江西省贛州市2024屆高三年級下冊年3月摸底考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江西省贛州市2024屆高三下學(xué)期年3月摸底考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

2

1.已知集合力={乂X-4.X>01,5={X|y=log2(2-x)},則&Z)cB=

A.[0,2)B.(-多2)C.[0,4]D.(-8,4]

已知i為虛數(shù)單位.學(xué)+則w+河=（

2.)

1-1

A.1B.V2C.2D.4

3.在“BC中,AB=5,AC=2,C=120。,貝Usiib4=()

B.叵「5s3^/21

.----D.

14141414

4.在棱長為1的正方體ABCD-4月GA中，石為棱的中點，過鳥且平行于平面A.BE

的平面截正方體所得截面面積為（）

A.當(dāng)B-|C.旗

D.276

5.在平行四邊形中，45=3,40=4,方?同=—6,友=3萬面，則涼.標(biāo)=（）

A.16B.14C.12D.10

8

6.若一組樣本數(shù)據(jù)為,x?,…，%的方差為2,￡(-1)%=-2,%=x,+(-l)'(z=1,2,-,8),則

Z=1

樣本數(shù)據(jù)…，%的方差為()

A.1B.2C.2.5D.2.75

e3

7.已知。=,b=—=ln3,則(

e-1e

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

8.在邊長為4的正方體/5CD-44GA中，點￡是5。的中點，點尸是側(cè)面45A4內(nèi)

的動點（含四條邊），且tan/"0=4tan/￡尸8,則尸的軌跡長度為（）

7127r_4兀8兀

A.-B.-C.—D.—

9999

二、多選題

9.已知等比數(shù)列｛%｝的前"項和為，,%=18,邑=26,則（）

試卷第1頁，共4頁

A.“〃>0B.S”>0

C.數(shù)列｛I。/｝為單調(diào)數(shù)列D.數(shù)列｛|s』｝為單調(diào)數(shù)列

10.已知函數(shù)/(x)=sinx+；sin2x+gsin3x,貝!]()

A.2兀是/(無)的一個周期

B./(x)的圖象關(guān)于原點對稱

C.“X)的圖象過點(&0)

D.〃尤)為R上的單調(diào)函數(shù)

11.曲線。是平面內(nèi)與兩個定點片乙的距離的積等于:的點P的軌跡，給

出下列四個結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；

B.△片尸耳周長的最小值為2+逐；

c.點p到了軸距離的最大值為走

2

D.點尸到原點距離的最小值為在.

2

三、填空題

12.求值：sin—+sin—=.

1212----------------

13.卜+了+%「展開式中的常數(shù)項為.

14.已知尸是拋物線上異于頂點的點，石在尸處的切線/分別交x軸、V軸于點

S,T,過戶作/的垂線分別交無軸、了軸于點監(jiān)N,分別記APMS與JNT的面積為幾$2,

C2

則g的最小值為.

四、解答題

15.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面/BCD為直角梯形，ZABC=ZBCD=90°,PA1

平面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,M為側(cè)棱尸C的中點.

試卷第2頁，共4頁

p,

AB

⑴求點D到平面PBC的距離；

(2)求二面角M-4D-5的正切值.

16.某人準(zhǔn)備應(yīng)聘甲、乙兩家公司的高級工程師，兩家公司應(yīng)聘程序都是：應(yīng)聘者先進(jìn)

行三項專業(yè)技能測試，專業(yè)技能測試通過后進(jìn)入面試.已知該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲公司，每項

專業(yè)技能測試通過的概率均為;，該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司，三項專業(yè)技能測試通過的概率

依次為55，I2，m,其中0＜根＜1,技能測試是否通過相互獨立.

05

2

(1)若機(jī)=(.求該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率；

(2)已知甲、乙兩家公司的招聘在同一時間進(jìn)行，該應(yīng)聘者只能應(yīng)聘其中一家，應(yīng)聘者以

專業(yè)技能測試通過項目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，若該應(yīng)聘者更有可能通過乙公司的技

能測試，求加的取值范圍.

17.己知橢圓。：=+，=1(4＞方＞0)過點,乎］,橢圓C的右焦點與點。(2,-2)所在

直線的斜率為-2.

⑴求橢圓C的方程；

⑵若過Q的直線/與橢圓C交于48兩點.點尸(3,0).直線PA,PB分別交橢圓C于點

M,N,直線九W的斜率是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

18.已知函數(shù)/(x)=ei-lux.

⑴求的單調(diào)區(qū)間，

⑵已如用＞0.若函數(shù)g(x)=/(x)-有唯一的零點%.證明，1＜/＜2.

