隱零點(diǎn)問(wèn)題-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)攻略含答案

隱零點(diǎn)問(wèn)題-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)攻略

傀黎立冏題

導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在很多時(shí)候是無(wú)法直接求解出來(lái)的，我們稱之為“隱零點(diǎn)”，既能確定其存在，但又無(wú)法用顯

性的代數(shù)進(jìn)行表達(dá).這類問(wèn)題的解題思路是對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過(guò)整體代換和過(guò)渡，再結(jié)合題目條

件解決問(wèn)題.

【知識(shí)導(dǎo)圖】

考點(diǎn)一：不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題

考點(diǎn)二:含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一:不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題

規(guī)律方法已知不含參函數(shù)/（,）,導(dǎo)函數(shù)方程r3）=o的根存在，卻無(wú)法求出，利用零點(diǎn)存在定理，判斷零

點(diǎn)存在，設(shè)方程r（，）=0的根為割，則①有關(guān)系式r（g）=0成立，②注意確定g的合適范圍.

［^^3X0（2023春?新疆烏魯木齊?高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（2）=ccosc—sin/，xG［。培］

（1）求證：/（JC）W0；

（2）若aV卓生V&對(duì)。C（0，方）恒成立，求a的最大值與b的最小值.

遒目］與（2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/（為=ln;r—zef+?（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)/（為在c=1處的切線方程；

（2）若/（2）+x---1>ae-"+lnc恒成立，求證:實(shí)數(shù)a<—1.

X

〔題目回(2024?河北邢臺(tái)?高三統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/(2)=Sint+/.證明：f⑸>—磊.

題目同已知函數(shù)/(2)=e"-"—Inrc+2,當(dāng)aW0時(shí)，證明:/(x)>x+2.

考點(diǎn)二:含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題

規(guī)律方法已知含參函數(shù)/(土，a),其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程r(c,a)=0的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程

f(⑼=0的根為g,則①有關(guān)系式廣(x0)=0成立，該關(guān)系式給出了g,a的關(guān)系；②注意確定g的合適范

圍，往往和Q的范圍有關(guān).

趣亙H(2022上?河南洛陽(yáng)?南三新安縣第一商it中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)⑴證明不等式：-2>1強(qiáng)(第一問(wèn)必須

用隱零點(diǎn)解決，否則不給分)；

⑵已知函數(shù)/Q)=(，—2)e"+aQ—Ip有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.(第二問(wèn)必須用分段討論解決，否則

不給分)

???

［題目⑶(2023秋?北京?南三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)己知函數(shù)/(.)=ax—二華，曲線夕=/3)在(OJ(O))的切線為y

e

——x+1.

⑴求a,6的值；

(2)求證:函數(shù)在區(qū)間(l,+oo)上單調(diào)遞增；

(3)求函數(shù)/Q)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

［題目⑶(2023秋?河北張家口?方三統(tǒng)才開(kāi)學(xué)考試)已知f(x)=aex,g(x)=In“*.

⑴當(dāng)a=1時(shí)，證明：->g(力)+1；

(2)若V16(—l,+oo),J(x)>g(劣)+1恒成立，求Q的取值范圍.

題目⑷（枕尖覆基紙JL2024居高三下學(xué)期二月聯(lián)合考試）已知函數(shù)/（力）=ln（/+1）—mx,g（x）=cosmx

—1,其中m6R.

（1）若m=1,九（力）=/（力）+g（力）+1,求證：h{x}在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

（2）若/（/）+。（劣）&0恒成立，求恒的值.

遜晅（2024?吉林長(zhǎng)春?東北彈大府中校聯(lián)考模擬fit測(cè)）已知/（/）=Qe—-2趾。（其中e=2.71828…為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù)）,V劣eRJ（x）+!W0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

???

