遼寧省沈陽市2023-2024學(xué)年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

遼寧省沈陽市回民中學(xué)2023-2024學(xué)年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知各項都為正的等差數(shù)列｛q｝中，。2+%+。4=15,若4+2,%+4,&+16成等比數(shù)列，貝!|"=()

A.19B.20C.21D.22

2.若函數(shù)/(%)=陰-初M有且只有4個不同的零點，則實數(shù)加的取值范圍是()

1

「e2)")(e\(e2l

A.一,+8B.—,+ooC.-00,一D.-00,一

4444

3.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(。>0,網(wǎng)<|)的最小正周期為7i,f(x)的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于V軸對

jr

稱，則/(X——)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

?75?771i兀i

A.——VK7C.---\~K7lkeZB.---+K71.—+K71keZ

[36_36

?757r7711Tli

C.----F卜71,---FK71keZD.----FKTC--FK7TkeZ

121263

4.下列函數(shù)中既關(guān)于直線x=l對稱，又在區(qū)間［-1,0］上為增函數(shù)的是()

A.y=sinmB.y=|x-l|

C.y=cos7ixD.'=1+小

5.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張，則至少有

一張有獎的概率為()

1374

A.—B.—C.—D.一

25105

6.已知直線2煙+利=2(m>0,〃>0)過圓(%—1)2+(丁—2)2=5的圓心，則工+工的最小值為()

mn

A.1B.2C.3D.4

7.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足y(x)=〃—x),且在(0,+8)上是增函數(shù)，不等式/(融+2)</(—1)對于

九41,刁恒成立，則4的取值范圍是

311

A.----,-1B.—1,----C.----,0D.[0,11

222LJ

8.設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù)，貝!|“/。8〃2</。8〃2，，是“2〃>2">2”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

9.在四邊形ABC。中，AD//BC,AB=2,AD=5,BC=3,NA=60°,點E在線段CB的延長線上，且AE=鹿,

點〃在邊CD所在直線上，則AM.ME的最大值為（）

7151

A.——B.-24C.——D.-30

44

10.已知。，b,c分別是ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，acosC+^csinA—b+c>則A=（）

x+2y-5<0

2x+y-4<0

11.若實數(shù)X,y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,則z的最大值為（）

x>0'

21

5

A.-B.1C.2D.0

2

12.2020年是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遣到4、B、。三個貧

困縣扶貧，要求每個貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到A縣的分法有（）

A.6種B.12種C.24種D.36種

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等邊三角形ABC的邊長為1.AM=2MB，鹵、N、T分別為線段BC、C4上的動點，則

ABNT+BCTM+CAMN取值的集合為.

14.在邊長為2的正三角形ABC中，BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,x+2y=l,則的取值范圍為?

15.假設(shè)10公里長跑，甲跑出優(yōu)秀的概率為乙，乙跑出優(yōu)秀的概率為,，丙跑出優(yōu)秀的概率為則甲、乙、丙三

324

人同時參加10公里長跑，剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.

16.已知（1+2%）=/++?必+?+。］0工1°+a”%"9則4—2%+—IO%。+1la”=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

221

17.(12分)已知橢圓。：=+2?=1(?！?〉0)的離心率為一,尸是橢圓。的一個焦點，點用(0,2),直線板的斜

a'b2

率為L

(1)求橢圓C的方程；

(1)若過點"的直線/與橢圓。交于A3兩點，線段的中點為N,是否存在直線/使得|/5|=2|山|?若存

在，求出/的方程；若不存在，請說明理由.

18.(12分)已知函數(shù)分(x)K2x-l|+|x+l|

(1)解不等式/(x)N3；

7222o

(2)若a、b、c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=m,優(yōu)為的最小值，求證：-+—+—

abc2

19.(12分)如圖，在四面體ZMBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC，平面AC。；

(2)若/C4D=30。，二面角C—A6—。為60，求異面直線AD與8C所成角的余弦值.

