安徽卓越縣2023-2024學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測卷數(shù)學(xué)試卷含解析

安徽卓越縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知"，"是兩條不同的直線，夕是兩個不同的平面，給出四個命題：

m

①若。B=，"<=a,n±m(xù),則②若m±j3,則?！??；

③若mlIn,mua,all/3,則〃〃，；④若加J_a,nL/3,mVn,則。

其中正確的是()

A.①②B.③④C.①④D.②④

2.已知a,b,c分別是ABC三個內(nèi)角A,B,。的對邊，acosC+^/3csinA—b+c^則4=()

,兀71-712萬

A.—B.—C.—D.—

6433

3.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前幾項和為S“，若%=2,q+4=5,則$6=()

A.10B.9C.8D.7

4.已知等差數(shù)列｛qj中，&+1=8則％+&+%+/+%=()

A.10B.16C.20D.24

5.若(l+ax)(l+x)5的展開式中X2,%3的系數(shù)之和為一］0,則實數(shù)"的值為()

A.-3B.-2C.-1D.1

6.若樣本1+罰,1+9/+0,1+工“的平均數(shù)是10,方差為2,貝!!對于樣本2+2和2+2々,2+2%,?，2+2%，下列

結(jié)論正確的是()

A.平均數(shù)為20,方差為4B.平均數(shù)為11,方差為4

C.平均數(shù)為21,方差為8D.平均數(shù)為20,方差為8

7.在AABC中，AB=2,AC=3,ZA=60°,。為AABC的外心，若AO=xA3+yAC,x,y^R,則2x+3y=

()

8.已知點工為雙曲線C：±r—匕=1(?！祇)的右焦點，直線、=區(qū)與雙曲線交于A，8兩點，若NAKB=——,則

a43

一的面積為()

A.2&B.2括C.4A/2D.4有

9.在正方體AG中，E是棱CG的中點，尸是側(cè)面BCG4內(nèi)的動點，且4歹與平面QAE的垂線垂直，如圖所示,

A.點F的軌跡是一條線段B.4歹與BE是異面直線

C.A/與2E不可能平行D.三棱錐尸-A3,的體積為定值

10.已知函數(shù)/(x)=Asin(<?x+。)|A>0,o>0,0<^<—的部分圖象如圖所示，則/()

遙0Da+亞

4-■-2

11.若tancr=—,貝!Jcos2a=()

2

12.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(*)=/(f),且在(0,+8)上是增函數(shù)，不等式/(依+2)</(—1)對于

xe[1,2卜恒成立，則。的取值范圍是

311

A.-----1B.—1,-----C.-----,0D.[0,11

222L」

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在區(qū)間［-6,2］內(nèi)任意取一個數(shù)4,則%恰好為非負(fù)數(shù)的概率是.

14.曲線/（x）=工+ln!在點（1,/（1））處的切線方程是.

15.已知定義在R的函數(shù)/（X）滿足/（x）-/（-x）=O,且當(dāng)尤＞0時，xf\x）＜Q,則/［log3（x—1）］＜/＞⑴的解集為

16.已知/＞0,記/■?）=［（1—。；2》+。；4/一。：81+...—。；128/+或256犬）公，則/⑺的展開式中各項系數(shù)

和為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)函數(shù)/（x）=lnx-a（、6—l）.

（1）若函數(shù)y=/（x）在（1，+⑹是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若〃〉加>0,證明：2+ln”<2,2+ln〃z.

Vm

18.（12分）某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司年

的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:

年份20112012201320142015201620172018

年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）2345671011

該產(chǎn)品的年利潤（百萬元）2.12.753.53.2534.966.5

年返修臺數(shù)（臺）2122286580658488

[8]88

部分計算結(jié)果：元=6、^=6,9=石￡￥=4,2（見一可一=72,

宮i=lHi=li=l

88

Z（y5=18.045,2&一元）（%一刃=34.5

i=li=l

年返修臺數(shù)

注:年返修率=

年生產(chǎn)臺數(shù)

（1）從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以自表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求J的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

（2）根據(jù)散點圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤V（百萬元）關(guān)于年

生產(chǎn)臺數(shù)X（萬臺）的線性回歸方程（精確到0.01）.

科然件同口力神廣「由二￡」（七一可（%—歹）

附：線性回歸方程y=Zzx+a中，----------------?-------二a=y-bx.

￡二用一初￡=再一”?元

19.（12分）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，24,平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，點歹為線段PC上的點，

過A,Z）,尸三點的平面與交于點E.將①AB=AP,②BE=PE,③依，ED中的兩個補(bǔ)充到已知條件中，解答

下列問題：

（1）求平面皿石將四棱錐分成兩部分的體積比；

（2）求直線PC與平面ADEE所成角的正弦值.

