06- 備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅱ卷專用）（解析版）

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考II卷專用）黃金卷06（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，進(jìn)而結(jié)合交集的定義求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：D.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，化簡已知等式可求得，由復(fù)數(shù)模長運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由得：，，整理可得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最小值為.故選：B.3．已知數(shù)列滿足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）①若，則為“回旋數(shù)列”；②設(shè)為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；③設(shè)為等差數(shù)列，當(dāng)，時，若為“回旋數(shù)列”，則；④若為“回旋數(shù)列”，則對任意，總存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，結(jié)合題意中的“回旋數(shù)列”，對每項進(jìn)行驗證或者舉特例即可【詳解】①由可得，由可得，取即可，則為“回旋數(shù)列”，故①正確；②當(dāng)時，，，由可得，故當(dāng)時，很明顯不成立，故不是“回旋數(shù)列，②錯誤”；③是等差數(shù)列，故，，因為數(shù)列是“回旋數(shù)列”，所以，即，其中為非負(fù)整數(shù)，所以要保證恒為整數(shù)，故為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)，且，所以，故③正確；④由①可得當(dāng)時，為“回旋數(shù)列”，取，，顯然不存在,使得，故④錯誤故選：B4．已知平面向量，，滿足，，且．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的垂直和數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，再用坐標(biāo)公式求模即可.【詳解】設(shè)，則，可得，所以.故選:A5．三位同學(xué)參加某項體育測試，每人要從跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個項目中選出兩個項目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出三個同學(xué)選擇兩個項目的試驗的基本事件數(shù)，再求出有且僅有兩人選擇的項目完全相同的事件含有的基本事件數(shù)，即可列式作答.【詳解】三個同學(xué)選擇兩個項目的試驗的基本事件數(shù)有個，它們等可能，有且僅有兩人選擇的項目完全相同的事件含有的基本事件數(shù)有個，所以有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率.故選：C6．已知為第三象限角，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)以及的范圍得出的值，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦，即可得出答案.【詳解】由已知可得，所以.又，所以，解得.又為第三象限角，所以，，.所以，.故選：A.7．如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設(shè)計的一個花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為和，正六棱臺與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（

）

B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，求出正六棱臺的側(cè)高，從而求出正六棱臺的側(cè)面積，再求出正六棱臺的下底面面積，圓柱的側(cè)面積和底面積，相加得到該花燈的表面積.【詳解】正六棱柱的六個側(cè)面面積之和為，正六棱柱的底面面積為，如圖所示，正六棱臺中，，過點(diǎn)分別作垂直于底面于點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，則分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，則為正六棱臺的斜高，其中，，，由勾股定理得，故，

所以正六棱臺的斜高為，故正六棱臺的側(cè)面積為，又正六棱臺的下底面面積為，所以該花燈的表面積為．故選：A．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，且，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用的奇偶性和單調(diào)性求得正確答案.【詳解】設(shè)，，所以是奇函數(shù).當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，不等式即，所以，所以不等式的解集為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩點(diǎn)，一個是函數(shù)的奇偶性，奇偶性可以轉(zhuǎn)化為來進(jìn)行判斷；一個是構(gòu)造函數(shù)法，有關(guān)和的不等關(guān)系式，在解題過程中可以考慮利用構(gòu)造函數(shù)法，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．在的展開式中，各項系數(shù)的和為1，則（

）A． B．展開式中的常數(shù)項為C．展開式中的系數(shù)為160 D．展開式中無理項的系數(shù)之和為9．已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上有3個零點(diǎn)【答案】AC【分析】根據(jù)周期及奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，則，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為，因為為奇函數(shù)，所以，，即，，因為，所以，，所以，對于A，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，由，得，即，令，解得，又，所以或，所以函數(shù)在上有2個零點(diǎn)，分別為，，故D錯誤.故選：AC.10．用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點(diǎn).用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對稱軸與x軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.若拋物線C：的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)反射，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則（

）

A．C的準(zhǔn)線方程為B．C．若點(diǎn)，則D．設(shè)直線AO與C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為N，則點(diǎn)N在直線上【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可判定A正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定B錯誤；根據(jù)，求得，可判定C錯誤；由，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合，可判定D正確.【詳解】由題意，拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，所以A正確；由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過焦點(diǎn)F，且斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，所以B錯誤；若點(diǎn)，則，所以，所以，，所以，所以C錯誤；又由直線，聯(lián)立方程組，解得，由，得，所以，所以點(diǎn)N在直線上，所以D正確.故選：AD.

