2024屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)分布列概率的三大最值問題含答案

2024屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)分布列概率

的三大最值問題含答案

分布列概率的三大最值問題

題型解密

題型一:二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題求最值

①當(dāng)p給定時(shí)，可得到函數(shù)/(R)=。也/;(1—2)"-/:水=0,1,2,?“門,這個(gè)是數(shù)列的最值問題.

nk

pk_C^pk(l—p)~_(n—fc+l)p_fc(l—p)+(n+l)p—k_]+(九+1)P—k

Pk-iCk*i(l—p)i+ik(l—p)k(l-p)k(l-p).

分析:當(dāng)kV(?2+l)p時(shí)，pk>Pi,pk隨"值的增加而增加;當(dāng)k>(?2+l)p時(shí),

PkVPkT，Pk隨k值的增加而減少.如果(n+l)p為正整數(shù)，當(dāng)k=(n+l)p時(shí)，1，此時(shí)這兩項(xiàng)

概率均為最大值.如果(n+l)p為非整數(shù)，而k取(h+l)p的整數(shù)部分，則以是唯一的最大值.

注:在二項(xiàng)分布中，若數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量k等于期望時(shí)，概率最大.

【精選例題】

曲1某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,若X~B(n,0.8),若P(X=k)最大，則卜=()

A.7B.8C.9D.10

112(多選題)下列選項(xiàng)中正確的是()

A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(10,y)，則D(2X)=5

B.口袋中有大小相同的7個(gè)紅球、2個(gè)藍(lán)球和1個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，記其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)

變量X,則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=[

C.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,所得的樣本空間為。={1,2,345,6},令事件A={2,3,4},事件

8={1,2},則事件人與事件口相互獨(dú)立

D.某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8,則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是7次

(13高中生的數(shù)學(xué)閱讀水平與其數(shù)學(xué)閱讀認(rèn)知、閱讀習(xí)慣和方法等密切相關(guān).為了解高中生的數(shù)學(xué)閱

讀現(xiàn)狀,調(diào)查者在某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生發(fā)放調(diào)查問卷,在問卷中對(duì)于學(xué)生每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)

如下：

時(shí)間Q小時(shí)/周)00V/W0.50.5V/W1x>1

人數(shù)20403010

⑴為了解學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間偏少的原因,采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣從這100名學(xué)生中隨

機(jī)抽取10名學(xué)生，再從這10人中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，求這2名學(xué)生中恰有一人每周數(shù)學(xué)閱

讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率；

(2)用頻率估計(jì)概率,從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用P(X=k)表示這10名學(xué)生中恰有

k(kCN,o<k<10)名學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間在(0,0.5］小時(shí)的概率，求P(X=fc)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的k

的值.

【題型專練】

;題目區(qū)(多選題)某同學(xué)共投籃12次，每次投籃命中的概率為0.8,假設(shè)每次投籃相互獨(dú)立,記他投籃命

中的次數(shù)為隨機(jī)變量X,下列選項(xiàng)中正確的是()

A.X~_B(12,0.8)B.E(X)=9.6

C.D(2X)=3.84D.該同學(xué)投籃最有可能命中9次

題目叵若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布則使P(X=R)取得最大值時(shí)，k=

題目|T!已知隨機(jī)變量X?6(6,0.8),若/3(%=k)最大，則。(kX+1)=

蜃目區(qū)一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對(duì)一塊地的

八個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)

每一個(gè)坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種.則當(dāng)"=時(shí),

有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為

目區(qū)小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采

取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類

生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

(1)從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.若抽取的5戶中購買量在[3,6](單

位：kg)的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在[3,6](單位：kg)的戶

數(shù)為￡,求￡的分布列和期望；

(2)將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于0.5kg時(shí),則該居

民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大,試求k

的值.

題型二:二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化為導(dǎo)致問題求最值

當(dāng)k給定時(shí)，可得到函數(shù)/(p)=C渺Q_pTtpE(0,1),這個(gè)是函數(shù)的最值問題，

這可以用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值與最值點(diǎn).

kk

分析:f'(p)=C^[kp-\1-Py--p\nP尸T]

kk

=c^p-\l-p)iT[k(l_p)_(九_(tái)k)p]=。2(1-Py--\k-np).

