黑龍江省鶴崗三中2024屆高考沖刺數(shù)學模擬試題含解析

黑龍江省鶴崗三中2024屆高考沖刺數(shù)學模擬試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2A,x<0

1.已知函數(shù)/(%)=<

log3尤,x>0

C.-log32D.log32

2.三國時代吳國數(shù)學家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個

以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅(朱)色及黃

色，其面積稱為朱實、黃實，利用2x勾X股+(股-勾)2=4義朱實+黃實=弦實，化簡，得勾2+股2=弦2.設勾股形

中勾股比為1：百，若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計)，則落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為()

A.134B.866C.300D.500

3.已知F是雙曲線C:近？+y2=4k|(改為常數(shù))的一個焦點，則點尸到雙曲線C的一條漸近線的距離為()

4.設函數(shù)/Xx)的定義域為R,滿足/(x+2)=2/(x),且當xe(0,2］時，/(x)=—%(%-2).若對任意xe(―8,列),

40

都有/(x)<亍，則機的取值范圍是().

—00,——co,——C.(-co,7]—00,——

433

5.定義域為R的偶函數(shù)/(x)滿足任意x￡R,有5(%+2)=/(%)-/(1)，且當工￡[2,3]時，f(x)=-2x2+12x-18.

若函數(shù)y=/(%)-log.(x+l)至少有三個零點，則〃的取值范圍是()

22

6.已知雙曲線C：二—3=1（。＞0力＞0）的左右焦點分別為白，K,尸為雙曲線C上一點,。為雙曲線C漸近

a'b"

線上一點，P,。均位于第一象限，且2。夕=尸尸2，少？。尸2=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.73-1B.73+1C.713+2D.713-2

7.《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“■一”表示一個陽爻，表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦,

這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）

3￡

C.—D.

5628144

,、14

8.公比為2的等比數(shù)列｛4｝中存在兩項金，%,滿足4/〃=32的2,則一+一的最小值為（）

mn

9.在平行四邊形ABC。中，AB=3,AD=2,AP=；A3,AQ=；AD,若CP-CQ=12,則NADC=()

5713兀In7i

A.—B.—C.—D?—

6432

—x^+%2,x<1

io.已知函數(shù)/a）halnx,,若曲線y=/（x）上始終存在兩點A,B,使得且AB的中點在V

----------,x＞1

x（x+l）

軸上，則正實數(shù)4的取值范圍為（）

A.（0,+oo）B.fo,-1

C.—,+a)D.[e,+oo)

e

11.在ABC中，。為邊上的中點，且|A3|=1,AC|=2,N84C=12O。，貝！l|AD|=()

A.正B.-C.-D.立

2244

12.函數(shù)/(x)=Asin(or+°)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓C與/。)的圖象交于M,N兩點，且M在V軸

上，則下列說法中正確的是

A.函數(shù)的最小正周期是2兀

B.函數(shù)/(X)的圖象關于點兀,oj成中心對稱

C.函數(shù)/(尤)在(-=,<)單調遞增

36

57r

D.函數(shù)/(尤)的圖象向右平移一后關于原點成中心對稱

12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，橢圓「：二+亡l(a〉6〉0)的離心率為e,尸是「的右焦點，點尸是「上第一角限內任意一點,

“b2

UUUUL1UUUUUULU

C>e=2OP(2>0),FQ0P=Q,若/l<e,則e的取值范圍是

14.從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第

一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.

15.已知函數(shù)/(x)=e=1,則關于％的不等式/■(2幻+/(%+1)>-2的解集為

16.已知x>0,y>0,x+3y=5xy,則x+2y的最小值是

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，平面四邊形ABC。中，BC//AD,ZADC=90°,ZABC=120°,E是AO上的一點，

A8=6C=2￡）E,b是EC的中點，以EC為折痕把△即C折起，使點。到達點尸的位置，且PC,跖.

（1）證明：平面PECL平面ABCE；

（2）求直線PC與平面R鉆所成角的正弦值.

18.（12分）若關于x的方程好+（相-2）x+5-根=0的兩根都大于2,求實數(shù)，〃的取值范圍.

