北京市海淀區(qū)八一學校2023-2024學年九年級下學期開學數(shù)學試卷(含答案)

2023-2024學年北京市海淀區(qū)八一學校九年級（下）開學數(shù)學試卷

一、選擇題：（每題2分，共16分）

1.（2分）二次函數(shù)y=3（x+1）2-4的最小值是（）

A.1B.-1C.4D.-4

3.（2分）已知點尸在半徑為一的。。內(nèi)，且。尸=3,則廠的值可能為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2分）如圖，在方格紙中，△A5C和△石尸。的頂點均在格點上，要使則點尸所在的格

點為（）

A.PiB.尸2C.尸3D.尸4

5.（2分）若關于x的一元二次方程？-x+”=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)”的值為（）

A.4B.AC.D.-4

44

6.（2分）下列函數(shù)中，當x>0時，y值隨尤值的增大而減小的是（）

A.y=:xB._1C.D.

X

7.（2分）從甲、乙、丙三名同學中隨機抽取兩名同學去參加義務勞動，則甲與乙恰好被選中的概率是（）

1

A.AB.Ac.AD.A

6432

8.（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為4,延長至E使防=2,以即為邊在上方作正方形EFG2,延長

FG交DC于M,連接AM,AF,H為的中點，連接分別與AB,AM交于點N、K：則下列結論：

①△ANH9AGNF；

②NAFN=NHFG；

③FN=2NK；

@SAAFW：S^ADM—1：4.其中正確的結論有（）

C.3個D.4個

二、填空題：（每題2分，共16分）

9.（2分）若扇形的圓心角為60°,半徑為2,則該扇形的弧長是（結果保留口）.

10.（2分）一元二次方程x（x-3）=x-3的解是.

11.（2分）在平面直角坐標系尤Oy中，若反比例函數(shù)y￡（k卉0）的圖象經(jīng)過點A（1，2）和點B（-l,m）,

x

則相的值為.

12.（2分）如圖，在△ABC中，DE//BC,EF//AB,已知△ADE與的面積分別為9<7戶和公；?？，則$

2

△ABC=cm.

13.（2分）某科技公司開展技術研發(fā)，在相同條件下，對運用新技術生產(chǎn)的一批產(chǎn)品的合格率進行檢測，如

表是檢測過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):

抽取的產(chǎn)品數(shù)〃5001000150020002500300035004000

合格的產(chǎn)品數(shù)相476967143119262395288333673836

合格的產(chǎn)品頻率巨0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959

n

估計這批產(chǎn)品合格的產(chǎn)品的概率為

2

14.（2分）如圖，為了測量操場上一棵大樹的高度，小英拿來一面鏡子，平放在離樹根部5根的地面上，然后

她沿著樹根和鏡子所在的直線后退，當她后退1加時，正好在鏡中看見樹的頂端.小英估計自己的眼睛到

地面的距離為1.6口，則大樹的高度是m.

15.（2分）如圖，A8為的弦，C為。。上一點，OULAB于點D若0A=JI5,AB=6,貝Ucos/AO。

16.（2分）甲工廠將生產(chǎn)的I號、II號兩種產(chǎn)品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A,B,C,D,E,每

個包裹的重量及包裹中I號、II號產(chǎn)品的重量如下：

包裹編號I號產(chǎn)品重量/II號產(chǎn)品重量/包裹的重量/

噸噸噸

A516

B325

C235

D437

E358

甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠.

（1）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運方案

（寫出要裝運包裹的編號）；

（2）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的H號產(chǎn)品最多，寫出滿足條件的裝運

方案（寫出要裝運包裹的編號）.

3

三、解答題：（共68分，17-23題每題5分，24-25題每題6分，26-28題每題7分）

17.（5分）計算：||-2sin60°+百^+及）L

18.（5分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,在A8邊上取一點。，使過。作。E交AC于E,

AC=8,BC=6.求。E的長.

19.（5分）如圖.直線y=ax+b與雙曲線y生相交于兩點A（1,2）,B（m,-4）.

x

（1）求直線與雙曲線的解析式；

（2）求不等式辦+b>K的解集（直接寫出答案）

20.（5分）如圖，在等腰直角△ABC中，N8AC=90°,。是8C邊上任意一點（不與3,C重合），將線段

AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE,連接CE,DE.

U）求/ECD的度數(shù)；

（2）若AB=4,BD=J^，求的長.