20.(12分)如圖，在四棱柱ABCD-A4G。中，底面ABC。是正方形，平面4。四，平面ABC。，AD=1,

AA=0.過頂點。，5的平面與棱BC,A〃分別交于M，N兩點.

(I)求證：AD±DB］；

(II)求證：四邊形DMB、N是平行四邊形;

(in)若4。LCD,試判斷二面角D—MB]—C的大小能否為45。？說明理由.

21.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)

保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下:

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

天數(shù)61418272510

(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

'0,砥金100,

(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失V(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為'=220,100<%，250,,試估計該

1480,250<%，300,

企業(yè)一個月(按30天計算)的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.

22.(10分)已知函數(shù)/'(X)=V+2(。-3)x+2alnx,其中aeR.

(1)函數(shù)/Xx)在X=1處的切線與直線工-2丁+1=0垂直，求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)Ax)在定義域上有兩個極值點占,%,且尤

①求實數(shù)。的取值范圍；

②求證：/(^)+/(^)+10>0.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

試題分析：設(shè)公差為d,a2+/+%=3%=15%=%+2d—5=>q=5—2d=>(q+2)(q+5d+16)

=(7—2d)(3d+21)=81=>2d2+7d—22=0=>4=2或d=—￡(舍)=色=1=。二=1-92=19,故選A.

考點：等差數(shù)列及其性質(zhì).

2、B

【解析】

由/(%)=朋-爾2是偶函數(shù)，則只需/(%)=泌-初￡在尤W(0,”)上有且只有兩個零點即可.

【詳解】

解：顯然/(%)=加-如2是偶函數(shù)

所以只需xe(o,4w)時，/(%)=陰一如2=e*—如2有且只有2個零點即可

令ex-nvc=0>貝！I相=二

X

w\、er(x-2)

令g(x)=7，g(%)=3

xe(O,2),g，(x)<O,g(x)遞減,且xfO+,g(x)f+oo

xe(2,+oo),g，(x)>0,g(x)遞增，且xf+oo,g(x)f+oo

g(x)>^(2)=—

xe(0,+oo)時，/(x)=/-"z/=e*-zra?有且只有2個零點，

e2

只需用〉一

4

故選:B

【點睛】

考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

先由函數(shù)/(x)=sin3x+°)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)/(x)=sin(s+e)的解析式，從而

7TJT

得出/(X—-)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)/(x)=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù);'(X--)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選

66

項.

【詳解】

因為函數(shù)/（%）=5M（。%+夕）（。＞0,網(wǎng)＜三）的最小正周期是萬，所以兀=空，即。=2,所以/（x）=sin（2x+。）,

23

/（x）=sin（2x+0）的圖象向左平移今個單位長度后得到的函數(shù)解析式為

y=sin2卜+?J+0=sinl2x+-j+^j,

7

由于其圖象關(guān)于y軸對稱，所以《+0=/+2而/eZ,又|同＜會,所以°=兀所以/(x)=sin|2x+￡j,

6

7171

所以/(x-￡)=sin2x-^r+/—_—si?nG2x----,

6\666

JTJT

因為/（%）=sinx的遞增區(qū)間是：—萬+2%犯2%乃十萬,keZ,

兀兀冗冗冗

由---+2k兀?2x----?2k7i~\—左￡Z,得：-----Hk?i<犬《ki—，左￡Z,

262963

兀7TTTTT

所以函數(shù)/（%—：）的單調(diào)遞增區(qū)間為—7+左肛:+左"（左￡Z）.

663

故選：D.

【點睛】

本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進(jìn)行圖象的平移時，注意自變量的系數(shù)，屬于

中檔題.

4、C

【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的特點，利用排除法，即可得出答案.