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

【題目』已知函數(shù)〃2）=e。—遍―,.當(dāng)a>〃時(shí)，求證了（,）在（0,+oo）上存在極值點(diǎn)如且/（g）

遜口（廣東篇2024屆方三上學(xué)期元月期末11一調(diào)研測(cè)認(rèn)數(shù)學(xué)試卷）若函數(shù)/（工）在［a,b］上有定義，且對(duì)

于任意不同的61,劣26［a,b于都有|/（判）一/（力2）|〈對(duì)力1一力21，則稱/（/）為［a,fe］上的“k類函數(shù)”.若f（N）=

x

a（x-l）e-^—xlnx為［l,e］上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

題目日已知函數(shù)/(力)=Q。一eloga力一e,其中Q>1.討論/(力)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

題國(guó)口(2024?陜西安康?安康中學(xué)校聯(lián)考模擬瑯凋)已知函數(shù)/(0=/ln%-ER).當(dāng)/>1時(shí)，不等

式/(力)+Ina?+3>0恒成立，求整數(shù)m的最大值.

蜃1］回(2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？既?已知函數(shù)/(⑹=/sin/+cos力+Q力1g(N)=xln-.

(1)當(dāng)Q=0時(shí)，求函數(shù)/(力)在［―7U,7U］上的極值；

(2)用max{m,n}表示m,n中的最大值，記函數(shù)九(C)=max{/Q),g(/)}(/>0),討論函數(shù)九(/)在

(0,+oo)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

遒用］R（2023秋?浙江?高三浙江省春醉中學(xué)校聯(lián)考除我練習(xí)）己知函數(shù)/⑺=ae-eQ—I）?有兩個(gè)極值點(diǎn)

x1,x2（x1<T2）.其中a€R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若e力i+（e—2）力2+2（1—e）>/!（力「1）（力2—1）恒成立，求義的取值范圍.

（2023秋?湖南永州?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/（力）=x2—mxlnx+1,mGR且mW0.

（1）當(dāng)?n=1時(shí)，求曲線g=/（力）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程；

（2）若關(guān)于z的不等式/（,）>|■，恒成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

???

[Ha（2023秋?遼寧沈陽(yáng)通三沈超市第一二O中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/㈤=2/+3（1+M）±2

+6mrc（T6R）.

（1）討論函數(shù)/（力）的單調(diào)性；

（2）若/（一1）=1,函數(shù)g（/）=a（lnN+1）—'（：）40在（1,+8）上恒成立,求整數(shù)。的最大值.

x2

〔題目|9）（2023秋?陜西西安?方三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/（%）=In力—二+（力—2）e"-m,mGZ.

（1）當(dāng)？n=1時(shí),求曲線g=/（劣）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程；

（2）若關(guān)于力的不等式V0在（0,1]上恒成立,求m的最小值.

dUJo]（2023春?江西萍鄉(xiāng)?高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谀┘褐瘮?shù)/（2）=Ina;—ma;2+（l—2rn）x+1.

（1）若？72=1,求/（/）的極值；

（2）若對(duì)任意力＞0,/（劣）40恒成立，求整數(shù)館的最小值.

（題目|11]（2023?云南＞8通?校雇者模擬現(xiàn)測(cè)）設(shè)函數(shù)/（工）=e-In（力+a）,aCR.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求/（%）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（力）＞Q,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

〔題目〔12］(浙江盾渥州市溫州中學(xué)2024居商三第一次模擬考試數(shù)學(xué)就題)已知/(2)=Sina；-k(x-1).

(1)若過(guò)點(diǎn)⑵2)作曲線v=/(,)的切線，切線的斜率為2,求k的值；

(2)當(dāng)［1,3］時(shí)，討論函數(shù)g(c)=/(0一2cos謂玄的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

兀2

題目13］已知函數(shù)/⑺=/Q/+(Q+1)/+\nx,aER

(1)若1是/(力)的極值點(diǎn)，求Q的值；

(2)求/(力)的單調(diào)區(qū)間：

(3)已知/(6)=］a/2+力有兩個(gè)解如力2(力1V力2)，

⑴直接寫(xiě)出a的取值范圍；(無(wú)需過(guò)程)

(優(yōu))/1為正實(shí)數(shù)，若對(duì)于符合題意的任意如/2，當(dāng)S=4(2i+加時(shí)都有/'(S)V0,求4的取值范圍.

