2024屆四川省成都高三年級下冊二診模擬文數(shù)及答案

成都石室中學(xué)2023-2024年度下期高2024屆二診模擬考試

數(shù)學(xué)試題（文）（A卷）

（總分：150分，時間：120分鐘）

第I卷洪60分）

一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）

1.已知復(fù)數(shù)z=」L（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是

1+1

2.若集合A-12卜3-,=則a*A是a。3的

A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條件

3.如圖是根據(jù)某校高三8位同學(xué)的數(shù)學(xué)月考成績（單位：分）畫出的莖葉圖，其中左邊的數(shù)字從左到右分別表示學(xué)

生數(shù)學(xué)月考成績的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生數(shù)學(xué)月考成績的個位數(shù)字，則下列結(jié)論正確的是

A.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的極差是14

B.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的中位數(shù)是122

C.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的眾數(shù)是118

D.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的平均數(shù)是124

4.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形

組成，則這個幾何體的體積是

79

B.—?C.-7tD.~n

2332

5.已知數(shù)列｛a,｝為等差數(shù)列,且%-%%*?10I。，貝U-aS的值為

A.2B.4C.6D.8

6.若仍是正實數(shù)，且仁L則的最小值為

A.1B.-C.1D.2

53

7.當(dāng)0."三時，關(guān)于x的不等式（2asinx-cos2x_3）（sinx一次）?0有解則。的最小值是

2

A.2B.3C.4D,45/2

7T

8.已知函數(shù)f（x）-sin（2x--）,則下列結(jié)論中不正確的是

A.九為函數(shù)|/（x）|的一個周期

B.點（g,0）y-f（x）

3是曲線的一個對稱中心點

1

c.在區(qū)間［a,4］上單調(diào)遞增，則實數(shù)”的最大值為三

12

D.將函數(shù)的圖象向右平移二個長度單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象

9.已知拋物線儼=4不弦AB過其焦點，分別過弦的端點48的兩條切線交于點C,點C到直線AB距離的最小值

7E

11

A.-B.—C.1D.2

42

10.如圖，四棱柱ABC。4耳4。|中，E為棱4鳥的中點，尸為四邊形。CGR對角線的交點，下列說法：

①所//平面3CGB|；

②若EP〃平面ADQ4，貝；

③若四邊形ABCD矩形，且所RG，貝1J四棱柱ABC。44GR為直四棱柱.

其中正確說法的個數(shù)是

A.0B.lC.2D.3

11.已知函數(shù)f(x)-2V+2+cosx+x~,若a=/(A/2^),bf(-ee),c/(x"),貝U

A.c</?<tzB.a〈c<bC.c<?<Z?D.b<：cca

XV

12.若雙曲線C：/-四二l(a0)的左、右焦點分別為。,勺，過右焦點弋的直線/與雙曲線C交于48兩點,

A一cC，-1=L>A?MO14JO'-1

已知/的斜率為左，人［.1gh+引，且產(chǎn)212^|,.F1AB60°

A.273B.73egD.2

第II卷洪90分)

二、填空題(本題共4道小題，每小題5分，共20分)

13.已知向量￡=(1,-2),5；(2,X),若Zb,則實數(shù)x=.

y20

14.已知實數(shù)x,y滿足約束條件4x+3卜4,貝ljz=3x-2y的最大值是.

1x-y>0

15.已知等比數(shù)列I%｝的前〃項和為S“，若S"=x.j3-27,則am…圓取最大值時，〃的值為

3

］—

16.若%二1,怛有In—-----ex-X11,則根的取值范圍是.

e一mx

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分12分)

某校從高二年級學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將他們的期中成績(均為整數(shù))分成六段，|40,50),[50,60),...[90,100

后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形，回答下列問題：

(D求并估計此次期中考試成績的眾數(shù).

(2)利用分層抽樣的方法從樣本中成績在[50,601和|80,90)兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽5人，再從這5人中隨機抽取2

人，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率.

18.(本小題滿分12分)

sinx-m,

已知q5(辦玲，設(shè)/(x)="

Jcosx=八

(I)求函數(shù)/(尤)的對稱中心；

(II)若\ABC中，角A,8,C所對的邊分別為a,"c,/(A)手，且"BC外接圓的半徑為g,D是BC邊的中

點，求線段長度的最大值.

