重慶市巴南區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年重慶市巴南區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代

號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的.

1.（4分）下列式子是分式的是（）

1+a

A.至B.C.區(qū)D?貴

32兀

2.（4分）下列四個漢字圖形中，是軸對稱圖形的是（）

A我B愛C中里

3.（4分）一木工師傅準(zhǔn)備用三根木條做一個三角形形狀的模具,現(xiàn)在已有兩根長度分別為

20cm,50cm的木條，選擇下列長度的木條能做成三角形模具的是（）

A.10cmB.20cmC.30cmD.40cm

4.（4分）如圖，OB=OD,ZDOB=ZCOA,添加下面條件不能判斷△OAS0ZXOCD的是

（）

A.AB=CDB.OA=OCC.ZA=ZCD.ZB=ZD

5.（4分）下列運算中，結(jié)果正確的是（）

A.ai,a5=a15B.cz84-a2=a6（aWO）

C.a3+a3=a6D.（a3）5=a8

6.（4分）如圖，《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學(xué)重要著作之一，為元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著，

該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽，每株腳錢三文足，

無錢準(zhǔn)與一株椽.”大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，如果每株椽

的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210

文能買多少株椽？（椽，裝于屋頂以支持屋頂材料的木桿）設(shè)這批椽有x株，則符合題

意的方程是（）

A.絲我=3B.6211=3

XX-l

c.3x-l=-D.3（x-i）=^lp

XX

7.（4分）下列說法中正確的是（）

A.有兩組對應(yīng)邊分別相等和一組對應(yīng)角相等的兩個三角形全等

B.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

C.等腰三角形一定是銳角三角形

D.三角形三邊的垂直平分線的交點一定在三角形內(nèi)部

8.（4分）若/+（m-2）尤+16是一個完全平方式，則/〃的值是（）

A.10B.-10C.-6或10D.10或-10

9.（4分）如圖，在△A2C中，點D,E分別是AB,AC上兩點，將△ABC沿DE折疊，使

點4落在點尸處，若ZFDB=p,則/FEC的度數(shù)是（）

A.a+pB.a+20C.2a+pD.q。。+。+8

’2

10.（4分）在對多項式進(jìn)行因式分解中，有一些多項式用提公因式法和公式分解法無法直

接分解的.將一個多項式進(jìn)行重新分組后，可用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解的方

法叫做分組因式分解法.例如：ax+ay+bx+by=a（尤+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）.下

列說法：

①因式分解：x2-Ixy+y1-1=（x-y+1）（x-y-1）；

②若a,b,c是△ABC的三邊長，且滿足a2+6c=M+ac,則4ABC為等腰三角形；

③若a,b,c為實數(shù)且滿足/+2b2+c2+28=4a+86+8c,則以a,b,c作為三邊能構(gòu)成三

角形.

其中正確的個數(shù)有（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡

中對應(yīng)的橫線上.

11.（4分）肥皂泡表面厚度大約是0.00071毫米，將這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為

毫米.

12.（4分）如果分式學(xué)士有意義，那么x的取值范圍是.

:<-1

13.（4分）一個正多邊形的一個外角等于45°,則這個正多邊形的邊數(shù)是.

14.（4分）若點A（a-1,-2）與點B（-1,6+1）關(guān)于y軸對稱，則a+b的值為.

15.（4分）“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚一首詩中的兩

句，它表達(dá)了“數(shù)形結(jié)合”的思想.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究

對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，

數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常把

數(shù)或表示數(shù)的字母與圖形結(jié)合起來，如圖是由四個長為a,寬為6的長方形（a>b>0）

拼擺而成的圖形，外面是一個大正方形ABCD,中間是一個小正方形EFGH,若正方形

ABCD的面積為25,正方形EFGH的面積為9,則ab的值為.

16.（4分）如圖，在△ABC中，點。為AB上一動點，連接CO,點E為線段C。上一點，

點R點G分別為邊CA,邊CB上的動點，若NAC2=30°,CE=6,則△EFG的周長

的最小值為.

A

E

CGB

6x-a>2（x-1）

17.（4分）若。使得關(guān)于尤的不等式組x-5/13有且僅有三個整數(shù)解，且使關(guān)于

X的分式方程2-上阻=4的解為正數(shù)，求所有滿足條件的整數(shù)a的值之和

1-XX-1

為.