〔題目I14〕(2023?盛相模構(gòu)已知/⑸=(x-l)V-^3+Mx>0)(aER).

o

(1)討論函數(shù)/(力)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=0時(shí)，判定函數(shù)gQ)=/(6)+ln力一零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

題目:|3(2023?天洋模器0已知函數(shù)/(/)=Inx—ax+l,g[x)=x(ex—x).

(1)若直線g=2/與函數(shù)/(為)的圖象相切,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)當(dāng)a=-1時(shí)，求證：f⑸&g(x)+x2.

11

題目正(2023?包頭模擬)已知函數(shù)/Q)=aeJnQ+1)-1.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線夕=/(二)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積;

(2)證明：當(dāng)a>1時(shí)，/(⑼沒(méi)有零點(diǎn).

題目舊(2023?石家莊模擬)已知函數(shù)/3)=?！狪n。—2.

(1)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意的cC(1,+co),都有adnx+x>k(x—1)成立,求整數(shù)k的最大值.

—

頷目衛(wèi)（2023?荊門模擬）設(shè)函數(shù)/（，）=e"+bsinx,xE（-7t,+^.若函數(shù)/Q）在（0,/（0））處的切線的斜

率為2.

（1）求實(shí)數(shù)b的值；

（2）求證：/（力）存在唯一的極小值點(diǎn)力o,且/（g）>—1.

題目口|^（2023?綿版模擬）已知函數(shù)/（力）=ar—Inx,aER.

（1）若a=工,求函數(shù)/Q）的最小值及取得最小值時(shí)的2的值；

e

（2）若函數(shù)（a+l）ln2對(duì)tC（0,+oo）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

???

導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在很多時(shí)候是無(wú)法直接求解出來(lái)的，我們稱之為“隱零點(diǎn)”，既能確定其存在，但又無(wú)法用顯

性的代數(shù)進(jìn)行表達(dá).這類問(wèn)題的解題思路是對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過(guò)整體代換和過(guò)渡，再結(jié)合題目條

件解決問(wèn)題.

【知識(shí)導(dǎo)圖】

考點(diǎn)一：不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題

考點(diǎn)二:含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一:不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題

規(guī)律方法已知不含參函數(shù)/（,）,導(dǎo)函數(shù)方程r3）=o的根存在，卻無(wú)法求出，利用零點(diǎn)存在定理，判斷零

點(diǎn)存在，設(shè)方程r（，）=0的根為割，則①有關(guān)系式r（g）=0成立，②注意確定g的合適范圍.

K

遒用1（2023條新4?鳥(niǎo)舍木齊遇三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=xcosx—sini,xE|-0:

（1）求證：/（力）<0；

（2）若aV包手V6對(duì)。C（0,女）恒成立，求a的最大值與b的最小值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）a的最大值為—,b的最小值為1.

7T

【詳解】（1）由f（x）=xcosx—sin力，求導(dǎo)得/'（力）=cos6—xsinx—cosx=—csin力，

因?yàn)樵趨^(qū)間上/'（力）=—isin力V0,則/（力）在區(qū)間［o，］］上單調(diào)遞減，

所以/Q）W/（0）=0.

（2）當(dāng)⑦>0時(shí)，“包些>Q”等價(jià)于“sin力-ax>0”「包些<b”等價(jià)于“sin力-bx<0”,

XX

令gQ)=sinx—ex,xE(0,5),則g(x)=cosc-c,

當(dāng)c40時(shí)，g（c）>0對(duì)任意xE（。，年）恒成立，當(dāng)1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意xE（0號(hào)）,g'（力）=cosc—cV0,

恒成立,

當(dāng)0Vc<1時(shí),存在唯一的（0萬(wàn)）使得g'（Xo）=cos須）一c=0,

當(dāng)力6（O,TO）時(shí)，g\x）>0,函數(shù)g［x｝單調(diào)遞增，當(dāng)/G（g,1）時(shí)，g\x）V0,函數(shù)g（x）單調(diào)遞減,

