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文檔簡介
江西省贛州市2024屆高三下學(xué)期年3月摸底考試數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:姓名:班級:考號:
一、單選題
2
1.已知集合力={乂X-4.X>01,5={X|y=log2(2-x)},則&Z)cB=
A.[0,2)B.(-多2)C.[0,4]D.(-8,4]
已知i為虛數(shù)單位.學(xué)+則w+河=(
2.)
1-1
A.1B.V2C.2D.4
3.在“BC中,AB=5,AC=2,C=120。,貝Usiib4=()
B.叵「5s3^/21
.----D.
14141414
4.在棱長為1的正方體ABCD-4月GA中,石為棱的中點,過鳥且平行于平面A.BE
的平面截正方體所得截面面積為()
A.當(dāng)B-|C.旗
D.276
5.在平行四邊形中,45=3,40=4,方?同=—6,友=3萬面,則涼.標(biāo)=()
A.16B.14C.12D.10
8
6.若一組樣本數(shù)據(jù)為,x?,…,%的方差為2,£(-1)%=-2,%=x,+(-l)'(z=1,2,-,8),則
Z=1
樣本數(shù)據(jù)…,%的方差為()
A.1B.2C.2.5D.2.75
e3
7.已知。=,b=—=ln3,則(
e-1e
A.a<b<cB.b<a<c
C.b<c<aD.c<b<a
8.在邊長為4的正方體/5CD-44GA中,點£是5。的中點,點尸是側(cè)面45A4內(nèi)
的動點(含四條邊),且tan/"0=4tan/£尸8,則尸的軌跡長度為()
7127r_4兀8兀
A.-B.-C.—D.—
9999
二、多選題
9.已知等比數(shù)列{%}的前"項和為,,%=18,邑=26,則()
試卷第1頁,共4頁
A.“〃>0B.S”>0
C.數(shù)列{I。/}為單調(diào)數(shù)列D.數(shù)列{|s』}為單調(diào)數(shù)列
10.已知函數(shù)/(x)=sinx+;sin2x+gsin3x,貝!]()
A.2兀是/(無)的一個周期
B./(x)的圖象關(guān)于原點對稱
C.“X)的圖象過點(&0)
D.〃尤)為R上的單調(diào)函數(shù)
11.曲線。是平面內(nèi)與兩個定點片乙的距離的積等于:的點P的軌跡,給
出下列四個結(jié)論:其中所有正確結(jié)論的序號是()
A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱;
B.△片尸耳周長的最小值為2+逐;
c.點p到了軸距離的最大值為走
2
D.點尸到原點距離的最小值為在.
2
三、填空題
12.求值:sin—+sin—=.
1212----------------
13.卜+了+%「展開式中的常數(shù)項為.
14.已知尸是拋物線上異于頂點的點,石在尸處的切線/分別交x軸、V軸于點
S,T,過戶作/的垂線分別交無軸、了軸于點監(jiān)N,分別記APMS與JNT的面積為幾$2,
C2
則g的最小值為.
四、解答題
15.如圖,在四棱錐尸-/BCD中,底面/BCD為直角梯形,ZABC=ZBCD=90°,PA1
平面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,M為側(cè)棱尸C的中點.
試卷第2頁,共4頁
p,
AB
⑴求點D到平面PBC的距離;
(2)求二面角M-4D-5的正切值.
16.某人準(zhǔn)備應(yīng)聘甲、乙兩家公司的高級工程師,兩家公司應(yīng)聘程序都是:應(yīng)聘者先進(jìn)
行三項專業(yè)技能測試,專業(yè)技能測試通過后進(jìn)入面試.已知該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲公司,每項
專業(yè)技能測試通過的概率均為;,該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司,三項專業(yè)技能測試通過的概率
依次為55,I2,m,其中0<根<1,技能測試是否通過相互獨立.