【詳解】

A中，當(dāng)％=1時，y=sin7cc=0wl,所以y=sinju：不關(guān)于直線兀=1對稱，則A錯誤;

二）,所以在區(qū)間］上為減函數(shù)，則錯誤;

B中,y=|x-l|=<1+3TOB

D中，y=f(x)=ex+e-x,而〃0)=2J(2)=e2+e-2,則/⑼w/(2),所以y=e，不關(guān)于直線x=l對

稱，則。錯誤;

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)基本性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

先計算出總的基本事件的個數(shù)，再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由

對立事件的概率關(guān)系，即可求解.

【詳解】

從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張，共有Cl=10種情況，

37

2張均沒有獎的情況有穹=3(種)，故所求概率為1-歷=記.

故選:C.

【點睛】

本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6,D

【解析】

圓心坐標(biāo)為(1,2),代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值.

【詳解】

圓(x—1)2+(y—2)2=5的圓心為(1,2),

由題意可得2m+2八=2,即機(jī)+〃=1,m,n>0,

111I、，nm*〃m——1,?

則1--=(z1--)(jn+ri)=2-\-----1—..4,當(dāng)且僅當(dāng)一=一且加+〃=1即m=〃=一時取等號，

mnmnmnmn2

故選：D.

【點睛】

本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關(guān)系，

考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在(-8,0)上是減函數(shù)，由此可將不等式化為-1W公+2W1；利用分

3131

離變量法可得-2<?<--,求得-三的最大值和--的最小值即可得到結(jié)果.

XXXx

【詳解】

/(X)=/(-X).?./(%)為定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱

又/(%)在(0,+8)上是增函數(shù).??/(力在(-8,0)上是減函數(shù)

/(ta+2).-.|at+2|<l,即-lWta+2Wl

31

—1Wox+2W1對于Xe［L2>恒成立/.——<?<——在［1,2］上恒成立

XX

3「3一

即。的取值范圍為：—不一1

2L2

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單

調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.

8、C

【解析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】

11

由“l(fā)og”2得^-----<-----

o"o"log2alog2￡>

log,a<0

得〈，八或/吟心,^^心。或°>/吟。>四26，

log2b>0

0<?<l

即，或a>b>l或0<b<a<l,

b>l

由2">2">2，得

故"log：<log；”是“2">2〃>2"的必要不充分條件，

故選C.

【點睛】

本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數(shù)，對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

依題意，如圖以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點的坐標(biāo)，根據(jù)AE=5E求出E的坐標(biāo)，求出邊CD所

在直線的方程，設(shè)"1,-GX+56),利用坐標(biāo)表示AM,ME,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

【詳解】

解：依題意，如圖以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，由AB=2,AD=5,BC=3,ZA=60°,

.-.A（0,0）,30,6）,C（4,6）,D（5,0）

因為點E在線段CB的延長線上，設(shè)E（x0,百），x0<l

AE=BE

/2+（百『=（1_/）2解得升=-1

二網(wǎng)-1,6）

C（4,V3）,0（5,0）

CD所在直線的方程為y=-y/3x+5y/3

因為點"在邊CD所在直線上，故設(shè)"（x,-6X+56）

AM=—\（3x+5,^3

岳-4月

AM.A/E=x（-1-x）+（岳-4@卜岳+5@

=Tx?+26X-60

=-4x2+26x-60

-|Q>-1-I

當(dāng)工=2時（AATME）=-—

4'/max4

故選：A

本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.

10、C

【解析】

原式由正弦定理化簡得6sinCsinA=cosAsinC+sinC,由于sinCwO,OvAv?可求A的值.

【詳解】

解：由〃cosC+百csinA=b+c及正弦定理得sinAcosC+A/3sinCsinA=sinB+sinC.

因為5=〃一A-C,所以sin5=sinAcosC+cosAsinC代入上式化簡得百sinCsinA=cosAsinC+sinC-

由于sinCw0,所以sin1A—石■)=/.

71

又0<A<?,故人=一.

3

故選：C.

【點睛】

本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.

11、C

【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.