顯然g(g)>g(0)=0,g(￡)=1—,則當(dāng)9>0,即0Vc<2時(shí)，g（0>o對(duì)力g（0,3）恒成立,

因此當(dāng)且僅當(dāng)C<2時(shí)，gQ)>0對(duì)任意xE(0,71恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)c>l時(shí)，gQ)V0對(duì)任意力6

兀\2

恒成立,

sin力

所以aVvb對(duì)任意力e(0,4)恒成立時(shí)，Q的最大值為—,b的最小值為1.

x\2/7T

畫(huà)自且(2023/江蘇澳江鵬三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考信)已知函數(shù)/3=Inc—工b+十(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(2)在2=1處的切線方程；

(2)若/(①)+x---1>ae-"+lnc恒成立，求證:實(shí)數(shù)aV—1.

X

【答案】⑴y=l-支

e

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)由/(力)=hlN—力定義域?yàn)?0,+8),

X

貝"3)=%?+」—\—(力—1)(」？+'？)?

xx'e*xf

所以/(/)在力=1處的切線，的斜率為fc=/(i)=o,

又/(1)二1一十，則’的方程為沙=1一!.

(2)/(力)+x---1>ae~x-\-lnxf(x)—Inx+——-——>—Q--—+力—1>—QaV(/—l)e。一力

xxexex

恒成立，

令h(x)=(力一l)e。一力，則磯/)=xex—l,

令u(x)=xex—l,力>0,則u{x}=(2+l)ex>0

所以“(/)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又認(rèn)0)=—1V0,且“(1)=e—1>0,

則u(x)在(0,1)上存在零點(diǎn)g且“(g)=xex°—1=0,即ex(——.

og

所以以力)在(0,/0)上單調(diào)遞減，在(/o,+8)上單調(diào)遞增，

所以九(力)min=九(g)=(g-l)e%—力0=1—"+[-),即QV九(g).

“工。)=1—(&+工)，則〃(g)==—1=(1+加「。)

又(0,1),所以〃(g)>0,

則/z(a；o)—1—(20+」-)在(0,1)上單調(diào)遞增，因此/z(g)</z(l)——1

所以aV—1.

逾回?(2024?河北邢臺(tái)?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(c)=sin;r+c2.證明4.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】/(劣)=COST+2x

令函數(shù)u(x)=/'(/),則u(x)=—sinx+2>0,所以U(CD)=/(力)是增函數(shù).

因?yàn)?(0)=1J(—])=cos方一IVO,

2

所以存在x0E(—^-,0),使得/'(g)=cosg+2g=0,即曷=-^cosx0.

所以當(dāng)(―oo,x0)時(shí)，/'(C)VO,當(dāng)力G(力o,+8)時(shí)，/'(力)>0,

所以/(/)在(一8,60)上單調(diào)遞減，在(g,+8)上單調(diào)遞增.

22_

f(x)>/(力0)=sinxo+xo=sinx0+-^cosa；o=--^sinxo+sina；o+^?

因?yàn)閤0G(-^O)/^singAsine^AsiM—^)=-y,

所以Tsin2g+sing+]>-jX(-y)-y+j=一能.

故/㈤>-備

題目工|已知函數(shù)/（劣）=ex~a—\nx+力，當(dāng)Q&0時(shí)，證明：于⑸>力+2.

（解析】當(dāng)aW0時(shí)，令FQ）=/（2）一，-2=e'-^lna;—2,;r>0,求導(dǎo)得F'Q）=e^--=加一，,

XX

顯然函數(shù)尸（力）在（0,+oo）上單調(diào)遞增，令g（力）=xex~a—l,力>0,g{x}=（力+1）已|一@>。，即函數(shù)g{x）在（0,

1-axa

+oo）上單調(diào)遞增，而g（0）=—1<O,g（l）=e—1>e—1>0,則存在唯一x0E（0,1）,使得g（g）=0,即e°~

=」-,因此存在唯一x0E（0,1）,使得F'（g）=0,當(dāng)0V力Vg時(shí)，F(xiàn)'（g）V0,當(dāng)力>g時(shí)，F(xiàn)'（g）>0,因此

g

函數(shù)F（G在（0,g）上遞減，在（g,+co）上遞增，當(dāng)ex°~a=—時(shí)，g—Q=—Ing,則F（力）>F（g）=ex°~a

g

—Ing—2=——FXQ—a—2>2,1-^-,XQ—a—2=-Q>0,（當(dāng)且僅當(dāng)——=g即g=1時(shí)，取等號(hào)，故式子取

gV力og

不到等號(hào)）所以當(dāng)a40時(shí)，/（力）>/+2.