X=l+COS（P

20.（12分）在直角坐標(biāo)系xQy中，圓C的參數(shù)方程〈.（9為參數(shù)），以。為極點，x軸的非負(fù)半軸為極

y=sin夕

軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；

（2）直線/的極坐標(biāo)方程是225詁［。+三］=3若，射線。=g與圓C的交點為0、P,與直線/的交點為Q,

求線段P。的長.

2222

21.（12分）已知。＞匕＞0,如圖，曲線「由曲線G：「+A=l（yW0）和曲線。2：1―二=l（y〉0）組成，其

abab

中點與，心為曲線C所在圓錐曲線的焦點，點片，工為曲線。2所在圓錐曲線的焦點.

(I)若居(2,0),居(—6,0),求曲線》的方程;

(II)如圖，作直線/平行于曲線。2的漸近線，交曲線q于點A,8,求證：弦A3的中點〃必在曲線。2的另一條

漸近線上;

(III)對于(I)中的曲線「，若直線《過點K交曲線G于點C，。，求ACDH面積的最大值.

X=l+COS(P

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為.(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，”軸

y=sm(p

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為夕sin6+?=2夜.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線/的直角坐標(biāo)方程;

(2)若射線0＜?。紩c曲線。交于點4(不同于極點O),與直線/交于點5,求

\OB\的最大值。

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③；根

據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.

【詳解】

對于①，若。]/3=m,nua,nVm,a,￡兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；

對于②，若加，a,mL/3,則M/廣，故②正確；

對于③，若加小，mua,allp,當(dāng)nu/3,則九與夕不平行，故③錯誤；

對于④，若加_1_。，nV[3,mLn,則。，，，故④正確；

故選：D

【點睛】

本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

原式由正弦定理化簡得百sinCsinA=cosAsinC+sinC，由于sinC^O,0<A（乃可求4的值.

【詳解】

解：由acosC+J§csinA=Z?+c及正弦定理得sinAcosC+gsinCsinA=sinB+sinC.

因為5=萬—A-C,所以sin3=sinAcosC+cosAsinC代入上式化簡得^3sinCsinA=cosAsinC+sinC.

由于sinCH0,所以sin[A-k]=3.

n

又0<A<?,故人=一.

3

故選：C.

【點睛】

本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.

3、B

【解析】

根據(jù)題意外=%+2d=2,%+。4=2%+3d=5,解得q=4,J=-l,得到答案.

【詳解】

%=q+2d—2,q+=2%+3d=5,解得q=4,d=—1,故S。~6q+15d—9.

故選：B.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計算能力.

4、C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到&+R=8=2%,再計算得到答案.

【詳解】

已知等差數(shù)列｛?！埃?，%+。6=8=2%=>4=4

%+/+%+%+%=5a5=20

故答案選C

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.

5、B

【解析】

由(1+奴)(1+x)5=(1+x)5+OJC(1+x)5,進(jìn)而分別求出展開式中X2的系數(shù)及展開式中/的系數(shù)，令二者之和等于

-10,可求出實數(shù)。的值.

【詳解】

由(1+ax)(l+X)5=(1+X)5+ax(l+X)5,

則展開式中X2的系數(shù)為C；+aC；=10+5?,展開式中X3的系數(shù)為C；+aq2=10+10。，

二者的系數(shù)之和為(10+5a)+(10a+10)=15。+20=—10,得a=—2.

故選:B.

【點睛】

本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系，可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系，方差的關(guān)系，進(jìn)而可得到答案.

【詳解】

樣本1+元1，1+%/+尤3，-,1+x0的平均數(shù)是10,方差為2,

所以樣本2+2和2+2々,2+2七,…,2+2%的平均數(shù)為2x10=20,方差為2?x2=8.

故選:D.

【點睛】

樣本龍］,々,演,一，x”的平均數(shù)是X,方差為$2,則叼+。，4尤2+。e3+尻，ax,+6的平均數(shù)為ax+b,方差為a2s2.

7、B

【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出x,V,即可求出2x+3y的值.

【詳解】

如圖所示過。做三角形三邊的垂線，垂足分別為。，E,F,

過。分別做AB,AC的平行線NO,MO,

A-J9+4+J

2-ABAC12

則外接圓半徑r=刀。=叵,

2-sin6003

因為ODLAB,所以0D=JA02—AD?=、

93

214

又因為/￡>MO=60°,所以DW=—==-,MO=AN=~,

333

由題可知AO=xAB+yAC=AM+AN,

b,、，AM1AN4

所以x=-----——,y-二一，

AB6AC9

所以2x+3y=￡.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理,平面向量分解定理，屬于一般題.