當(dāng)k=1,2,…,n-1時(shí)，由于當(dāng)?shù)r(shí)，T(p)>0,/(p)單調(diào)遞增，當(dāng)p>“時(shí)，f'(p)<0,f(p)單調(diào)

nn

遞減，故當(dāng)p=K時(shí)，/(p)取得最大值,/(p)max=/(K).又當(dāng)P-0,/(p)f1,當(dāng)P―0時(shí)，/(p)f0,從

nvn7

而/(p)無最小值.

【精選例題】

四a(2018年全國1卷).某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)

品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)

檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(O<p<1),且各

件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為了(",求/(p)的最大值點(diǎn)為；

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以⑴中確定的加作為p的值.已知每件產(chǎn)

品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

⑴若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX-,

(u)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

蒯］2設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為尸(X=aQ=軟，P(Y=aJ=

rin

然,xk>o,縱>0,“=1,2,…,?1,夕g=夕塊=2指標(biāo)。(x||y)可用來刻畫x和y的相似程度，其

k=lk=l

定義為D(X\\Y)=設(shè)X~B(n,p),0<p<l.

念yk

⑴若Y~B(n,q),0cqe1,求L)(X||Y);

⑵若九=2,P(y=A;—1)=1,A;=1,2,3,求D(X\\Y)的最小值；

o

(3)對(duì)任意與x有相同可能取值的隨機(jī)變量y,證明：o(x||y)>o,并指出取等號(hào)的充要條件

【跟蹤訓(xùn)練】

■目叵某超市推出了一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)則如下：

規(guī)則一:顧客在本店消費(fèi)滿100元,返還給顧客10元消費(fèi)券；

規(guī)則二:顧客在本店消費(fèi)滿100元，有一次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，每次中獎(jiǎng)，就會(huì)有價(jià)值20元的獎(jiǎng)品.顧客每次

抽獎(jiǎng)是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.

(1)某顧客在該超市消費(fèi)了300元,進(jìn)行了3次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率均為然記中獎(jiǎng)2次的概率為

/(p),求/(p)取得最大值時(shí)，P的值00.

(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，且中獎(jiǎng)率均為汽，則該顧客選擇哪種規(guī)則更有利？請說明理由.

某單位為了激發(fā)黨員學(xué)習(xí)黨史的積極性,現(xiàn)利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP中特有的“四人賽”答題活動(dòng)

進(jìn)行比賽,活動(dòng)規(guī)則如下:一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng),僅前兩局比賽可獲得積分，第一局獲勝得3分，

第二局獲勝得2分，失敗均得1分，小張周一到周五每天都參加了兩局“四人賽”活動(dòng)，已知小張第一局

和第二局比賽獲勝的概率分別為p(O<p<l),且各局比賽互不影響.

⑴若p=1■，記小張一天中參加“四人賽”活動(dòng)的得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)小張?jiān)谶@5天的“四人賽”活動(dòng)中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為/(p),試問當(dāng)p為何值

時(shí)，/(P)取得最大值.

題型三:超幾何分布的概率最值

將從(a+b)件產(chǎn)品中取出n件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn),總數(shù)為a+＞其中，次品出現(xiàn)％次的

可能為C^-k.令N=a+b,則所求概率為3(N)=。呼/

2

N—aN—nN+an令_乎N)=尢則當(dāng)?shù)模緆N時(shí)"＞1；當(dāng)cmV

即看3N2-aN-nN+kN期(N—1)

=N-

kN時(shí)，4＜1,即當(dāng)N＜等時(shí)，既(N)是關(guān)于N的增函數(shù)；當(dāng)N＞等時(shí)，h《N)是關(guān)于N的減函數(shù).

kk

所以當(dāng)N=［詈］時(shí)，'(N)達(dá)到最大值.

【精選例題】

題1設(shè)隨機(jī)變量X?8(10,川,1000)(2W7WW992且及GN*),H(2;10,M,1000)最大時(shí)，E(X)=

A.1.98B.1.99C.2.00D.2.01

血12(2023屆四省聯(lián)考)一個(gè)池塘里的魚的數(shù)目記為N,從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標(biāo)識(shí)，然后

把魚放回池塘里，過一小段時(shí)間后再從池塘里撈出500尾魚，X表示撈出的500尾魚中有標(biāo)識(shí)的魚

的數(shù)目.

(1)若N=5000,求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)已知撈出的500尾魚中15尾有標(biāo)識(shí),試給出N的估計(jì)值(以使得P(X=15)最大的N的值作為N

的估計(jì)值).