18.（4分）若一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不相等的四位正整數(shù)，千位數(shù)字比十位數(shù)字大2,百

位數(shù)字比個位數(shù)字大3,則稱這個四位正整數(shù)為“恭州數(shù)”.例如：對于四位正整數(shù)6542,

V6,5,4,2互不相等且千位6比十位4大2,百位5比個位2大3,二6542是“恭州

數(shù)”.請直接寫出最大的“恭州數(shù)”為.若一個正整數(shù)是另外一個正整數(shù)的

平方，則稱這個正整數(shù)為完全平方數(shù)，例如：9=32,則9為完全平方數(shù).若四位正整數(shù)

m是“恭州數(shù)”，記f（m）巨退，當(dāng)于⑺是一個完全平方數(shù)時，則滿足條件的“恭

1皿101

州數(shù)”m的最小值為.

三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小

題都必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括作輔助線）.

19.（8分）計算：

（1）（2a）3.（位）2+（必2）2.

（2）（x+2y）（尤-4y）-（尤-y）2.

20.（10分）在學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)后，小明想要去探究直角梯形的兩底邊與兩非直角頂

點所連腰的數(shù)量關(guān)系，于是他對其中一種特殊情況進(jìn)行了探究：在直角梯形ABC。中，

ZB=ZC=90°,AE平分/BAO交BC于點E,連接OE,當(dāng)OE平分/AOC時，探究

AB.CO與AO之間的數(shù)量關(guān)系.他的思路是：首先過點E作AO的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證

明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等使問題得到解決.請根據(jù)小明的思路

完成下面的作圖與填空：

證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作AO的垂線，垂足為點足（只保留作圖痕跡）

VZB=90°,

：.EB±AB,

平分/BAO,EF±AD,

；?（角平分線的性質(zhì)），

在RtAAB￡和RtAAF￡中,

EB=EF

I,

RtAAB￡^RtAAF￡(HL).

同理可得：DC=DF,

：.AB+CD=,

即AB+CD=AD.

21.(10分)如圖，在△ABC中，點。是邊BC上一點，點E是邊BC延長線上一點，BD

EC,點F為△ABC外一點，連接。REF,ZA=ZF,AC//DF,

(1)求證：LABC24FED；

(2)若點。是BC中點，且BE=12,BA=4,AC=5,求△￡)￡產(chǎn)的周長.

22.(10分)計算:

(1)a2-3aa-3a+1

a2+a-a2-la-1

⑵Cr+D0片氈

ala_1

23.(10分)A、2兩地相距240千米.

(1)甲以60千米/小時的速度從A地前往B地，乙以80千米/小時的速度從3地前往A

地.若甲先出發(fā)工小時，乙再出發(fā)，求乙出發(fā)后多少小時后甲乙相遇？

2

(2)“要致富，先修路”，當(dāng)?shù)卣疄榻鉀Q交通問題，決定在4、2兩地間新修一高速公

路.經(jīng)調(diào)研可知，高速公路修成后，從A地前往8地的平均速度可提高25%,時間可比

原來縮短旦小時，求原來從A地前往B地的平均速度是多少？

5

24.(10分)一漁船從A地出海打魚，8島位于A地北偏東45°方向，由于B島周圍4海

里有暗礁，漁船沿北偏東600方向航行10海里到達(dá)C處，此時測得B島位于C處的北

偏東30°方向.請問：

(1)C地與2島距離是多少海里？

(2)如果漁船繼續(xù)沿此航線航行，請問有沒有觸礁的危險？請說明理由.

25.(10分)如圖1,在△ABC中，AB=AC,點。為△ABC內(nèi)一點，點E為△ABC外一點,

連接A。，AE,CD,DE,BE,AE^AD,ZDAE=ZCAB.

(1)求證：ZABE=ZACD；

(2)如圖2,連接89,ZBDC=96°,AB=BC,若△BDE是以/BDE為頂角的等腰三

角形，求/CD4的度數(shù).

26.(10分)在△A3C中，點、D、點E分別為邊BC、A3上的點,

A

E

圖1

圖2

(1)如圖1,AD平分N2AC,AD的垂直平分線經(jīng)過點￡與BC延長線交于P點，連接

AF,若/2=30°,求/CAF的大小;

(2)如圖2,D為邊BC中點，連接即，CE,過點B作AC的平行線2尸交皮＞延長線

于點F.ZEDB=ZACE+ZACB,求證：EF=CE+2DE.