8、D

【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點為耳，連接A耳,8耳，由對稱性可知四邊形公耳3鳥是平行四邊形，

2

設(shè)|M=、|9|=G，4c=+7^-2rxr2cosy,求出帆的值，即得解.

【詳解】

設(shè)雙曲線C的左焦點為片，連接4耳,3月，

由對稱性可知四邊形A耳5區(qū)是平行四邊形，

JT

所以SAFiF2=SAF2B,ZFiAF2=-.

設(shè)1"口,回"則4c2=/+底2i嗎*+L

又卜一目=2。.故,馬=4b2=16,

所以SAF心=g八弓sing=46.

故選：D

【點睛】

本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解

掌握水平.

9、C

【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷.

【詳解】

對于A,設(shè)平面ADJE與直線6。交于點G,連接AG、EG,則G為8C的中點

分別取耳G的中點M、N,連接AM、MN、AN,

Q^M/Z^E,AM仁平面D]AE,。山匚平面口人后,

.?.AM//平面RAE.同理可得MN//平面D]AE,

AM、MN是平面4MN內(nèi)的相交直線

二平面AjMN//平面D]AE,由此結(jié)合4歹//平面RAE，可得直線4歹u平面4MN,

即點R是線段MN上上的動點.，A正確.

對于3,平面A"N//平面D]AE,BE和平面相交，

二A尸與助是異面直線，3正確.

對于C,由A知，平面[MN//平面RAE,

二4尸與不可能平行，；.C錯誤.

對于。，因為MN//EG,則歹到平面的距離是定值，三棱錐尸一叫E的體積為定值，所以。正確;

故選：C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

10、A

【解析】

S7rr3兀

先利用最高點縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)7r求出周期，再將代入求出9的值.最后將一代入解析

式即可.

【詳解】

由圖象可知4=1,

??匹」2?27r

-,所以丁="，/.CD=—=2.

*T12T

71

/./(x)=sin(2x+(p),將，1]代入得5譏（彳+。）=L

12

7TTTIT7T

/.—F(p=—1~2左"，kEZ,結(jié)合0V°V—,:?(p=一

6223

/(x)=s42x+().

.[3/r.\J71i)n71.7171

SIYI\-----1——sin\7iH-------—sin———sin

431212

(.717171.71\V2-V6

=-sin—cos----cos-sin-=-----------.

I3434J4

故選：A.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.

11、D

【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.

【詳解】

1

?:tana=—,

2

11

ccostz-sina1-tana43

:.cos2a=——；---------—=---------；—=—Y,

cosa+sin-a1+tan"a】+5

4

故選D

【點睛】

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化

能力，屬于基礎(chǔ)題型.

12、A

【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在(-8,0)上是減函數(shù)，由此可將不等式化為-1W依+2W1；利用分

離變量法可得-3上1，求得-三3的最大值和--1的最小值即可得到結(jié)果.

XXXx

【詳解】

“X)=/(-x).-./(x)為定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱

又/(%)在(0,+")上是增函數(shù).-./(X)在(-8,0)上是減函數(shù)

/(ta+2).'.|ax+2|<l,即-

o1

—1Wox+2W1對于％G［1,2卜恒成立二—三VaV—嚏在［1,2］上恒成立

3「3一

即4的取值范圍為：一二一1

22

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單

調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13、一

4

【解析】

先分析非負(fù)數(shù)對應(yīng)的區(qū)間長度，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型，即可求解出“毛恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.

【詳解】

當(dāng)無。是非負(fù)數(shù)時，xoe[O,2],區(qū)間長度是2—0=2,

又因為[—6,2]對應(yīng)的區(qū)間長度是2—(—6)=8,

所以“％恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是P4711

o4

故答案為：一.

4

【點睛】

本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對應(yīng)的區(qū)間長度.

14、2x+y-3=0

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可.

【詳解】

由已知，=所以=—2,又/⑴=1,

XX

所以切線方程為y—1=-2(%-1),即2x+y-3=0.

故答案為：2x+y-3=0

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別，是一道容易題.

15、HD(4,+OO)

【解析】

由已知得出函數(shù)是偶函數(shù)，再得出函數(shù)的單調(diào)性，得出所解不等式的等價的不等式|log3(x-D|>1，可得解集.