【跟蹤訓(xùn)練】

題目12023年中央一號(hào)文件指出，艮旋要夏興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺(tái)準(zhǔn)備為某地

的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專部直播前，此平臺(tái)用不同的單價(jià)試銷，并在

購買的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)本向卷.已知有N(N>30)名熱心參與問卷的顧客，此平臺(tái)決定在直播中專

門為他們設(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活跡次抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這N名顧客中抽取20名顧客，抽中顧

客會(huì)有禮品贈(zèng)送,若直拱時(shí)這N名顧客都在線,記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為X(不重復(fù)計(jì)數(shù)).

(1)若甲是這N名顧客中的一人，且甲被抽中的概率為白，求N;

(2)求使P(X=30)取得最大值時(shí)的整數(shù)N.

Q（考點(diǎn)過關(guān)練）o

月J3隨著春季學(xué)期開學(xué)，郴州市市場監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理,助力推廣校園文明餐

桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某

中學(xué)食堂每天都會(huì)提供4B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種）,經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：

學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為4,選擇B套餐的概率為而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天

選擇A套餐的概率為［，選擇8套餐的概率為年;前一天選擇B套餐的學(xué)生第二天選擇人套餐的概

率為白，選擇口套餐的概率也是看,如此往復(fù).記同學(xué)甲第4天選擇8套餐的概率為2.

⑴求同學(xué)甲第二天選擇口套餐的概率；

⑵證明：數(shù)列｛2―告｝為等比數(shù)列；

（3）從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)第二天選擇去4餐廳就餐的人數(shù)X,用P（X=k）表

示這100名學(xué)生中恰有k名學(xué)生選擇去A餐廳就餐的概率，求P（X=fc）取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的k的值.

目2某研究所研究某一型號(hào)疫苗的有效性，研究人員隨機(jī)選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分

成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)用隨機(jī)變量不(i=1,2,…,5)表示第i組被感染的白

鼠數(shù),并將隨機(jī)變量X的觀測值為(i=1,2,…,5)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.若接種疫苗后每

只白鼠被感染的概率為p(pG(0,1)),假設(shè)每只白鼠是否被感染是相互獨(dú)立的.記4為事件“X尸xt

(i=l,2,…,5)”.

⑴寫出P(A)(用p表示,組合數(shù)不必計(jì)算)；

2

(2)研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)概率P與參數(shù)/o<6<1)之間的關(guān)系為p=~o--e+器.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,若參數(shù)

2645

。=為時(shí)的P值使得概率P(Ap42A3/4/5)最大，稱為是。的最大似然估計(jì),求00.

目0JN95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護(hù)用品，它對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑＞0.3z/m的顆粒的過濾效

率達(dá)到95%以上.某防護(hù)用品生產(chǎn)廠生產(chǎn)的N95型口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑＞0.3〃成的顆粒的過濾

效率服從正態(tài)分布N(0.97,9.025x10-5).

(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢10只口罩，測量出一只口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑＞0.3/im的顆粒的過濾效率為

93.6%時(shí),他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備和工人工作情況.請你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的要

求是否有道理，并說明判斷的依據(jù).

(2)該廠將對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑＞0.3/zm的顆粒的過濾效率達(dá)到95.1%以上的N95型口罩定義為“優(yōu)

質(zhì)品

(i)求該企業(yè)生產(chǎn)的一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率；

(ii)該企業(yè)生產(chǎn)了1000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨(dú)立，記X為這1000只口罩中“優(yōu)質(zhì)品”

的件數(shù)，當(dāng)X為多少時(shí)可能性最大(即概率最大)？

建目區(qū)汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加

大在新能源項(xiàng)目的支持力度,積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車的

銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：

年份力20172018201920202021

年份代碼力(2—1—2016)12345

銷量g/萬輛1012172026

(1)統(tǒng)計(jì)表明銷量y與年份代碼力有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求沙關(guān)于2的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)

新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；

⑵為了解購車車主的性別與購車種類(分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車)的情況，該企業(yè)心隨機(jī)調(diào)查

了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本其中男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有功名，購置新

能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車.