19.設(shè)數(shù)列/：%,電，322).如果對小于畸少VN)的每個正整數(shù)上都有%＞%.

則稱n是數(shù)列A的一個“。時刻”.記D(A)是數(shù)列A的所有“D時刻”組成的集合，D(A)

的元素個數(shù)記為card

⑴對數(shù)列A:-l,l,-2,2,-3,3,寫出。(/)的所有元素；

試卷第3頁，共4頁

(2)數(shù)列…,。6滿足{%，&，…，4}={1，2,3,4,5,6},若card(￡>,/)=4.求數(shù)列A的種

數(shù).

(3)證明：若數(shù)列A滿足%11(〃=2,3,4,…,N),則card(Z),.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】化簡集合即可利用集合的交并補(bǔ)運算求解.

2

【詳解】={x|x-4x<o1=|0<x<4},5=|x|y=log2（2-={x卜<2},

故8⑷cB=［0,2）,

故選：A

2.B

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)相等的概念即可求得。再由復(fù)數(shù)的模長公式

即可得到結(jié)果.

【詳解】由三竺=2+〃可得3+山=（2+附（1-1）=（2+6）+0-2）,

1—1

則［It；'解得］I'貝加+6i|=H+i卜也.

故選：B

3.B

【分析】由已知利用余弦定理可求5c的值，根據(jù)正弦定理可求sin/的值.

【詳解】??,/B=V7,/C=2,C=120。，

...由余弦定理AS?=3C2+/C2-2BC-/CCOSC可得：SC2+2SC-3=0,

解得：3c=1,或-3（舍去），

二由正弦定理可得：sin^=5C，sin<?=—.

AB14

故選:B

4.A

【分析】根據(jù)給定條件，作出并證明過點耳，且與平面48E平行的正方體的截面，再求出

面積.

【詳解】在棱長為1的正方體在co-4月GA中，取8。中點尸，42中點G,

連結(jié)DF,B{F,DBX,DG,GBX,GF,EF,而￡為棱中點，

答案第1頁，共15頁

顯然BFIIDE11AS，BF=DE=AXG,得四邊形瓦明￡,四邊形4EDG都是平行四邊形，

則BE//DF,A.E//GD,4瓦BEu平面,OG,。尸（Z平面,

于是DG//平面&BE,。尸//平面又DGCDF=D,Z）G,。尸u平面。G廳，

因此平面DG尸〃平面4BE,又EFHABHA禺,EF=AB=A}BX,即四邊形同耳/右是平行

四邊形，

則BFHA.EHDG,顯然平面DFBfi//平面AtBE,

從而過耳且平行于平面ABE的平面截正方體所得截面為四邊形次為G,

又。尸=做=80=。6=a二=字，即四邊形。郎G為菱形，

而DBt=Jl+1+1=y/3,GF=21；-1=\!1,

所以四邊形DFB、G的面積為S=：DB1.GF。.

故選：A

5.A

【分析】選取屈，友為基向量，將疝,礪用基向量表示后，再利用平面向量數(shù)量積的運

算法則求解數(shù)量積血.話.

【詳解】因為48=3,/。=4,益?而=-6,皮=3面，

DMC

AB

：AD-fC

---?21----?----?2----k2---*11----?---?2---?2

=AD——ADDC--DC=AD--ADAB--AB=1&2-2=16.

答案第2頁，共15頁

故選：A

6.C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合方差的定義以及性質(zhì)代入計算，即可得到結(jié)果.

18_2

【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)看,吃,…，%的平均數(shù)為，則￡卜,一葉=2,

Oi=\

設(shè)樣本數(shù)據(jù)九%，…，%的平均數(shù)為亍，由%=七+(-以。=1,2,…,8),

181

=3+Z*(T)'X,=3+IX(-2)=2.5.

4i=\"

故選：C

7.D

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=—(x>0),對/(x)求導(dǎo)可得f(x)在(e,+“)上單調(diào)遞減，可得

/(e)>/(3),即6>c,再由作差法比較。,6的大小，即可得出答案.

【詳解】令/■3=/鼠>0)了3；xTnx—nx,

x2x2

當(dāng)X￡(o,e)時，/r(x)>0,當(dāng)X￡(e,+e)時，/r(x)<0,

所以/(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+。)上單調(diào)遞減，

因為e<3,所以/(e)>〃3),即色〉華，

e3

所以可得獨￡=3>ln3,故6>c,

ee

e-1ee(e-1)eQ-l)e^-1)

所以。>6,

i^a>b>c.

故選：D.