19(本小題滿分12分)

如圖，棱長為3的正方體A3CD中，CE-2EC「

(I)若R是線段A3的中點，求證：GF〃平面BDE;

(II)求三棱錐。38E的體積.

3

20.(本小題滿分12分)

12丫2

已知點尸是橢圓Kab0)的右焦點，過原點的直線交橢圓￡于AB兩點，面積的最大值為百

\OF\1.

(T)求橢圓E的標準方程；

(II)已知過點P(4,yo)的直線/與橢圓E交于兩點，是否存在定點尸，使得直線的斜率之和為定值？

若存在，求出定點P的坐標及該定值.若不存在，請說明理由.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=/-ar,x：0.

(I)是否存在實數(shù)。使得/(x)、0在區(qū)間［a,2a+1］上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理

由；

(II)求函數(shù)求x)=/(x)_a21nx在區(qū)間(l,e今上的零點個數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

22.(本小題滿分10分)

在平面直角坐標系xQy中，傾斜角為“的直線過定點L0,以。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,

/()

曲線C的極坐標方程為psi/。=4cosfi,直線/與曲線C相交于不同的兩點

(I)若n-半，求線段A3中點〃的直角坐標；

(II)若尸(L0),求陷可的最小值.

［選修4-5:不等式選講］(10分)

23.(本小題滿分10分)

已知函數(shù)/(x)：1卜

(1)求不等式/(尤)-/(2x-1).x-7的解集；

4

111

(II)若對于正實數(shù)〃，b,。，滿足—一,—二1,證明：/(x—9.

abc

5

成都石室中學(xué)2024-2025年度下期高2024屆二診模擬考試

數(shù)學(xué)試題（文）（A卷）參考答案

一、選擇題：

1.已知復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）,貝心的虛部是

A.-1B.-liC.-D.li

2222

l.Az二」二，所以z的虛部是

1+122

1,

2.若集合A-{1,2；,B-！y|y=/},則auA是。匚3的

（J

A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.AB[0,-，），則A是2的真子集，則。eA是。后3的充分不必要條件.

3.如圖是根據(jù)某校高三8位同學(xué)的數(shù)學(xué)月考成績（單位：分）畫出的莖葉圖，其中左邊的數(shù)字從左到右

分別表示學(xué)生數(shù)學(xué)月考成績的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生數(shù)學(xué)月考成績的個位數(shù)字，則

下列結(jié)論正確的是11877

A.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的極差是1412513

B.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的中位數(shù)是1221312

C.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的眾數(shù)是118

D.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的平均數(shù)是124

3.B對于選項A,極差是13211715,故A錯誤；

對于選項B,中位數(shù)是121/23122,故B正確；

2

對于選項C,眾數(shù)是117,故C錯誤；

對于選項D,平均數(shù)是故D錯誤，故選B.

4.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半

圓和矩形組成，則這個幾何體的體積是————1——

3579

A.—RB.一八C.—nD.—H正視圖側(cè)視圖

2332

4.A還原成直觀圖后，幾何體由一個圓柱和八分之三個球組成,故這個

幾何體的體積展JUj-%4.i3.42=24n.

382俯視圖

5.已知數(shù)列{a“}為等差數(shù)列，且。2?%%1。，則。4?“8的值為

A.2B.4C.6D.8

1

5.B因為%%-%，。9?T°，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得5a6二1。，%=2,所以。廣如4-

6.若“是正實數(shù)，且上--4rL則4的最小值為

A.1B.-C.1D.2

53

；〃；］〃.〃卜(〃11

6.A因為〃-Z?二|(3-Z?)-(la-4Z?)|1(32?4b%

3a-b2a-4b

=2+給+黑卜;當(dāng)且僅當(dāng)。J時取等號，所以“一。的最小值為。

7.當(dāng)0.x,人時，關(guān)于x的不等式(2asinx-cos2x_3)(sinx一上0有解則。的最小值是

2

A.2B.3C.4D.4^/2

7.A當(dāng)CLx■今時，sinx.x,所以2asinx-cos2x_3。在0.x-；g上有解,

所以2asinx-3—cos2x=2.2sin2x,所以a；-......sinx|.由一1―+sinx-2,當(dāng)且僅當(dāng)二時取

Isin尤;minsmxX2

等號，所以。的最小值是2.

