2024屆江西省南昌市高三第二次模擬測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測試數(shù)學試題一、選擇題1.已知向量，則（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗由題意得，.故選：B.2.設復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以．

故選：B.3.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗不等式解得，則；不等式解得，則.，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當時，不等式可化為，所以，可得；當時，不等式可化為，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故選：B.5.在三棱錐中，平面，，，，分別為，中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.，是異面直線， B.，是相交直線，C.，是異面直線，與不垂直 D.，是相交直線，與不垂直〖答案〗A〖解析〗顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點的直線是異面直線．下面證明與垂直：證明：因為平面，平面，所以，因為，分別為的中點，連接，所以，因為，平面，所以平面，如圖：取的中點，連接，，因平面，所以，又因為，所以，因為，所以，又因為為的中點，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以．故選：A．6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知知：，化簡得，令，則，，所以.故選：D7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的右支上有一點與雙曲線的左支交于，線段的中點為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知線段的中點為，且滿足，則,故為等腰三角形，又，則為正三角形，根據(jù)雙曲線定義知，設，則，在中，由余弦定理知，故選：D8.校足球社團為學校足球比賽設計了一個獎杯，如圖，獎杯的設計思路是將側(cè)棱長為6的正三棱錐的三個側(cè)面沿AB，BC，AC展開得到面，使得平面均與平面ABC垂直，再將球放到上面使得三個點在球的表面上，若獎杯的總高度為，且，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖：連接、、，取、、中點、、，連接、、，由已知側(cè)棱長為的正三棱錐，即，又因為，所以，因為平面，，均與平面垂直，設，，三點所在的圓為圓，底面的中心為，則，又因為獎杯總高度為，設球半徑為，球心到圓面的距離為，則，即，如圖，易知≌，因為，所以是邊長為的等邊三角形，設的外接圓半徑為，則，則在直角中，，即，解得，所以．故選：C．二、選擇題9.為了解中學生喜愛足球運動與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校的課題組分別隨機抽取了本校部分學生進行調(diào)查，得到如下兩個表格:喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性15520女性81220合計231740甲校樣本喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性7030100女性4555100合計11585200乙校樣本（參考公式及數(shù)據(jù):）.0.10.010.0012.7066.63510.828則下列判斷中正確的是（）A.樣本中，甲校男學生喜愛足球運動的比例高于乙校男學生喜愛足球運動的比例B.樣本中，甲校女學生喜愛足球運動的比例高于乙校女學生喜愛足球運動的比例C.根據(jù)甲校樣本有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)D.根據(jù)乙校樣本有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)〖答案〗AD〖解析〗對A，甲校男學生喜愛足球運動的比例，乙校男學生喜愛足球運動的比例，即甲校男學生喜愛足球運動的比例高于乙校男學生喜愛足球運動的比例，故A正確；對B，甲校女學生喜愛足球運動的比例，乙校女學生喜愛足球運動的比例，即甲校女學生喜愛足球運動的比例低于乙校女學生喜愛足球運動的比例，故B錯誤；對C，甲校中，所以根據(jù)甲校樣本沒有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)，故C錯誤；對D，乙校中，所以根據(jù)乙校樣本有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)，故D正確；故選：AD10.已知，則下列說法中正確的是（）A.在上可能單調(diào)遞減B.若在上單調(diào)遞增，則C.是的一個對稱中心D.所有的對稱中心在同一條直線上〖答案〗BCD〖解析〗，則，對A：當時，恒成立，單調(diào)遞增，當或時，不恒成立，不可能單調(diào)遞減，綜上，在上不可能單調(diào)遞減，故A錯誤；對B：若在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以，故B正確；對C：因，所以關(guān)于對稱，故C正確；因為，，所以關(guān)于，對稱，所以所有的對稱中心在直線上，故D正確．故選：BCD．11.已知，為上一點，且滿足.動點滿足，為線段上一點，滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，則為線段BC的中點B.當時，的面積為C.點到的距離之和的最大值為5D.的正切值的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對A，若，則，從而.再由知.故，這得到.所以，從而為線段BC的中點，故A正確；對B，當時，，則，又，故，故，故B錯誤；對C，由于，故，從而，故.而，故.這表明，即，化簡即為.所以，故.由于，故，從而.再由，知.當點在同一條直線上順次排列，且，，，時，驗證知點滿足全部條件，且此時有.所以點到的距離之和的最大值為，故C正確；對D，一方面由于，，故，從而.所以，即.所以，所以.由，及，可知.另一方面，如上圖所示，考慮一個邊長為的正三角形，分別設的中點為，再分別設的中點為.