2023-2024學(xué)年重慶市巴南區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代

號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的.

1.（4分）下列式子是分式的是（）

A.生B.上里c.

32

【解答】解：4a；上旦，區(qū)分母中不含有未知數(shù)，不是分式;

32H

分母中含有未知數(shù)，是分式.

a+2

故選：D.

2.（4分）下列四個漢字圖形中，是軸對稱圖形的是（

我愛

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

8、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，故此選項正確；

。、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：C.

3.（4分）一木工師傅準(zhǔn)備用三根木條做一個三角形形狀的模具，現(xiàn)在已有兩根長度分別為

20cm.50cm的木條，選擇下列長度的木條能做成三角形模具的是（）

A.10cmB.20cmC.30cmD.40cm

【解答】解：設(shè)木條的長度為xcm,則50-20<x<50+20,即30cx<70.

故選：D.

4.（4分）如圖，OB=OD,ZDOB=ZCOA,添加下面條件不能判斷△O4B空△OCD的是

D

B

OA

A.AB=CDB.OA=OCC.ZA=ZCD.ZB=ZD

【解答】解：VZDOB^ZCOA.

：.ZDOB+ZBOC=ZCOA+ZBOC,

：.ZDOC=ZAOB,

A、\*AB=CD,OD=OB,ZDOC=ZAOB,

：.AOAB和△OC0不一定全等，

故A符合題意；

B、?：OD=OB,ZDOC=ZAOB,04=OC,

:?△OA噲△OC0(SAS),

故3不符合題意；

C、VZDOC=ZAOB,NA=NC,OD=OB,

J.AOAB^AOCD(A4S),

故。不符合題意；

D、VZDOC=ZAOB,OD=OB,NB=ND,

AAOAB^AOCD(ASA),

故。不符合題意；

故選：A.

5.(4分)下列運算中，結(jié)果正確的是()

A.〃力〃5=〃15B.〃8+Q2=〃6(〃W0)

C.〃3+Q3=Q6D.(〃3)5=/

【解答】解：A./?〃5=Q8,故此選項不合題意；

B.Q8+Q2=〃6,故此選項符合題意；

C.〃3+/=2〃3,故此選項不合題意；

￡>.(/)5=〃8,故此選項不合題意；

故選：B.

6.（4分）如圖，《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學(xué)重要著作之一，為元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著，

該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽，每株腳錢三文足,

無錢準(zhǔn)與一株椽.”大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，如果每株椽

的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210

文能買多少株椽？（椽，裝于屋頂以支持屋頂材料的木桿）設(shè)這批椽有x株，則符合題

意的方程是（）

A.絲典=3B,絲我=3

xx-l

C-3x-l=-D.^但⑴望典

XX

【解答】解：???這批椽的價錢為6210文，這批椽有X株，

一株椽的價錢為絲也文，

X

又??,每株椽的運費是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢,

A3(x-1)=^210.

x

故選：D.

7.（4分）下列說法中正確的是（）

A.有兩組對應(yīng)邊分別相等和一組對應(yīng)角相等的兩個三角形全等

B.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

C.等腰三角形一定是銳角三角形

D.三角形三邊的垂直平分線的交點一定在三角形內(nèi)部

【解答】解：4有兩組對應(yīng)邊分別相等和一組對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定全等，說

法錯誤；

B,如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，說法正確；

C、等腰三角形不一定是銳角三角形，如等腰直角三角形，說法錯誤；

￡＞、三角形三邊的垂直平分線的交點不一定在三角形內(nèi)部，如鈍角三角形，說法錯誤；

故選：B.

8.(4分)若/+(m-2)x+16是一個完全平方式，則機(jī)的值是(

A.10B.-10C.-6或10D.10或-10

【解答】解：?.,/+(m-2)x+16是一個完全平方式，

22

.*.x+(m-2)x+16=(x+4)2或/+(m-2)x+\6—(x-4),

.".m-2=±8,

.*.m=10或-6.

故選：C.