05
2
(1)若機(jī)=(.求該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率;
(2)已知甲、乙兩家公司的招聘在同一時間進(jìn)行,該應(yīng)聘者只能應(yīng)聘其中一家,應(yīng)聘者以
專業(yè)技能測試通過項目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),若該應(yīng)聘者更有可能通過乙公司的技
能測試,求加的取值范圍.
17.己知橢圓。:=+,=1(4>方>0)過點,乎],橢圓C的右焦點與點。(2,-2)所在
直線的斜率為-2.
⑴求橢圓C的方程;
⑵若過Q的直線/與橢圓C交于48兩點.點尸(3,0).直線PA,PB分別交橢圓C于點
M,N,直線九W的斜率是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由.
18.已知函數(shù)/(x)=ei-lux.
⑴求的單調(diào)區(qū)間,
⑵已如用>0.若函數(shù)g(x)=/(x)-有唯一的零點%.證明,1</<2.
19.設(shè)數(shù)列/:%,電,322).如果對小于畸少VN)的每個正整數(shù)上都有%>%.
則稱n是數(shù)列A的一個“。時刻”.記D(A)是數(shù)列A的所有“D時刻”組成的集合,D(A)
的元素個數(shù)記為card
⑴對數(shù)列A:-l,l,-2,2,-3,3,寫出。(/)的所有元素;
試卷第3頁,共4頁
(2)數(shù)列…,。6滿足{%,&,…,4}={1,2,3,4,5,6},若card(£>,/)=4.求數(shù)列A的種
數(shù).
(3)證明:若數(shù)列A滿足%11(〃=2,3,4,…,N),則card(Z),.
試卷第4頁,共4頁
參考答案:
1.A
【分析】化簡集合即可利用集合的交并補(bǔ)運算求解.
2
【詳解】={x|x-4x<o1=|0<x<4},5=|x|y=log2(2-={x卜<2},
故8⑷cB=[0,2),
故選:A
2.B
【分析】根據(jù)題意,由復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)相等的概念即可求得。再由復(fù)數(shù)的模長公式
即可得到結(jié)果.
【詳解】由三竺=2+〃可得3+山=(2+附(1-1)=(2+6)+0-2),
1—1
則[It;'解得]I'貝加+6i|=H+i卜也.
故選:B
3.B
【分析】由已知利用余弦定理可求5c的值,根據(jù)正弦定理可求sin/的值.
【詳解】??,/B=V7,/C=2,C=120。,
...由余弦定理AS?=3C2+/C2-2BC-/CCOSC可得:SC2+2SC-3=0,
解得:3c=1,或-3(舍去),
二由正弦定理可得:sin^=5C,sin<?=—.
AB14
故選:B
4.A
【分析】根據(jù)給定條件,作出并證明過點耳,且與平面48E平行的正方體的截面,再求出
面積.
【詳解】在棱長為1的正方體在co-4月GA中,取8。中點尸,42中點G,
連結(jié)DF,B{F,DBX,DG,GBX,GF,EF,而£為棱中點,
答案第1頁,共15頁
顯然BFIIDE11AS,BF=DE=AXG,得四邊形瓦明£,四邊形4EDG都是平行四邊形,
則BE//DF,A.E//GD,4瓦BEu平面,OG,。尸(Z平面,
于是DG//平面&BE,。尸//平面又DGCDF=D,Z)G,。尸u平面。G廳,
因此平面DG尸〃平面4BE,又EFHABHA禺,EF=AB=A}BX,即四邊形同耳/右是平行
四邊形,
則BFHA.EHDG,顯然平面DFBfi//平面AtBE,
從而過耳且平行于平面ABE的平面截正方體所得截面為四邊形次為G,
又。尸=做=80=。6=a二=字,即四邊形。郎G為菱形,
而DBt=Jl+1+1=y/3,GF=21;-1=\!1,
所以四邊形DFB、G的面積為S=:DB1.GF。.
故選:A
5.A
【分析】選取屈,友為基向量,將疝,礪用基向量表示后,再利用平面向量數(shù)量積的運
算法則求解數(shù)量積血.話.