8.D

【分析】根據(jù)121144尸。=41211/瓦有，求出產(chǎn)N=即可利用坐標(biāo)法求解軌跡方程，即可

由弧長公式求解.

答案第3頁，共15頁

在長方體ABCD-4B￡Di中，由于.，平面&ABB],CB±平面A,ABBt,

ADRp

在RtZ\E4。和Rt^PBC中，tanZAPD=——,tanNE尸8=—,

APPB

'：tanZAPD=4tanZ.EPB,BE=—BC=—AD,PA=—PB,

222

在平面N8耳4，以A為坐標(biāo)原點，以為x,y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)尸(x,y)，則/(0,0),8(4,0),

則由=可得J/+下=卜卜_盯+丁,化簡可得\+野+y2=g，由于

XNO/NO,故尸的軌跡表示圓心在半徑為廠=|的圓在第一象限的弧長，

由于。卜呼],

故，因此軌跡為NQ龍〃=；所對的弧長，故長度為：x|=T，

故選：D

9.BC

「一af_3

【分析】根據(jù)條件得到c或4,再對各個選項逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.

1=2[…2

【詳解】設(shè)數(shù)列｛%｝的首項為外,公比為0,

答案第4頁，共15頁

a〔q—18

由題有<,解得

2

q+aiq+aiq=26

3

a——

對于選項A,當(dāng)/4,〃為奇數(shù)時，an<0,所以選項A錯誤,

%=32

對于選項B,因為邑二%,一""),當(dāng)"=-4,顯然有S“>0,當(dāng)["=:時,

171%=323=2

l-q<0,l-q"<0,所以S">0,故選項B正確,

對于選項C,當(dāng)0=3時，數(shù)列｛|。』是首項為2,公比為3的遞增數(shù)列，

當(dāng)《=-：時，數(shù)列｛|?！梗鞘醉棡?2,公比為'的遞減數(shù)列，所以選項C正確,

對于選項D,由選項B知S">0,所以|S,J=S,，

。=一>32(1-(-；)”)

當(dāng)"4時，S?=----------4=〒口-GR"],此時S”不具有單調(diào)性，所以選項D錯誤,

4=321+-74

114

故選：BC.

10.ABC

【分析】直接利用三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性和對稱性判斷ABC,舉反例排除D.

【詳解】函數(shù)/(x)=sinx+；sin2x+/in3x,

對于A：/(x+27i)=sin(x+

=sinx+-sin2x+-sin3x=/(x),

23

故2兀是函數(shù)的一個周期，故A正確;

對于B：函數(shù)/(-x)=sin(-x)+；sin(-2x)+^sin(-3x)

=-sinx--^-sin2x-^-sin3x=-f(x),

故函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，故B正確；

對于C：當(dāng)工=兀時，/(7i)=sin7i+；sin27i+gsin37i=0,故C正確；

對于D：因為/(%)=sinx+工sin2x+，sin3x,

答案第5頁，共15頁

所以/⑼=sin0+gsin0+^sin0=02

3-

即"。）＜/口，（撲〃兀），

所以函數(shù)〃x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，故D錯誤.

故選：ABC.

11.ABD

【分析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，對于A,由對稱的性質(zhì)判斷，對于B,表示出三角

形的周長后利用基本不等式可求出其最小值，對于C,將曲線C的方程化為「的一元二次

方程，然后由A20可求出x的范圍，從而可求出點P到了軸距離的最大值，對于D,將方程

化為關(guān)于V+1的一元二次方程，由A20可得yeR,再把曲線方程變形可求出結(jié)果.

【詳解】解:設(shè)尸（x,力得:412+/-2了+1爐+必+2尸1）=9,得4#+y2+i）2_i6「=9,

由于方程中x/的次數(shù)均為偶數(shù)，故其圖象關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故A正確；

因為△取岑的周長為2+|尸川+|尸用22+2眄皿西=2+痛，故B正確；

展開方程得：412+1）2+8（/-1）/+4/_9=0關(guān)于/的一元二次方程有解，

A=64（X2-1）--64（X2+1）-+16X9>0,所以16fv9,所以|小1,故C錯誤；

將方程化為關(guān)于x2+1的一元二次方程4（/+1）2+8（/+1）產(chǎn)+4/-16/一9=0有解，

公=64_/-64丁+256/+16、920,恒成立yeR,

因為4（/+/+日=]6/+9,所以.+=+1=；36了2+9）

所以

所以|0可=/2+/2年,所以點P到原點距離的最小值為孝，故D成立.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查曲線與方程的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出曲線C

的方程，然后逐個分析判斷，考查數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.

