江蘇省南通市2024屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題含答案

南通市2024屆高三第二次調(diào)研測試

數(shù)學(xué)

注意事項:

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上指定

位置上，在其他位置作答一律無效。

3.本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知單位向量,，02的夾角為120。，則(2,-02>02=

A.-2B.0C.1D.2

2.在正方體ABCD-4耳4。1中，下列關(guān)系正確的是

A.AD1B{CB.AXD1BDC.ACX1A.CD.ACX1CDX

3.一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：10,21,25,35,36,40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,

則刪除的數(shù)為

A.25B.30C.35D.40

2工+2丁居3,

4.已知函數(shù)/(x)=%貝U/(log,9)=

8082

C.—D.

9~9

5.設(shè)x>0,>>0,—I-2y=2,則xd—的最小值為

xy

A.—B.2^/2C.—FD.3

22

6.若函數(shù)/(x)=ew+2x有大于零的極值點，則實數(shù)0的取值范圍為

c1c1

A.a>—2B.a>—C.。<—2D.a<—

22

7.設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為足C的準(zhǔn)線與x軸交于點，，過/的直線與C在第一象限的交點為M,

N,S.\FM\=3\FN\,則直線肱V的斜率為

8.若cosa,cos(a—),cos(aH—)成等比數(shù)列，則sin2a=

V311

A.B.----C.-D.——

4634

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知雙曲線C:土—4=1(6〉0)的右焦點為凡直線/:x+力=0是C的一條漸近線，尸是/上一點，

4b

則

A.C的虛軸長為2亞B.C的離心率為

C.甲目的最小值為2D.直線PF的斜率不等于-3

10.已知尸(幺)=；,尸(山)=；.若隨機事件/,8相互獨立，貝I

11-4-4

A.P(S)=-B.P(AB)=—C.P(A\S)=~D.P(A+B)=-

11.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,/(%)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，g(0)=g(2)=l,

g(x+y)+g(x-y)=g(x)/(j),貝I

A./(x)為偶函數(shù)B.g(x)為偶函數(shù)C.g(-l-x)=-g(-l+x)D.g(l-x)=g(l+x)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)加eR,i為虛數(shù)單位.若集合Z={1,2加+(加—l)i},5={-2i,l,2},且幺口5,則加=

13.在A42c中，AB=5,AC=1,〃為5c的中點，ZMAC=60°,則.

14.若正四棱錐的棱長均為2,則以所有棱的中點為頂點的十面體的體積為,該十面體的外接球的

表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費者對新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機調(diào)查了1000名消費

者，得到下表：

滿意不滿意

男44060

女46040

(1)能否有95%的把握認(rèn)為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)；

(2)若用頻率估計概率，從該地區(qū)消費者中隨機選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)

期望.

2

“2n(ad-be),,

附：K=-------------------------,n=ci+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PG》k)0.10.050.01

k2.7063.8416.635

16.(15分)設(shè)函數(shù)/(x)=sin(ox+G)O>0,0<9<K)?已知/G)的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為

且/(」)=」.

242

(1)若"x)在區(qū)間(0,m)上有最大值無最小值，求實數(shù)加的取值范圍；

7T

(2)設(shè)/為曲線歹=/(幻在X=-一處的切線，證明：/與曲線歹=/(x)有唯一的公共點.

17.(15分)如圖，邊長為4的兩個正三角形4BC,BCD所在平面互相垂直，E,尸分別為2C,CD的中

點，點G在棱40上，AG=2GD,直線與平面EFG相交于點〃

(1)從下面兩個結(jié)論中選一個證明：①BD"GH；②直線GF,NC相交于一點;

注：若兩個問題均作答，則按第一個計分.

(2)求直線2。與平面斯G的距離.

18.(17分)已知數(shù)列｛%｝的前"項和為，Sn=an-4an+1,%=T.

(1)證明：數(shù)列｛2%+]—%｝為等比數(shù)列；

(2)設(shè)4=*,求數(shù)列｛〃｝的前〃項和；

n(n+V)

(3)是否存在正整數(shù)0,q(p<6<q),使得邑，'，Sg成等差數(shù)列？若存在，求°,q；若不存在，說

明理由.

19.(17分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓「：二十'=1(。>6>0)的離心率為逅，直線/與廣

a"b~3

相切，與圓0：必+/=3/相交于/,2兩點.當(dāng)/垂直于％軸時，|43|=2后.

(1)求「的方程；

(2)對于給定的點集N,若M中的每個點在N中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存

在，則記此最大值為d(M,N).