19.（12分）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運動，從人居環(huán)境改善、飲食習

慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習，提倡文明健康、綠色環(huán)

保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查，隨機收集了該區(qū)居民六類日常生活習慣的有關數(shù)據(jù).六類習慣是：（1）衛(wèi)

生習慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息

規(guī)律狀況類.經(jīng)過數(shù)據(jù)整理，得到下表：

衛(wèi)生習慣狀垃圾處理狀體育鍛煉狀心理健康狀膳食合理狀作息規(guī)律狀

況類況類況類況類況類況類

有效答卷份數(shù)380550330410400430

習慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6

假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一，各類調查是否達到良好標準相互獨立.

（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率；

（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計他在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具

備兩類良好習慣的概率；

（3）利用上述六類習慣調查的排序，用=1”表示任選一位第左類受訪者是習慣良好者，“短=0”表示任選一位第

左類受訪者不是習慣良好者（左=1,2,3,4,5,6）.寫出方差。5，呢，?；颍珼4,。短的大小關系.

20.（12分）山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的

3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語，自主選擇的

3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、

數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數(shù)不直接用，而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名

來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為二、

.、二、二，、-、-,、-、-共8個等級。參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為-、.、_.、

_：：、〃一、—?、；「.等級考試科目成績計入考生總成績時，將二至二等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，

分別轉換到91-100、81-90.71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.

舉例說明.

某同學化學學科原始分為65分，該學科二一等級的原始分分布區(qū)間為58?69,則該同學化學學科的原始成績屬二一等

級.而二_等級的轉換分區(qū)間為61?70,那么該同學化學學科的轉換分為：

設該同學化學科的轉換等級分為二，?一_求得二

---;=-^^―

四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?7.

(1)某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績

基本服從正態(tài)分布一二二::.

(i)若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，等級為二一,其所在原始分分布區(qū)間為82?93,求小明轉換后的

物理成績；

(ii)求物理原始分在區(qū)間-一的人數(shù)；

(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取4人，記二表示這4人中等級成績在區(qū)間二的人數(shù)，求二的分布

列和數(shù)學期望.

(附：若隨機變量口~口(口的，則口(口一二〈二〈口+二)=0.6S：f二(二-2Z<Z<0+：二)=0.954'

Z(Z-5Z<Z<O+3”0.”-)

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-nu-療工2(根eR).

(1)討論函數(shù)/(%)的極值；

(2)記關于％的方程/(%)+療X2=0的兩根分別為p,q(p<q),求證：lnp+lnq>2.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)="x2+cosx(aeR),/(x)是的導數(shù).

(1)當。=1時，令//(%)=/'(%)—x+lnx,"(x)為/z(x)的導數(shù).證明：丸’(x)在區(qū)間0,1^存在唯一的極小值點;

2TC

(2)已知函數(shù)y=/(2x)——X，在0,-上單調遞減，求。的取值范圍.

3_2_

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得/當?shù)闹?，再求得的?

【詳解】

故選:A

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎題.

2、A

【解析】

分析：設三角形的直角邊分別為1,代，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內的概率即可得出結論.

解析：設三角形的直角邊分別為1,0則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為(退=4-2君.

圖釘落在黃色圖形內的概率為上38=.

42

,落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為1000x2=8。134.

2

故選：A.

點睛：應用幾何概型求概率的方法

建立相應的幾何概型，將試驗構成的總區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉化為幾何圖形，并加以度量.

⑴一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型，只需把這個變量放在數(shù)軸上即可；

⑵若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序實數(shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角

坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；

(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐

標系即可建立與體積有關的幾何概型.

3、D

【解析】

分析可得k<0,再去絕對值化簡成標準形式，進而根據(jù)雙曲線的性質求解即可.

【詳解】

當左》0時，等式履2+V=414I不是雙曲線的方程；當k<0時，62+V=41左1=—4限可化為上二—二=I,可得虛

---4k4

半軸長力=2,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.

故選：D

【點睛】

本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.

4、B

【解析】

求出/(x)在左e(2〃,2"+2］的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合即可得到答案.

【詳解】

當xe(2〃,2"+2]時，x-2ne(0,2],/(%)=2"/(x-2n)=-2"(x-2n)(x-2?-2),

40

/(x)max=2"，又4<豆<8,所以機至少小于7,此時/(x)=—23(x—6)(x—8)，

令/(x)=d，得—23(x—6)(x—8)=d，解得彳二1或刀二刀，結合圖象，故

故選：B.