7.當(dāng)0.：x「三時，關(guān)于x的不等式(2a-sinx+cos2x-3)(sinx-x)匚0有解，則a的最小值是

15153,

1682

7.A當(dāng)0—尤＜三吐sinx-x,所以2。十sinx十cos2x—3、0在0x-三上有解，

22

2

所以2a+sinx}3-cos2x-2+2sin2》,所以。；sinx-!|"”，當(dāng)且僅當(dāng)sinx_工時取

I4/16164

等號，所以a的最小值是3.

8.在2023年成都“世界大學(xué)生運動會”期間，組委會將甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到ABC三個場館

執(zhí)勤，若每個場館至少分到一人，且甲不能被分配到A場館，則不同分配方案的種數(shù)是

A.48B.36C.24D.12

8.C分兩種情況：第一種情況，甲單獨一人執(zhí)勤一個場館，共有如瑪前12種，?第二種情況，甲和另

"f=24種.

一個人一起執(zhí)勤一個場館，共有CLX12種，則共有

7T

8.(文科)已知函數(shù)/'(x)=sin(2x-弓)，則下列結(jié)論中不正確的是

A.〕為函數(shù)|/(尤)|的一個周期

2

B.點(丁,。)yf(x)

3是曲線的一個對稱中心點

C.在區(qū)間[a,a]上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的最大值為土

D.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移看個長度單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象

8.C【解析】

對于A,函數(shù)/1(%)=sin(2x-)?n|/(x)|

3的最小正周期為，所以為函數(shù)的一個周期，正確；

TTK7TJT

對于B:令2%——-kji(kcZ),解得％-一+—(kcZ)

326

當(dāng)左—1時，x竺所以點(2M是八刃

33的一個對稱中心點，故B正確；

對于C:—?2kns2x-—<—12kn,Z,得—>kn<x<Z

2321212

令左—0,-----X<——,因為在區(qū)間l-a,a]—

1212上單調(diào)遞增，所以實數(shù)a的最大值為12,故C不正確；

對于D:ysin[2(xsin(2x—)cosx,故D正確.

綜上，故選C

9.已知拋物線,=4x,弦AB過其焦點，分別過弦的端點A,3的兩條切線交于點C,點C到直線距

離的最小值是

11

A.-B.-C.1D.2

42

9.D設(shè)(無2，>2)，設(shè)過A處的直線是y-yi=Z(x-xj,聯(lián)立y一無=A(x-xj,y2=4x:f>

產(chǎn)一Uyi4為=0,\0,即普-學(xué)-2=[±-2yi「=(U=2,則在A處的切線方程為

kkk-kyi4yl0,U1M

yiy=2x「2x,同理8處的切線方程為y2y=2馬-2x,設(shè)交點C的坐標為。。，孔)，點。。。丫)在兩

條切線上，所以％%=2為-2與，y2yQ=2x2+2x0,則直線AB的方程是.=2x+2%.又A3過其焦點

(1,0),易知交點C的軌跡是％=1,所以C(-l,%),AB:yy0-2x-2,所以交點C到直線AB的距

3

1'，0乙21_____

離是d—.J4^y§,所以當(dāng)y（）hO時d的最小值為2.

10.如圖，四棱柱ABCO-ABiG2中，E為棱4鳥的中點，尸為四邊形。C。，對角線的交點，下列說

法：

4

①EF〃平面BCGBi；

②若所〃平面ADQA，則BC//AO；/\,

③若四邊形ABCD矩形，且斯RG，貝曬棱柱ABC。人聲/向為直[/'

BC

四棱柱.

其中正確說法的個數(shù)是

A.0B.lC.2D.3

10.C對于①，若所〃平面BCGB],過歹作CC]的平行線交CQi于其中點為連接E8,由于切〃

平面BCG%且所〃平面BCG%所以平面ERH〃平面BCCWi,所以E”〃平面BCGS，所以EH

〃。即當(dāng)AR與C氏不平行時，EHHCB1不成立.①是假命題.

對于②，同①，EH代跖,則BC//A9②是真命題.