12.逅

2

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及輔助角公式求解即可.

答案第6頁，共15頁

【詳解】sin—+sin—=sin—+cos—=A^sin-^-+—=忠in工——.

121212124J32

故答案為：逅.

2

13.630

【分析】]/+〉+：+；!表示7個]+（+相乘，再結(jié)合組合即可得解.

【詳解】“2+了+!+3表示7個卜+了+：+；|相乘,

則常數(shù)項，應(yīng)為1個f,2個工，2個V,2個,相乘，

%y

所以卜2+＞+：+曰展開式中的常數(shù)項為C1C2C2C2=63（）

故答案為：630.

14.1

【分析】由拋物線的對稱性，設(shè)P（%蘇）（加＞0）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出直線/和直

線的方程，進(jìn)而求出S,T,M,N四點的坐標(biāo)，再分別求出兩個三角形的面積，化簡進(jìn)而

可得出答案.

【詳解】由拋物線的對稱性，不妨設(shè)點尸在第一象限，設(shè)尸（外加2）（機(jī)＞（））,

由歹二%2,得了=2x,當(dāng)工=冽時，yf=2m,

所以切線/的方程為加2=2次（x—加），即y=2加％_%2,

2

令>=0,貝=令x=0,則^=—加2,gpsfp0U(0,-m),

由題意直線W的方程為J—加2即）=_+]+加2,

2m2m2

令>=0,貝>Jx=2冽加，令x=0,貝!]>=；+加2BPM(2m3+冽，0）,N[o,；+加2

c1(212)1(^21)

=—\mH-----\-m\m=—7mH——\m,

22l22{2

2—zm\mI--------

故工='>----乂-=m+—>2jm--=1,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=3，即機(jī)=2時取等號,

S.1，2113物N4n4m2

1-2m+—\m

212)

答案第7頁，共15頁

C2

所以U的最小值為1.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出直線/和直線的方程，是解決本題

的關(guān)鍵.

15.⑴速

2

⑵平.

【分析】（1）根據(jù)嚏棱版—P5C=唯棱錐尸—5CD利用等體積法計算可得；

（2）設(shè)。為/C的中點，過。作交/。于連接。M、HM,即可證明（W_L平

面48CD,從而得到4D_L平面MOH,則/MHO為二面角M-40-8的一個平面角，再求

出OH、0M,即可得解.

【詳解】（1）由P/工平面N8C。，可得Q棱黜常0=:$.88￥/，

令點。到平面PBC的距離為d,則嚏棱曲“sc=1S-Bc-d,

由G棱錐O-PBC=G棱錐P-BC0，可得3S4PBC,d=]S&BCD,P4，

.S?PA.

貝！|d=箕2—，

、△PBC

由ZABC=90。,8C=4,C。=3,可得S^BCD=；BC-CD=6,

由P/_L平面/BCD,尸/u平面尸N8,所以平面尸/8_L平面/BCD,

又NN3C=90°,平面尸48c平面48co=48,3Cu平面48cZ）,

所以平面P4B,又尸Bu平面P43,

所以BC_LP3,又PB=44。+4?=4后，則1PBC=g尸"Bens也，

所以"=與=52,即點。到平面尸3c的距離為逑

8V222

答案第8頁，共15頁

(2)設(shè)。為/C的中點，過。作。H_L4D交NO于H,連接。M、HM,

,?又是尸C的中點，.?.(W〃尸區(qū),又尸/，平面48cD,所以(W,平面48CD,

又4Du平面N3C。，OMLAD,

又OHCOM=O,?！??！?lt;=平面乂011,

40_L平面MOH,HMu平面M0H,AD1MH,

ZMHO為二面角M-AD-B的一個平面角，

又23c=；xgc0BC=3,

且4D=j42+(4-3)2=如，所以。燈=奈，

所以tan/MHO==—,

0H3

即二面角的正切值為姮.

3

(2)|<m<l.

【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件的乘法公式即可求解，

(2)根據(jù)二項分布的期望公式求解去甲公司的期望，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式可

求解去乙公式通過項目的概率，即可求解期望，進(jìn)而比較兩者的期望即可求解.

【詳解】(1)記“該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項”為事件A

由題設(shè)P(/)=*xC；xML+Lx亡x

6336

(2)分別記“該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲、乙公司三項專業(yè)技能測試中通過的項目數(shù)為

由題設(shè)知：4~43,3,所以E(/=3xg=2

〃的所有可能取值為0」,2,3

答案第9頁，共15頁

P(r)=0)=—x—x(l-m)=-~~—

v763v718

7-6m

尸何=1)=9xk(i)+L2x(i)+\_x小

63v763v7618

10-3m

18

故"的分布列為

70123

1-m7-6m10-3m5m

P

181818~9~

n.L/、八1-m?7-6m八10-3m「5m2m+3

從而￡(77)=Ox----+lx------+2x-------i-3x——

v718181892

2m+3.

