2024屆福建省廈門市高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

廈門市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

2024.1

準(zhǔn)考證號(hào)姓名

(在此卷上答題無效)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.

2.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑.

3.非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改

液.

4.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知z-i=z+l(i為虛數(shù)單位)，貝/z|=()

A.B.---C.1D.V2

22

2.設(shè)集合〃={x—2<x<2},N={yy=2x+1},則〃UN=()

A.[-2,+8)B.(1,2]c.[1,2]D.(l,+oo)

3.已知直線/與曲線N=/-x在原點(diǎn)處相切，則/的傾斜角為()

71C.網(wǎng)571

A.B.—D.——

~6446

4.已知萬，B為單位向量，若15+B,則B與萬一3的夾角為()

71712713萬

A.B.—C.—D.——

234

5.已知/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(X)=X2-2X+1,則/(2)+/(0)=()

A.2B.1C.-8D.-9

6.已知a=x+,，b=ex+Q~X,c=sinx+V3cosx,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為()

X

A.3x,a>cB.3XG[-1,1],b>c

C.3xe[-l,l],a<cD.3xe[-l,l],b<c

7.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)

分成許多類，如圖所示的1,5,12,22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個(gè)

數(shù)為()

151222

A.51B.70C.92D.117

8.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,\/x,yeR,f(x+1)/(j+1)=f(x+j)-f(x-y),若/(0)w0,

則/(2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=2sin12x—?jiǎng)t()

JT

A./(x)的最小正周期為

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)[事刀]成中心對(duì)稱

C./(x)在區(qū)間0,TT1上單調(diào)遞增

D.若/(x)的圖象關(guān)于直線x=x()對(duì)稱，則sin2x()=；

10.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為：20,21,22,23,24,25和a,23,24,25,26,27,若乙組數(shù)據(jù)的平均

數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3,則()

A.甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23B.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同

C.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5D.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同

22

11.設(shè)橢圓C:二+占=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F2,過片的直線與C交于4,8兩點(diǎn)，若

ab

閨閶=2,且△/叫的周長(zhǎng)為8,貝I()

A.a=2B.C的離心率為工

4

C.|45|可以為萬D.NA4工可以為直角

12.如圖所示，在五面體48CDEF中，四邊形48CD是矩形，△4BE和△￡)點(diǎn)均是等邊三角形，且

AB=2G，EF=x(x>0),貝!I()

第12題圖

A.EE〃平面A8C。

B.二面角N-E尸隨著x的減小而減小

C.當(dāng)8C=2時(shí)，五面體4SCDEE的體積K(x)最大值為2色7

D.當(dāng)BC=—時(shí)，存在x使得半徑為巨的球能內(nèi)含于五面體ZBC7)￡F

22

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若sin[a+z]=一1，則cos]a——.

14.《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一

種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種.

15.已知平面。的一個(gè)法向量為方=(1,0,1),且點(diǎn)幺(1,2,3)在。內(nèi)，則點(diǎn)8(1,1,1)到。的距離為

16.設(shè)△48C是面積為1的等腰直角三角形，。是斜邊48的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△4BC所在的平面內(nèi)，記

△PCD與△尸48的面積分別為E，邑，且邑=1.當(dāng)|08|=而，且|尸圖>|尸時(shí)，|尸山=

；記儼山-|尸邳=a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(注：第一空2分，第二空3分)

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)

己知△4SC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2cos8+abcosZ=2c.

(1)求a；

(2)若幺=如，且△幺臺(tái)。的周長(zhǎng)為2+石，求△ZBC的面積.

3

18.（12分）

如圖，在四棱錐￡一28。。中，ADHBC,2AD=BC=2,AB=42,ABLAD,平面

ABCD,過點(diǎn)3作平面a_L8Z).

(1)證明：平面a〃平面￡ZC；

(2)已知點(diǎn)尸為棱EC的中點(diǎn)，若EA=2,求直線幺。與平面必。所成角的正弦值.

19.(12分)

已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",4=2%=4,當(dāng)〃eN*,且“22時(shí)，Sn+l=3Sn-2Sn_x.