對于③，四邊形ABC。矩形，所以AD//BC.又DDJ/CC],所以平面9R。//平面BCG4，所以四

棱柱ABCD-4月42可看作AA^D為上底面，BCC/i為下底面的四棱柱，過E作CQ的平行線交

G2于點X,則》為C12的中點，連接即，由條件有即RC1,又EFRC],則RG一平面

EFH,則切〃G，F(xiàn)HMDD”所以功。D.Q,又功為RG，所以RG.平面AD，A],則

四棱柱ABC。4BCR為直四棱柱.③是真命題.

1O.（B卷）如圖，在長方體984耳C.中，ABAD2,P,"分別是棱3C和CD

11

的兩個動點，且尸Q2,則P。的中點5到的距離為（）

4

A.立B.正

22

10.C取CG的中點尸，連接￡尸,

以。為坐標原點，DA,DC,DDxyz

t所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則尸(x,2,0)Q(O,y,囪，目0,2,?|,

因為E是PQ的中點，所以4會42，’"

所以詬；$?，。；一…(?)

―CC=DD=0,0,3,

所以FE.Cq\0,即/」顧7所以席￡到的距離就是EF,

因為尸。=2,

所以PQ：/+(y_2)2+(73)2,4,即無z+(>-2)21,

所以E廣+|-_2V?(:2)2:L即取1

\2/[2.1442

所以PQ的中點E到CG的距離為］

故選：C.

11

11.已知函數(shù)/'(x)-2-cosx+爐,若4=/(")/=/(_>)，。=/仁丁)，則

A.c<b-aB.a-c-bC.c<a--bD.bc<a

ll.B/'(X)=2X+2」+COSX+X2是偶函數(shù)，/'(x)(2*-2*)ln2+(2x-sinx)0,則/(x)在

(-，)上是增函數(shù)構(gòu)造函數(shù)g(尤)=也，貝IJg'(x)=二^,令g'(x)0,得o.X.e,令婷(X),0,得

0,x曠

5

x>e,所以g(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(%?,)上單調(diào)遞減.又————，所以g(4).g仁).g(e),

24

所以孚二學(xué).二匣.—,所以2；幾、3，所以/(淄)'/仁1?/(1)=/(—￡),所以/c.b.

247te

11.(B卷)設(shè)a=logi211,b=logi312c=logo.12O.ll,則()

A.c<a<bB,a<b<cC,b<a<cD,b<c<a

1LB由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知log/log12lllog1212,即0.Q.1,同理0，」，

又logo.12O.ll-logo.12O.i2,即c：1

lglllgl3.(Igll；lgl3>(竽廣(生產(chǎn))21g212

f12

匯2.Iglllgl2lglllgl3-lgl2‘八日口’廳L,

所以a-b-......---.....———----------------0,BPa<b,綜上，b-c,

lgl2lgl3Igl21gl3

故選：B.

x1y2

12.若雙曲線C：/-/=l(a。力-0)的左、右焦點分別為居,無，過右焦點生的直線/與雙曲線C交于

AB兩點，已知/的斜率為左，k2,一，且2^|,.FiAB60。'"一"°"—

A.2^/3B.V3C?事D.2

12.A設(shè)/B|=x,則尸2A卜2尤，由雙曲線定義，得6A|=2a-2x，F(xiàn)]8|：2a-x.

在\4片8中，由余弦定理，得同回，回Ak一2產(chǎn)維㈣cos60。'ex=1.

在、山/中，由余弦定理，得4c2一庫那一,2A『.2河川尸2Aleos60°,解得e-手.

法一：令a=3竄0),則c=7f立6=2f,C:；——二二1,設(shè)/：x=⑺--/5?0"—[,聯(lián)立

9rAt-1.3J

22產(chǎn)

28-x/13m^16

-----二1,x-my+,得^m9產(chǎn).8-^irnty-16C二0,。產(chǎn)32=/邛不，yy，一.由

9r4r4mz9i24mz

9

|A引二2同回，得2y2,則根]5，所以KAB25.

b2b2

法二：設(shè)直線傾斜角/為"，由雙曲線第二定義得：L4F|一，環(huán)kw0t,X|AF|=2|FB\,

121l—ecosfi22

2-1

貝心=,又k[-,-x；,則圖B=2退.

TT7a

二、填空題：

6

13.已知向量〃：（1,一2）,1二（2,%）,若Q.乙則實數(shù)x二.

