2024年中考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)-數(shù)與式的閱讀理解【含答案】

2024年中考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)專題四數(shù)與式的閱讀理解

一、選擇題

L閱讀材料：對(duì)于任何實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)”勺意義是［衿ad-bc.按照這個(gè)規(guī)定，若

以一彳則x的值是（）

乙X-1人乙

A.-4B.1C.—4或1D.不存在

2.閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問題時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù),

在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（真分

式）的和（差）的形式，通過對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處

理分式或整除問題時(shí)頗為有效.將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行.如：北二空=

研7）+：2什3=-"）E=加1+々,這樣，分式就拆分成一個(gè)分式當(dāng)與一個(gè)整式a-1的

a—1a—1a—1a—1

和的形式，下列說法正確的有（）個(gè).

①若X為整數(shù)，霜為負(fù)整數(shù)，則x=-3；②6〈筆誓〈9；③若分式我2婚-3拆分成一個(gè)整

式與一個(gè)真分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m-ll+士（整式部分對(duì)應(yīng)等于真分

n—6

式部分對(duì)應(yīng)等于士），則m2+n2+nm的最小值為27.

A.0B.1C.2D.3

|i4x0+By0+C|

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（xo,yo）到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=\~,

14x0+3x0—31支

例如：點(diǎn)Po（0,0）到直線4x+3y-3=0的距離為d=一序春一=|，根據(jù)以上材料，求點(diǎn)

Pi（3,4）到直線y=-1x+1的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

4.閱讀材料：坐標(biāo)平面內(nèi)，對(duì)于拋物線y=ax2+bx（a/D,我們把點(diǎn)（-言，喑）稱為該拋物

線的焦點(diǎn)，把丫=-0稱為該拋物線的準(zhǔn)線方程。例如：拋物線y=x2+2x的焦點(diǎn)為（-1,）,

準(zhǔn)線方程是k-叔。根據(jù)材料，現(xiàn)已知拋物線y=ax2+bx（a#0）的焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,準(zhǔn)線方程y=5,

則關(guān)于二次函數(shù)丫=a*2+6*的最值情況，下列說法正確的是（）

A.最大值為4B.最小值為4C.最大值為3.5D.最小值為3.5

二、填空題

5.閱讀材料：希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，

稱為海倫一秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是a,b,c,記「=生等，那么三角形的面

積為S=Jp(p—a)(p—b)(p—c).如圖，在△ABC中，a=7,b=5,c=6,則BC邊上的高為

6.讀一讀：式子“1+2+3+4+...+100”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長(zhǎng),

書寫不方便，為了簡(jiǎn)便起見，我們將其表示為京雪打，這里“于是求和符號(hào)，通過對(duì)以上材料的閱讀,

件笆中20161―

叮舁%=1n(n+l)--------------------?

7.閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法.例如“已知3a-b=2,求代數(shù)式6a-26-1的值

可以這樣解：6a-2b-1=2(3a-b)-l=2x2-l=3.根據(jù)閱讀材料，解決問題：若％=2是

關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解,則代數(shù)式4a2+4ab+b2+4a+2b-1的值是.

8.閱讀材料：寫出二元一次方程x-3y=6的幾個(gè)解：［J2°2，發(fā)現(xiàn)這

些解的一般形式可表示為，匕I771?(m為有理數(shù)).把一般形式再變形為［=*，可得?

=y+2,整理得原方程x-3y=6.根據(jù)閱讀材料解答下列問題：若二元一次方程ax+by=c的解，可以寫

成Li，?】(n為有理數(shù))，則a+b+c=.

9.自學(xué)下面材料后，解答問題.

分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式.如：事>0;咨<0等.那么如何求出它們的解集呢？

根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知:兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù).其字母表達(dá)式為：

①若a>0,b>0,則I>0;若a<0,b<0,則f>0;

②若a>0,b<0,則f<0;若a<0,b>0,則f<0.

反之①若鋁0,則｛式?；颍麍D

②若f<0,則或.

根據(jù)上述規(guī)律，求不等式會(huì)>0的解集.

10.閱讀下面材料：小明想探究函數(shù)、=瘍11的性質(zhì)，他借助計(jì)算器求出了y與X的幾組對(duì)應(yīng)值,

并在平面直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)圖象:

X-3-2-1123

y2.831.73001.732.83

小聰看了一眼就說：“你畫的圖象肯定是錯(cuò)誤的."

請(qǐng)回答：

①小聰判斷的理由是________________________________________________________________________

②當(dāng)y=0時(shí)，x的值為.

③請(qǐng)寫出函數(shù)y=痙11的一條性

質(zhì)：?