9.(4分)如圖，在5c中，點。，E分別是A3,AC上兩點，將△ABC沿。石折疊，使

點A落在點尸處，若NA=a,NFDB=B，則的度數(shù)是()

F

【解答】解：由折疊可得：ZADE=ZEDF,/AED=/DEF,

???/尸。3=0,

AZADF=180°-ZEDB=180°-0,

/.ZADE=A(360°-ZADF)=90°+巨，

22

*.*ZA=a,

：.ZA￡D=180°-ZA-ZADE=9Q°--L-a,

2

ZAEF=ZAED+ZDEF=2ZAED=180°-2a-0,

ZFEC=180°-ZAEF=2a+^.

故選：C.

10.(4分)在對多項式進(jìn)行因式分解中，有一些多項式用提公因式法和公式分解法無法直

接分解的.將一個多項式進(jìn)行重新分組后，可用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解的方

法叫做分組因式分解法.例如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)—(a+Z?)(x+y).下

列說法：

①因式分解：x2-2xy+y2-1—(x-y+1)(x-y-1)；

②若〃，b,c是△A3C的三邊長，且滿足〃2+慶=房+砒，則AABC為等腰三角形；

③若。，b,c為實數(shù)且滿足d+2廿+°2+28=4〃+泌+8的則以。，b,c作為三邊能構(gòu)成三

角形.

其中正確的個數(shù)有()

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：①%2-2孫+y-1=(x2-2孫+/)-1=(x-y)2-1=(%-y+1)Cx-y-

1);故符合題意；

②*.*a1+bc=b1+ac,

J.a^+bc-b1-ac—O,

(Q+Z?)Qa-b)-Qa-b)c—(a-b)Qa+b-c)=0,

*.*a+b-c>0,

??a-Z?~0>

??Q=Z?,

.二△ABC為等腰三角形；故符合題意；

(3)J+2■+c2+28=4〃+8b+8c,

(a2-4a+4)+2(/-仍+4)+(c2-8c+16)=0,

(a-2)2+2(6-2)2+(c-4)2=0,

.9.a-2=0,b-2=0,c-4=0,

?b=2,c=4,

a+b=2+2=4=c,

.?.以a,b,c作為三邊不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；

故選：C.

二.填空題：(本大題8個小題，每小題4分，共32分)請將每小題的答案直接填在答題卡

中對應(yīng)的橫線上.

11.(4分)肥皂泡表面厚度大約是0.00071毫米，將這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為7.1X10

一4毫米.

【解答】解：0.0007=7X10-4.

故答案為：7.1X10-4,

12.(4分)如果分式2有意義，那么x的取值范圍是尤W1.

X-1

【解答】解：由題意，得

x-1#0,

解得xW1,

故答案為：

13.（4分）一個正多邊形的一個外角等于45°,則這個正多邊形的邊數(shù)是8.

【解答】解：360+45=8（條），

故答案為：8.

14.（4分）若點A（a-1,-2）與點8（-1,b+1）關(guān)于y軸對稱，則a+b的值為-1.

【解答】解：?.?點A（a-1,-2）與點2（-1,b+1）關(guān)于y軸對稱，

'.a-1=1,。+1=-2,

解得：a=2,b=-3,

則a+b=-1.

故答案為：-L

15.（4分）“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚一首詩中的兩

句，它表達(dá)了“數(shù)形結(jié)合”的思想.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究

對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，

數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常把

數(shù)或表示數(shù)的字母與圖形結(jié)合起來，如圖是由四個長為a,寬為6的長方形（a>6>0）

拼擺而成的圖形，外面是一個大正方形ABCD,中間是一個小正方形EFGH,若正方形

ABCD的面積為25,正方形EFGH的面積為9,則ab的值為4.

【解答】解：由圖形可知：4個小長方形法面積或+正方形EFG8的面積=正方形A2CD

的面積，

；.4加9=25,

；.4a6=16,

ab=4.

故答案為：4.

16.(4分)如圖，在△ABC中，點。為上一動點，連接CD,點￡為線段C。上一點，

點R點G分別為邊CA,邊C2上的動點，若NAC2=30°,CE=6,則△EPG的周長

的最小值為6.