考點(diǎn)二:含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題

規(guī)律方法已知含參函數(shù)/（。，a）,其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程/儂，a）=0的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程

f（①）=0的根為g,則①有關(guān)系式/（g）=0成立，該關(guān)系式給出了g,a的關(guān)系；②注意確定g的合適范

圍,往往和Q的范圍有關(guān).

蜃1］口（2022上方前洛陽(yáng)?商三新安縣第一方11中學(xué)校考升學(xué)考試）⑴證明不等式：e7>inM第一問(wèn)必須

用隱零點(diǎn)解決，否則不給分）；

（2）己知函數(shù)/Q）=Q—2）eNa（,-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.（第二問(wèn)必須用分段討論解決,否則

不給分）

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（0,+8）.

【分析】⑴根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)g（，）=尸2—Inc,借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最小值為正即可推理作答.

（2）求出函數(shù)/（⑼的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)/（⑼的單調(diào)性、零點(diǎn)情況作答.

【詳解】⑴令函數(shù)g（rc）=e"T—Inc,x>0,求導(dǎo)得：g'（x）=ex~2―顯然函數(shù)g'（cc）在（0,+oo）上單調(diào)遞

X

3

增，

-1x2

而g'(l)=e—1<0,g'(2)=g>0,則存在x0E(1,2),使得g'(g)=0,即e°^=—,有xQ—2=—lug,

2XQ

當(dāng)0V/Vg時(shí)，g{x}V0,當(dāng)力>g時(shí)，g{x}>0,函數(shù)g(力)在(0,g)上單調(diào)遞減，在(g,+8)上單調(diào)遞增,

gQ)min=g(g)=ex°~2-lnxo=5+g-2>2J盤.g-2=0,

所以e,—2>Inx.

（2）函數(shù)/（力）=（x-2）ex+a（x—1尸定義域R,求導(dǎo)得f（%）=（x—l）ex+2a（x—l）=（x—l）（e%2a）,

當(dāng)a>0時(shí)，由ff（x）V0得，力V1,由ff（x）>0得，力>1,即函數(shù)/Q）在（一8,1）上遞減，在（l,+oo）上遞增，

/（6）min=/（l）=-e<0,而/（2）=a>0,即存在力?。?⑵，使得/（g）=0,則函數(shù)/（力）在（l,+oo）上有唯一零

點(diǎn)，

取bVO且bVln0,

即存在力26（b,l）,使得/（62）=0,則函數(shù)/3）在（—00,1）上有唯一零點(diǎn),

因此當(dāng)Q>0時(shí)，函數(shù)/（力）有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)Q=0時(shí)，函數(shù)/（/）=（力一2）ex只有一個(gè)零點(diǎn)2,

當(dāng)aV0時(shí)，若一VaV0,當(dāng)⑦Vln（—2a）或力>1時(shí)，/（/）>0,當(dāng)ln（—2a）〈力V1時(shí)，/（力）V0,

即有/㈤在（一8,山（一2。））,（1,+8）上單調(diào)遞增，在（山（一2。）,1）上單調(diào)遞減，又\/力<1,/㈤V0,

因此函數(shù)/（%）在（一00,1）上沒(méi)有零點(diǎn)，在（1,+8）上最多一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)/（力）最多一個(gè)零點(diǎn)，

若。=—恒有/'㈤>0,即函數(shù)/（力）在R上單調(diào)遞增，函數(shù)/（力）最多一個(gè)零點(diǎn)，

若a<一~，當(dāng)/V1或力〉ln（—2a）時(shí)，/'（6）>0,當(dāng)1<x<ln（—2a）時(shí)，/'（力）<0,

即有/（劣）在（―°0,1）,（ln（—2a）,+oo）上單調(diào)遞增，在（l,ln（—2a））上單調(diào)遞減，又Vx<l,/（T）V0,當(dāng)力G