(1)證明：｛%｝為等比數(shù)列；

(2)設(shè)"=7——?！洈?shù)列也J的前"項(xiàng)和為加若圖+—J>1，求正整數(shù)機(jī)的最小

值.

20.(12分)

已知甲、乙兩支登山隊(duì)均有〃名隊(duì)員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者a,b,c,d將依次通過摸出小球的顏色來

決定其加入哪支登山隊(duì)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱中放有紅球和黑球各2個(gè)，小球除顏色不同之外，其

余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)

放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重

復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢.新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊(duì)，否則被分至

乙隊(duì).

(1)求a,b,c三人均被分至同一隊(duì)的概率；

⑵記甲，乙兩隊(duì)的最終人數(shù)分別為4,n2,設(shè)隨機(jī)變量X=|〃「4|,求E(X).

21.（12分）

V—1

己知函數(shù)/（x）=alnx------有兩個(gè)極值點(diǎn)X],x2.

x+1

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

⑵證明：/⑺一/⑸〉?.

-x2a-\

22.(12分)

在平面直角坐標(biāo)系x0P中，點(diǎn)尸(1,0),點(diǎn)/為動(dòng)點(diǎn)，以線段4P為直徑的圓與y軸相切，記/的軌跡為

r,直線4?交「于另一點(diǎn)3.

(1)求「的方程；

(2)△048的外接圓交「于點(diǎn)C(不與O,A,2重合)，依次連接。，A,C,2構(gòu)成凸四邊形。4c5,

記其面積為S.

(i)證明：△4BC的重心在定直線上；

(ii)求S的取值范圍.

絕密★啟用前試卷類型：A

福建省部分地市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考2024.1

一、單項(xiàng)選擇題:

題號(hào)12345678

答案BACBDDCA

二、多項(xiàng)選擇題:

三、填空題:

316.，26;(―\^,2).

14.24：15.亞;

5

三、解答題：本大題共6小題，共70分,解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)

己知△/3C的內(nèi)角B,。的對(duì)邊分別為a，h,c,n.a2cosB+abcosA=2c

(1)求夕：

2冗

(2)若4=彳，且△ZBC的周長(zhǎng)為2+逐，求的面積.

解：(1)Va2cosB+abcosA=2c,?*-o(acosB+bcosA)=2c,...................................1分

由止弦定理，(sinyicosB+sinBcos//)=2sinC,.......................................................2分

即asin(Z+7?)=2sinC,....................................................................................................3分

9：A+B+C=it.：.sin(A+B)=sinC,............................................................................4

/.asinC=2sinC?

'/0<C<7t?/.sinC>0,

:.a=2.................................................................................................................................5分

(2)由(1)知4=2,

12._2_2L2.2_A

在△/48CLp,由余弦定理，得cos4=----------------=----------------,.................................6分

2bc2bc

?,?"-+廠—4二_1,整理得：b2+c2+bc=4①，...............................................7分

2bc2

^a+b+c=\[5+2r:?b+c=4^②,....................................................................8分

高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第I頁共10頁

rtl①，②得6:+c'+切=（方+c）‘-6c=4,Be=1,9分

記△/3C的而手1為S,

:.S=-besinA--sin—=—.10分

2234

18.（12分）

如圖，在四棱錐E-//8CD中，ADUBC,2AD=BC=2,AB=6,ABLAD,EAL

平面為BCD,過點(diǎn)8作平面

（1）證明：平面a〃平面E4C；

⑵一知點(diǎn)”為棱￡C的中點(diǎn)，若加=2,求直.線力力才I'：面用。所成角的小弦值.

