（廣東省深圳市2009屆高三九校聯(lián)）已知，，和的夾角為，則為（）A． B． C． D．答案：C解析：，又可得=3．廣東省北江中學2009屆高三上學期12月月考(數(shù)學理)內有一點,滿足,且.則一定是（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形答案：D解析：為重心，由可知一定是等腰三角形4．廣東省恩城中學2009屆高三模擬考試（數(shù)學理）在△ABC中，a,b,c分別為三個內角A,B,C所對的邊，設向量，若,則角A的大小為（）A.B.C.D.答案：B解析：由可得即所以角A=5．廣東省華南師范附屬中學2009屆高三綜合測試己知向量，與的夾角為60°，直線與圓的位置關系是（）A．相切B．相交C．相離 D．隨的值而定答案：C解析：與的夾角為60°所以圓心到直線距離為故選C6．廣州市海珠區(qū)2009屆高三綜合測試設是邊長為1的正三角形,則=.答案：解析：=綜合拔高訓練7．廣東省揭陽二中2009屆高三上學期期中考試（數(shù)學理）已知＝(－1,3)，＝(2,－1)，若(k＋)⊥(－2)，則k＝．答案：解析：k＋=（2－k，3k－1），－2=（－5，5）所以(k＋)(－2)=0可得k=8．（廣東省華南師范附屬中學2009屆高三綜合測試）設平面上向量與不共線，（廣東省華南師范附屬中學2009屆高三綜合測試（數(shù)學理））設平面上向量與不共線，證明向量與垂直 當兩個向量與的模相等，求角．解析：（1） （2）由題意： 得： ，得又 得或 9．（廣東省五校2009屆高三上學期第二次聯(lián)考（數(shù)學理））設、分別是橢圓的左、右焦點.若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;解：（Ⅰ）解法一：易知,所以，設，則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以設，則…10．廣東省恩城中學2009屆高三上學期中段考試（數(shù)學理）在△ABC中，已知．(1)求AB邊的長度；(2)證明：；（3）若,求．解：（1）∵∴∵∴,即AB邊的長度為4分(2)由得①即②6分由①②得,由正弦定理得∴∴9分(3)∵，由（2）中①得由余弦定理得=∴=14分第4講平面向量的應用★知識梳理★利用向量處理幾何問題的步驟為：建立平面直角坐標系；設點的坐標；求出有關向量的坐標；利用向量的運算計算結果；SFSFα2.平面向量在物理中的應用如圖5-4-3所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W=|F||S|cosα.重要不等式：特別提醒：常用于求參數(shù)的范圍★重難點突破★1.重點：會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題,如確定力或速度的大小以及方向.2.難點：加強數(shù)學應用意識，提高分析問題，解決問題的能力3.重難點：.1熟悉向量的性質及運算律；2能根據(jù)向量性質特點構造向量；3熟練平面幾何性質在解題中應用；4熟練向量求解的坐標化思路5認識事物之間的內在聯(lián)系；6認識向量的工具性作用，加強數(shù)學在實際生活中的應用意識★熱點考點題型探析★考點一：平面向量在平面幾何題型1.用向量證明幾何題[例1]已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線求證AC⊥BD[解題思路]：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標形式的充要條件解析：證法一：∵＝＋，＝－，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝O∴⊥證法二：以OC所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標系，設B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）則由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2∵＝－＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c2－a2－b2＝O∴⊥即AC⊥BD【名師指引】如能熟練應用向量的坐標表示及運算，則將給解題帶來一定的方便通過向量的坐標表示，可以把幾何問題的證明轉化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用?！拘骂}導練】1．證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍.[解析]設=b，=a，則=+=b+a,=b+a∵A,G,D共線，B,G,E共線ABCEFDABCEFDG則=λ=λ(b+a)=λb+λa,=μ=μ(b+a)=μb+μa,∵即：b+(μb+μa)=λb+λa∴(μλ)a+(μλ+)b=0∵a,b不平行，∴2．已知，若動點滿足，求動點P的軌跡方程.[解析]由已知得，化簡得,這就是動點P的軌跡方程.考點二:平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的綜合應有用題型1:與函數(shù)綜合題[例2]廣東省華南師大附中2009屆高三綜合測試（數(shù)學理）為△的內角A、B、C的對邊，，，且與的夾角為，求C；[解題思路]：考查向量數(shù)量積運算及三角函數(shù)二倍角公式解析：∵，∴又∴，∴[例3]廣東省揭陽二中2009屆高三統(tǒng)測（數(shù)學理）已知A、B、C是直線上的不同的三點，O是外一點，向量滿足,記.求函數(shù)的解析式；[解題思路]：A、B、C三點共線，解析：A、B、C三點共線，………3分【名師指引】涉及與三角綜合的題目，多數(shù)只利用向量的基本運算，把問題轉化為三角問題，以考查三角函數(shù)知識為主。