(i)若M,N分別為線段與圓。，尸為圓。上一點，當(dāng)△尸/B的面積最大時，求d(M,N)；

(ii)若d(跖N),d(N,M)均存在，記兩者中的較大者為〃(M,N).已知#(X,匕>,H(Y,Z),H

(X,Z)均存在，證明：H(X,Z)+H(Y,Z^H(X,Y).

2024屆高三第二次調(diào)研測試

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知單位向量euez的夾角為120°,則(2ei-e2>ez=

A.-2B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】(2ei—ez)e=2e「ez—。29=-I—1=-2.故選A.

2.在正方體ZBCQ―/由iGQi中，下列關(guān)系正確的是

A.ADVB\CB.AiDlBDC.ACLA\CD.AC\LCD\

【答案】D

【解析】以。為原點，以D4為x軸，以。。為_r軸，以。。為z軸建立空間立角坐標(biāo)系，

可以得到就1=(-1,1,1),c5i=(0,-1,1),可以得到元1?不i=0.因此可以得到

ACxVCD^.其它選項可以川類似方法計算.故選D.

3.一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：10,21,25,35,36,40.若這兩組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)相等，則刪除的數(shù)為

A.25B.30C.35D.40

【答案】B

【解析】新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為帶至=30,與原數(shù)據(jù)中位數(shù)保持一致，但原數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)，

因此中位數(shù)?定在數(shù)據(jù)中.所以刪去的數(shù)據(jù)為30.故選8.

'2X+2~XxW3,

4.已知函數(shù)/(x)="/g)x>3.則J(log29)=

8-10c80c82

A.§BTC.yD.y

【答案】B

【解析】log29=21og23,乂因為log29>3,所以./(Iog29)=/(log23).乂因為10823V3,所以

/(log23)=3+|=y,故選B.

5.設(shè)x>0,y>0,~+2y—2,貝ijx+1的最小值為

xy

數(shù)學(xué)試卷第1頁(共5頁)

3C.|+V2

A.B.2也

2D.3

【答案】C

11112112

【解析】苫2.r=2,得尸廠工，所以》+了==5；+不=三（“7元+會）[（2—2），）+2.\]

斗3+壹+『昌（3+也三.『）=|+也,故選C.

6.若函數(shù)/（x）=C"+2r有大于零的極值點，則實數(shù)“的取位范圍為

A.a>—2B.a>—；C.4V—2D.〃V—；

【答案】C

12一

【解析】/(x)=c"'+2x,/(x)=ac""+2=0.解得工=小(一”已知函數(shù)行大于0的極｛4

12

點，則]ln(—")>0,解得a<-2.故選C.

7.設(shè)拋物線C：產(chǎn)=4.1的焦點為尸，C的準(zhǔn)線與太軸交于點4過4的直線與。在第一象

限的交點為M,N,il\FM\=3\FNl9則宜線MN的斜率為

V3c1「近「2

2B*2C-3D-3

【答案】A

【解析】/(—I,0),設(shè)A/N：p=Aa+1)(左>0),M(x],J”)，N(Q，")?A*I>0,x?>0.聯(lián)立

[￡：+0'所以出v2+(2F-4)x+產(chǎn)=0,XI+X2=-2+*,XI.V2=L因為FM\=3FN\,

1104S

所以xi+l=3Q?+l),代入上式可得，AR=3,<2=不因此xi+x2=~f=&-2,解得左二與

或一坐(舍去)，故選A.

8.若cosa,cos(a—cos(a+3成等比數(shù)列，則sin2a=

V3二n1

A、4B?一*-C.jD,一%

【答案】B

【解析】cos(?—^)—^-cosa+|sina.cos(<7+1)=|cosa—ina.cosacos(a+^)=cos2(t?—

奇，化簡得—^(sin2^+cos2c/)=,>j3sintz,cosfz=^sin2cz,所以sin2a=—乎.故選B.

數(shù)學(xué)試卷第2頁（共5頁）

二、多項選擇題，本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得。分。

9.已知雙曲線C：9一1=1(6>0)的右焦點為F,直線/：x+by=O,是C的一條漸近線，

P是/上一點，則

A.C的虛軸長為2啦B.C的離心率為加

C.|PF|的最小位為2D.直線PF的斜率不等于一半

【答案】AD

【解析】*^b=巾,故C的虛軸長為2Q2近，A正確；C的離心率為嚀立=乎,

B錯誤；小尸的最小值為/>=m，C錯誤；注意到P尸與直線/：y=一乎x相交，故立絞尸尸

的斜率不等于一乎，D正確，故選AD.