[l,ln（—2a））時(shí)，/Q）<0,

因此函數(shù)/（力）在（―oo,ln（—2a））上沒(méi)有零點(diǎn)，在（ln（—2a）,+oo）上最多一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)/（力）最多一個(gè)零

點(diǎn)，

綜上得,當(dāng)Q>0時(shí)，函數(shù)/（劣）有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)Q40時(shí)，函數(shù)/（力）最多一個(gè)零點(diǎn)，

所以a的取值范圍是（0,+8）.

畫(huà)門⑵腐狀?北京?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考匐已知函數(shù)加）=沏一木’曲線廠/⑵在（。,/（。））的切線為“

——X+1.

⑴求a,6的值；

⑵求證:函數(shù)在區(qū)間（l,+oo）上單調(diào)遞增；

（3）求函數(shù)/Q）的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

【答案】（l）a=l,b=—1.

（2）證明見(jiàn)解析

（3）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0,證明見(jiàn)解析.???

【詳解】⑴/'(6)=a—-—色+幼,則有/(0)——b—1,解得b=—1,/(O)=a—(1—b)=a—2=—1,則a

ex

=1,6=—1.

⑵由⑴知/(2)=①-左二廳㈤=1-=e'+92,

eee

設(shè)h(x)=4+力-2,因?yàn)閔{x)在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

則h(x)>九⑴=e—1>0,所以f\x)>0在(1,+oo)上恒成立,

所以函數(shù)/(力)在區(qū)間(l,+oo)上單調(diào)遞增.

⑶因?yàn)?㈤=1-得殳="+：―2,令加)=o,

ee

令f(x)=0,得ex+x—2=0,設(shè)h(x)——2,

由⑵知h{x}在R上單調(diào)遞增，且%(0)=-1,九⑴=e-l>0,

故存在唯一零點(diǎn)(0,1)使得九(宏)二0,

即存在唯一零點(diǎn)XQE(0,1)滿足/(%0)=0,即得e*o+g—2=0,則e&=2—g,

且當(dāng)力6(—oo,x0)時(shí)，/'(力)V0,此時(shí)/(T)單調(diào)遞減,

當(dāng)為6(g,+8)時(shí)，/'3)>0,此時(shí)/Q)單調(diào)遞增,

脛1、)￡/\￡/、/?！?ge—g+1g(2—g)—g+l

所以/Q)min=/(g)=g-----------=-----------------------Z------------

2—0

/+g+l_(&一3+今

2—XQ2—XQ

當(dāng)XQE(0,1)時(shí)，2—g>0,—(工o—■+；>—(0—■+工=1，

則/O)min>0,

則函數(shù)/(工)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.

邂1且(2023秋?河北張家口三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)已知/(工)=ae",g(x)=ln^1.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，證明：f(x)>g(a)+1；

(2)若V①C(―1,+co),f(x)>g(c)+1恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵a>l

【詳解】(1)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)九(力)=/(6)一。(力)-1=e*—In(6+1)—l(x>—1),

當(dāng)力>0時(shí)，"(/)>0,—1V力V0時(shí)，hf(x)<0,

所以僅力)在(-1,0)單調(diào)遞減，(0,+8)單調(diào)遞增，

所以h(x)>h(0),而h(0)=0,h(x)>0,即f(x)>g(x)+1.

⑵法一：若VxE(-l,+oo),f(x)>g(6)+1恒成立，

即ae”>In*+1+1nae*+lna>InQ+1)+1,

即Qe"+ln(ae")>力+1+ln(6+1),

構(gòu)造函數(shù)⑴=t+lnt,易知?n⑴在(0,+8)遞增，

則不等式為m(ae")>?n(力+1),

???ae，>/+設(shè)0(力)=(力>一1),“(力)

eee

則(p(x)在(—1,0)遞增，(0,+8)遞減，

。(力)max=6(。)=1，???Q>1.