【詳解】因為48=3,/。=4,益?而=-6,皮=3面,
DMC
AB
:AD-fC
---?21----?----?2----k2---*11----?---?2---?2
=AD——ADDC--DC=AD--ADAB--AB=1&2-2=16.
答案第2頁,共15頁
故選:A
6.C
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合方差的定義以及性質(zhì)代入計算,即可得到結(jié)果.
18_2
【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)看,吃,…,%的平均數(shù)為,則£卜,一葉=2,
Oi=\
設(shè)樣本數(shù)據(jù)九%,…,%的平均數(shù)為亍,由%=七+(-以。=1,2,…,8),
181
=3+Z*(T)'X,=3+IX(-2)=2.5.
4i=\"
故選:C
7.D
【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=—(x>0),對/(x)求導(dǎo)可得f(x)在(e,+“)上單調(diào)遞減,可得
/(e)>/(3),即6>c,再由作差法比較。,6的大小,即可得出答案.
【詳解】令/■3=/鼠>0)了3;xTnx—nx,
x2x2
當(dāng)X£(o,e)時,/r(x)>0,當(dāng)X£(e,+e)時,/r(x)<0,
所以/(x)在(O,e)上單調(diào)遞增,在(e,+。)上單調(diào)遞減,
因為e<3,所以/(e)>〃3),即色〉華,
e3
所以可得獨£=3>ln3,故6>c,
ee
e-1ee(e-1)eQ-l)e^-1)
所以。>6,
i^a>b>c.
故選:D.
8.D
【分析】根據(jù)121144尸。=41211/瓦有,求出產(chǎn)N=即可利用坐標(biāo)法求解軌跡方程,即可
由弧長公式求解.
答案第3頁,共15頁
在長方體ABCD-4B£Di中,由于.,平面&ABB],CB±平面A,ABBt,
ADRp
在RtZ\E4。和Rt^PBC中,tanZAPD=——,tanNE尸8=—,
APPB
':tanZAPD=4tanZ.EPB,BE=—BC=—AD,PA=—PB,
222
在平面N8耳4,以A為坐標(biāo)原點,以為x,y軸的正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)尸(x,y),則/(0,0),8(4,0),
則由=可得J/+下=卜卜_盯+丁,化簡可得\+野+y2=g,由于
XNO/NO,故尸的軌跡表示圓心在半徑為廠=|的圓在第一象限的弧長,
由于。卜呼],
故,因此軌跡為NQ龍〃=;所對的弧長,故長度為:x|=T,
故選:D
9.BC
「一af_3
【分析】根據(jù)條件得到c或4,再對各個選項逐一分析判斷,即可求出結(jié)果.
1=2[…2
【詳解】設(shè)數(shù)列{%}的首項為外,公比為0,
答案第4頁,共15頁
a〔q—18
由題有<,解得
2
q+aiq+aiq=26
3
a——
對于選項A,當(dāng)/4,〃為奇數(shù)時,an<0,所以選項A錯誤,
%=32
對于選項B,因為邑二%,一""),當(dāng)"=-4,顯然有S“>0,當(dāng)["=:時,
171%=323=2
l-q<0,l-q"<0,所以S">0,故選項B正確,
對于選項C,當(dāng)0=3時,數(shù)列{|。』是首項為2,公比為3的遞增數(shù)列,
當(dāng)《=-:時,數(shù)列{|?!梗鞘醉棡?2,公比為'的遞減數(shù)列,所以選項C正確,
對于選項D,由選項B知S">0,所以|S,J=S,,
。=一>32(1-(-;)”)
當(dāng)"4時,S?=----------4=〒口-GR"],此時S”不具有單調(diào)性,所以選項D錯誤,
4=321+-74
114
故選:BC.
10.ABC
【分析】直接利用三角函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的周期性和對稱性判斷ABC,舉反例排除D.