13.1因為。b,所以12-（-2）x=0,解得入：1.

［y>o

14.已知實數(shù)x,y滿足約束條件'4%?3y4,貝［］z=3尤+2y的最大值是.

1x0

14.3作出羽y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線并平移，當(dāng)直線過點A（1,O）時,

Zmax=3-1-203,所以z=3x-2y的最大值是3.

15.已知等比數(shù)列“)的前〃項和為S,,若S"=x.|T...

-27,則am取最大值時，〃的值

為.

aI

15.3等比數(shù)列；的公比為q,由等比數(shù)列前〃項和公式分：，,q"ex=f,q-1又

q1-q3

1M12,

18,則〃〃二18不?,〃2：6,a3=2,a4=瓦所以aaT-Q赧?最大值時，〃的值是3.

--1

16.若X”，恒有In-------ex-x2.mx1,則根的取值范圍是.

mx

工2-]

16.(-r,e-2]由In---------ex-x2-mx1,得e*-mx0在X：1上恒成立，即機?e.

exmx

且ln(x2-1?ln(ex-mx)-mx).][即in(f_1).(//)ln(e*—mxj_機/.因為

y：Inx-尤在［1,+r）上是增函數(shù)，所以爐1e，-mx,所以利e*-尤？_i.令/⑴=―A―1,則

sx

x

廣（無）=（x-D（e；-D,0所以〃x）在［1,.「）上單調(diào)遞增，/（x）皿=/⑴=e-2,所以“e-2.

X

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）

7

為了去庫存，某商場舉行如下促銷活動：有兩個摸獎箱，A箱內(nèi)有1個紅球、1個黑球、8個白球，8箱

內(nèi)有4個紅球、4個黑球、2個白球，每次摸獎后放回.消費額滿300元有一次A箱內(nèi)摸獎機會，消費額

滿600元有一次3箱內(nèi)摸獎機會.每次機會均為從箱子中摸出1個球，中獎規(guī)則如下：紅球獎50元代金券、

黑球獎30元代金券、白球獎10元代金券.

(I)某三位顧客各有一次B箱內(nèi)摸獎機會，求中獎10元代金券人數(shù)二的分布列；

(II)某顧客消費額為600元，請問：這位顧客如何抽獎所得的代金券期望值較大？

解：(I)三位顧客每人一次B箱內(nèi)摸獎中10元代金券的概率都為1,

中獎10元代金券的人數(shù)-服從二項分布3(3,1),

1『4'尸

P(：=k)=C^-J,左=0,1,2,3..........................................................4分

故二的分布列為

匕0123

6448121

P

125125125125

...............6分

(II)可以在A箱摸獎2次，或者在B箱內(nèi)摸獎1次

A箱摸獎1次所得獎金的期望值為5。，-30.1>10-L16.........................................8分

1010101

8箱摸獎1次所得獎金的期望值為50'+430★410?尋34...............................................10分

A箱摸獎2次所得獎金的期望值為216-32,B箱摸獎1次所得獎金的期望值為34,

所以這位顧客選3箱摸獎1次所得獎金的期望值較大..................................12分

17.(文)某校從高二年級學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將他們的期中成績(均為整數(shù))分成六段,

[4。，50),|50,60)….[90,10()1后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形，回答下列問題：

8

頻率

⑴求。，并估計此次期中考試成績的眾數(shù).

(2)利用分層抽樣的方法從樣本中成績在150,60)和［80,90)兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽5人，再從這5人中

隨機抽取2人，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率.

【詳解】(1)由直方圖知:10x(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)*1,則a=0.010

由圖知：區(qū)間［70,80)的頻率最大，故眾數(shù)為75...........................................4分

(2)成績在［50,60)分數(shù)段的人數(shù)有600.15:9,成績在［80,90)600.16

分數(shù)段的人數(shù)有

采用分層抽樣的方式,在［50,60)抽取3人，記為A,B,C,［80,90)抽取2人，記為1,2,

從這5人中隨機抽取兩人，所有的基本事件有(A,3),(AC),(A,1),(A2),(2,C),

(B,1),(B,2),(C,1),(C,2),(1,2)共10種,............................8

分

2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10等價于這2個同學(xué)在同一個分數(shù)段.