【詳解】

x+2y-5<0

2x+y-4<0

若實數(shù)X，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)z=2x—y

x>0

【點睛】

求線性目標(biāo)函數(shù)z=or+外("wO)的最值：

當(dāng)b>o時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，Z值最?。?/p>

當(dāng)6<0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.

12、B

【解析】

分成甲單獨到A縣和甲與另一人一同到A縣兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得甲被派遣到A縣的分法數(shù).

【詳解】

如果甲單獨到4縣，則方法數(shù)有窗X尺=6種.

如果甲與另一人一同到A縣，則方法數(shù)有C；x$=6種.

故總的方法數(shù)有6+6=12種.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查簡答排列組合的計算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、{-6}

【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點的坐標(biāo)，依題意求出NT,TM,MN,的表達(dá)式，再進(jìn)行數(shù)量積的運算,最后求

和即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：以的中點。為坐標(biāo)原點,8。所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為V軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則A(0,括),8(-

則43=卜1,-6),淺=(2,0),。1=卜1,省),

設(shè)N?,0),AT=2AC,

OT=OA+AT=OA+AAC=(Q,yl3}+2(1,-^)=(2,癡-A)),

即點T的坐標(biāo)為(4,73(1-2)),

則NT=(X7,6(1—2)),7711=-1-2,y^-73(l-2),MN=?+

所以AB?NT+BCTM+CA-MN

=-lx(2-r)+(-V3)xV3(l-A)+2xf-1-2j+Oxy—73(1-2)+

/

(-l)x/+|+V3x=-6

故答案為：{-6}

【點睛】

X

>

本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運算，以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運算，是中檔題.

3

14、（-2,--]

【解析】

建立直角坐標(biāo)系，依題意可求得。￡>-5應(yīng)=2盯+2x+2y—4,而尤>0,y>0,x+y=l,故可得y=l-x,且

xe(0,l),由此構(gòu)造函數(shù)/(x)=-2必+2%-2,0<%<1,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(—l,0),B(l,0),C(0,V3),設(shè)。(占，0),E{X2,為)，

根據(jù)瓦)=xR4，即(七一1,0)=%(一2,0),則石=1一2%,

CE—yCA,即(9>%—V3)=y(—1>_^3)>貝U/=~y，%=—，

所以CD?BE=(號—G)?(%—1,%)，

=^(^-1)-73y2=(l-2x)(-y-l)-3(-y+l)=2xy+2x+2^-4,

x>0,y>0,x+y^l,

.-.y=l-x,且xe(0,l),

^LCD-BE=2x(1-X)+2X+2(1-X)-4=-2X2+2X-2,

設(shè)/。)=一2/+2%—2,0<x<l,易知二次函數(shù)/(尤)的對稱軸為x='，

13

故函數(shù)f(x)在[0,1]上的最大值為/(5)=-5,最小值為"))=/'⑴=—2,

3

故CDBE的取值范圍為(-2,--].

3

故答案為：(-2,--].

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力,

求解時注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題.

【解析】

分跑出優(yōu)秀的人為：甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計算再求和即可.

【詳解】

剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況：其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為滑Xi-十%其二是只有甲、丙

兩人跑出優(yōu)秀的概率為|x1-3其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為1-|卜；'；=±，三種情

況相加得工+上+L=??即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為j.

4122488

3

故答案為：-

O

【點睛】

本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎(chǔ)題.

16、22

【解析】

對原方程兩邊求導(dǎo)，然后令尤=-1求得表達(dá)式的值.

【詳解】

對等式(1+2%)"=%+。/+。2必++旬)％1°兩邊求導(dǎo)，得

9

22(1+2x)i°=q+++IOGJQX+1,令I(lǐng)=—1,貝！Iq—2a2+—10<210+114]—22.

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、(1)—+^=1(1)不存在，理由見解析

43

【解析】

(1)利用離心率和過點用(0,2),列出等式，即得解

(D設(shè)/的方程為丁=履+2,與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點N的坐標(biāo)，用點坐標(biāo)表示|AB|=2|MN|,利用

韋達(dá)關(guān)系代入，得到關(guān)于左的等式，即可得解.