（第18題圖）

證明：（1）設(shè)，。與8。的交點(diǎn)為。,

'：ADUBC,.W.AB1AD，.'.ABLBC,

VAD=],AH=4i<ABLAD,

UAB=6,BC=2,ABLBC,

2分

：.ZABD=ZBCA,

ZBAC+ZABD=ABAC+ZBCA,

?/Aii±BC,ABAC+ABCA=90°,

N/MC+4/30=90°,

即ZBAO+ZABO=9Q°,：.4106=90°,

AAOIBO,即ZC_L8D,4分

V胡，平面ABCD,8。u平面ABCD,

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁共10貝

EALBD,

VEAC\AC=A,占4/。(=平面也(7,

；.BDJ,平面EAC,

又a_LBD,且Be平面EAC,

平面a//平面￡4C...................................................................................................5分

(2)(方法一)〈4BLAD,￡4_L平面

AAB,AD,NE兩兩垂直.

如圖，以月為原點(diǎn)，AB,AD,花分別為x軸，

y軸，z軸，建立空間直角型標(biāo)系/-型，

則4(0,0,0),。(0,1,0),5(-72,0,0),

￡(0,0,2),C(一點(diǎn),2,0),

二而=(0,1,0),麗=(返，1,0),前=(0,2,0)，麗=(0,0,2),......................8分

；點(diǎn)斤為極比的中點(diǎn)，

.?.而=；(前+函=(冬1,1),...............................................................................9分

設(shè)平面在8D的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

[BD-n=Q,|6Y+y=°，

則v—：二正

Bb-n=0,—.x+y+==Q,

取x=2,得y———,z-，

/.平面FBD的一個(gè)法向5為〃=(2,-2五，JI),........................................................10分

記宜線AD與平面FBD所成角為。,

e-八，F(xiàn),|而?川|-2⑨2"

則sin0=cos<AD,n>=---=----/

\AD\\n\lxj4+8+2~T~

直線AD與平面FBD所成角的正弦值為空.

12分

7

(方法二)如圖，取/C中點(diǎn)V,連接FM,

；尸為棱EC的中點(diǎn)，

：.EW=—=1,JIFM//EA,

2

???E41平面14。。，

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

FM1平面ABCD,6分

；OMu平面ABCD,：.FM1OM,

VABA.AD,ABIBC,

BD="JAB2+AD2=Vs>AC=-JAB2+BC2=>/6?....................7分

易知△。“。?△。/切,

.OADA1

??------——,

OCBC2

。/=空=立，^OA=—=—,

2233

y.AM=—=—,：-OM=AM-OA=—,

226

VFM=I,且EWJ.O.M,=8分

V3。J_平面胡C,OFu平面EAC,

:.BDLOF,

.,.SVWJ=-x5PxOF=-x^x./^=—,...............................9分

22v64

VAD=\,AB=41'u.ABIAD,'-S^BD=-Z........................10分

設(shè)。為/到平面8")的距離，

■IIr

?匕1-BFT)=^F-ABD9??*FN，

即如x/?=更xl,解得力="，.........................................11分

427

記直線AD與平面FBD所成角為。，?Jsin<?=—=-1

AD7

.?.宜戰(zhàn)/。與平面卜BD所成角的正弦值為2立................................12分

7

19.(12分)

已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，%=2q=4,當(dāng)〃eN,，且“N2時(shí)，5?+1=35?-25?,,.

(1)證明：｛%｝為等比數(shù)列；

(2)設(shè)吟：；，記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為7；,若求正整

1%I八/川I)/XZ

數(shù)〃?的最小值.

解：(I)當(dāng)〃eN*,且"N2時(shí),S“+|=3S“一2s“_1，

高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁共10頁

，當(dāng)〃22時(shí)，S,,「S,,=2(S,,/T),

a”.-2a“(〃N2),........................................................3分

V%=24=4,J.q,+i=2a“(〃eN"),目.4=2,

A{a,,}是以首項(xiàng)為2,11公比也為2的等比數(shù)列................................5分

(2)由(1)易知的通項(xiàng)公式為％=2"(〃eN),...............................6分

.,4,2"11八

M--W+IH

?(a?-l)(anil-1)(2"-1)(2-1)-2-12'"-1，

T—(1--)+(-----)H---F(：----------)+(---------：-)=1-----：--->......9分

"3372'"'-12"-V2U_12,,_|-12"^-1

...2/H+1-1>7X2'"-2,KP8x2"-2-l>7x2"''2,...................................10分

2?-2>1,-2>0,m>2,

二加23,即正整數(shù)掰的最小值為3............................................12分

20.(12分)