①若w=95,將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試用⑴中的線性回歸

方程預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)(假設(shè)每位車主只購買一輛汽車,結(jié)果精

確到千人)；

②設(shè)男性車主中購置新能源汽車的概率為P，將樣本中的頻率視為概率,從被調(diào)查的所有男性車主中

隨機(jī)抽取5人,記恰有3人購置新能源汽車的概率為了(⑼，求當(dāng)w為何值時(shí)，/(p)最大.

n

￡x初一嗝

附：g=+a為回歸方程，6=丹---------,a=y—bx.

之冠-nx

i=l

包旦學(xué)習(xí)強(qiáng)國中有兩項(xiàng)競賽答題活動(dòng),一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”.活動(dòng)規(guī)則如下:一

天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng),僅首局比賽可獲得積分,獲勝得2分，失敗得1分;一天內(nèi)參與“四人賽”活

動(dòng)，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分.已知李明參加“雙人

對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)時(shí)，每局比賽獲勝的概率為y;參加“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）時(shí)，第一局和第二局比賽獲

勝的概率分別為p,李明周一到周五每天都參加了“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)和“四人賽”活動(dòng)（每天兩局），

各局比賽互不影響.

（1）求李明這5天參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為了（力.求

p為何值時(shí)，/（。）取得最大值.

1題耳回某市居民用天然氣實(shí)行階梯價(jià)格制度,具體見下表:

階梯年用氣量（立方米）價(jià)格（元/立方米）

第一階梯不超過228的部分3.25

第二階梯超過228而不超過348的部分3.83

第三階梯超過348的部分4.70

從該市隨機(jī)抽取10戶（一套住宅為一戶）同一年的天然氣使用情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下:

居民用氣編號(hào)12345678910

年用氣量（立方米）95106112161210227256313325457

（I）求一戶居民年用氣費(fèi)沙（元）關(guān)于年用氣量M立方米）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用

戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）若以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市居民的年用氣情況,現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，其中恰有

%戶年用氣量不超過228立方米的概率為P（k）,求P（R）取最大值時(shí)的值.

目力某小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市

采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng),超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲

類生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.

①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在［3,4）（單位：kg）的概率是多少？

②若抽取的5戶中購買量在［3,6］（單位：kg）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記

3戶中需求量在［3,6］（單位：kg）的戶數(shù)為￡,求占的分布列和期望；

（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于0.5kg時(shí)，則稱該

居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到R戶為“迫切需求戶”的可能性最大,試求

k的值.

目§J某家畜研究機(jī)構(gòu)發(fā)現(xiàn)每頭成年牛感染打型疾病的概率是p(O<p<l),且每頭成年牛是否感染

H型疾病相互獨(dú)立.

(1)記10頭成年牛中恰有3頭感染H型疾病的概率是/(p)，求當(dāng)概率p取何值時(shí)，/(p)有最大值？

(2)若以⑴中確定的p值作為感染H型疾病的概率，設(shè)10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率

是g(k)，求當(dāng)R為何值時(shí)，依)有最大值？

分布列概率的三大最值問題

(題型解密]

題型一:二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題求最值

①當(dāng)P給定時(shí)，可得到函數(shù)/(R)=。。4^—^”.，^^。/^，…出這個(gè)是數(shù)列的最值問題.

nkn

pk_C^pk(l—p)~_(n—fc+l)p_fc(l—p)+(n+l)p—k_]+(+1)P—k

Pk-i。丁”"-1(1—p)i+ik(l—p)k(l-p)k(l-p).

分析:當(dāng)kV(?2+l)p時(shí)，pk>Pi，pk隨力值的增加而增加；當(dāng)V>(九+1)。時(shí)，

PkVPkT，以隨k值的增加而減少.如果(n+l)p為正整數(shù)，當(dāng)k=(n+l)p時(shí)，取=取-1，此時(shí)這兩項(xiàng)

概率均為最大值.如果(n+l)p為非整數(shù)，而k取(h+l)p的整數(shù)部分，則以是唯一的最大值.

注:在二項(xiàng)分布中，若數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量k等于期望時(shí)，概率最大.

【精選例題】

吼上某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,若X~8(11,O.8),若P(X=k)最大，則R=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】?！驹斀狻恳?yàn)閊^=k)=。S?(1—,若P(X=k)最大，則

fP(X=k)>P(X=fc+1),…

<，化同得：np+0一+.代入已知數(shù)值得：8.6

\P(X=1卜)>P(Xk—1)

<9.6，所以k=9時(shí)P(X=k)最大.故選：。.