法二：VxE(—l,+oo),J(T)>g(力)+1恒成立,即aex-^-lna—ln(x+1)—1>0.

令F(x)—aex—ln(x+1)+Ina—1,F'(x)—aex-----(a>0),

6+1

x/；]

ae=有唯一實(shí)數(shù)根，設(shè)為X0(T0>-1),

Q

即ae——二，lna+g=—ln(g+l),則F(T)在(-l,x0)遞減，在(g,+8)遞增,

力o+1

F(/)min=FQo)=ae*°—ln(g+l)+Ina—l>0,

即一—g—21n(g+l)—1>0,

g十1

設(shè)h(x)——L—x—21n(T+1)—1,顯然h(x)在(-L+oo)單調(diào)遞減，

6+1

而7i(0)=0,九(g)>0,則—1<0,

Ina=—ln(g+l)—x0,XQE(—1,0],Ina0,1.

題目@（技尖著基聯(lián)*2024居高三下學(xué)期二月聯(lián)合考試）已知函數(shù)/⑺=ln（>+1）-mx,gQ）=cosmx

—1,其中m6R.

（1）若?71=1仇（力）=/（劣）+g（力）+1,求證：h（x）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

（2）若/（力）+g（x）&0恒成立，求恒的值.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（2）館=1

【解析】（l）?n=1時(shí)，h（x）—cosx+In（力+1）—x,hr（x）=—sineH----三—1

2+1

①/e（—1,0］時(shí)，h!（x）在（—1,0］上單調(diào)遞減，所以"（1）>//（0）=0,

所以mxrE（與—1,0）,使得拉（g）=0,即h（^x）在（一1,0］上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)力1；

②力E［兀,+8）時(shí)，由（1）知/（劣）=ln（6+1）—/在［兀,+8）上單調(diào)遞減，

即/（6）（兀）=ln（7U+1）—兀，所以h{x）=cos/+/（力）<1+ln（7U+1）—7r<1+Ine?—兀=3—7u<0,

所以以⑼在［兀,+8）上沒(méi)有零點(diǎn)；

（—sin/<01

③力6（0,兀）時(shí)，{1/八，所以〃（劣）=—siniH--------1<0,

即h（x）在（0,7r）上單調(diào)遞減,又九（0）=1>0,九（兀）—ln（7L+1）—71—K0,

所以九O）在（0,兀）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)62；■■

綜上所述，九（力）在（一1,+8）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)61,X2.

(2)令0(6)=/(0)+g(力)—ln(x+1)+cosmx—mx—1,

由于0（力）40恒成立，且0（0）=0,同時(shí)0（%）在（―l,+oo）上連續(xù),

所以力=0是8（/）的一?個(gè)極大值點(diǎn).

因?yàn)閐（力）=—msinmx—m所以“(0)=1—m=0即7n=1,

下面證明771=1時(shí)，0（N）40在（―1,+00）上恒成立，

由⑴知，772=1時(shí)，/（力）在（—1,0）上單調(diào)遞增，在（0,+8）上單調(diào)遞減;

所以/(劣)&/(。)=0,又g(①)=cosx—K0,

故(p(x)=/(x)+g(x)W。恒成立.

畫(huà)瓦可(2024?吉林長(zhǎng)春?東北屏大席中校展考模擬演測(cè))已知/(為=。瞪-2既"(其中e=2.71828…為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù)),V2e兄/⑸+!W0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】［(1—J^)eRo)

【解析】由/(劣)=ae%—2/e”,可得f⑸=2ae2x—2(x+l)ex=2ex(aex—x—1),

由V,C兄/(2)+!W0,因?yàn)?(O)+工=a+工=且±］W0,可得a<0,

aaaa

令g(x)=aex—x—1,則g{x}在R上遞減,

當(dāng)rcV0時(shí)，可得e°e(0,1),則aexE(a,0),所以g(力)=aex—x—l>a—a?—1,

則g(a—l)>a—(a—1)—1=0,

-1

又因?yàn)間(—1)=ae<0,3x0E(Q—1,—1)使得g(g)=0,即g(g)=a^—Xo—l=0

且當(dāng)力e(—oo,x0)時(shí)，g(x)>0,即/(劣)>0;