【詳解】函數(shù)/(x)=sinx+;sin2x+/in3x,
對于A:/(x+27i)=sin(x+
=sinx+-sin2x+-sin3x=/(x),
23
故2兀是函數(shù)的一個周期,故A正確;
對于B:函數(shù)/(-x)=sin(-x)+;sin(-2x)+^sin(-3x)
=-sinx--^-sin2x-^-sin3x=-f(x),
故函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,故B正確;
對于C:當(dāng)工=兀時,/(7i)=sin7i+;sin27i+gsin37i=0,故C正確;
對于D:因為/(%)=sinx+工sin2x+,sin3x,
答案第5頁,共15頁
所以/⑼=sin0+gsin0+^sin0=02
3-
即"。)</口,(撲〃兀),
所以函數(shù)〃x)在R上不是單調(diào)函數(shù),故D錯誤.
故選:ABC.
11.ABD
【分析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程,對于A,由對稱的性質(zhì)判斷,對于B,表示出三角
形的周長后利用基本不等式可求出其最小值,對于C,將曲線C的方程化為「的一元二次
方程,然后由A20可求出x的范圍,從而可求出點P到了軸距離的最大值,對于D,將方程
化為關(guān)于V+1的一元二次方程,由A20可得yeR,再把曲線方程變形可求出結(jié)果.
【詳解】解:設(shè)尸(x,力得:412+/-2了+1爐+必+2尸1)=9,得4#+y2+i)2_i6「=9,
由于方程中x/的次數(shù)均為偶數(shù),故其圖象關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,故A正確;
因為△取岑的周長為2+|尸川+|尸用22+2眄皿西=2+痛,故B正確;
展開方程得:412+1)2+8(/-1)/+4/_9=0關(guān)于/的一元二次方程有解,
A=64(X2-1)--64(X2+1)-+16X9>0,所以16fv9,所以|小1,故C錯誤;
將方程化為關(guān)于x2+1的一元二次方程4(/+1)2+8(/+1)產(chǎn)+4/-16/一9=0有解,
公=64_/-64丁+256/+16、920,恒成立yeR,
因為4(/+/+日=]6/+9,所以.+=+1=;36了2+9)
所以
所以|0可=/2+/2年,所以點P到原點距離的最小值為孝,故D成立.
故選:ABD
【點睛】關(guān)鍵點點睛:此題考查曲線與方程的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出曲線C
的方程,然后逐個分析判斷,考查數(shù)學(xué)計算能力,屬于較難題.
12.逅
2
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及輔助角公式求解即可.
答案第6頁,共15頁
【詳解】sin—+sin—=sin—+cos—=A^sin-^-+—=忠in工——.
121212124J32
故答案為:逅.
2
13.630
【分析】]/+〉+:+;!表示7個]+(+相乘,再結(jié)合組合即可得解.
【詳解】“2+了+!+3表示7個卜+了+:+;|相乘,
則常數(shù)項,應(yīng)為1個f,2個工,2個V,2個,相乘,
%y
所以卜2+>+:+曰展開式中的常數(shù)項為C1C2C2C2=63()
故答案為:630.
14.1
【分析】由拋物線的對稱性,設(shè)P(%蘇)(加>0),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出直線/和直
線的方程,進(jìn)而求出S,T,M,N四點的坐標(biāo),再分別求出兩個三角形的面積,化簡進(jìn)而
可得出答案.
【詳解】由拋物線的對稱性,不妨設(shè)點尸在第一象限,設(shè)尸(外加2)(機(jī)>()),
由歹二%2,得了=2x,當(dāng)工=冽時,yf=2m,
所以切線/的方程為加2=2次(x—加),即y=2加%_%2,
2
令>=0,貝=令x=0,則^=—加2,gpsfp0U(0,-m),
由題意直線W的方程為J—加2即)=_+]+加2,
2m2m2
令>=0,貝>Jx=2冽加,令x=0,貝!]>=;+加2BPM(2m3+冽,0),N[o,;+加2
c1(212)1(^21)
=—\mH-----\-m\m=—7mH——\m,
22l22{2
2—zm\mI--------
故工='>----乂-=m+—>2jm--=1,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=3,即機(jī)=2時取等號,
S.1,2113物N4n4m2
1-2m+—\m
212)
答案第7頁,共15頁
C2
所以U的最小值為1.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出直線/和直線的方程,是解決本題
的關(guān)鍵.