四2(多選題)下列選項(xiàng)中正確的是()

A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(10,y),則D(2X)=5

B.口袋中有大小相同的7個(gè)紅球、2個(gè)藍(lán)球和1個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，記其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)

變量X,則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=[

C.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，所得的樣本空間為Q={1,2,345,6},令事件A={2,3,4},事件

8={1,2},則事件人與事件口相互獨(dú)立

D.某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8,則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是7次

【答案】【詳解】A選項(xiàng)，X~B(10,y),D(X)=10x^-x(l-^-)=-|-,D(2X)=4D(X)=10,

A錯(cuò)誤；B選項(xiàng),X服從超幾何分布,N=10,M=7,n=2,E(X)=np=n-=2xC

選項(xiàng)，P(A)=-J-,P(B)=《，AB={2},P(AB)=^=F(A)F(B),4B相互獨(dú)立；。選項(xiàng)，設(shè)9

236

次射擊擊中k次概率P(X=勸=毋0.8fc-0”最大，則僅黑:H就%：]；：；,解得

7<kW8,P（X=7）=P（X=8）同時(shí)最大，故k=7或8,0錯(cuò)誤.故選：BC.

而13高中生的數(shù)學(xué)閱讀水平與其數(shù)學(xué)閱讀認(rèn)知、閱讀習(xí)慣和方法等密切相關(guān).為了解高中生的數(shù)學(xué)閱

讀現(xiàn)狀,調(diào)查者在某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生發(fā)放調(diào)查問卷,在問卷中對(duì)于學(xué)生每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)

如下：

時(shí)間（/小時(shí)/周）00<x<0.50.5<x^lX>1

人數(shù)20403010

⑴為了解學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間偏少的原因,采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣從這100名學(xué)生中隨

機(jī)抽取10名學(xué)生，再從這10人中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，求這2名學(xué)生中恰有一人每周數(shù)學(xué)閱

讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率；

（2）用頻率估計(jì)概率,從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用P（X=幻表示這10名學(xué)生中恰有

k（kEN,04%410）名學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間在（0,0.5］小時(shí)的概率，求P（X=k）取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的k

的值.

【答案】⑴亮；⑵4

15

【分析】（1）抽取的10人中，周閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的有4人，小于等于0.5小時(shí)的有6人，故恰有

一人每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率為汽^=2

15

⑵周閱讀時(shí)間在（0,0.5］小時(shí)的頻率為告，故概率為卷，則后~風(fēng)10卷），所以「0）=咪（可（弓）

H由產(chǎn)㈤>小+1）產(chǎn)戶與譚r?璘《廣退廣化筒產(chǎn)戶信）“轉(zhuǎn)停解

，田s㈤仔:上與譚嚴(yán)仔尸信廠讓（著）“記⑶

得￥&&《孕，又卜?2,故卜=4,

55

【題型專練】

題目U〕（多選題）某同學(xué)共投籃12次，每次投籃命中的概率為0.8,假設(shè)每次投籃相互獨(dú)立，記他投籃命

中的次數(shù)為隨機(jī)變量X,下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.X?8(12,0.8)B.E（X）=9.6

C.D(2X)=3.84D.該同學(xué)投籃最有可能命中9次

【答案】【詳解】由二項(xiàng)分布的定義可知，X?8(12,0.8),E(X)=12XO.8=9.6,D(2X)=22D(X)

=4x12x0.8(1-0.8)=7.68,故AB正確，。錯(cuò)誤;設(shè)該同學(xué)投籃最有可能命中nz次，則

\P(X=m)>P(X=m+1)f*0.8mo.2125>6^+"8"+10.211f加47--52小隊(duì)隊(duì)…〃

\P{X=m)>P(X=m-1)lGJ0.8m0.212-">C^-10.8m-10,213-m(「工、小、萬，因?yàn)樾檎?/p>

數(shù)，所以Tn=10,故。錯(cuò)誤；故選：AB

題目叵若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布則使P(X=R)取得最大值時(shí)，R=.

【答案】3或4【詳解】依題意0WkW15,kEN,依題意尸(X=fc)=扇(:4(1-:廣=小十?

7(315-\F(X=0)=+?0315=(打，尸(X=1)=卡?笈314=5X(1)15,

P(X=15)=(j)15,F(X=15)<F(X=0)<P(X=1),所以P(X=0)、P(X=15)不是P(X=k)

1ckql5—k、］1Q16—FC,,.