【詳解】

因為定義在R的函數(shù)f(x)滿足f⑺=0,所以函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，

又當(dāng)尤>0時，靖(x)<0,得x>0時，f'(x)<0,所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)4X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(7,0)上單調(diào)遞增，

所以不等式丹Iog3(%—1)]</(I)等價于|log3(x—1)|>1,即log3(x—1)>1或log3(x—l)<T,

解得l<x<g或x>4,所以不等式的解集為：

故答案為：[l,g]u(4,+8).

【點睛】

本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解，關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，屬于中檔題.

1

16、-

9

【解析】

根據(jù)定積分的計算，得到/(/)=-](1-27)9+工，令/=1,求得/。)=:，即可得到答案.

18189

【詳解】

根據(jù)定積分的計算，可得

7889

于⑴=￡(1-C*2X+—或8丁+...—CJ128%+C；256x)dx=￡(1-2x)公=—f(1—2x)\'Q

=-—(l-209+—,

1818

令』，則/⑴=—焉(1-2><+昌，

即f(t)的展開式中各項系數(shù)和為1.

【點睛】

本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及二項式定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)定積分的計算和二項式定理求得了⑺的表示

是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a>2(2)證明見解析

【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(X),由/■'(x)WO在。,+⑹上恒成立，采用分離參數(shù)法求解；

n

(2)觀察函數(shù)，(1)，不等式湊配后知，利用a=2時/＜/(1)可證結(jié)論.

m

【詳解】

(1)因為y=/(x)在。,+8)上單調(diào)遞減,

所以，(x)=—[—-^=＜0,即a2一2尸在(1,+⑹上恒成立

xx

22

因為y=一尸在(1，+8)上是單調(diào)遞減的，所以一尸￡(0,2),所以〃22

yJXyjx

(2)因為〃＞根＞0,所以一〉1

m

由(1)知，當(dāng)a=2時，y=/(x)在(L+s)上單調(diào)遞減

n

所以/</W

m

口」＜0

即ln3-2

mJ

所以2+ln〃<2./—+lnm.

Vm

【點睛】

本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.解題關(guān)鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來，利用函數(shù)

的特例得出不等式的證明.

18、(1)見解析；(2)y=0.48x+1.27

【解析】

(1)先判斷得到隨機(jī)變量〈的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)計算得到相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分

布列和期望.(2)由于去掉2015年的數(shù)據(jù)后不影響B(tài)的值，可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出石；然后再根據(jù)去掉2015年的數(shù)據(jù)

后所剩數(shù)據(jù)求出a即可得到回歸直線方程.

【詳解】

(1)由數(shù)據(jù)可知，2012,2013,2016,2017,2018五個年份考核優(yōu)秀.

由題意4的所有可能取值為0,1,2,3,

P(^=o)=^1°13=-1

'7C?56

O

P仔=1)=巖15

e856

5)=*”

故J的分布列為:

40123

115155

P

56562828

15

^rl^E4=0x—+lx—+2x—+3x—=

56562828-T-

(2)因為%=元=6,所以去掉2015年的數(shù)據(jù)后不影響B(tài)的值,

所以g=仆-可⑸-立卡

T亡0.48.

“7一72

又去掉2015年的數(shù)據(jù)之后于="叱=6,y=4x8~329

777

八29345

所以近=歹一反=————x621.27,

-772

從而回歸方程為：y=0.48x+1.27.

【點睛】

求線性回歸方程時要涉及到大量的計算,所以在解題時要注意運算的合理性和正確性，對于題目中給出的中間數(shù)據(jù)要

合理利用.本題考查概率和統(tǒng)計的結(jié)合,這也是高考中常出現(xiàn)的題型，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)-；(2)&.

33

【解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面從而有結(jié)合PBLED,可得

BP工平面ADFE,故有M_LAE,而BE=PE,得到A3=AP,②③成立與①②相同,

①③成立，可得BE=PE,所以任意補(bǔ)充兩個條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析；

(1)設(shè)AP=A3=1,可得AE,進(jìn)而求出梯形AEED的面積，可求出匕)一包包，匕＞一."，即可求出結(jié)論;

(2)AB=AD=AP=1,以A為坐標(biāo)原點，建立空間坐標(biāo)系，求出瓦。,。坐標(biāo)，由(1)得為平面ADE尸的

法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.

【詳解】

第一種情況：若將①=②BE=PE作為已知條件，解答如下:

(1)設(shè)平面ADEE為平面a.

,/BC//AD,BC//平面?,而平面a平面PBC=EF,

/.EF//BC,又E為PB中點.