則，，，，，.所以滿足全部條件，且此時.綜上，的最大值是，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.在中，角A，B，C所對的邊分別為，若，則_____________.〖答案〗2〖解析〗由知，故存在.再由正弦定理，即可得到.〖答案〗為：.13.一次知識競賽中，共有五個題，參賽人每次從中抽出一個題回答（抽后不放回）.已知參賽人甲A題答對的概率為，B題答對的概率為，題答對的概率均為，則甲前3個題全答對的概率為___________.〖答案〗〖解析〗甲抽中前三題按題型概率不同有四種組合：抽中，剩余一題為三題中的任意一題，且全部答對，則概率為：；抽中，且全部答對，則概率為：；抽中A，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：；抽中B，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：.所以甲前3個題全答對的概率為.故〖答案〗為：.14.如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點，點在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經(jīng)過P點，記AB上與點重合的點為，折痕為.過點再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線.曲線在點處的切線與AB交于點，則的面積的最小值為_________________.〖答案〗〖解析〗連接PQ，由題PQ與MQ關(guān)于對稱，，所以Q在以P為焦點、直線AB為準線的拋物線上，如圖，以PO中點G為原點，過G與AB平行的直線為軸，與AB垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，則，直線AB：，所以拋物線方程為：，即，則，由上可設，則拋物線在Q點處切線斜率為，所以拋物線在Q點處切線方程為，則令，，所以由題意，且，所以，故對恒成立，所以時單調(diào)遞減，又當時，，故時，；時，，所以時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，所以，則，所以的面積的最小值為，故〖答案〗為：.四、解答題15.已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）當時，求;（2）若，設，求的通項公式.解：（1）當時，有，即，所以為等差數(shù)列，因為，所以，所以.（2）由已知，，所以，即，且，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.16.一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時，生產(chǎn)的電阻阻值（單位:）服從正態(tài)分布.（1）生產(chǎn)正常時，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取2只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率;（精確到）（2）根據(jù)統(tǒng)計學的知識，從服從正態(tài)分布的總體中抽取容量為的樣本，則這個樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布.某時刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取5只電阻，測得阻值分別為：1000，1007，1012，1013，1013（單位：Ω）.你認為這時生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：若，則，，.）解：（1）電阻阻值服從正態(tài)分布所以，.所以生產(chǎn)正常時，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取1只，則這只電阻阻值在和在的概率分別為，.因此這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率；（1）生產(chǎn)正常時，這5個樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布，即，記，計算可得，而，即，因為在一次實驗中，小概率事件發(fā)生了，因此認為這時生產(chǎn)線生產(chǎn)不正常.17.已知橢圓經(jīng)過點為橢圓的右頂點，為坐標原點，的面積為.（1）求橢圓的標準方程;（2）過點作直線與橢圓交于A，B，A關(guān)于原點的對稱點為，若，求直線AB的斜率.解：（1）因為的面積為，則有，解得，又因為在橢圓上，則，解得，所以橢圓的標準方程為;（2）如圖：因為為AC的中點，所以，設，設直線的方程，并與橢圓的方程進行聯(lián)立，可得，消去得，則有，因為，則有，則，即，，即，解得，所以直線AB的斜率為.18.已知且.（1）當時，求證：在上單調(diào)遞增;（2）設，已知，有不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（1）證明：當時，，則，令，則，兩邊取對數(shù)得.設，則，所以在單調(diào)遞增，所以時，即時，，所以時恒成立，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）解：法一:，即，兩邊取對數(shù)得:，即.設，則問題即為：當時，恒成立.只需時，.，令得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.又因為，則，所以時，單調(diào)遞減，所以時，，所以即.設，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，當時，，時，，所以的圖象與軸有1個交點，設這個交點為，因為，所以；所以當時，，即當時，不等式，所以當不等式在恒成立時，.即實數(shù)的取值范圍為.法二：，即，兩邊取對數(shù)得：，即設，令得，當時，，單調(diào)遞減.又因為，所以，在單調(diào)遞減，由，則在恒成立，即，上式等價于，即，由在單調(diào)遞減，所以.即實數(shù)的取值范圍為.19.如圖所示，用一個不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面，得到的幾何體稱之為“斜截圓柱”.圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱”，AB是底面圓的直徑，，橢圓所在平面垂直于平面ABCD，且與底面所成二面角為，圖一中，點是橢圓上的動點，點在底面上的投影為點，圖二中,橢圓上的點在底面上的投影分別為，且均在直徑AB的同一側(cè).（1）當時，求的長度；（2）（i）當時,若圖二中，點將半圓均分成7等份，求；（ii）證明:.（1）解：如圖，取CD中點，過作與該斜截圓柱的底面平行的平面，交DA于點，交BC延長線于點，與交于點，因則，，過作GH的垂線，交圓于J、K兩點.過作交JK于點，又由圓M，因圓M,則,又因,故平面,因平面,故，所以為橢圓面與圓所在平面的夾角，也即橢圓面與底面所成角，所以.則為等腰直角三角形，.設，如圖作圓所在平面的俯視圖，則，由，所以，則有，所以，所以，當時，;（2）（i）解：時，，所以，…所以（ⅱ）證明：由（1）知，也即是關(guān)于的函數(shù)，也即將斜截圓柱的側(cè)面沿著AD展開，其橢圓面的輪廓線即為函數(shù)的圖象，如圖，將繪制于函數(shù)圖象上，并以，（）為邊作矩形，則矩形的面積即為，所以即為這些矩形的面積之和.而兩個該斜截圓柱可拼成一個底面半徑為1，高為4的圓柱，因此該斜截圓柱的側(cè)面積為，所以函數(shù)與坐標軸圍成的面積為，又因為無論點是否均勻分布在半圓弧AB上，這些矩形的面積之和都小于函數(shù)與坐標軸圍成的面積.所以，得證.江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測試數(shù)學試題一、選擇題1.已知向量，則（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗由題意得，.故選：B.2.設復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以．

故選：B.3.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗不等式解得，則；不等式解得，則.，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當時，不等式可化為，所以，可得；當時，不等式可化為，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故選：B.5.在三棱錐中，平面，，，，分別為，中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.，是異面直線， B.，是相交直線，C.，是異面直線，與不垂直 D.，是相交直線，與不垂直〖答案〗A〖解析〗顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點的直線是異面直線．下面證明與垂直：證明：因為平面，平面，所以，因為，分別為的中點，連接，所以，因為，平面，所以平面，如圖：取的中點，連接，，因平面，所以，又因為，所以，因為，所以，又因為為的中點，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以．故選：A．6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知知：，化簡得，令，則，，所以.故選：D7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的右支上有一點與雙曲線的左支交于，線段的中點為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知線段的中點為，且滿足，則,故為等腰三角形，又，則為正三角形，根據(jù)雙曲線定義知，設，則，在中，由余弦定理知，故選：D8.校足球社團為學校足球比賽設計了一個獎杯，如圖，獎杯的設計思路是將側(cè)棱長為6的正三棱錐的三個側(cè)面沿AB，BC，AC展開得到面，使得平面均與平面ABC垂直，再將球放到上面使得三個點在球的表面上，若獎杯的總高度為，且，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖：連接、、，取、、中點、、，連接、、，由已知側(cè)棱長為的正三棱錐，即，又因為，所以，因為平面，，均與平面垂直，設，，三點所在的圓為圓，底面的中心為，則，又因為獎杯總高度為，設球半徑為，球心到圓面的距離為，則，即，如圖，易知≌，因為，所以是邊長為的等邊三角形，設的外接圓半徑為，則，則在直角中，，即，解得，所以．故選：C．二、選擇題9.為了解中學生喜愛足球運動與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校的課題組分別隨機抽取了本校部分學生進行調(diào)查，得到如下兩個表格:喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性15520女性81220合計231740甲校樣本喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性7030100女性4555100合計11585200乙校樣本（參考公式及數(shù)據(jù):）.0.10.010.0012.7066.63510.828則下列判斷中正確的是（）A.樣本中，甲校男學生喜愛足球運動的比例高于乙校男學生喜愛足球運動的比例B.樣本中，甲校女學生喜愛足球運動的比例高于乙校女學生喜愛足球運動的比例C.根據(jù)甲校樣本有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)D.根據(jù)乙校樣本有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)〖答案〗AD〖解析〗對A，甲校男學生喜愛足球運動的比例，乙校男學生喜愛足球運動的比例，即甲校男學生喜愛足球運動的比例高于乙校男學生喜愛足球運動的比例，故A正確；對B，甲校女學生喜愛足球運動的比例，乙校女學生喜愛足球運動的比例，即甲校女學生喜愛足球運動的比例低于乙校女學生喜愛足球運動的比例，故B錯誤；對C，甲校中，所以根據(jù)甲校樣本沒有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)，故C錯誤；對D，乙校中，所以根據(jù)乙校樣本有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)，故D正確；故選：AD10.已知，則下列說法中正確的是（）A.在上可能單調(diào)遞減B.若在上單調(diào)遞增，則C.是的一個對稱中心D.