不?015?3注幣?015

{-Cfs-315-fc>-C^1-314-fc13a5>C鏟

f-15!___>3*______15!_____fX>3,

川義05一：)！依T)；f6i)!,整理得卜;16-左，，:藍(lán)：：?O3WRW4,所以當(dāng)k

3x.......------>---------...............——>―i—［3A;+315—fc

『fc!x(15-fc)l(fc+l)!x(14-fc)!115-fcfc+1

為3或4時(shí)，P(X=k)取得最大值.故答案為：3或4

、題目叵已知隨機(jī)變量X?口(6,0.8)，若P(X=k)最大，則D(kX+1)=.

【答案】24【詳解】由題意知:P(X=k)=或?(0.2嚴(yán)(0.8)、要使P(X=k)最大，有

(0.2)6F(0.2)7一儲(chǔ)(0.8)i(0.8x^>0,2

，解得孕WkW孕，故

6fcfc+15fcfc+1>，ak=5,

(0.2)--(0.8)^C^-(0.2)--(0.8)于［o.2,O.8x|^|55

、K十JL

又。(X)=6x0.8x0.2=0.96,故。(%X+1)=_D(5X+1)=52_D(X)=24.故答案為：24.

朝[二一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對(duì)一塊地的

幾個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為〃，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)

每一個(gè)坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種,否則要補(bǔ)播種.則當(dāng)"=時(shí),

有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為.

【答案】5或6工

16

【詳解】對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率P=C聘丫+c舄)3=],所以補(bǔ)播種坑的數(shù)量服從

B(九,1),則3個(gè)玩要補(bǔ)播種的概率為窗(十)?(]).要使最大，只需

二C；：：掰得5W-W7，當(dāng)"5或”=3嗎丫=。*丫=磊＞^(1)=春?所

以，當(dāng)n=5或71=6時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為之.故答案為：5或6,2.

1616

題目叵小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采

取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類

生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

(1)從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.若抽取的5戶中購買量在［3,6］(單

位：kg)的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在［3,6］(單位：kg)的戶

數(shù)為￡,求￡的分布列和期望；

(2)將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于0.5kg時(shí),則該居

民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大,試求k

的值.

【答案】⑴答案見解析；⑵k=3.【詳解】⑴隨機(jī)變量占所有可能的取值為0,1,2.則

P(￡=°)=3=木，w)=簧=1■，旌=2)=受=得

g012

133

p后IoTIo

所以E(F)=lx*+2x條=[

OJ.UO

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知，每天對(duì)甲類生活物資的需求平均值為

1.5x0.10+2.5x0.30+3.5*0.25+4.5*0.20+5.5x0.15=3.5(kg),則購買甲類生活物資為“迫切

需求戶”的購買量為［4,6］,從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為p=0.20+0.15

=0.35.若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到X戶為“迫切需求戶”,則X~B(10,0.35)，若k戶的可能性最

大，則P(x=k)Yp…*(i-山…,……io,("P((Xx==kk))>>PP((xX…=k-11))，得

(g(0.35)氣0.65)1°一*>。落i(0.35)i(0.65)uf

i/(0.35y(0.65)i°f>C^1(0.35)fc+1(0.65)9-fc'

即[丁;一，解得2.854上43.85,由于％CN*,故k=3.

[13(fc+1)>7(10—fc)

題型二:二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題求最值

nk

當(dāng)R給定時(shí)，可得到函數(shù)/(p)=cy(l-P)-,Pe(0,1),這個(gè)是函數(shù)的最值問題,

這可以用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值與最值點(diǎn).

k

分析:f(P)=分［獷T(1-Py--p\n—R)(1—p尸T

k

=—P)—(九一R)p]=。儲(chǔ)T(1-PT--\k-np).

當(dāng)k=1,2,…,71-1時(shí)，由于當(dāng)p(反時(shí)，/z(p)>0,/(p)單調(diào)遞增，當(dāng)p>上■時(shí)，/(p)<0,f(p)單調(diào)

nn

遞減，故當(dāng)p=K時(shí)，/(p)取得最大值，/(p)max=/(*■).又當(dāng)p—o,/(p)f1,當(dāng)pf0時(shí)，/(p)-0,從

nvn7

而/(p)無最小值.