￡(〃)>￡?，得,----->2,,1

由2解得；<加<1,

0<m<1,2

0A<m<1,

故”?的范圍為：-<m<1

2

17.嗚+卜1；

（2）是定值，定值為2.

【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于。/,c的方程，即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，設(shè)/的方程為x="?5+2）+2,聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入

計算，表示出&JV，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）由題意可設(shè)橢圓的半焦距為。，且橢圓C的右焦點為（。,0）,

141

~r—r-L

a23H

由題意得：［a2=b2+c\

-2-0c

-----=—2

l2-c

解得c=l,a2=3,/-2,

所以c的方程為：—+^=1.

32

答案第10頁，共15頁

設(shè)/的方程為x=m（y+2）+2,設(shè)/（再,必）,8（如必）,人（%3，%）山（》4，居），則直線尸/的方程

為x-1y+3,

%

$.3

X=y+3,

由2M,可得[2（為一3）2-卜3M2]j?+i2（西一3）辦了+12必2=0,

土+匕=1,'

132

22

結(jié)合?+^=1,可得（2-為）/+（玉-3）必了+弁=0,

2

可得必?%—-,解得力

2—X12—a

x—2x-—■^—+3=—^—+2,

代入x=1y+2,解得七二1

必必2-$Xj—2

同理可得”=「2，匕=+2

2-X2x2-2

%必

痂1.-乂一%_2f22f

懼％MN——11

%-%3L_

X2-2X]—2

X]-x2

y2[2-（my1+2m+2]一%[2-（my2+2m+2

2俏（%一%）=之

"心-%）

故直線九W的斜率是定值，且定值為2

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了橢圓與直線相交問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于

聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理計算.

18.⑴減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為（1,+8）；

答案第11頁，共15頁

(2)證明見解析.

【分析】(1)求出/'(x),求得了"(尤)>0在x>0上恒成立，可得/■'(X)為增函數(shù)，由/'⑴=0,

結(jié)合定義域可得單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)由已知可得g(x),求導(dǎo)，由(1)可知g'(x)在(0,+。)單調(diào)遞增，

且g'⑴=一加<0,及g'(l+m)>0，則存在唯一的te(1,1+⑼使得g'?)=0,

分析g(x)單調(diào)性，得到gGLn=g")，再通過函數(shù)g(x)有唯一的零點%,即

化簡可得(2-f)e'1—In?+1—=0,構(gòu)造函數(shù)=-Inf+1—(t>V),

分析單調(diào)性，再分別判斷"(1)4(2)的正負(fù)，即可求解.

【詳解】(1)V/(x)=e^1-lux,.'.f'(x)=e'-'

二/"(#=產(chǎn)+：>0

.,.當(dāng)x>0時，/'(x)=ei-：為增函數(shù)

又???/'(i)=o

.?.當(dāng)X€(0,1)時，T(X)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+8)時，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

.?■/W的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8)

(2)；g(x)=/(%)-(x-1)=ex~l-\nx-mx+m(m>0)

g'(x)=ex-1---m(x>Q,m>0)

由⑴可知g'(x)在(0,+s)單調(diào)遞增，且g'(l)=-洸<0,

又g'(l+加)=e"-------m>em-(m+1)>0

1+m

???存在唯一的/€(1,1+切)=(1,+8)使得g'(t)=0

.?.當(dāng)xe(0,/)時g'。)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)Xe&+8)時g'(f)>o,g(x)單調(diào)遞增；

11

g(x)1mli=g?)=e'-Int-mt+m

答案第12頁，共15頁

若方程g(x)=e"TTnx-加x+冽=0有唯一的實數(shù)不，則%=%>1

g'?)=e/-1---m=0,

g=e'T-]nt-mt+m=0

消去加可得(2-7)e'T-lm+l->=0(/>l)

4/?(f)=(2-f)e,-1-ln/+l-y(?>1),

則〃a)=(lT)e"—+g=(1-/)卜1+

〃G)在/e(1,+<?)上為減函數(shù)

且/?(l)=l>0,〃(2)=g_ln2<0

.,.當(dāng)〃(。=0時te(l,2),即1cx。<2

19.⑴。(，)={3,5}；

(2)15種;

(3)證