10.已知尸5)=三?⑻/)=；,若隨機事件48相互獨立，則

A.P(B)=gB.P(/B)=告

_1_4

C.P(4|8)=元D.P(A+B)=^

【答案】BD

【解析】因為隨機事件/,8相互獨立，所以P(B)=P(*/)=；,A錯誤：P(AB)=P(A)P(B)

=2o,B正確：P(A|B)=P(A)=1-P(J)=j,C錯誤;P(A+B)=1~P(AB)=\~P(A)P(B)

4

=§,D正確，故選BD.

11.已知函數(shù)<x),g(x)的定義域均為R,<x)的圖像關(guān)于點(2,0)對稱,g(0)=g(2)=l,g(x

+y)+g(x-y)=g(x次y),貝lj

A.y(x)為偶函數(shù)B.a)為偶函數(shù)

C.g(—1—x)=—g(—1+x)D.g(l—x)=g(l+j)

【答案】ACD

【解析】令_r=-y,g(x+y)+g(x—y)=g(x)/(—y),注意到g(x)不恒為o,故4y)=A—y)，A

正確；犬2)=0,令x=0,y=2,得g(2)+g(—2)=0,故g(—2)=-IKg(2),B錯誤：令x=

y=-l，g(一2)+g(0)=g(—1)/(-1)=0,令、=)，=1，以2)+8(0)=爪1)/(1)=2,故爪1),/(1),0,

從而J(T)#0,故g(T)=0,令x=-l,得g(-l+j，)+g(-l-y)=0,化簡得g(T-y)

=—g(—l+y)，C正確；令j，=2,得g(x+2)+g(x—2)=0,而g(l—x)=-g(x—3)=g(l+

數(shù)學(xué)試卷第3頁(共5頁)

x),D正確，故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)加GR,i為虛數(shù)單位.若集合{={1,2m+(m-l)i},B={-2i,1,2},且4=8,

則m=▲.

【答案】I

【解析】由4=8知2,〃+(m-l)i=-2i或2.若為一2「則，”=-1,2m+(m-l)i=-2-

2i.舍去；若為2,m=l,2〃?+(m—l)i=2,符合題總，故，〃=1

13.在△48C中，AB=?NC=1,M為8c的中點，/M4c=60。，則4V=▲.

【答案】I

【解析】取/出中點。，連接DV,則/。=*，DM=；,0M〃/C,故/4”。=60。，在

△兒“。中，過。向/*/作品;垂足為則￡)￡=乎，A''=!，/山="則4”=：.

14.若正四棱銖的棱長均為2,則以所行用的中點為頂點的十面體的體積為▲,該十面

體的外接球的表面積為

【答案】平，4兀

【解析】十面體的體積等「小四棱錐的體枳減士頂部的小正四棱鋌和向上的四個小四棱錐,

止四棱錐的高h(yuǎn)="\J"一(坐/尸=4，y=$h=警,修="=坐，匕=￡=將故上面體

的體枳匕=【，一片一4匕二華，注意到底面中心到所有頂點距離均為圣故卜血體外接球表

oZ

面積5=471(9=4兀.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費者對新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機調(diào)行了

1000名消費者，得到下表：

滿意不滿意

男44060

女46040

(1)能否有95%的把握認(rèn)為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)，

(2)若用頻率估計概率，從該地區(qū)消費者中隨機選取3人，用刀表示不滿意的人數(shù),

數(shù)學(xué)試卷第4頁(共5頁)

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附."(36?！?/p>

'(a+/>)(c+</)(a+c)S+J)'

門=a+6+c+d?

PH以)0.10.050.01

k2.7063.8416.635

A”，1000X(440X40-460X60f

斛：(1)A~=-5ooX500X900X100—比4,444>3,841,

所以，n95%的把握認(rèn)為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān).

(2)根據(jù)頻率，單個消贄者滿意的概率為麗=6

9I

單個消費者不滿意的概率為1—%==，

X可能的取值為0,1,2,3.

972919，43

"=0)=型(/=再，P(X=1)=C；X(同X(畝=氤，

P(X=2)=Gx.X舄尸需3,P(X=3)=C；X(b=表.

所以X的分布列為

X0123

P72924327]

1000100010001000

,

X的期望為￡'(A)=0X1000+1X1000+2X1000+3X]000=—.

16.(15分)

設(shè)函數(shù)/(x)=sin(ex+9)(“>0,0<?Vn).已知及0的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離

為方且貝一：)=一；.