已知甲、乙兩支登山隊(duì)均有〃名隊(duì)員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者b,c,4將

依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊(duì)，規(guī)則如卜：在一個(gè)不透明的箱中放

行紅球和黑球各2個(gè)，小球除顏色不同之外.兒余完全相同.先III第?名新增登山愛好

者從箱中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的幻:球和黑球各1個(gè)放入箱中；接著

由下一名新增登山愛好者摸出I個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重

曳，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢.新增登山愛好者若摸出紅球，則被分

至甲隊(duì)，否則被分至乙隊(duì).

(I)求b.c三人均被分至同一隊(duì)的概率；

(2)記甲、乙兩隊(duì)的最終人數(shù)分別為〃-%,設(shè)隨機(jī)變苣X=網(wǎng)-%|，求E(X).

解：(I)a,b,。三人均被分至同一隊(duì)當(dāng)FL僅當(dāng)三人同分至甲隊(duì)或同分至乙隊(duì).

設(shè)事件/="。被分至甲隊(duì)"，8="b被分至甲隊(duì)“，C="被分至甲隊(duì)”，

當(dāng)a即將摸球時(shí)?，箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則。被分至甲隊(duì)即。摸出紅球的概率為

當(dāng)a被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則6被分至甲隊(duì)即6推出紅球的概率為

。2

P[B\A)=-^-=-,........................................................2分

2+33

高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁共10頁

當(dāng)。，分均被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，則。被分至甲隊(duì)即c摸出紅球的

21

概率為P(C|/B)=—=：,...........................................3分

2+43

121

???P(AB)=P{A}P[B\J)=-Xy=-,

:.P(ABC)=P(AB)P[C|AB)=lx1=,............4分

同理可知，新增登山愛好者a,b,c均被分至乙隊(duì)的概率也為七，

112

a，6,c.人均被分至同一隊(duì)的概率為\+春嘖......................5分⑵

由題設(shè)可知，X的可能取值為4,2,0,...........................6分

X=4表明新增的4名登山愛好者均被分至甲隊(duì)或乙隊(duì),

2x2x2x2__4

尸(X=4)=2x7分

4x5x6x7W5

X=2表明新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊(duì)，其余1名則被分至另一隊(duì),

設(shè)新增的笫&e=L2,3,4)名登山愛好者被單獨(dú)分至甲隊(duì)或乙隊(duì),

2x3x3x3_92x3x3x3_9

貝ijq=P(k=l)=2xg=P(左=2)=2x

4x5x6x7704x5x6x770

....….2x2x4x34,,?..32x2x2x52

/1=/>(〃=3)=2x---------=——,M=/>(A=4)=2x---------=—

34x5x6x7354x5x6x721

9分

7

：.P(X=2)=Pt+P2+Pi+PA=—；......................................10分

X=o表明新增的4名登山愛好者中各行2名被分至甲隊(duì)和乙隊(duì)，

：.P(X=0)=l-尸(K=2)-P(X=4)=蓋；...........................II分

/.X的數(shù)學(xué)期望￡(X)=4X2+2X2+0X*篇..................12分

IvzKJIJIJ〃J

21.(12分)

Y—1

已知函數(shù)/(X)=<7111JC-----有兩個(gè)極值點(diǎn)后.

X+1

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：----1——-

X)-ci—1

a2ax2+2(a-\)x+a,八、

解：(1)易知了'(x)雙x+1)叱⑵1分

x(x+1)2

若aM0,則f\x)40在(0,+8)上恒成立,

高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)然第6頁共10頁

在（0,+oo）上單調(diào)遞減，不可能布■兩個(gè)極位點(diǎn)，燈題設(shè)矛后,

/.a＞0,.................................................2分

V/（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)X],x2,

...關(guān)于X的方程a^+Zg-Dx+auOS＞。）有兩個(gè)相異的正實(shí)數(shù)根玉，%，.....3分

△=4(4-1尸-4a2=4(1-2a)>0,

a—\

----->0,.........................................4分

a

a>0,

解得0<67<—?