11．如圖，棱長為2的正方體中，，，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．存在y，使得B．當(dāng)時，存在z使得∥平面AEFC．當(dāng)時，異面直線與EF所成角的余弦值為D．當(dāng)時，點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍【答案】BD【分析】建系，利用空間向量處理位置關(guān)系、異面直線夾角以及點(diǎn)到面的距離.【詳解】如圖建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，對于選項A：可得，因為，且，可知，所以與不垂直，故A錯誤；因為，則，，可得，，對于選項B：設(shè)平面AEF法向量為，則，令，則，可得，設(shè)，可得，令，解得，可知：當(dāng)時，∥平面AEF，B正確；對于選項C：當(dāng)時，則，此時，因為，可知：當(dāng)時，異面直線與EF所成角的余弦值為，故C錯誤；對于選項D：因為，，可得：點(diǎn)G到平面AEF的距離，點(diǎn)C到平面AEF的距離，所以點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍，故D正確．故選：BD．12．已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先利用三角函數(shù)線得到，進(jìn)而得到，作差法得到，得到；再構(gòu)造函數(shù)，與，，證明出.【詳解】設(shè)為銳角，作出單位圓，與軸交于點(diǎn)，則，過點(diǎn)作垂直于軸，交射線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，由三角函數(shù)定義可知，，設(shè)扇形的面積為，則，即，故，所以，

，因為，所以，故，綜上：，A正確，B錯誤；令，，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，故，故，C正確，D錯誤；故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：我們經(jīng)常使用不等式放縮來比較大小或證明不等式，常用的不等式有，，，，等.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量，且，則．【答案】0.39/【分析】由正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】因為，所以正態(tài)曲線的對稱軸是直線，又因為，所以.故答案為：0.39.14．若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可分別用表示出切線方程，根據(jù)切線方程相同可構(gòu)造方程組，化簡得到，代入所求式子整理即可.【詳解】，，切線斜率，切線方程可記為：或，，，則，易得，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)中的公切線問題，求解此類問題的基本思路是假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)后，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義分別表示出兩函數(shù)切點(diǎn)處的切線方程，由兩方程形式一致可構(gòu)造方程組來求解相關(guān)問題.15．已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則．【答案】/【分析】設(shè)直線，由題意可得，可求得，進(jìn)而可求得.【詳解】設(shè)直線，直線與圓相切，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，所以，因為，所以，由對稱性，不妨取，故答案為：.

16．已知橢圓，的上頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)分別為，離心率為，過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的面積為，則四邊形的周長是．【答案】14【分析】設(shè)橢圓半焦距為，由離心率可得橢圓，將直線DE方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合四邊形的面積為，可得，后注意到點(diǎn)A，兩點(diǎn)關(guān)于直線DE對稱，后利用橢圓定義可得答案.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為，因橢圓離心率為，則，則橢圓.由題，設(shè)直線DE為，將其與橢圓方程聯(lián)立，則.由題，聯(lián)立方程判別式大于0，設(shè)，由韋達(dá)定理，有.則.又，則A到直線DE距離為，到DE距離為.因四邊形的面積S為，則.因點(diǎn)A，到直線DE距離相等，且，則點(diǎn)A，兩點(diǎn)關(guān)于直線DE對稱.則四邊形的周長為.注意到，，則，得四邊形的周長為.故答案為：14