21.（5分）閱讀下面的材料

一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中.到了中世紀，阿拉

伯數(shù)學家阿爾?花拉子米在他的代表作《代數(shù)學》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法，我國三國時

期的數(shù)學家趙爽在其所著《勾股圓方圖注》中也給出了類似的解法.

4

以?+10x=39為例，花拉子米的幾何解法步驟如下：

①如圖1,在邊長為x的正方形的兩個相鄰邊上作邊長分別為x和5的矩形，再補上一個邊長為5的小正方

形，最終把圖形補成一個大正方形；

②一方面大正方形的面積為（尤+）2,另一方面它又等于圖中各部分面積之和，因為/+10x=39,

可得方程（x+）2=39+，則方程的正數(shù)解是尤=.

根據(jù)上述材料，解答下列問題.

（1）補全花拉子米的解法步驟②；

（2）根據(jù)花拉子米的解法，在圖2的兩個構圖①②中，能夠得到方程/-6X=7的正數(shù)解的正確構圖是

（填序號）.

22.（5分）在平面直角坐標系尤Oy中，二次函數(shù)的圖象過點A（3,3）.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）當0＜尤＜3時，對于x的每一個值，都有質(zhì)＞7+",直接寫出左的取值范圍.

23.（5分）二十四節(jié)氣是中華民族農(nóng)耕文明的智慧結晶，是專屬中國人的獨特時間美學，被國際氣象界譽為

“中國第五大發(fā)明”.如圖，小文購買了四張形狀、大小、質(zhì)地均相同的“二十四節(jié)氣”主題郵票，正面分

別印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四種不同的圖案，背面完全相同，他將四張郵票洗勻后正面朝下放

在桌面上.

（1）小文從中隨機抽取一張，抽出的郵票恰好是“大暑”的概率是;

⑵若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四種不同圖案的郵票分別用A,B,C,。表示，小文從中隨

5

機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，請用畫樹狀圖或列表的方法求小文抽到的兩張郵票恰好是“立

春”和“立夏”的概率.

24.（6分）如圖，以A8為直徑作O。，過點A作O。的切線AC,連接BC,交。。于點。，點E是邊的

中點，連接AE.

（1）求證：/AEB=2/C；

（2）若AB=5,tanB=A,求。E的長.

25.（6分）如圖，。是窟與弦A8所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點，P是弦上一動點，連接尸。并延長交窟

于點C,連接AC.已知&3=6。相，設A,P兩點間的距離為XCTW,P,C兩點間的距離為A,C兩點

間的距離為"a”.

小騰根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)yi,v隨自變量尤的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補充完整：

（1）按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了以，”與尤的幾組對應值；

x/cm0123456

yi/cm5.624.673.762.653.184.37

y21cm5.625.595.535.425.194.734.11

（2）在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)值所對應的點（x,ji）,（尤，”），并畫出函

（3）結合函數(shù)圖象，解決問題：當△APC為等腰三角形時，AP的長度約為cm.

6

APB

26.(7分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線>=/+6尤+。(a>0)經(jīng)過點A(0,-3)和8(3,0).

(1)求c的值及。、6滿足的關系式；

(2)若拋物線在A、B兩點間從左到右上升，求。的取值范圍；

(3)結合函數(shù)圖象判斷，拋物線能否同時經(jīng)過點M(-\+m,n)、N(4-m,n)?若能，寫出一個符合

要求的拋物線的表達式和”的值，若不能，請說明理由.

27.(7分)在RtZvWC中，ZACB=9Q°,CD是AB邊的中線，DE1.BCE,連結。，點尸在射線CB

上(與8,C不重合).

(1)如果/)=30°,

①如圖1,OE與BE之間的數(shù)量關系是；

②如圖2,點尸在線段CB上，連結。P,將線段OP繞點。逆時針旋轉60°,得到線段。F,連結補

全圖2猜想CP、2尸之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

(2)如圖3,若點P在線段C8的延長線上，且/A=a(0°<a<90°),連結。P,將線段OP繞點。逆

時針旋轉2a得到線段。R連結請直接寫出。E、BF、8尸三者的數(shù)量關系(不需證明).

圖2

28.(7分)如圖1,對于△PMN的頂點尸及其對邊上的一點。，給出如下定義：以尸為圓心，尸。為半

徑的圓與直線MN的公共點都在線段MN上，則稱點。為△PMN關于點尸的內(nèi)聯(lián)點.