三點共線是一個?？汲Ｐ碌闹R點。要記住常用結論：A、B、C三點共線，【新題導練】3．廣東省高明一中2009屆高三月考（數(shù)學理）已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．答案：A解析：又所以選A4．廣東省揭陽二中2009屆高三統(tǒng)測（數(shù)學理）在ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊；若向量與的夾角為，求角B的大小解：由題意得：，即0<B<………6分考點三:平面向量在物理中的應用題型1:用向量解決物理問題[例4]設炮彈被以初速v0和仰角拋出（空氣阻力忽略不計）.當初速度v0的大小一定時，發(fā)射角多大時，炮彈飛行的距離最遠.[解題思路]：上述問題中涉及速度等物理量，可根據(jù)平面向量的基本定理和物理問題的需要，把v0分解為水平方向和豎直方向兩個不共線的向量，再利用運動學知識建立數(shù)學模型，最后利用向量的知識求解.解析：將v0分解為水平方向和豎直方向兩個分速度v1和v2，則|v1|=|v0|cos,|v2|=|v0|sin,由物理學知識可知，炮彈在水平方向飛行的距離S=|v1|·t=|v0|cos·t（t是飛行時間）①炮彈在垂直方向的位移是0=|v2|·t-gt2（g是重力加速度）②由②得t=,③代入①得=由于|v0|一定，所以當=45°時，S有最大值.故發(fā)射角=45°時，炮彈飛行的距離最遠.[例5]某人騎車以每小時公里的速度向東行駛，感到風從正東方向吹來，而當速度為2時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速和方向.[解題思路]：利用向量知識解決物理中有關“速度的合成與分解”PBAOvv2a解析：設表示此人以每小時a公里的速度向東行駛的向量，無風時此人感到風速為，設實際風速為v，那么此時人感到的風速為v，設=，=2∵+=∴=v，這就是感到由正北方向吹來的風速，∵+=∴=v2，于是當此人的速度是原來的2倍時所感受到由東北方向吹來的風速就是，由題意：PBO=45,PABO,BA=AO從而，△POB為等腰直角三角形，∴PO=PB=即：|v|=∴實際風速是的西北風【名師指引】加強數(shù)學應用意識，提高分析問題，解決問題的能力【新題導練】5．點P在平面上作勻速直線運動，速度向量=（4，－3）（即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為||個單位.設開始時點P的坐標為（－10，10），則5秒后點P的坐標為()A．（－2，4） B（10，－5） C（－30，25） D（5，－10）答案：B解析：5秒后點P的坐標為（－10，10）+5（4，－3）=(10,-5)ABABDC30上游下游答案：船航行的方向是與河岸垂直方向成30夾角，即指向河的上游.★搶分頻道★基礎鞏固訓練1.如果一架向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機飛行的路程為s，位移為a，則（）A．s>|a|B．s<|a|C．s=|a|D．s與|a|不能比大小答案：A2.已知，，，點C在內，且，設，則等于 （） A． B．3 C． D．答案B∵，，∴△ABC為直角三角形，其中∴∴即故本題的答案為B．3.(2008·廣東省實驗中學高三第三次階段考)在△ABC中，已知向量，則△ABC為（） A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形答案：D[解析]非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC，∴AB=AC，又=eq\f(1,2)，∠A=，所以△ABC為等邊三角形4.在ΔABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則的最小值為.答案:如圖，設，則，所以，故當時，取最小值-2.5.一個30o的斜面上放有一個質量為1kg的球，若要保持球在斜面上靜止不動，應沿斜面方向給球多大_________力;若表示球的重力的向量為p，球對斜面的壓力為ω，則球的重力沿斜面方向的分力f=___________保持球在斜面上靜止不動的推力f′=答案：4.9N,f=p－ω,,f′=－f=ω－p6.（2008·佛山石門中學檢測）在直角坐標系中，已知點A（0，1）和點B（—3，4），若點C在∠AOB的一平分線上，且，則____________.答案：［解析］∵點C在∠AOB的一平分線上,∴設==又,∴，得,∴綜合拔高訓練7．廣州市海珠區(qū)2009屆高三上學期綜合測試二(數(shù)學理)已知：A、B、C是的內角，分別是其對邊長，向量，，.求角A的大??；解:(Ⅰ)=……1分=……2分∵……4分……6分∵……7分.……8分8．已知A、B、C三點的坐標分別為、、（1）若的值；（2）若解：（1），（2）由9．四邊形中，（1）若，試求與滿足的關系式；（2）滿足（1）的同時又有，求的值及四邊形的面積。解：,2分（1）,故有4分化簡得：5分（2）又則7分化簡有：8分聯(lián)立解得或10分,則四邊形為對角線互相垂直的梯形當此時12分當此時14分10．已知點,為坐標原點，且.（1）若，求與的夾角；（2）若，求tan的值.解:由已知可得且……1分化簡得:……3分因為所以……4分……6分又因為所以……7分（Ⅱ）由得……9分即化簡得:……10分所以所以即是解得……12分因為且所以……13分又所以……14分第八章綜合能力檢測一、選擇題（第小題5分，共40分）1．向量i=（1，0），j=（0，1），下列向量中與向量垂直的是（） A． B． C． D．答案：B()()=0所以選B2．已知向量a，若向量與垂直，則的值為 （） A． B．7 C． D．答案：A()()=3．設，，則滿足條件，的動點P的變化范圍（圖中陰影部分含邊界）是 （