【點睛】

本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.

5、B

【解析】

由題意可得/■(%)的周期為2,當xe[2,3]時，/(%)=—2/+12x—18,令g(x)=log.(x+l),貝ij/(x)的圖像和g?)

的圖像至少有3個交點，畫出圖像，數(shù)形結合，根據(jù)g(2)>/(2),求得。的取值范圍.

【詳解】

Ax)是定義域為R的偶函數(shù)，滿足任意XGR,

于(x+2)=/(x)-/(I)，令尤=—1,")=/(-I)-/(D，

又/(-I)=/(D,.-./(D=0,/(x+2)=/(x),

???/(x)為周期為2的偶函數(shù)，

當xe[2,3]時，/(%)=-2x2+12x—18=-2(x-3)2,

當xe[0,1],x+2e[2,3],/(x)=/(x+2)=-2(x-I)2,

當xe[-1,0],-xe[0,1],/(x)=f(-x)=-2(x+1)2,

作出/(x),g(x)圖像，如下圖所示：

函數(shù)V=/(x)-logfl(x+1)至少有三個零點，

則/(尤)的圖像和g(x)的圖像至少有3個交點，

?./(%)<0,若”>1,

/(元)的圖像和g(x)的圖像只有1個交點，不合題意，

所以0<。<1,f(x)的圖像和g(x)的圖像至少有3個交點，

則有g⑵>/⑵,即log.(2+1)>f(2)=-2,.-.loga3>-2,

.1Q21c1.八百

a233

故選:B.

【點睛】

本題考查函數(shù)周期性及其應用，解題過程中用到了數(shù)形結合方法，這也是高考常考的熱點問題，屬于中檔題.

6、D

【解析】

22

由雙曲線的方程二-與=1的左右焦點分別為耳,耳，尸為雙曲線C上的一點，。為雙曲線C的漸近線上的一點，

a"b"

且P,Q都位于第一象限，且2QP=PF2,QFlQF2=0,

可知尸為QB的三等分點，且

點Q在直線法-砂=0上，并且|OQ|=c,則Q（a,Q,乙（c,0）,

設P（%,%）,則2（石一。,%-8）=（。一七,一%）,

f2a+c2b口弓2bx

解得為==—，乂=§，即a：-三）'

代入雙曲線的方程可得（2"+：/—1=1,解得e=$=A-2,故選D.

4a24a

點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質，離心率的求法，考查了轉化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重

要的幾何性質，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出。，。，代入公式e=￡；②只需要

a

根據(jù)一個條件得到關于仇c的齊次式，轉化為。的齊次式，然后轉化為關于e的方程（不等式），解方程（不等式），

即可得e（e的取值范圍）.

7、C

【解析】

分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒

有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.

【詳解】

由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是=3；

僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是端=3,于是所求的概率

P-1±2.2

故選：C

【點睛】

本題考查了古典概型的應用，考查了學生綜合分析，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.

8、D

【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項公式，求出私〃關系，即可求解.

【詳解】

ctmcin-2掰+"2=32〃/m+n=7，

1451413

當根=L〃=6時，-+—=當根=2,〃=5時，一+—=一,

mn3mnIQ

1441419

當加=3,〃=4時，—+—=—,當加=4,〃=3時，一+—=一,

mn3mn12

141114?5

當根=5,〃=2時，一+—=一,當加=6,〃=1時，一+一=一,

mn5mn6

14日?任位13

一十一最小值為二.

mn10

故選:D.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列通項公式，注意根，〃為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取到等號，屬于基礎題.

9、C

【解析】

2----------1JT

由CP=C3+3P=—AD—§A3,CQ=CD+。。=——5AD，利用平面向量的數(shù)量積運算,先求得NBAD=-,

利用平行四邊形的性質可得結果.

【詳解】

D,-----------------C

O

如圖所示,

A

PB

平行四邊形ABCD中，AB=3,AD=2,

11

AP=-AB,AQ=-AD,

:.CP=CB+BP=-AD--AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因為CPCQ=12,

所以CP.CQ=-1-|AD

2-21-24

=-AB+-AD+-ABAD

323

214

=-X392+-X292+-X3X2XCOSZBAD=12,

323

17T

cosABAD=—,:.NBAD=—,

23

7i2開

所以NADC=〃——=——，故選C.