7

圖1圖2

在平面直角坐標系尤Oy中：

(1)如圖2,已知點A(7,0),點8在直線y=x+l上.

①若點B(3,4),點C(3,0),則在點O,C,A中，點是關于點B的內(nèi)聯(lián)點;

②若△AOB關于點B的內(nèi)聯(lián)點存在，求點B縱坐標n的取值范圍;

(2)已知點。(2,0),點￡(4,2),將點。繞原點。旋轉得到點?若AE。廠關于點E的內(nèi)聯(lián)點存在，直

接寫出點/橫坐標m的取值范圍.

參考答案與試題解析

一、選擇題：(每題2分，共16分)

1.(2分)二次函數(shù)y=3(尤+1)2-4的最小值是()

A.1B.-1C.4D.-4

【解答】解：二次函數(shù)y=3(x+1)2-4中，k=3>0,

.,.二次函數(shù)y=3(x+1)2-4,當尤=-1時函數(shù)有最小值-4.

故選：D.

【解答】解：A.原圖是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意;

B.原圖是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C.原圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

8

D.原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：C.

3.（2分）已知點尸在半徑為r的內(nèi)，且0P=3,則r的值可能為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解:對于選項A,當r=l時，則。尸〉r,因此點P在。。外，故不合題意；

對于選項8,當r=2時，則。尸〉廠，因此點尸在OO外，故不合題意；

對于選項C,當r=3時，則。尸=r,因此點尸在上，故不合題意；

對于選項。，當r=4時，則OPO,因此點尸在。。內(nèi)，故符合題意.

故選：D.

4.（2分）如圖，在方格紙中，AABC和的頂點均在格點上，要使△ABCs^EPD,則點P所在的格

點為（）

A.PiB.P2C.P3D.尸4

【解答】解：；/BAC=NPED,

而AB_3

而-,

2

?

：EP=3時，△ABCS^EPD,

ED2

；DE=4,

；.EP=6,

：.點P落在P3處.

故選：C.

5.（2分）若關于尤的一元二次方程7-x+”=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)力的值為（）

A.4B.AC.」D.-4

44

【解答】解：根據(jù)題意得△=（-1）2-4〃=0,

解得n=—.

4

9

故選：B.

6.（2分）下列函數(shù)中，當x>0時，y值隨x值的增大而減小的是（）

A.y=xB.y=2x-1C.y=AD.y=x1

x

【解答】解：4y=x,y隨尤的增大而增大，故A選項錯誤；

B、y=2x-1,y隨龍的增大而增大，故B選項錯誤；

C、J=A,當x>0時，y值隨X值的增大而減小，此C選項正確；

x

。、>=/,當尤>0時，y值隨x值的增大而增大，此。選項錯誤.

故選：C.

7.（2分）從甲、乙、丙三名同學中隨機抽取兩名同學去參加義務勞動，則甲與乙恰好被選中的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

6432

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

甲乙

AA

乙丙甲丙甲乙

共有6種等可能的結果，其中甲與乙恰好被選中的結果有2種，

甲與乙恰好被選中的概率為2=工，

63

故選：C.