11.閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題：

尺規(guī)作圖：作RtZkABC,使其斜邊AB=c,一條直角邊BC=a.已知：如圖1,正比例函數(shù)和反比

例函數(shù)的

圖象分別交于M、N兩點(diǎn).

要求：在y軸上求作點(diǎn)P,使得NMPN為直角.

小麗的作法如下：如圖2,以點(diǎn)0為圓心，以0M長(zhǎng)為半徑作。0,

。。與y軸交于Pi、P2兩點(diǎn)，則點(diǎn)Pi、P2即為所求.

老師說：“小麗的作法正確.”

請(qǐng)回答：小麗這樣作圖的依據(jù)是________________________________________

三、實(shí)踐探究題

12.認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題.

材料：在學(xué)習(xí)絕對(duì)值時(shí)，我們知道了絕對(duì)值的幾何意義，如|6-3|表示6、3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)

之間的距離；|6+3|=|6-（-3）|,所以|6+3|表示6、—3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；|6|=

|6-0|,所以⑸表示5在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

（1）一般地，點(diǎn)A,B,C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)X、-2、1,那么A到B的距離與A到C的

距離之和可表示為（用含絕對(duì)值的式子表示）；

（2）利用數(shù)軸探究：

①滿足|久—3|+|%+1|=6的x的所有值是；

@|%-3|+|%+1|的最小值是,此時(shí)x的取值范圍為.

13.請(qǐng)閱讀下面的材料，并探索用材料中的方法解決問題.

【材料1】?jī)蓚€(gè)含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)

式互為有理化因式.

例如：（遮+V2）（V3-笆）=1,我們稱舊+魚的一個(gè)有理化因式是8-V2.

【材料2】如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式,

使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化.

2_2(V3-V2)_2(V3-V2)

例如:=2V3-2V2.

V3+V2-(V3+V2)(V3-V2)-1

問題探究:

（1）寫出逐—V7的一個(gè)有理化因式：；

（2）計(jì)算：（2舊+3魚）（2b一3近）—（火+魚）2；

（3）將式子爰。分母有理化.

14.閱讀下列材料，回答問題.

（1）形如久2+（p+q）久+pq型的二次三項(xiàng)式，有以下特點(diǎn)：①二次項(xiàng)系數(shù)是1；②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)

數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和.

（2）若x2-4xy+5y2-2y+l=0,求x+y的值.

（3）若a,b,c表示三角形ABC的三邊長(zhǎng)，且a2+b2+c2=ab+bc+ca,試說明：三角形ABC是等邊

三角形.

17.閱讀下列材料：我們知道團(tuán)表示的是在數(shù)軸上數(shù)久對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即印=|%-0|,也就

是說，因表示在數(shù)軸上數(shù)X與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.這個(gè)結(jié)論可以推廣為|當(dāng)-久21表示在數(shù)軸上數(shù)萬1，

久2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.

例如：解方程⑶=6.

解：|x|=|x-0|=6,

???在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為6的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為±6,即該方程的解為x=±6.

【理解應(yīng)用】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可以解一些絕對(duì)值不等式.

我們定義：形如“|x|W加，|%|2m,|x|<|%|>ni”（m為非負(fù)數(shù)）的不等式叫做絕對(duì)值不等式,

能使一個(gè)絕對(duì)值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱為絕對(duì)值不等式的解集.

-3-2-101234-3-2-101234

圖1

十㈡一.

-2-10123

圖2

由圖1可以得出：絕對(duì)值不等式因>1的解集是％<-1或久>1,

絕對(duì)值不等式因<3的解集是一3<%<3.

例如：解不等式氏―1|>2.

解:如圖2,首先在數(shù)軸上找出|久—1|=2的解，即至U1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為—1,3,則|久—

1|>2的解集為到1的距離大于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)，所以原不等式的解集為尤1或x>3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程|尤-5|=3的解為.

（2）不等式㈤>4的解集是.

（3）不等式2|久+2|+1<9的解集是.

（4）不等式|久+l|+|x-3|>4的解集是.

（5）若|x-3|-|久+4|Wa對(duì)任意的x都成立，則a的取值范圍是.

18.【閱讀材料】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解

題方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應(yīng)用.例如：

①用配方法因式分解：〃+6.+8②求/+60+8的最小值.

解：/+6。+8=/+6。+9-1解：4+6。+8=/+6。+9-1

=(6/+3)2-1=(a+3)2-1

v((7+3)2>0,

=(a+3+1)(Q+3—1)

2

=(a+4)(i+2).\(67+3)-1>-1,

即/+6々+8的最小值為-1.

請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：

(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：Q2+4a+

(2)利用上述方法①進(jìn)行因式分解：a2-10a+21.

(3)參照方法②求4/+4%+5的最小值.