15.⑴速
2
⑵平.
【分析】(1)根據(jù)嚏棱版—P5C=唯棱錐尸—5CD利用等體積法計算可得;
(2)設(shè)。為/C的中點,過。作交/。于連接。M、HM,即可證明(W_L平
面48CD,從而得到4D_L平面MOH,則/MHO為二面角M-40-8的一個平面角,再求
出OH、0M,即可得解.
【詳解】(1)由P/工平面N8C。,可得Q棱黜常0=:$.88¥/,
令點。到平面PBC的距離為d,則嚏棱曲“sc=1S-Bc-d,
由G棱錐O-PBC=G棱錐P-BC0,可得3S4PBC,d=]S&BCD,P4,
.S?PA.
貝!|d=箕2—,
、△PBC
由ZABC=90。,8C=4,C。=3,可得S^BCD=;BC-CD=6,
由P/_L平面/BCD,尸/u平面尸N8,所以平面尸/8_L平面/BCD,
又NN3C=90°,平面尸48c平面48co=48,3Cu平面48cZ),
所以平面P4B,又尸Bu平面P43,
所以BC_LP3,又PB=44。+4?=4后,則1PBC=g尸"Bens也,
所以"=與=52,即點。到平面尸3c的距離為逑
8V222
答案第8頁,共15頁
(2)設(shè)。為/C的中點,過。作。H_L4D交NO于H,連接。M、HM,
,?又是尸C的中點,.?.(W〃尸區(qū),又尸/,平面48cD,所以(W,平面48CD,
又4Du平面N3C。,OMLAD,
又OHCOM=O,?!??!?lt;=平面乂011,
40_L平面MOH,HMu平面M0H,AD1MH,
ZMHO為二面角M-AD-B的一個平面角,
又23c=;xgc0BC=3,
且4D=j42+(4-3)2=如,所以。燈=奈,
所以tan/MHO==—,
0H3
即二面角的正切值為姮.
3
(2)|<m<l.
【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件的乘法公式即可求解,
(2)根據(jù)二項分布的期望公式求解去甲公司的期望,根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式可
求解去乙公式通過項目的概率,即可求解期望,進(jìn)而比較兩者的期望即可求解.
【詳解】(1)記“該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項”為事件A
由題設(shè)P(/)=*xC;xML+Lx亡x
6336
(2)分別記“該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲、乙公司三項專業(yè)技能測試中通過的項目數(shù)為
由題設(shè)知:4~43,3,所以E(/=3xg=2
〃的所有可能取值為0」,2,3
答案第9頁,共15頁
P(r)=0)=—x—x(l-m)=-~~—
v763v718
7-6m
尸何=1)=9xk(i)+L2x(i)+\_x小
63v763v7618
10-3m
18
故"的分布列為
70123
1-m7-6m10-3m5m
P
181818~9~
n.L/、八1-m?7-6m八10-3m「5m2m+3
從而£(77)=Ox----+lx------+2x-------i-3x——
v718181892
2m+3.
£(〃)>£?,得,----->2,,1
由2解得;<加<1,
0<m<1,2
0A<m<1,
故”?的范圍為:-<m<1
2
17.嗚+卜1;
(2)是定值,定值為2.
【分析】(1)根據(jù)題意,列出關(guān)于。/,c的方程,即可得到結(jié)果;
(2)根據(jù)題意,設(shè)/的方程為x="?5+2)+2,聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理代入
計算,表示出&JV,即可得到結(jié)果.