8.（2分）如圖，正方形ABC。的邊長為4,延長CB至E使防=2,以E8為邊在上方作正方形EFG2,延長

FG交DC于M,連接AM,AF,H為的中點，連接切分別與AB,AM交于點N、K：則下列結論：

①△A7VH四△GNB；

②/AFN=NHFG；

③FN=2NK；

④SAAFN：S^ADM—1：4.其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10

【解答】解：???四邊形MG5是正方形，EB=2,

：.FG=BE=2,ZFGB=90°,

???四邊形ABC。是正方形，〃為A。的中點，

：.AD=4,AH=2,

ZBAD=90°,

:?/HAN=/FGN,AH=FG,

???NANH=ZGNF,

:?△ANH"AGNF(A4S),故①正確；

ZAHN=NHFG,

*：AG=FG=2=AH,

：.AF=近FG=?AH,

：.ZAFH^ZAHF,

：.ZAFN^ZHFG,故②錯誤；

△ANHQ^GNF,

.?.AN=1AG=I,

2

VGM=BC=4,

???—AH_，GM_乙?,

ANAG

'：ZHAN=ZAGM=90°,

I.AAHN^AGMA,

：.ZAHN=ZAMG9ZMAG=ZHNA,

:?AK=NK,

*：AD//GM,

：.ZHAK=ZAMG,

：.ZAHK=/HAK,

:?AK=HK,

：?AK=HK=NK,

?；FN=HN,

：.FN=2NK；故③正確；

方法二：可得N也是中點，結合已知H是中點，連接GO交AM于點尸，則根據(jù)勾股定理GZ)=2代,

11

:點P為對稱中心，

；.GP=遍，

又：NK也是AAGP的中位線，

；.NK=^,

2

在Rt△尸GN中，F(xiàn)N=心

:.FN=2NK,故③正確.

:延長FG交。C于M,

.,.四邊形A@WG是矩形，

：.DM=AG=2,

S^AFN=^AN-FG=1-><2X1=1,5AADM=1.AZ)?￡)A/=AX4X2=4,

2222

?*.S^AFN:S^ADM=1:4故④正確，

故選：c.

二、填空題：（每題2分，共16分）

9.（2分）若扇形的圓心角為60°,半徑為2,則該扇形的弧長是2n（結果保留TT）.

一3一

【解答】解：：扇形的圓心角為60。，半徑為2,

二扇形的弧長=60冗*2=21T.

1803

故答案為：2TT.

3

10.（2分）一元二次方程x（%-3）=冗-3的解是xi=3,X2=l.

【解答】解：移項得：x（x-3）-（x-3）=0,

（x-3）（x-1）=0,

x-3=0,x-1=0,

XI—3,X2=19

故答案為：Xl=3,X2=l.

11.（2分）在平面直角坐標系尤Oy中，若反比例函數(shù)y￡（k卉0）的圖象經(jīng)過點A（1，2）和點B（-l,m）,

X

則m的值為-2.

12

【解答】解：..?反比例函數(shù)（左WO）的圖象經(jīng)過點A（1,2）和點8（-1,機），

x

（-1）Xm=1X2,

-777=2,

解得m=-2,

故答案為：-2.

12.（2分）如圖，在中，DE//BC,EF//AB,已知△&￡）￡1與的面積分別為9c優(yōu)2和4c:川，則$

△ABC=25cm".

【解答】解：\'DE//BC,EF//AB,

：.△ERF/\ADE,LEFCSAABC,

■:SAADE=9CHI,S^EFC=4cm,

（庭）2=1,

AE9

E-C2

AE3

匹

2

Ac5

...S^EFC=（或）2=（2）2='

,△ABCAC525

SAABC=4X_￡^_=25.

4

故答案為：25.

13.（2分）某科技公司開展技術研發(fā)，在相同條件下，對運用新技術生產(chǎn)的一批產(chǎn)品的合格率進行檢測，如

表是檢測過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):

抽取的產(chǎn)品數(shù)”5001000150020002500300035004000

合格的產(chǎn)品數(shù)加476967143119262395288333673836

合格的產(chǎn)品頻率皿0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959

n

估計這批產(chǎn)品合格的產(chǎn)品的概率為0.96

13

【解答】解：由圖表可知合格的產(chǎn)品頻率且都在0.95左右浮動，所以可估計這批產(chǎn)品合格的產(chǎn)品的概率為

n

0.96,

故答案為：0.96.

14.（2分）如圖，為了測量操場上一棵大樹的高度，小英拿來一面鏡子，平放在離樹根部5祖的地面上，然后

她沿著樹根和鏡子所在的直線后退，當她后退1機時，正好在鏡中看見樹的頂端.小英估計自己的眼睛到

地面的距離為16”,則大樹的高度是8m.

【解答】解：；NABC=/DBE,ZACB=ZDEB=90°,

/.AABCsADBE,

J.BC-.BE=AC：DE,

即1：5=1.6：DE,

：.DE=8(m),

故答案為：8.

15.（2分）如圖，AB為。。的弦，C為。。上一點，OCLA8于點。.若0A=\/T5,AB=6,貝Ucos/AOZ）=

V10

14

A

【解答】解：'：OC±AB,AB=6,

：.ZADO=90°,AD^BD=1AB^3,

2

在RtZkA。。中，OA=JT5，

???0￡)=VOA2-AD2=V(V10)2-32=L

，cos/AO￡)=PP_=.

0AV7o10

故答案為：畫.