記“這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10”為事件N,

則事件N包含的基本事件有(A,砂,(4C),(3,C),(1,2)共4種..........10分

49

所以所求概率為P(N)-........................................................................12分

18.(12分)

sinx=m,

已知64(根'R)，設(shè)了(X)”.

Icosx：\3八y］3m

(I)求函數(shù)/⑴的對稱中心；

(II)若中，角A,B,C所對的邊分別為/(A)且\A8C外接圓的半徑為g,D

是邊的中點，求線段長度的最大值.

sinx?mr-反

解。(I)由^3,得/(%)二sin%------cosx=------sin(x.

耕?"Ry「機十Tcosx336

9

令X+：-,左二Z,解得X=所-左6Z,所以函數(shù)/(X)的對稱中心為

66

(kn--,0),k.Z.....6分

6

(II)?.'/(A)=至sin(A?)=攣，&-(°不＞?-A=：，又且班屆外接圓的半徑為￡,則

36333

a2.上sinA1,

3

1222

法一：.??由余弦定理cosA-—―,得〃-c2-be=1.

2bc

2ADAB-ACc24b2-be=2(?2-b2

1

由〃。2-加』，b2.C2y2bc,得02."2＜：2,即(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)

bc_1

.■-4|AD|2.3,即|而|一；此時，bc1..........................12分

法二：直接畫出三角形的外接圓，由圖可知，當(dāng)AD.3C時，AD最大，此時V18C為等邊三角形，所

以ADM^,所以ADmax

2.2

19.(12分)

如圖，棱長為3的正方體ABCDA好?。］中,￡是棱eg上靠近C的三等分點.

(I)求證：AiC與平面8￡也不垂直；

(II)在線段8E上是否存在一點尸使得平面片4尸平面8DE?若存在，請計算空的值；若不存在,

BE

請說明理由.

解：以。為坐標原點建立如圖的空間直角坐標系，

B(3,3,0),0(0,0,0),￡(0,3,2),5(3,3,3),。?,0,3),A?,0,3,C(0,3,0).

(I)DE=(0,3,2),^=(-3,3,-3),

因為AC.DE=(_3,3,-3).(0,3,2)=3=0,

10

所以AC與平面BDE不垂直.........5分

-BF12

(II)存在點尸，且隹—.

BE17

iSBF..BE,則尸(3-3,.,3,2；.),[0,1].

DB(3,3,0),DE(0,3,2),

設(shè)平面BOE的法向量為〃i-(不，%/1),

In-DB-3巧-3%：0

則反3%.2Z]O'

令％=一2,得〃i=(2,-2,3).

同理,平面BRF的一個法向量為叼=⑵一-3,-2>,-3,3，）.

若平面用2歹平面3DE,貝京五0,即4,6一4,6-9；0J,—,；|0,1].

—.1?―?

所以在線段BE上存在一點F使得平面BXDXF與平面8DE垂直，且8尸二萬8E........12分

19（文科）如圖，棱長為3的正方體ABC。CE-2ECV

（I）若R是線段A3的中點，求證：GR〃平面BDE;------7白

（II）求三棱錐D-38E的體積.小，一看石

解：（I）如圖，分別作出線段網(wǎng)的三等分點H,G,連接GG,GF,L/H7

CE-2EC1

BE//GC?AH//DE

??￡G分別是的中點

FGIIAH

FGHDE

XvFGGCiG

,平面GRG〃平面EBD

??GF-平面GRC

GF〃平面3DE.........................................................................6分

1119

(II)VDBEB--S-DC—x—?33-3一.......................................12分

13322

20.(12分)

11

xy

已知點尸是橢圓E:3+方：1(<7b—0)的右焦點，過原點的直線交橢圓E于A,B兩點,\AB_F面積的最

大值為招\(zhòng)OF\1.

(I)求橢圓E的標準方程；

(II)已知過點尸(4,加的直線/與橢圓E交于M,N兩點，是否存在定點P，使得直線FM,FN的斜率

之和為定值？若存在，求出定點P的坐標及該定值.若不存在，請說明理由.

解：(I)因為“ABF||(9F||JA-ys|-be,當(dāng)且僅當(dāng)A,B是y軸與橢圓的交點時取等號，

所以6c=瓦又。(廣，所以痙=3,a2=4,

V2V2

所以橢圓E的標準方程為不?二1

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