設(shè)AP=AB=1,則所

22

在三角形PR中，PB=A/2,A￡=—=—>

22

由，B4,，AB知AD，平面,

：.AD±AE,EF±AE,

二梯形AEED的面積

11

°AD+EF__1+20_30,

AEFD2228

AB=AP,BE=PE,PB±AE,AD_LPB,

ADAE=A,PB±平面AEFD,

〃13^V21TZ_111_1

Vp.口口八——X---X——9vpARC'D——Xlxl——9

P-AEFD382833

*.*vVEF-ABCD-=3i_8i—=A24，

1

VEF^ABCD-5Vp-AEFD3

24

(2)如圖，分別以AB,AZ),AP所在直線為蒼軸建立空間直角坐標(biāo)系,

^AB=AD=AP=1,貝UC(1,1,O),P(O,O,1),5(1,0,0)

PB=(1,0,-1),PC=(1,1,-1),

由（1）得PB為平面ADEE的一個法向量,

PCPB2_V6

因為cos〈PC,PB〉=

\PC\\PB\~y/2-y/3~3

所以直線PC與平面皿石所成角的正弦值為逅.

3

第二種情況：若將①AB=AP,③依，ED作為已知條件，

則由A。，AP,A￡），A5知平面ABP,AD±PB,

又PB工FD,所以平面ADEE,PB±AE,

又A3=AP,故E為心中點，即BE=PE,解答如上不變.

第三種情況：若將②=③？6,ED作為已知條件，

由尸及第二種情況知PB_LAE，又BE=PE,

易知AB=AP,解答仍如上不變.

【點睛】

本題考查空間點、線、面位置關(guān)系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計算求解能力，屬于中檔題.

20、（1）0=2cos6；（2）2

【解析】

?X=]+COSCD

（1）首先利用cos2e+s%20=l對圓C的參數(shù)方程｛-,（9為參數(shù)）進(jìn)行消參數(shù)運算，化為普通方程，再

y-sin（p

根據(jù)普通方程化極坐標(biāo)方程的公式得到圓C的極坐標(biāo)方程.（2）設(shè)P（q,4），聯(lián)立直線與圓的極坐標(biāo)方程，解得

月，4；設(shè)Q(22，％)，聯(lián)立直線與直線的極坐標(biāo)方程，解得「2，%，可得|PQ|.

【詳解】

(1)圓C的普通方程為(％—11+,2=1,又x=ocos。，y=x?sin。

所以圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cos6>.

p-IcosO(

⑵設(shè)pg,q),則由｛°』解得q=i,4=：,得p(i,n

2Psin[e+qj=3G

71

設(shè)Q(夕20)，則由｛解得夕2=3,%=。，得Q。,

e=-

3

所以|PQ|=2

【點睛】

本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)方程的求解運算，考查了學(xué)生的計算能

力以及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

21、(I)工+匯=1(/0)和工—亡=1('〉0).；(II)證明見解析；(III)出叵.

201620163

【解析】

(I)由凡(2,0),居(—6,0),可得=*，解出即可；

a2-b-=4

(II)設(shè)點4(%,乂),5(%2，%),河(%,%),設(shè)直線/：y=,(x—m)，與橢圓方程聯(lián)立可得：

2x2-2mx+(m2-?2)=0,利用/>0,根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式，證明即可；

22

(IH)由(I)知，曲線土+乙=1(%,0),且工(6,0),設(shè)直線4的方程為：%=?+6(〃>0),與橢圓方程聯(lián)立可得：

2016

(5+4n2)/+48^+64=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，即可

求解.

【詳解】

(I)由題意：8(2,0),居(一6,0),

a2+b~=36a?=20

解得<

/-b2=4b2=16

2222

則曲線「的方程為：工+上=1（%,0）和三匕=l（y〉0）.

20162016

b

（II）證明：由題意曲線。2的漸近線為：y=土一%,

a

b

設(shè)直線/：y=—（九一加），

a

b

y=—（x-m）

則聯(lián)立2",2，得2/—2如+（加—6）=0,

3+3=1

A=4m2-8（m2-?2）>0,解得：

又由數(shù)形結(jié)合知a?m<J5a.

設(shè)點A（司,％）,6（%2,%）,M（%,%），

Ed.〃匕—W

則X]+/=根，%々=---,

mbm

?1X0=77，%=一丁，

22a

bb

，%=—九0，即點M在直線y=—元上.

aa

22

（皿）由（I）知,曲線G：工+匕=1（為0）,點心（6,0）,

設(shè)直線4的方程為：X^ny+6（77>0）,

x=ny+6

「?聯(lián)立冗22，得:（5+44）y2+48〃y+64=0,

——+匕=1

〔2016

A=（48〃y-4x64x（5+4〃2）>00〃2>],

設(shè)。（七,%）,。（%%