【詳解】

C_1

a2a=2,

(1)由題意，可得解得

c=L

貝!I人2=Q2_02=3,

22

故橢圓C的方程為L+L=l.

43

(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時，

\AB|=2^,|MN|=2,|ABHMN\,不符合題意.

當(dāng)/的斜率存在時，

設(shè)/的方程為丁=6+2,

f22

土+匕=1

聯(lián)立｛43，得(3+4左2)/+16履+4=0,

y=kx+2,

設(shè)ACkyJK4,%），

則-T…2—

123+4左2I'3+4左2

A=（16比）2—16（3+4左2）=192左?_48>0,即左？

、r?M+為8k

設(shè)N（x°,y。），人!lx°=〒*二*

\AB\=2\MN\,

2

Jl+12k-x,|=2y/1+k|x0-0|.

則+%2）——4石龍，=2|x0|）

Hn16k4yh2k2-3

即-------=----------,

3+4左23+4左2

3

整理得左2=一一，此方程無解，故/的方程不存在.

綜上所述，不存在直線/使得|AB|=2|MN|.

【點睛】

本題考查了直線和橢圓綜合，考查了弦長和中點問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難

題.

18、(1){x[%,—1或X..1}(2)證明見解析

【解析】

(1)將/(九)寫成分段函數(shù)的形式，由此求得不等式/(x)23的解集.

(2)由(1)求得/Xx)最小值M，由此利用基本不等式，證得不等式成立.

【詳解】

~3x,x<—1,

(1)f(x)=<—x+2,—1<x<—,

當(dāng)％v—l時，/(%)..3恒成立，解得XV—1；

當(dāng)一掇k3時，由/(x)..3,解得尤=—1；

當(dāng)x〉工時，由/(x)..3解得x..l

2

所以/(x)..3的解集為{x|x,—1或x..l}

33

(2)由(1)可求得了(尤)最小值為一，即a+Z?+c=/w=-

22

3

因為”,仇c均為正實數(shù)，且a+6+c=—

2

abcabc2

【點睛】

本小題主要考查絕對值不等式的求法，考查利用基本不等式證明不等式，屬于中檔題.

19、(1)證明見解析

⑵昱

6

【解析】

(1)取AC中點￡連接田,EB,得ABL6C,可得以=FB=FC,

可證DFA^DFB,可得DFLFB，進(jìn)而D尸，平面ABC,即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)瓦G,“分別為邊48,8,5。的中點，連DE,EF,GF,FH,HG,可得Gb//A￡>,GH//BC,EF//BC,

可得NR汨(或補(bǔ)角)是異面直線AD與BC所成的角，可得即，AB,NDEF為二面角C—。

的平面角，即NDEF=60，設(shè)AD=a,求解AFGH,即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)證明:取AC中點/，連接ED,EB,

由ZM=DC,則DBJ,AC,

AB±BC,則以=用=尸。，

7T

故DFgDFB,/DFB=ZDFA=-,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

.?.OF，平面ABC,又D尸u平面AC。，

故平面ABC_1_平面ACD

(2)解法一:設(shè)G,H分別為邊8,8。的中點，

地FGIIAD,GHIIBC,

ZFGH(或補(bǔ)角)是異面直線AD與所成的角.

設(shè)E為邊的中點，則即/ABC,

由ABLBC,知所，AB.

又由(1)有D尸，平面ABC,，。A3,

EFZ)/=平面。

所以NDEF為二面角C—AB—D的平面角，.?./￡>石尸=60，

設(shè)DA=DC=DB=a,則=ADNCAD=幺

2

在RtADEF中,EF^--—^—a

236

科GH，BC=EF=?a

26

在HfVBD/中，F(xiàn)H=-BD=~,

22

又PG=LAD=@,

22

從而在.FGH中,因FG=FH,

LGH

cosZFGH=-.......