33

【點睛】

本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：(1)平行四邊

形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差)；(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是

和).

10、D

【解析】

根據(jù)A3中點在y軸上，設出A,B兩點的坐標4(一/,「+產)，a>o).對，分成三類，利用

則04.03=0,列方程，化簡后求得。=工，利用導數(shù)求得L的值域，由此求得。的取值范圍.

InzInr

【詳解】

根據(jù)條件可知4,3兩點的橫坐標互為相反數(shù),不妨設A(T,r+/),，(/>0),若f<1,則/⑺=-t3+/，

由。4,0瓦所以0403=0,即一/+"3+/)(—/+/)=0,方程無解；若"1,顯然不滿足04,03；若>1,

,”、alnt2/32\々In/八t./％)lnt-1-t

則/?)=丁=，由。4.03=0,即一廠+卜+廠丁丁=0,即。=「，因為—=;―所以函數(shù)「

t(t+1)\?+1)InfUn”(inf)Inr

在(O,e)上遞減，在(e,上遞增，故在/=e處取得極小值也即是最小值自=6,所以函數(shù)y=￡在(1+8)上的

值域為[e,+oo),故ae[e,+8).故選D.

【點睛】

本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最

小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.

11,A

【解析】

由。為邊上的中點，表示出=+然后用向量模的計算公式求模.

【詳解】

解：。為邊上的中點，

AD=^(AB+AC)

|AD|=|(A5+AC|(A5+AC2

=也AB?+AC?+2AB-AC)

^^1(12+22+2X1X2XCOS120-)

故選：A

【點睛】

在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎題.

12、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)/(x)=Asin12x+。，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質，即可求解，得到答案.

【詳解】

T[1TCTCTC

根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點C的橫坐標為；，所以；T=;-(-：)=”，解得了=萬，

32362

所以〃龍)的最小正周期T=?,不妨令A＞0,。＜。＜萬，由周期T=?,所以0=2,

又/[彳]=0，所以夕=g，所以/(%)=Asin[2x+g],

jrKTT7TX=y,即函數(shù)/（龍）的一個對稱中心為］g肛0

^2x+-=k7T,keZ,mnx=—--,k^Z,當左=3時,

326

即函數(shù)/（力的圖象關于點成中心對稱.故選B.

【點睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得

三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及運算與求解能

力，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

以唱

【解析】

由于點P在橢圓上運動時，。尸與X軸的正方向的夾角在變，所以先設/FOQ=，，又由/。?OP=0,可知

Q（ccos2accos6sin。），從而可得PCCOS,CCOSSin,而點尸在橢圓上，所以將點尸的坐標代入橢圓方程

中化簡可得結果.

【詳解】

設|。同=。，P（九,y）,ZFOQ=0,則既ccos?ccosOsin。），

由々=2筋（丸＞0）,得力十,空竽竺］,代入橢圓方程，

c2cos40c2cos2^sin20.c2b1cos26八ccc'

得---；—+---------------=22＜二，化簡得丁〉------二（0。＜。＜90。）怛成皿

a~b~aa1+cos-0

力21（J?

由此得勺2上，即a222c之，故ee0,-^—.

a2I2_

故答案為：

【點睛】

此題考查的是利用橢圓中相關兩個點的關系求離心率，綜合性強，屬于難題.

1

14、-

2

【解析】

基本事件總數(shù)九=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，

基本事件總數(shù)九=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，分別為：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為p=—=~.

162

故答案為

2

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，屬于基礎題.

/1、

15、(-§,+00)

【解析】

判斷g(x)=/(x)+l的奇偶性和單調性，原不等式轉化為g(2x)>3(x>)=g(—x—)-運用單調性，可得到所

求解集.

【詳解】

令g(x)=/(x)+l，易知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，在R上單調遞增，

/(2x)+/(x+l)>-2o/(2x)+l+/(x+l)+l>0)

即g(2x)+g(x+l)>0,

，g(2x)>T(x>)=g(—%—)

2x>—x—l即x>—

f3

故答案為：[―I，+00]

【點睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的運用：解不等式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題.