(1)若_/(x)在區(qū)間(0,"。上有最大值無最小值，求實數(shù)，”的取值范圍；

數(shù)學(xué)試卷第5頁(共5頁)

ir

(2)設(shè)/為曲線y=/(x)在x=-%處的切線，證明：/與曲線y=/(xHr唯一的公共點.

解：⑴由題意知，周期為儲所以4=2,又/(一力=一/

所以sin(_,+p)=—cos^=一；,cosp=g,而0<(p<n1故夕=:，

從而/W=sin(2x+$，

當(dāng)x￡(0,〃i)時,2x+jE(p2/〃+令,故,V2J〃+狂學(xué),解得$V〃W得

故機的取值范圍哈，帝.

TT7T

(2)/(.v)=sin(2v+j)?切點為(一不，0),

f(x)=2cos(2x+?/(—1)=2?故切線/：y=2x+^?

兀

令，=2Y+§,g?)=Lsiin,g")=l—cosf'O,

故虱。在R上單調(diào)增，而￡0)=0,故g")=0彳f唯一解f=0,

即2x+j—sin(2x+j)=0有唯一解》=一去

17.(15分)

如圖，邊長為4的兩個正三角形N8C,8CD所在平面互相垂直，E,尸分別為8C,CD

的中點，點G在棱/。上，AG=2GD,直線48與平面EFG相交于點，.

(1)從下面兩個結(jié)論中選一個證明：

①BD//GH；②直線GF,/C相交于一點;

注：若兩個問題均作答，則按照第一個計分.

(2)求直線BD與平面EFG的距離.

⑴證明:①因為￡0分別為8C,C0的中點,所以EF〃BD,

因為802平面石尸G,￡Eu平面石廠G,所以80〃平面EFG,

因為80u平面平面48QA平面E￡G=G”,所以BD〃GH；

(2)解：連*￡DE,

因為在正三角形/8C中,E是3C的中點，所以ZE_LEG同理在￡_L5C,

數(shù)學(xué)試卷第6頁(共5頁)

因為平面/4CL平面BCD,平面/Ben平面BCD=BC,//Tu平面ABC,

所以AEL平面BCD,因為OEu平而BCD,所以AE1.DE,

所以/￡>=誨/伍=半8。=2不，因為/C=C￡>=4,所以<:。5//1。。=德=幸，

乙/Ll-JU

任4DFG中，由余弦定理得GF=\lDF2+DG--2DFDGcosZADC=2,

由勾股定理得EG=q尸+（3￡）事號,

因為￡,廠分別為6C,CO的中點，所以EF=：BD=2,

因為EF=GF=2,所以cosNZFcrEGo，

所以sin/FEG=qi-cos?NFEG=^',所以S，,AFG=JEF,EG?sinNFEG=華,

注意到匕）-￡7、6=VG-DED吊工S二。曰、34E=S"EFG'd,

數(shù)學(xué)試卷第7頁（共5頁）

18.(17分)

已知數(shù)列｛〃”｝的加〃項和為s“，s〃=4“一4期+i，M=—1,

(1)證明：數(shù)列｛2a〃“一aJ為等比數(shù)列：

(2)設(shè)兒=就腎y求數(shù)列｛仇｝的前〃項和；

(3)是否存在正整數(shù)“q(pV6Vq),使得%,S6,S,成等差數(shù)歹lj?若存在，求夕q；若

不存在，說明理由.

解：(1)因為S=a,L所以m=?i—4內(nèi)，所以6=0,

〃22時，，i=—4%“，S”=-4?！?2,

所以冊=—4〃”?2+4加1,所以2a”卜2—?！?1='(2?！?—劣),

2〃2一。1=1工0，所以2a3-。2=1力0，…，2如，1一”〃W0,

所以｛2%”一”,,｝是以1為首項，；為公比的等比數(shù)列.

(2)山(1)2""|一?！?(3"-1,所以2"+|““+|-2"斯=2,

所以｛2%“｝是酉項為一2為酉項，2為公差的等差數(shù)列，

_2〃—4,

所以2"斯=2/7-4?a〃=不一,

(InI4______〃+22(〃+1)-"11

“尸"(〃+1)="(〃+1)2"+3=〃(〃+1)2方+3="2'/2-(〃+1)2"+3'

所以｛兒｝的前〃項和

r=J_____L..J_____L.?1」1

/"一卜232?24十2?243-2$十十〃2於2(?+l)2n+3-8(//+l)2,,+r

_2〃-42n~2〃

(3)S”一cin-4。"+|-2?-42"+]―—2?>-1,

Sp,&，S,成等差數(shù)列，則赤?+S$