10

16.（2分）甲工廠將生產(chǎn)的I號、II號兩種產(chǎn)品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A,B,C,D,E,每

個包裹的重量及包裹中I號、II號產(chǎn)品的重量如下:

包裹編號I號產(chǎn)品重量/II號產(chǎn)品重量/包裹的重量/

噸噸噸

A516

B325

C235

D437

E358

甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠.

（1）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運方案ABC（或ABE

或AD或ACD或BCD或ACE）（寫出要裝運包裹的編號）；

（2）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的n號產(chǎn)品最多，寫出滿足條件的裝運

方案4CE（寫出要裝運包裹的編號）.

【解答】解：⑴選擇ABC時，裝運的/號產(chǎn)品重量為：5+3+2=10（噸），總重6+5+5=16<19.5（噸），

符合要求；

選擇ABE時，裝運的/號產(chǎn)品重量為：5+3+3=11（噸），總重6+5+8=19<19.5（噸），符合要求；

15

選擇A。時，裝運的1號產(chǎn)品重量為：5+4=9（噸），總重6+7=13<19.5（噸），符合要求;

選擇ACZ）時,裝運的/號產(chǎn)品重量為：5+2+4=11（噸），總重6+5+7=18C19.5（噸），符合要求;

選擇BCD時，裝運的1號產(chǎn)品重量為:3+2+4=9（噸），總重5+5+7=17<19.5（噸），符合要求;

選擇DCE時,裝運的/號產(chǎn)品重量為：4+2+3=9（噸），總重7+5+8=20>19.5（噸），不符合要求;

選擇時,裝運的/號產(chǎn)品重量為：3+4+3=10（噸），總重5+7+8=20>19.5（噸），不符合要求;

選擇ACE時，裝運的/號產(chǎn)品重量為5+3+3=11（噸），總重6+5+8=19（噸），符合要求,

綜上，滿足條件的裝運方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD或ACE.

故答案為：ABC（或ABE或AO或ACO或8c?；駻CE）；

（2）選擇ABC時，裝運的H號產(chǎn)品重量為：1+2+3=6（噸）；

選擇ABE時，裝運的H號產(chǎn)品重量為：1+2+5=8（噸）；

選擇時，裝運的U號產(chǎn)品重量為：1+3=4（噸）；

選擇ACD時，裝運的n號產(chǎn)品重量為：1+3+3=7（噸）；

選擇BCD時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：2+3+3=8（噸）；

選擇ACE時，I產(chǎn)品重量：5+2+3=10（噸）且9W10W11；II產(chǎn)品重量：1+3+5=9（噸），

故答案為：ACE.

三、解答題：（共68分，17-23題每題5分，24-25題每題6分，26-28題每題7分）

17.（5分）計算：|-3|-2sin60°+VT2+（'y）L

M：|-3|-2sin60°+Vl2+（y）-1

=3-2X返+2愿+2

2

=3-73+273+2

=V3+5.

18.（5分）如圖，在△ABC中，NC=90°,在AB邊上取一點使BD=BC,過。作。交AC于E,

AC=8,BC=6.求OE的長.

【解答】解：在△ABC中，/C=90°,AC=8,BC=6,

?'-A5=VAC2+BC2=10,（2分）

16

又,：BD=BC=6,：.AD=AB-BD=4,（4分）

?：DELAB,：.ZADE=ZC=9Q°，（5分）

又/.（6分）

.?.里M,（7分）

BCAC

.'.DE=^~.nr=Ax6=3.（8分）

AC風8

19.（5分）如圖.直線y=ax+b與雙曲線y上相交于兩點A（1,2）,B（m,-4）.

X

（1）求直線與雙曲線的解析式；

（2）求不等式辦+b>K的解集（直接寫出答案）

【解答】解：（1）先把（1,2）代入雙曲線y=X中，得

k=2,

雙曲線的解析式是y=2,

X

當y=-4時，m=-A,

2

把（1,2）、（-1,-4）代入一次函數(shù)，可得

2

a+b=2

,1

-^-a+b=-4

解得

.二一次函數(shù)的解析式是y=4x-2；

（2）根據(jù)圖象可知，若那么%>1或-1Vx<0.

2

17

20.（5分）如圖，在等腰直角△ABC中，N8AC=90°,。是2C邊上任意一點（不與3,C重合），將線段

繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE,連接CE,DE.