【解答】解：作點￡關(guān)于直線AC的對稱點點E關(guān)于直線BC的對稱點N,連接

交AC于R交BC于G,

則此時，△EPG的周長最小，且△EFG的周長的最小值=皿，

連接CM,CN,

:點E關(guān)于直線AC的對稱點點E關(guān)于直線BC的對稱點N,

：.CM=CE=CN=6,ZMCF=ZECF,ZNCG=ZECG,

：.ZMCF+ZNCG=ZECF+ZECG=3Q°,

：.ZMON=60°,

...△CMN是等邊三角形,

：.MN=CM=6,

:AEFG的周長的最小值為6,

故答案為：6.

6x-a>2(xT)

17.(4分)若。使得關(guān)于x的不等式組<x-5,I3有且僅有三個整數(shù)解，且使關(guān)于

X的分式方程里上紅=4的解為正數(shù),求所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為-3

1-XX-1

【解答】解：由不等式6x-a>2(x-1),解得：x>2E，

4

由不等式2二殳解得：血2,

3飛4、2

.??原不等式組的解集為：詈<x<2，

又：該不等式組有且僅有三個整數(shù)解，

.\x—2,1,0,

4

，-2Wa<2,

對于gg」-3x,去分母，方程兩邊同時乘以(17),得：2a+l-3x=4(1-x),

1~XX-l

解得：x—3-2a,

??,該方程的解為正數(shù)，

3-2。>0,

解得：a<—,

2

對于x=3-2〃，當(dāng)x=l時，a=l,

,?”=1是該方程的增根，故〃W1,

且a于1,

2

XV-2Wa<2,

/.-2Wa<旦且aWl,

2

.??滿足條件的整數(shù)。為-2,-1,0,

(-2)+(-1)+0=-3.

所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為-3.

故答案為：-3.

18.(4分)若一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不相等的四位正整數(shù)，千位數(shù)字比十位數(shù)字大2,百

位數(shù)字比個位數(shù)字大3,則稱這個四位正整數(shù)為“恭州數(shù)”.例如：對于四位正整數(shù)6542,

V6,5,4,2互不相等且千位6比十位4大2,百位5比個位2大3,6542是“恭州

數(shù)”.請直接寫出最大的“恭州數(shù)”為9875.若一個正整數(shù)是另外一個正整數(shù)的平

方，則稱這個正整數(shù)為完全平方數(shù)，例如：9=32,則9為完全平方數(shù).若四位正整數(shù),"

是“恭州數(shù)”，記f(皿)三追，當(dāng)是一個完全平方數(shù)時，則滿足條件的“恭州

數(shù)”機(jī)的最小值為3714.

【解答】解：最大的“恭州數(shù)”為9875.

設(shè)機(jī)的十位數(shù)字為a,個位數(shù)字為6,1W.W9的整數(shù)，1W6W9的整數(shù),

:四位正整數(shù)刀是“恭州數(shù)”，

/.m=1000(a+2)+100(6+3)+10a+i>,

?/)_nr-78=1000a+2000+1OOb+eOO+lOa+bTEno,.64??,

??f(m)=1Q1ioi'''-'

,:f(m)是一個完全平方數(shù)，

10a+b+22=7,尤為正整數(shù)，

；.lWaW9的整數(shù)，1W8W9的整數(shù)=/-22,

；lWaW9的整數(shù)，1W0W9的整數(shù)，

1WaW9的整數(shù)，1W6W9的整數(shù)是一個兩位數(shù)，

.?.尤可能為6,7,8,9,10,

當(dāng)尤=6時，%2-22=14,

.'.a=l,Z?=4,

.,.771=3714；

當(dāng)x=7時，22=27,

.,.a=2,b=7,不合題意；

當(dāng)x=8時，x2-22=42,

??。=4,Z7=2,

."=6542；

當(dāng)x=9時，X2-22=59,

；.a=5,b—9,不合題意；

當(dāng)x=10時，％2-22=78,

.".a=7,6=8,不合題意；

綜上，滿足條件的“恭州數(shù)”機(jī)的最小值為3714.

故答案為：9875；3714.

三、解答題：(本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分)解答時每小

題都必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形(包括作輔助線).

19.(8分)計算：

(1)(2a)3.(及)2+(必2)2

(2)(x+2y)(x-4y)-(x-y)2.

【解答】解：⑴(2a)2+(加)2=81廬+『族

(2)(尤+2y)(x-4y)-(x-y)2.