FG6

因此，異面直線AD與6C所成角的余弦值為立

6

解法二:過點/作9，AC交AB于點M,

由(1)易知尸CEO,尸”兩兩垂直，

以R為原點，射線月0,尸。,尸。分別為x軸，

y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系尸-孫z.

不妨設(shè)A￡>=2,由Cr>=AT),NC4O=30°,

易知點A,C,。的坐標(biāo)分別為A(0,-A/3,0),C(0,A/3,0),D(0,0,1)

則A￡>=(O,A1)

顯然向量上=(0,0,1)是平面ABC的法向量

已知二面角C—。為60°,

設(shè)8(根,",0),則加2+n2=3,AB=(m,n+6,0)

設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),

+z=0

ADn=06y

則=><

ABn=0++=0

,（n+垂）、fzy

令y=l,貝！J"=|------,1,-A/3

mJ

\k-n\

cos<k,n>=

2

由\k\\n\

4+7+封

、m，

由上式整理得9〃2+2島-21=0,

解之得〃=-6(舍)或〃=拽

9

.?.flfl—,—,0^:.CB

I99J『丁'一行'J'

2

ADCB§

cos<AD,CB>=6

ADCB工一

3

因此，異面直線A。與BC所成角的余弦值為立

6

【點睛】

本題考查空間點、線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空

間角對應(yīng)的平面角是解題的關(guān)鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.

20、(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)不能為45°.

【解析】

(1)由平面4。與，平面ABC。，可得AO,平面AQA，從而證明4。，。用；

(2)由平面ABC。與平面ABC。沒有交點，可得DM與NB]不相交，又DM與Ng共面，所以DM//NB「同理

可證DN//MB],得證；(3)作CELMB[交MB]于點E,延長CE交BB】于點F,連接OE,根據(jù)三垂線定理，

確定二面角。-Mg-C的平面角NCED,若NCED=45，CE=CD=1,由大角對大邊知CF<5C=1,兩者矛

盾，故二面角D-MB.-C的大小不能為45°.

【詳解】

(1)由平面4。g，平面ABC。，平面4。與平面A6CD=CD,

且ADLCD,所以AD,平面AQ3],

又U平面所以用；

(2)依題意。，M,ByN都在平面。用上，

因此DM0平面OB-NB17平面DB],

又DM0平面ABC。，A"三平面ABC。，

平面ABC。與平面ABC。平行，即兩個平面沒有交點，

則DM與NB、不相交，又DM與NB、共面，

所以DM/1NB],同理可證ZW//M31，

所以四邊形DMBXN是平行四邊形；

(3)不能.如圖，作CE_LMB1交MB1于點E,延長CE交8用于點尸，連接°石，

A

由AD±CD,A^D±AD^D,

所以CD,平面則CD，平面3CC4,又CELMB],

根據(jù)三垂線定理，得到。所以NCED是二面角。-“與-C的平面角,

若NCED=45，貝!ICED是等腰直角三角形，CE=CD=1,

又NCFB=NB[EF+NFB[E=94+ZFB1E>90,

所以CFB中,由大角對大邊知B<5C=1,

所以CE<CF<1,這與上面CE=CD=1相矛盾，

所以二面角。-Mg-C的大小不能為45。.

【點睛】

本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題，和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推

理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.

23

21、（1）——（2）9060元

114

【解析】

⑴根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率；（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為X元，分別求出

P（x=o）,P（X=220）,P（X=1480）,進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：（1）設(shè)自為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則

=16<14?1611423

尸偌）尸隹）尸仁）

-2==2+=333

一c~20c~20H4

(2)任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為X元，則X的可能取值為0,220,1480,

701

p(x=o)=p(?100)=^=-,

707

P(X=220)=P(100<X,250)=音=5，

P(X=1480)=P(250<x,,300)=^=^,

171

所以￡X=Ox—+220x—+1480x—=302