（1）求NEC。的度數(shù)；

（2）若4B=4,BD=\歷，求OE的長.

【解答】解：(1)：VRtAABC+,/ft4c=90°,AB^AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

由旋轉可知：AD=AE,/DAE=90°,

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC=90°,

：.ZBAD^ZCAE,

在△84。與△C4E中，

rAB=AC

<NBAD=NCAE，

AD=AE

.'.△BAD0ACAE(SAS),

：.ZACE=ZABD=45°,

：.ZECD=450+45°=90°；

(2)VZBAC=90°,AB=AC=4,

，BC=VAB2+AC2=4&，

由(1)得，△BAD之△CAE,

:.BD=CE=?

18

:.CD=BC-BD=3近,

：.ZDCE=90°,

CEr+CD1=ED1,

?*-DE=V（3V2）2+（V2）2=2遙.

21.（5分）閱讀下面的材料

一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中.到了中世紀，阿拉

伯數(shù)學家阿爾?花拉子米在他的代表作《代數(shù)學》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法，我國三國時

期的數(shù)學家趙爽在其所著《勾股圓方圖注》中也給出了類似的解法.

以f+10x=39為例，花拉子米的幾何解法步驟如下：

①如圖1,在邊長為x的正方形的兩個相鄰邊上作邊長分別為x和5的矩形，再補上一個邊長為5的小正方

形，最終把圖形補成一個大正方形；

②一方面大正方形的面積為（尤+5）2,另一方面它又等于圖中各部分面積之和，因為?+10x=39,可

得方程（x+5）2=39+25,則方程的正數(shù)解是尤=3.

7

3

工

5x52

X25x

H-------x川

①②

圖2

根據(jù)上述材料，解答下列問題.

（1）補全花拉子米的解法步驟②；

（2）根據(jù)花拉子米的解法，在圖2的兩個構圖①②中，能夠得到方程7-6x=7的正數(shù)解的正確構圖是①

（填序號）.

【解答】解：（1）一方面大正方形的面積為（尤+5）2,另一方面它又等于圖中各部分面積之和，因為/+10x

=39,可得方程（x+5）2=39+25,則方程的正數(shù)解是x=3.

故答案為：5；5；25；3.

（2）由題意可得，能夠得到方程6尤=7的正數(shù)解的正確構圖是①.

故答案為：①.

22.（5分）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)了二^+云的圖象過點A（3,3）.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

19

（2）當0<x<3時，對于x的每一個值，都有自>/+6尤，直接寫出人的取值范圍.

【解答】解：（1）把A（3,3）代入y=7+bx得3=9+36,

解得b=-2,

.??拋物線解析式為y=7-2x；

（2）把A（3,3）代入得北=3,

解得k=\,

.,.當0cx<3時，對于尤的每一個值，上21都有區(qū)>/+6龍.

23.（5分）二十四節(jié)氣是中華民族農(nóng)耕文明的智慧結晶，是專屬中國人的獨特時間美學，被國際氣象界譽為

“中國第五大發(fā)明”.如圖，小文購買了四張形狀、大小、質(zhì)地均相同的“二十四節(jié)氣”主題郵票，正面分

別印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四種不同的圖案，背面完全相同，他將四張郵票洗勻后正面朝下放

在桌面上.

（1）小文從中隨機抽取一張，抽出的郵票恰好是“大暑”的概率是1;

—4—

（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四種不同圖案的郵票分別用A,B,C,。表示，小文從中隨

機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，請用畫樹狀圖或列表的方法求小文抽到的兩張郵票恰好是“立

春”和“立夏”的概率.

【解答】解：（1）小文從4張郵票中隨機抽取一張郵票是“大暑”的概率是：1,

4

故答案為：1；

4

（2）由題意畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12種等可能的情況，其中抽到A和8（“立春”和“立夏”）的情況有2種,

20

--2--_-1,

126

故小文抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏"的概率為』.

6

24.(6分)如圖，以為直徑作O。，過點A作O。的切線AC,連接BC,交。。于點。，點E是邊的

中點，連接AE.

(1)求證：/AEB=2/C；

(2)若4B=5,tmB——,求。E的長.

【解答】(1)證明：：AC是。。的切線,

/.ZBAC=90°.

?.,點E是邊的中點，

J.AE^EC.