【精選例題】

阿工(2018年全國1卷).某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)

品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)

檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(O<p<l),且各

件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(p),求/(p)的最大值點(diǎn)p。；

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以⑴中確定的g作為p的值.已知每件產(chǎn)

品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

⑴若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX-,

出)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

解析：(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(p)=。加>2(1—力嗎因此/(⑼=?)

[2p(l-p)18-18p2(l-p)17]=2。蓊(1—p)"(l—10p).令〃⑼=0,得p=0.1.當(dāng)pe(0,0.1)時(shí)"

(p)>0;當(dāng)pG(0.1,1)時(shí)，/'(P)<0.所以/(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1;

(2)由⑴知，p=0.1.⑴令y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知y?8(180,0.1),

X=20X2+25Y,即X=40+25V.所以EX=E(40+25V)=40+25EY=490.

(w)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于EX>400,故應(yīng)該對(duì)余

下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

血]2設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值,它們的分布列分別為P(X=&)=軟，P(Y=aJ=

rin

Vk，xk>o,練>0,卜=L2,…,n，Z跳=2林=1.指標(biāo)。(x||v)可用來刻畫x和y的相似程度，其

k=lk=l

定義為D(X\\Y)=yxjn—.設(shè)X~B(n,p),0<p<l.

QtVk

⑴若Y-B(n,q),0VqV1,求D(X||Y)；

⑵若n=2,2(^=k—1)=/木=1,2,3,求。區(qū)，)的最小值；

o

(3)對(duì)任意與x有相同可能取值的隨機(jī)變量y,證明：o(x|，)>0,并指出取等號(hào)的充要條件

【答案】(l)gln縱二9+(2)ln3—《ln2;(3)證明見解析

q(l-p)1-Q2

kk

【詳解】⑴不妨設(shè)&=上則xk=&討(1一力『練=c^q(i-qy-.所以。(X|[Y)=

Z&犬(1-p)"力nf屹酎(1—p)n-k+nln^--丈C酎(1—「尸=

RkWnk=

i=lq(l-q)qQ-p)k=01-qk=0

◎In4M■+加n1—P

Q(l-P)1I-Q'

⑵當(dāng)n=2時(shí)，P(X=2)=p2,P(X=1)=2p(l-p),F(X=0)=(1-p)2,記f(p)=D(X||Y)=p

ln3p2+2p(l—p)ln6p(l—p)+(1—p)2ln3(l—p)2=p2lnp2+2p(l—p)ln2p(l—p)+(1—p)2ln(l—p)2

+ln3,則f(p)=4Plnp+2p+(2—4p)[ln2p(l—p)+1]—4(1—p)ln(l—p)—2(1—p)=2[lnp—

ln(l—p)+(1—2p)ln2]，令g(p)=Inp—ln(l—p)+(1—2p)ln2,則g'(p)=—+—----21n2>0,

p1—p

令9(P)=工+彳」----21n2,則(p'(p)一二，當(dāng)。Vp■時(shí)，(p[p)<0,p(p)單調(diào)遞減；當(dāng)

P1-Pp(1-p)2

4VpV1時(shí)，d(。)>。，9(。)單調(diào)遞增；所以(p(p)>=4—21n2>0,則g{p}單調(diào)遞增，而

g(《)=0,所以f(p)在(0,q)為負(fù)數(shù)，在小,1)為正數(shù)，則/(p)在(0,5)單調(diào)遞減，在(J」)單調(diào)

遞增,所以O(shè)(X||V)的最小值為ln3--1ln2.

⑶令h(x)=Inc—力+1,則h!(x)=——1=-——,當(dāng)0VcV1時(shí)，h\x)>0,h[x)單調(diào)遞增；當(dāng)x

>1時(shí)，//(力)<0,h(x)單調(diào)遞減；所以九(力)4以1)=0,即Ina:—2+140,當(dāng)且僅當(dāng)c=1時(shí)，等號(hào)

成立，則當(dāng)力>0時(shí)，In力W/—1,所以In—C——1,即ln/>1—故D(X\\Y)=52^111—)

xxx會(huì)練

2秋(1—=匯(以一練)=匯耿一匯練=。，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的看,以=練時(shí)等號(hào)成立?

k=l'Xk7k=lk=lk=l

【跟蹤訓(xùn)練】

題目回某超市推出了一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)則如下：

規(guī)則一:顧客在本店消費(fèi)滿100元,返還給顧客10元消費(fèi)券；

規(guī)則二:顧客在本店消費(fèi)滿100元，有一次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，每次中獎(jiǎng)，就會(huì)有價(jià)值20元的獎(jiǎng)品.顧客每次

抽獎(jiǎng)是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.