所有的對稱中心在同一條直線上〖答案〗BCD〖解析〗，則，對A：當時，恒成立，單調(diào)遞增，當或時，不恒成立，不可能單調(diào)遞減，綜上，在上不可能單調(diào)遞減，故A錯誤；對B：若在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以，故B正確；對C：因，所以關(guān)于對稱，故C正確；因為，，所以關(guān)于，對稱，所以所有的對稱中心在直線上，故D正確．故選：BCD．11.已知，為上一點，且滿足.動點滿足，為線段上一點，滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，則為線段BC的中點B.當時，的面積為C.點到的距離之和的最大值為5D.的正切值的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對A，若，則，從而.再由知.故，這得到.所以，從而為線段BC的中點，故A正確；對B，當時，，則，又，故，故，故B錯誤；對C，由于，故，從而，故.而，故.這表明，即，化簡即為.所以，故.由于，故，從而.再由，知.當點在同一條直線上順次排列，且，，，時，驗證知點滿足全部條件，且此時有.所以點到的距離之和的最大值為，故C正確；對D，一方面由于，，故，從而.所以，即.所以，所以.由，及，可知.另一方面，如上圖所示，考慮一個邊長為的正三角形，分別設的中點為，再分別設的中點為.則，，，，，.所以滿足全部條件，且此時.綜上，的最大值是，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.在中，角A，B，C所對的邊分別為，若，則_____________.〖答案〗2〖解析〗由知，故存在.再由正弦定理，即可得到.〖答案〗為：.13.一次知識競賽中，共有五個題，參賽人每次從中抽出一個題回答（抽后不放回）.已知參賽人甲A題答對的概率為，B題答對的概率為，題答對的概率均為，則甲前3個題全答對的概率為___________.〖答案〗〖解析〗甲抽中前三題按題型概率不同有四種組合：抽中，剩余一題為三題中的任意一題，且全部答對，則概率為：；抽中，且全部答對，則概率為：；抽中A，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：；抽中B，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：.所以甲前3個題全答對的概率為.故〖答案〗為：.14.如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點，點在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經(jīng)過P點，記AB上與點重合的點為，折痕為.過點再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線.曲線在點處的切線與AB交于點，則的面積的最小值為_________________.〖答案〗〖解析〗連接PQ，由題PQ與MQ關(guān)于對稱，，所以Q在以P為焦點、直線AB為準線的拋物線上，如圖，以PO中點G為原點，過G與AB平行的直線為軸，與AB垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，則，直線AB：，所以拋物線方程為：，即，則，由上可設，則拋物線在Q點處切線斜率為，所以拋物線在Q點處切線方程為，則令，，所以由題意，且，所以，故對恒成立，所以時單調(diào)遞減，又當時，，故時，；時，，所以時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，所以，則，所以的面積的最小值為，故〖答案〗為：.四、解答題15.已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）當時，求;（2）若，設，求的通項公式.解：（1）當時，有，即，所以為等差數(shù)列，因為，所以，所以.（2）由已知，，所以，即，且，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.16.一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時，生產(chǎn)的電阻阻值（單位:）服從正態(tài)分布.（1）生產(chǎn)正常時，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取2只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率;（精確到）（2）根據(jù)統(tǒng)計學的知識，從服從正態(tài)分布的總體中抽取容量為的樣本，則這個樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布.某時刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取5只電阻，測得阻值分別為：1000，1007，1012，1013，1013（單位：Ω）.你認為這時生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：若，則，，.）解：（1）電阻阻值服從正態(tài)分布所以，.所以生產(chǎn)正常時，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取1只，則這只電阻阻值在和在的概率分別為，.因此這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率；（1）生產(chǎn)正常時，這5個樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布，即，記，計算可得，而，即，因為在一次實驗中，小概率事件發(fā)生了，因此認為這時生產(chǎn)線生產(chǎn)不正常.17.已知橢圓經(jīng)過點為橢圓的右頂點，為坐標原點，的面積為.（1）求橢圓的標準方程;（2）過點作直線與橢圓交于A，B，A關(guān)于原點的對稱點為，若，求直線AB的斜率.解：（1）因為的面積為，則有，解得，又因為在橢圓上，則，解得，所以橢圓的標準方程為;（2）如圖：因為為AC的中點，所以，設，設直線的方程，并與橢圓的方程進行聯(lián)立，可得，消去得，則有，因為，則有，則，即，，即，解得，所以直線AB的斜率為.18.已知且.（1）當時，求證：在上單調(diào)遞增;（2）設，已知，有不等式恒成立，求實數(shù)