2

二實(shí)數(shù)。的取值'范圍為(0,g).................................................5分

(2)由(1)知，0<a<―,]^x+x^=―—―,玉馬=1,..........................6分

2]a

不妨設(shè)0＜M＜1＜々，

iX[—].—1aln旦-二步）…

zynY--!----"InY4—-—23

化簡(jiǎn)可得f(%m_"9+i2-+i占（$+1）（三+1）

玉一七*一9

aIn工

^227分

X]-x2x[x2+1+X]+%

-Wnxi-ho、)2_a(\nxA-Inx2)

玉一9Xif2+2。一公8分

a

/a)-/(%):a-2/\-2aInx-IriAfo,aInx-\nx.

欲證,只需證不7'〈學(xué)「一】，只需證匚r不丁

玉一馬a-\

玉-i

只需證，〈心電二只需證小五＜且_,

x}+x2x]-x22x22+]

令r=匕（0＜，＜l）,貝i]需訐.Llnt＜3,.......................................

10分

占2t+\

由(1)知>當(dāng)。=5時(shí)，ux~+2(a—l)x+ci=—(x—1)'>0>即f\x)20,

高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁共10頁

??./(幻=上1始無一Y」-1在(0,X0)卜.單調(diào)遞增，...................................11分

2x+1

VO<Z<I,/(r)</(l)=o,即2_卜￡一3<0,即1用￡<3,

2f+12f+1

./(3)-/(電)”2〃

?.------------>------.....................................................12分

X|-x2<7-1

22.(12分)

在平面直角坐標(biāo)系x°y中，點(diǎn)/>化0),點(diǎn)/為動(dòng)點(diǎn)，以線段/〃，為直徑的網(wǎng)與歹軸相切,

記4的軌跡為「，立線/產(chǎn)交「了另一點(diǎn)8.

(1)求r的方程：

(2)△。一43的外接留交1于點(diǎn)C(不與。，A,5重言依次連接。，A,C,2構(gòu)

成凸四邊形。4CB,記其面積為S.

(i)證明：△/3C的重心在定直線匕

(ii)求S的取值范圍.

解：(1)設(shè)則線段4P的中點(diǎn)坐標(biāo)為(空,§),........................1分

?.?以線段/p為直徑的圓與y軸相切，二號(hào)■乎P|=；J(XT)"2，.........2分

化簡(jiǎn)，得F=4x.........................................................3分

(2)⑴如圖，設(shè)4(%,弘),B(x2,y2),C(x3,y3),

(方法一)：。，A,C,8四點(diǎn)共圓，

；.NOAB=ZOCB,........................4分

由對(duì)稱性可知直線04,AB,0C,8c的斜率存在,

不妨設(shè)其分別為匕，卜,k3,自，

.11.0A,AB>0C,8c的傾斜角為5,a2,%,%,

/.Z.0AB=%一，，Z-OCB=a4-as,

VZ.0AB=Z.OCB,AtanNOAB=tanZOCB,

.>一收一44個(gè)

5分

,?\+"2-\+呼4D

k一必_乂_4

/一一1一

再1v2必'

4必

444

二同理可得e=------,勺=一

乂+%%必+必

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第8頁共10頁

代入①并化簡(jiǎn)，得一丁及丁工=,%、次

6分

弘（乂+%）+16%（％+%）+16

即K（%+外）=%。'2+必），即（M-%）（%+%+必）=0,

；）,產(chǎn)為，二凹+%+叢=°，即+%+為）=0，

；△ABC的重心的縱坐標(biāo)為+M+必），

/.△ABC的重心在定直線y=0上..............................................7分

（方法：）?：0,A,C.3四點(diǎn)共網(wǎng)，設(shè)該囤方程為X?+必+小+吵=0,

x1+V1+dx+ev=Q,,一

聯(lián)、'/：〈,‘消去》，得黃+（4d+16）0+16a=0,..............................4分

y=4x,

即MV'+（4d+\6）y+16e）=0,

二耳，乃，必即為關(guān)于，的方程/+（44