19.先閱讀下面的材料，然后回答問題：

方程x+92+之的解為xi=2,x2-i;

方程x+$3+4的解為xi=3,X2—；

方程x+94+J的角星為xi=4,X2~

x44

(1)觀察上述方程的解，猜想關(guān)于x的方程x+：5+看的解是________________.

X5

(2)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程x+二a+工的解是

xa-----------------

(3)猜想關(guān)于x的方程x[=l*的解并驗(yàn)證你的結(jié)論

(4)在解方程y喘|=學(xué)時(shí)，可將方程變形轉(zhuǎn)化為(2)的形式求解，按要求寫出你的變形求解過程.

20.閱讀材料:

在數(shù)軸上,x=2表示一個(gè)點(diǎn)；在平面直角坐標(biāo)系中，x—2表示一條直線；以二兀一次方程x+y—2

的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖形就是一次函數(shù)y=-x+2的圖象，它也是一條直線.

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，不等式x42表示一個(gè)平面區(qū)域，即直線x=2及其左側(cè)的部分；

圖1

如圖2,不等式y(tǒng)4-久+2也表示一個(gè)平面區(qū)域，即直線、=-％+2及其下方的部分.

請(qǐng)根據(jù)以上材料回答問題：

（1）圖3陰影部分（含邊界）表示的是（填寫不等式）表示的平面區(qū)域;

（2）如圖4,請(qǐng)求出表示陰影部分平面區(qū)域（含邊界）的不等式組;

圖4

（3）如圖5,點(diǎn)Z在%軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,1）,且N4BO=60°,點(diǎn)P為△4B。內(nèi)部一點(diǎn)（含邊界）,

過點(diǎn)P分別作PC104PDLAB,PE1BO,垂足分別為C,D,E,若PC《PE&PD,則所有點(diǎn)P組成

21.閱讀理解題:

閱讀材料:

如圖1,四邊形力BCD是矩形，△力EF是等腰直角三角形，記ZB2E為%乙FAD為B，若tcma=5

證明：設(shè)BE=k,tana='.AB=2k,

易證△AEBEFC(44S)

：.EC=2k,CF=k,

：.FD=k,AD=3k

.*°_DF_k_1

..tan/?=^=^=y

若a+6=45。時(shí),當(dāng)tana=1則tan^=

同理：若a+/?=45。時(shí)，當(dāng)tcma=g,則tan/?=}.

根據(jù)上述材料，完成下列問題：

如圖2,直線y=3%-9與反比例函數(shù)y=?（%〉0）的圖象交于點(diǎn)4與％軸交于點(diǎn)8.將直線4B

繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后的直線與y軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)/作4M1久軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)/作AN1y軸于點(diǎn)N,

已知。4=5.

（2）直接寫出tanzBAM、tan/M4E的值；

（3）求直線4E的解析式.

22.閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項(xiàng)式N+bx+c變形為（x+小y+〃的形式，然后由（x+m）

2>0就可求出多項(xiàng)式N+bx+c的最小值.

例題：求多項(xiàng)式/-4X+5的最小值.

解：x2-4x+5=x2-4x+4+l=（x-2）2+1,

因?yàn)椋▁-2）2>0,所以（x-2）2+1>1.

當(dāng)x=2時(shí)，（x-2）2+1=1.因此（x-2）2+1有最小值，最小值為1,即N-4x+5的最小值為1.

已知代數(shù)式/=/+10升20,則/的最小值為；

（2）【類比應(yīng)用】

張大爺家有甲、乙兩塊長(zhǎng)方形菜地，已知甲菜地的兩邊長(zhǎng)分別是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地

的兩邊長(zhǎng)分別是“米、（〃+5）米，試比較這兩塊菜地的面積S甲和的大小，并說明理由；

（3）【拓展升華】

如圖，△48C中，ZC=90°,AC=5cm,BC=10cm,點(diǎn)、M、N分別是線段/C和3c上的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)以icm/s的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f,則當(dāng)。的值為多少時(shí)，△MCN的面積

最大，最大值為多少？

四、綜合題

23.閱讀下面的材料：

如果函數(shù)y=/Q)滿足：對(duì)于自變量x取值范圍內(nèi)的任意,久2，

(1)若巧〈久2，都有/(%1)</(%2)，則稱/(%)是增函數(shù)；

(2)若的<%2，都有/(%1)>/(%2)，則稱/(%)是減函數(shù).

例題：證明函數(shù)/(%)=x2(x>0)是增函數(shù).

證明：任取<%2，且久1>0，%2>0

則/(久1)一/(%2)=-%2=01+K2)(%1-％2)

<到且％1>0，%2>0

，盯+%2>0，—%2<0

(%1+X2)(x1-%2)<0,即/(%1)-f(%2)<0,/(%1)<f(%2)

函數(shù)f(x)=x2(x>0)是增函數(shù).