16、垃+1.

5

【解析】

1f131

因為x+2y=1-+-(x+2y),展開后利用基本不等式，即可得到本題答案.

51yX)

【詳解】

13「

由x+3y=5孫，得一+—=5,

y%

所以x+2y=，—+—(x+2y)=—5+—+-^->—(5+21->^-)=j9當且僅當尤=&)?,取等號.

51yX)51yxJ5\yx5

故答案為：亞+1

5

【點睛】

本題主要考查利用基本不等式求最值，考查學生的轉化能力和運算求解能力.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)好

5

【解析】

(1)要證平面PECL平面A3CE,只需證5尸，平面PEC,而PCL5/，所以只需證BFLEC,而由已知的數(shù)

據(jù)可證得AfiCE為等邊三角形，又由于R是EC的中點，所以從而可證得結論；

(2)由于在RfAPEC中，PE=DE=PF=-EC=2a,而平面PEC,平面A6CE,所以點P在平面A3CE的投

2

影恰好為所的中點，所以如圖建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.

【詳解】

(1)由BC//AD,NAQC=9O°,AB=3C=2DE,所以平面四邊形ABC。為直角梯形，設AB=BC=2DE=4a,

因為NABC=120°.

所以在RtACDE中，CD=2嗎,EC=4a,tanNECD,則/ECD=30°，又ZADC=ZBCD=90°，

CD3

所以NBCE=60?由EC—BC-AB=4a,

所以ASCE為等邊三角形，

又尸是EC的中點，所以5ELEC,又BF工PC,EC,PCu平面PEC,ECcPC=C,

則有所，平面PEC,

而跳'u平面ABCE,故平面PEC_L平面ABCE.

(2)解法一：在RtAPEC中,PE=DE=PF=-EC=2a,取EF中點O,所以POLE/,

2

由(1)可知平面PEC_L平面ABCE,平面PEC平面？1SCE=EC,

所以尸0,平面ABCE,

以。為坐標原點，。。方向為y軸方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P(0,0,A(2\/3a,-3a,0),B(2y[3a,a,0),C(0,3a,0)>

PA=(2y/3a,-3a,-y/3a),PB=(2s[3a,a,-y/3a),PC=(0,3a,-y/3a),

m-PA=0,\2y/3ax-3ay-垂>az=0,

設平面R45的法向量m=(x,y,z),由得廣廠取元=1,則〃2=(1,0,2)

[m-PB=0[2y/3ax+ay-yj3az=0,

設直線PC與平面所成角大小為0,

皿?)\m-PC26a非

貝！Isin0=---i=：―/==~~，

|國PC#+22-1給a?+(—布af5

故直線PC與平面R45所成角的正弦值為—.

5

解法二：在RtPEC中,PE=DE=PF=-EC=2a,取E尸中點。，所以POLER,由(1)可知平面PECL

2

平面ABCE,平面PEC平面ABCE=EC,

所以尸O_L平面A5CE,

過。作于H,連PH,則由尸0,平面平面A5CE,所以/RLPO,又

ABLOH,POc>OH=O,則AB,平面POH,又PHu平面POH所以在Rt_POH中,

PO=#>a,OH=BF=2#>a,所以PH=JXa，設C到平面P4B的距離為d,由匕-PAB=匕>.ABC，即

—xSPABxd=-xSBECxOP,即工義工x4a義=—x—x4ax2y/3axy/3a,

可得d

6

設直線PC與平面R45所成角大小為。，則.4d厲“后.

sinex=-----=——=—

PC26a5

【點睛】

此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角，考查學生的轉化思想和計算能力，屬于中檔題.

18、(-5,-4]

【解析】

/(2)>0

m—2

先令/(x)=/+(加-2)x+5-m,根據(jù)題中條件得到＜-——>2,求解，即可得出結果.

2

A>0

【詳解】

因為關于X的方程X2+("7-2)x+5-=0的兩根都大于2,

令f(x)=/+(m-2)x+5-m

/(2)=4+2m-4+5—m>Q

所以有〈一與222,

A=(m—2)2—20+4m>0

m>-5

解得〈根《-2,所以一5<加<-4.

m>4或m<-4

【點睛】

本題主要考查一元二次方程根的分布問題，熟記二次函數(shù)的特征即可，屬于?？碱}型.