：.ZC=ZEAC,

'：ZAEB=ZC+ZEAC,

：./AEB=2/C；

(2)連接AD

為OO直徑，

/.ZADB=90°.

'."AB=5,tanB=A,

3

:.BD=3.

在RtZXABC中，42=5,tanB=A,

3

.?.3C=至，

3

.點E是3C邊的中點，

6

：.DE=BE-BD=-L.

6

21

25.（6分）如圖，。是窟與弦AB所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點，P是弦上一動點，連接尸。并延長交篇

于點C,連接AC.已知48=6C7W,設A,P兩點間的距離為xcm,P,C兩點間的距離為yicm,A,C兩點

間的距離為

小騰根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)”，中隨自變量尤的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補充完整：

（1）按照下表中自變量X的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了yi,y2與尤的幾組對應值；

x/cm0123456

yi/cm5.624.673.762.653.184.37

3

yilcm5.625.595.535.425.194.734.11

（2）在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)值所對應的點（x,ji）,（尤，”），并畫出函

數(shù)yi,”的圖象;

（3）結合函數(shù)圖象，解決問題：當△APC為等腰三角形時，AP的長度約為3或4.91或5.77cm.

【解答】解：(1)：幺=6時，AB=6,8c=4.37,AC=4.11,

:.AB2=AC2+BC-,

22

ZACB=90°,

.?.AB是直徑(也可以用測量法，得出/AC8=90°).

當x=3時，E4=PB=PC=3,

.?.yi=3,

故答案為3.

(2)函數(shù)圖象如圖所示:

(3)觀察圖象可知：當x=y,即當B4=PC或B4=AC時，尤=3或4.91,

當yi=y2時，即PC=AC時，x-5.ll,

綜上所述，滿足條件的x的值為3或4.91或5.77.

故答案為3或4.91或5.77.

26.(7分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線》=—+6尤+。(。＞0)經(jīng)過點A(0,-3)和8(3,0).

(1)求c的值及“、〃滿足的關系式；

(2)若拋物線在A、B兩點間從左到右上升，求。的取值范圍；

(3)結合函數(shù)圖象判斷，拋物線能否同時經(jīng)過點M(-\+m,n)、N(4-m,Q?若能，寫出一個符合

要求的拋物線的表達式和〃的值，若不能，請說明理由.

【解答】解：(1):拋物線y=a/+6x+c(a＞0)經(jīng)過點A(0,-3)和B(3,0).

.f-3=c

10=9a+3b+c

.\c=-3,3a+b-1=0.

(2)由1可得：(1-3〃)x-3,

對稱軸為直線x=上至，

2a

:拋物線在A、2兩點間從左到右上升，當。＞0時，對稱軸在A點左側，如圖：

23

.?.0<aW工.A、B兩點間從左到右上升，

3

.?.當0<aW工時，拋物線在A、B兩點間從左到右上升，

3

(3)拋物線不能同時經(jīng)過點M(-1+m,n)、N(4-m,n).

理由如下:

若拋物線同時經(jīng)過點M(-l+"z,w)、N(,4-m,n).則對稱軸為:--(---1-+-m-)--+-(-4---m-)---3-,

22

由拋物線經(jīng)過A點可知拋物線經(jīng)過(3,-3),與拋物線經(jīng)過B(3,0)相矛盾,

故：拋物線不能同時經(jīng)過點Af(-\+m,〃)、N(4-m,〃)

27.(7分)在Rt^ABC中，ZACB=90°,C。是AB邊的中線，DE_LBC于E,連結C。，點尸在射線

上(與B,C不重合).

(1)如果NA=30°,

①如圖1,與BE之間的數(shù)量關系是DE=EBE；

②如圖2,點尸在線段上，連結。尸，將線段。尸繞點。逆時針旋轉60°,得到線段。R連結2R補

全圖2猜想CP、8尸之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

(2)如圖3,若點尸在線段C2的延長線上，且NA=a(0°<a<90°),連結。尸，將線段。P繞點。逆

時針旋轉2a得到線段。R連結8尸，請直接寫出。E、BF、8P三者的數(shù)量關系(不需證明).

24

【解答】解：(1)①在RtZVICB中，NACB=90°,ZA=30°,

AZB=60°,

'：DE±BC,

tanB=tan60°=匹＞,

BE

:.DE=MBE,

故答案為：DE=43BE；

②補全圖形如圖2,結論：CP=B