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．設(shè)正項數(shù)列的前項和為，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若不等式對任意正整數(shù)均成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用得出等差數(shù)列再求數(shù)列通項公式即可;（2）應(yīng)用裂項相消求和結(jié)合不等式恒成立求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，且，兩式相減并整理可得．因為為正項數(shù)列，所以，所以．（2）有（1）可知，，，故，可化為，因為恒成立，所以．18．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)若內(nèi)一點(diǎn)P滿足，，，，記，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，結(jié)合正余弦定理即可求；（2）在直角中用角表示，在中，由正弦定理得到與角之間的關(guān)系，中，余弦定理求出及角，代入上式即可求角.【詳解】（1）因為，.由正弦定理得：，即，由余弦定理，，因為，所以.（2）因為，所以，在中，，在中，由正弦定理得，即，即，（*）又因為在中，，，從而，代入（*）式得，即，所以.19．氣象部門定義：根據(jù)24小時內(nèi)降水在平地單位面積上的積水深度來判斷降雨強(qiáng)度．其中小雨，中雨，大雨，暴雨）．為了了解某地的降雨情況，氣象部門統(tǒng)計了該地20個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的降雨情況，得到當(dāng)日24小時內(nèi)降雨量的頻率分布直方圖如圖．

(1)若以每組的中點(diǎn)代表該組數(shù)據(jù)值，求該日這20個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的平均降雨量；(2)①根據(jù)圖表，估計該日24小時內(nèi)降雨強(qiáng)度為暴雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的個數(shù)；②通過降雨強(qiáng)度按分層抽樣抽取5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行分析．據(jù)以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)，降雨過后，降雨強(qiáng)度為大雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失的概率為，降雨強(qiáng)度為暴雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失的概率為，假設(shè)降雨強(qiáng)度相互獨(dú)立，求在抽取的5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，降雨過后恰有1個鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失的概率．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)公式計算即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計總體即可得①，根據(jù)分層抽樣先判定抽中大雨和暴雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)數(shù)，再由獨(dú)立事件的概率公式計算即可得②.【詳解】（1）這五組數(shù)據(jù)對應(yīng)的頻率分別為：，故這20個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的平均降雨量為．（2）①24小時降雨強(qiáng)度為暴雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的頻率為，故降雨強(qiáng)度為暴雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的個數(shù)為個．②若按分層抽樣抽取5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，故降雨強(qiáng)度為暴雨的有個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，降雨強(qiáng)度為大雨的有2個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，設(shè)事件表示“抽取的5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，降雨過后恰有1個鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失”．分兩類情況，即不受損失的唯一鄉(xiāng)鎮(zhèn)為降雨強(qiáng)度為大雨或降雨強(qiáng)度為暴雨，所以，故抽取的5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，降雨過后恰有1個鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失的概率為．20．如圖，在四棱錐中，，，M為棱AP的中點(diǎn)．(1)棱PB上是否存在點(diǎn)N，使平面PDC?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(2)若平面平面ABCD，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)棱PB上存在點(diǎn)N，；(2)【分析】（1）作出輔助線，利用可證得平面PDC，再用相似三角形線段成比例即可求解.（2）設(shè)O為CD的中點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABCD，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法即可求二面角的正弦值．【詳解】（1）如圖，分別延長BA與CD的延長線交于點(diǎn)E，連接PE，過點(diǎn)M在平面BEP內(nèi)作直線，交BE于點(diǎn)F，BP于點(diǎn)N，因為，平面PDC，所以平面PDC，因為，，所以A，D分別為線段BE，CE的中點(diǎn)，又，M為AP的中點(diǎn)，所以F為線段AE的中點(diǎn)，所以．綜上，棱PB上存在點(diǎn)N，使平面PDC，且．（2）設(shè)，又，，所以，，又，所以和為等邊三角形，設(shè)O為CD的中點(diǎn)，連接OP，OB，則，，，又平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD，又平面ABCD，，綜上，OP，OB，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，，，設(shè)平面MDC的法向量為，則即可取，設(shè)平面MDB的法向量為，則即可取，所以，故二面角的正弦值為．21．已知雙曲線C：的離心率為，F(xiàn)為C的左焦點(diǎn)，P是C右支上的點(diǎn)，點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為．(1)求C的方程；(2)若線段PF與C的左支交于點(diǎn)Q，與兩條漸近線交于點(diǎn)A，B，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用