19、(1)0.104(2)0.766(3)。短=

【解析】

(1)設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者"的事件為A,根據(jù)古典概型求出即可；

(2)設該區(qū)“衛(wèi)生習慣狀況良好者“，"體育鍛煉狀況良好者“、"膳食合理狀況良好者”事件分別為A,B,C,設事

件E為“該居民在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣“，則

P(E)-P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC),求出即可；

(3)根據(jù)題意，寫出即可.

【詳解】

(1)設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者”的事件為A,

有效問卷共有380+550+330+410+400+430=2500(份)，

其中受訪者中膳食合理習慣良好的人數(shù)是400x0.65=260人，

故°⑴=^=°-104=

(2)設該區(qū)“衛(wèi)生習慣狀況良好者“，"體育鍛煉狀況良好者“、"膳食合理狀況良好者”事件分別為A,B,C,

根據(jù)題意，可知P(A)=0.6,(B)=0.8,P(C)=0.65,

設事件E為“該居民在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣“

貝(JP(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+尸(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.6x0.8x0.35+0.6x0.2x0.65+0.4x0.8x0.65+0.6x0.8x0.65

=0.168+0.078+0.208+0.312

=0.766.

所以該居民在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣至少具備2個良好習慣的概率為0.766.

(3)=D^>%>D品>D^>.

【點睛】

本題考查了古典概型求概率，獨立性事件，互斥性事件求概率等，考查運算能力和事件應用能力，中檔題.

20、(1)(i)83.;(ii)272.(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)原始分數(shù)分布區(qū)間及轉換分區(qū)間，結合所給示例，即可求得小明轉換后的物理成績；根據(jù)正態(tài)分布滿足

二:八::二,，結合正態(tài)分布的對稱性即可求得二二內的概率，根據(jù)總人數(shù)即可求得在該區(qū)間的人數(shù)。

(2)根據(jù)各等級人數(shù)所占比例可知在區(qū)間?二：內的概率為，由二項分布即可求得二的分布列及各情況下的概率，結

J

合數(shù)學期望的公式即可求解。

【詳解】

(1)(i)設小明轉換后的物理等級分為二，

二

求得DaRT

小明轉換后的物理成績?yōu)?3分；

(ii)因為物理考試原始分基本服從正態(tài)分布-一..，

所以二二二：，二二F：,二：5-;-：二二

J1

="=D(M<□<?)-=□(?<□<f

Ai

f

=^(APJ4-ftd82)

=

所以物理原始分在區(qū)間二；_的人數(shù)為=七一:“二二二(人)；

(2)由題意得，隨機抽取1人，其等級成績在區(qū)間.廠內的概率為，

5

隨機抽取4人，貝!J

XI同

二(二=。)=.份=*二(二=/)=匚：.；6)’=思

的=2)=山.侯6'=老的=處="唱’6=益

-的分布列為

n01234

8121621616

J

初百

數(shù)學期望.

二仁)?w

【點睛】

本題考查了統(tǒng)計的綜合應用，正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法，分布列及數(shù)學期望的求法，文字多，數(shù)據(jù)多，需要細

心的分析和理解，屬于中檔題。

21、(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)對函數(shù)求導，對參數(shù)，〃討論，得函數(shù)單調區(qū)間，進而求出極值；

(2)。，4是方程/(尤)+加2兀2=0的兩根，代入方程，化簡換元，構造新函數(shù)利用函數(shù)單調性求最值可解.

【詳解】

石、桃由聲,'/、1c2l-mx-2m2x2(l+nvc)(l-2nvc)

(1)依題意，/(%)=一—m-2mzx=--------------=----------------；

xxx

若m=0,則/'(x)=L〉O,則函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調遞增，

此時函數(shù)/(X)既無極大值，也無極小值；

若機>0,則l+mx>0,令/'(x)=0,=--,

2m

故當xe(0,f—)時，/(幻>0,/(%)單調遞增；

2m

當xe(/-,+s)時，f'(x)<Q,/(九)單調遞減，

2m

此時函數(shù)/(有極大值f(二一)二In二—m?二—m2(-^―)2=In二—g,無極小值；

2m2m2m2m2m4

若加<0,貝!!l-2