=x2-2xy-8y2-x2+2xy-y2

20.（10分）在學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)后，小明想要去探究直角梯形的兩底邊與兩非直角頂

點所連腰的數(shù)量關(guān)系，于是他對其中一種特殊情況進(jìn)行了探究：在直角梯形ABC。中，

ZB=ZC=90°,AE平分NBA。交3c于點E,連接DE,當(dāng)DE平分NADC時，探究

AB,CD與之間的數(shù)量關(guān)系.他的思路是：首先過點E作AO的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證

明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等使問題得到解決.請根據(jù)小明的思路

完成下面的作圖與填空：

證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作的垂線，垂足為點H（只保留作圖痕跡）

VZB=90°,

：.EB±AB,

平分/BAO,EFLAD,

：.@（角平分線的性質(zhì)），

在RtAABE和RtAAFE中，

..JEB=EF

I(②)

.*.RtAABE^RtAAFE(HL).

同理可得：DC=DF,

：.AB+CD^?

即AB+CD^AD.

【解答】證明：過點E作AO的垂線，垂足為點?

VZB=90°,

：.EB±AB,

平分/BAO,EF±AD,

：.EB=EF?(角平分線的性質(zhì))，

在RtAABE和RtAAFE中，

[EB=EF,

(AE=AE②’

.".RtAAB￡^RtAAF￡(HZ,).

：.AB=AF?,

同理可得：DC=DF,

：.AB+CD=AF+FDF?,

即AB+CD=AD.

故答案為：?EB=EF,?AE=AE?.AB=AF,?AF+FD.

21.(10分)如圖，在△ABC中，點。是邊BC上一點，點E是邊BC延長線上一點，BD

=EC,點歹為△ABC外一點，連接。REF,ZA=ZF,AC//DF,

(1)求證：△ABgAFED；

(2)若點。是BC中點，且BE=12,BA=4,AC=5,求△OEF的周長.

【解答】(1)證明：；BO=EC,

：.BD+CD=CD+CE,

即BC=DE,

'：AC//DF,

：.ZACB=ZFDE,

在△ABC與△PED中，

2A=/F

'ZACB=ZFDE.

BC=DE

:.AABC咨LFED(A4S)；

(2)解：由(1)知，△AB%4FED,

：.BA=EF=4,DF=AC=5,BC=DE,

?點。是2C中點，

：.BD=CD,

：.BD=CD=CE,

:BE=12,

：.CD=CE=Wx12=4，

3

:.CE=8,

ADEF的周長=OE+OF+EF=8+5+4=17.

22.(10分)計算：

(])a2-3a.a-3.a+1.

a2+a-a2-l&-11

(2)

(])a2

【解答】解:a+l

百a-l

—a(a-3)丁(&-1)(a+1)丁a+1

a(a+1)a_3a-l

=a+l；

2

⑵信⑴.a-2a

a2-l

=1+a-1.(a-l)(a+1)

a-la(a-2)

—a+1

7^2'

23.(10分)A、2兩地相距240千米.

(1)甲以60千米/小時的速度從A地前往B地，乙以80千米/小時的速度從B地前往A

地.若甲先出發(fā)」小時，乙再出發(fā)，求乙出發(fā)后多少小時后甲乙相遇？

2

(2)“要致富，先修路”，當(dāng)?shù)卣疄榻鉀Q交通問題，決定在A、8兩地間新修一高速公

路.經(jīng)調(diào)研可知，高速公路修成后，從A地前往B地的平均速度可提高25%,時間可比

原來縮短旦小時，求原來從A地前往B地的平均速度是多少？

5

【解答】解：(1)設(shè)乙出發(fā)后X小時后甲乙相遇，根據(jù)題意可得：

60(x+y)+80x=240>

解得：尤=旦，

2

答：乙出發(fā)后旦小時后甲乙相遇；

2

(2)設(shè)原來從A地前往8地的平均速度是yhw//z,根據(jù)題意可得：

240_240^3

x1.25x5

解得：尤=80,

經(jīng)經(jīng)驗，尤=80是原分式方程的解，

答：原來從A地前往8地的平均速度是80AM/?.

24.(10分)一漁船從A地出海打魚，2島位于A地北偏東45°方向，由于8島周圍4海

里有暗礁，漁船沿北偏東60°方向航行10海里到達(dá)C處，此時測得B島位于C處的北

偏東30°方向.請問：

⑴C地與8島距離是