【詳解】(1)由題意可設(shè)橢圓的半焦距為。,且橢圓C的右焦點為(。,0),
141
~r—r-L
a23H
由題意得:[a2=b2+c\
-2-0c
-----=—2
l2-c
解得c=l,a2=3,/-2,
所以c的方程為:—+^=1.
32
答案第10頁,共15頁
設(shè)/的方程為x=m(y+2)+2,設(shè)/(再,必),8(如必),人(%3,%)山(》4,居),則直線尸/的方程
為x-1y+3,
%
$.3
X=y+3,
由2M,可得[2(為一3)2-卜3M2]j?+i2(西一3)辦了+12必2=0,
土+匕=1,'
132
22
結(jié)合?+^=1,可得(2-為)/+(玉-3)必了+弁=0,
2
可得必?%—-,解得力
2—X12—a
x—2x-—■^—+3=—^—+2,
代入x=1y+2,解得七二1
必必2-$Xj—2
同理可得”=「2,匕=+2
2-X2x2-2
%必
痂1.-乂一%_2f22f
懼%MN——11
%-%3L_
X2-2X]—2
X]-x2
y2[2-(my1+2m+2]一%[2-(my2+2m+2
2俏(%一%)=之
"心-%)
故直線九W的斜率是定值,且定值為2
【點睛】關(guān)鍵點睛:本題主要考查了橢圓與直線相交問題,難度較大,解答本題的關(guān)鍵在于
聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理計算.
18.⑴減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8);
答案第11頁,共15頁
(2)證明見解析.
【分析】(1)求出/'(x),求得了"(尤)>0在x>0上恒成立,可得/■'(X)為增函數(shù),由/'⑴=0,
結(jié)合定義域可得單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)由已知可得g(x),求導(dǎo),由(1)可知g'(x)在(0,+。)單調(diào)遞增,
且g'⑴=一加<0,及g'(l+m)>0,則存在唯一的te(1,1+⑼使得g'?)=0,
分析g(x)單調(diào)性,得到gGLn=g"),再通過函數(shù)g(x)有唯一的零點%,即
化簡可得(2-f)e'1—In?+1—=0,構(gòu)造函數(shù)=-Inf+1—(t>V),
分析單調(diào)性,再分別判斷"(1)4(2)的正負(fù),即可求解.
【詳解】(1)V/(x)=e^1-lux,.'.f'(x)=e'-'
二/"(#=產(chǎn)+:>0
.,.當(dāng)x>0時,/'(x)=ei-:為增函數(shù)
又???/'(i)=o
.?.當(dāng)X€(0,1)時,T(X)<0,/(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)xe(l,+8)時,/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.
.?■/W的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8)
(2);g(x)=/(%)-(x-1)=ex~l-\nx-mx+m(m>0)
g'(x)=ex-1---m(x>Q,m>0)
由⑴可知g'(x)在(0,+s)單調(diào)遞增,且g'(l)=-洸<0,
又g'(l+加)=e"-------m>em-(m+1)>0
1+m
???存在唯一的/€(1,1+切)=(1,+8)使得g'(t)=0
.?.當(dāng)xe(0,/)時g'。)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)Xe&+8)時g'(f)>o,g(x)單調(diào)遞增;
11
g(x)1mli=g?)=e'-Int-mt+m
答案第12頁,共15頁
若方程g(x)=e"TTnx-加x+冽=0有唯一的實數(shù)不,則%=%>1
g'?)=e/-1---m=0,
g=e'T-]nt-mt+m=0
消去加可得(2-7)e'T-lm+l->=0(/>l)
4/?(f)=(2-f)e,-1-ln/+l-y(?>1),
則〃a)=(lT)e"—+g=(1-/)卜1+
〃G)在/e(1,+<?)上為減函數(shù)
且/?(l)=l>0,〃(2)=g_ln2<0
.,.當(dāng)〃(。=0時te(l,2),即1cx。<2
19.⑴。(,)={3,5};
(2)15種;
(3)證
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