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)函數(shù)/(久)=￡(久>0),/(I)=1=1，f(2)=1，/⑶=，/(4)=

(2)猜想f(x)=i(%>0)是函數(shù)▲(填“增”或“減”)，并證明你的猜想.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】空

6.【答案】翳

7.【答案】14

8.【答案】-3或3

9.【答案】x>2；x<-l

10.【答案】因?yàn)楹瘮?shù)值不可能為負(fù)，所以在x軸下方不會(huì)有圖象；(答案不唯一)；一1或1；當(dāng)久工-1

時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)%21時(shí)，y隨x增大而增大.(答案不唯一)

11.【答案】半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角

12.【答案】(1)解：???4到B的距離為氏—(—2)|,A到C的距離為|久—1|,

到B的距離與A到C的距離之和可表示為，

故答案為|無+2|+|久—1|

(2)-2或4；4；-1<%<3

13.【答案】⑴V5+V7

(2)解：(2A/3+3V2)(2V3-3A/2)-(V3+V2)*2,

=(2圾2_?煙2_(5+2遍)，

=12-18-5-2臨

=—11—2V6.

⑶解:熹

22(275-3)

-(2/5+3)(275-3),

22(253)

=11'

=2(275-3)

=4^5—6.

14.【答案】(1)(x+p)(x+q)

(2)m2+[9+(—2)]m+9x(—2)=(m—2)(m+9)；%2+[2+(-4)]x+2x(-4)=(x+

2)(久-4)；(xy)2+[(-2)+(-5)]xy+(-2)x(-5)=(xy-2)(xy-5)

15.【答案】(1)-4；10

(2)解：設(shè)經(jīng)過t秒，點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，

14+t=3t,

解得：t=7,

答：點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng)，2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合;

(3)解：設(shè)時(shí)間為x秒，

?.?點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A,速度分別為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)P為ON的中點(diǎn)，

/.AM=x><l=x,ON=10+7x,

/.OP=|ON=|,

「OP-AM的值為y,

，y=(5+x)-x=2,

即在移動(dòng)過程中，y的值不發(fā)生變化.

16.【答案】(1)解：x2-10x+y2+2y+26=0

即x2-2-5x+25+y2+2y+1=0,

/.(x-5)2+(y+1)2=0,

...x=5,y=-l；

則=5T=1.

(2)解：x2-4xy+5y2-2y+1=0

即x2-4xy+4y2+y2-2y+1=0,

(x-2y)2+(y-1)2=0,

...x-2y=0,y=l，

x=2,

則x+y=2+l=3

(3)解：AABC為等邊三角形.理由如下：

a2+b2+c2=ac+ab+bc,

BPa2+b2+c2-ac-ab-bc=0,

???2a2+2b2+2c2-2ac-2ab-2bc=0,

BPa2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

??a-b=O9b-c=O，c-a=O，

.?.a=b=c,

?,.△ABC為等邊三角形.

17.【答案】(1)5=8或％2=2

(2)x>4或久<-4

(3)-6<%<2

(4)x<-1或久>3

(5)x<-1

18.【答案】(1)4

(2)解：a2-10a+21

=次—10ci+25-4

=(a-5)2-4

=(Q—5+2)(a—5—2)

=(a—3)(d—7)；

(3)解：4%2+4%+5

=4%2+4%+1+4

2

=(2x+1)+4，

V(2%+I)2>0,

A(2X+1)2+4>4,

.**4x2+4%+5的最小值為4.

19.【答案】(1)xi=5,X2=^

(2)xi=a,X2—

a

(3)解：猜想，關(guān)于x的方程x±=lj的解為：xi=2,X2=-l

KA乙

理由如下：將方程X$1孩形為久+(-當(dāng)=2+

依據(jù)閱讀材料提供的方法可得：X1=2,X2=-1；

(4)解：將方程y號(hào)掙學(xué)變形為y+需1=學(xué)，

11

"+1+再=3+守

、1

*'?y+1—3或y+1=了

解得：yi=2,y2=-1.

20.【答案】(1)y>x+2

(2)設(shè)直線TH的表達(dá)式為y=kX+b

???直線m經(jīng)過點(diǎn)(0,3),(6,0)

.(b=3

"16/c+b=0

解得j(b=3

1

???y+3

同理可求；直線九的表達(dá)式為y=3%+3

由圖可知，表示陰影部分平面區(qū)域的不等式組為卜+3

[y>3%+3

⑶

412

21.【答案】(1)將y=0代入y=3久一9得，久=3,

，B(3,0),

..?直線y=3久-9與反比例函數(shù)y=?(%>0)的圖象交于點(diǎn)4,

???設(shè)4(G,3a—9),