(1)某顧客在該超市消費(fèi)了300元,進(jìn)行了3次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率均為p.記中獎(jiǎng)2次的概率為

/(0)，求/(。)取得最大值時(shí)，p的值00.

(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，且中獎(jiǎng)率均為“，則該顧客選擇哪種規(guī)則更有利？請說明理由.

【答案】⑴“=得；(2)選擇規(guī)則二更有利，理由見解析

【詳解】⑴由題意知,3次抽獎(jiǎng)有2次中獎(jiǎng)的概率/(p)=。鬲2(1—p)=-3p3+3p2(O<p<l),則f(p)

=-9p2+6p=-9p(p-y).當(dāng)pC(0,1)時(shí),f(p)>0,則/(p)單調(diào)遞增，當(dāng)pe信,1)時(shí),f'(p)<

0,則f(p)單調(diào)遞減.所以當(dāng)p=~|~時(shí)，/(p)取得最大值，則p0=

oo

(2)①該顧客選擇規(guī)則一，其獲利為30元;②該顧客選擇規(guī)則二，由第一問知比=弓，則其中獎(jiǎng)次數(shù)X

O

服從二項(xiàng)分布口(3,1~)，所以E(X)=3X-|=2,所以該顧客獲得獎(jiǎng)品金額的期望值為2x20=40

(元).因?yàn)?0>30,所以該顧客選擇規(guī)則二更有利.

題目2某單位為了激發(fā)黨員學(xué)習(xí)黨史的積極性,現(xiàn)利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP中特有的“四人賽”答題活動(dòng)

進(jìn)行比賽,活動(dòng)規(guī)則如下:一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng),僅前兩局比賽可獲得積分，第一局獲勝得3分，

第二局獲勝得2分，失敗均得1分，小張周一到周五每天都參加了兩局“四人賽”活動(dòng)，已知小張第一局

和第二局比賽獲勝的概率分別為p(0且各局比賽互不影響.

(1)若記小張一天中參加“四人賽”活動(dòng)的得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)小張?jiān)谶@5天的“四人賽”活動(dòng)中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為/(力，試問當(dāng)p為何值

時(shí)，/(P)取得最大值.

【答案】⑴分布列見解析，E(X)=學(xué)；(2)p=4

65

【詳解】⑴由題可知，X的可能取值為2,3,4,5.因?yàn)閜=3■，所以P(X=2)=《X4=5，P(X=

3)=^><春=2，。(*=4)=曰><!=/?(*=5)=曰><)=。故*的分布列為

32b323323

X2345

1111

p

6633

E(X)=2X4+3X!+4X[+5X4=。

6o33o

22

(2)設(shè)一天得分不低于4分為事件人,則P⑷=弓+曰=p，則/(p)=Clp\l-p)=IO/。_p),o<

Pvl,

則/(P)—30P2(1—p)2—20p3(l—p)=10p2(l—p)(3—5p).當(dāng)0<p<-f-時(shí)"(p)>0;當(dāng)-1-<p<1

55

時(shí)，f(0)VO

所以/(p)在(0,3)上單調(diào)遞增，在停,1)上單調(diào)遞減，故當(dāng)p=V時(shí)，加)取得最大值.

題型三:超幾何分布的概率最值

將從(a+6)件產(chǎn)品中取出九件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn)，總數(shù)為C：+b.其中，次品出現(xiàn)k次的

可能為acr，令N=a+b,則所求概率為既(N)=說乎

2

d(N)=&"=N-aN-nN+an令_沙.)—尢則當(dāng)a">kN時(shí)">1；當(dāng)cmV

出(N—1)一—N2-aN-nN+kNM(N—1)

^N-l

kN時(shí)，久<1,即當(dāng)N〈等時(shí)，伉(N)是關(guān)于N的增函數(shù)；當(dāng)N>誓時(shí)，色(N)是關(guān)于N的減函數(shù).

所以當(dāng)N=［贄］時(shí)，出(N)達(dá)到最大值.

【精選例題】

題］1設(shè)隨機(jī)變量X?刀(10,川,1000)(24河4992