當(dāng)x0E(力O,+8)時(shí)，g(/)VO,即/(/)VO,

所以/(力)在(—00,g)遞增，在(g,+8)遞減，所以/(力)max=/(g)=。/°-2力()6的，

由g(g)=a^—Xo—l=0,可得a="°”］,

e0

由/(，)皿+工40,可得(3+1)6-2,06。+/^W0,即(1-3)丫&)+140,

ag+1g+1

由力o+lV0,可得XQ-141,所以一A/2&XQ<Z—1,

因?yàn)閍=,設(shè)九(力)="+L(一2《力v—1),則//(⑼=——>0,

e0exex

可知九(力)在［―V2,l)上遞增，h{x)>無(wú)(—四)=1，=(1—2且九(力)</z(—1)=0,

e-V2

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［(1—2)eR0).

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

題目曰已知函數(shù)/⑺=e?力2f當(dāng).時(shí)，求證/⑺在@+8）上存在極值點(diǎn)如且/（切〈夫曳

【答案】證明見(jiàn)解析

x

【解析】/(力)=e%—a%2—力，貝i］/㈤=e，-2a/一1,令g(力)=/'(/),g'(c)=e—2af由a>^■可知，x>ln2a

時(shí)，g'(力)>0,g(d)遞增，x<ln2a時(shí)，。(力)<0,g(力)遞減，g(力)在力=1112a處取得最小值，

而Q(ln2a)—2a—2aln2a—1=2a(1—ln2a--7-),又記h(x)=1—Inrc——(a?>1),hf(x)=—―+工=

\2Q/xxx

故無(wú)(力)在(l,+oo)上單調(diào)遞減，故九(劣)</i(l)=0,于是/I(2Q)V0,即g(ln2a)=2a,h(2a)<0;

g(2a)=e2a—4a2—1,令p［x)—ex—x2—l(x>1),p'(%)=ex—2x,記q(x)—p{x)(x>1),則，(⑼=e°—2>e1

-2>0,則q{x)=p'Q)在(1,+8)單增,Q(X)>q⑴=e—2,

故0(%)在(l,H-oo)上遞增，p［x}>p(l)=e—2>0,?。?2Q,則g(2a)=p(2a)>0;

記y=Inx—x+1,y————,于是力>1時(shí)，y<Z0,y遞減，0V力V1時(shí)，y>0,y遞增，故g在/=1處取

x

得最大值，故g=In力一力+1CIni—1+1=0,x=l取得等號(hào)，于是1II2QV2Q—1<2a.于是，

由g(2a)?g(ln2a)<0和零點(diǎn)存在定理可知，3x0E(ln2a,2Q),使得g(g)=/'(g)=0,且ln2aV力Vg,

xx2

(re)<0,x0<x<2a9f\x)>0,所以g是極小值點(diǎn);由/(^o)=0可得,e°—2ax0—l=0,令/(比)=e—ax

(1

—工-=efd—支/，代入a=符,整理j(X)=(1-,/(x)=,

于是力>1時(shí),/(a;)<0,j(x)遞減，/V1時(shí),j\x)>0,j{x)遞增,故,(力)在力=1處取得最大值，故，Q)<

，(1)=e2〈。，取力;電^故=電))<0,原命題得證.

遒晝叵(廣東省2024屆高三上學(xué)期元月期末統(tǒng)一調(diào)研測(cè)俄數(shù)學(xué)武卷)若函數(shù)/(①)在［a,b］上有定義，且對(duì)

于任意不同的g,劣26［。,田，都有|/(力J一/2)|〈卜限1一力21，則稱/(力)為［a,fe］上的"類函數(shù)”.若f(6)=

a(xT)e'4—xlnx為［l,e］上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

【答案】組9

e2ee+1

【解析】因?yàn)?'(力)=axex—x—Inx—1,

由題意知，對(duì)于任意不同的XI,X2E［l,e］，都有|/(xi)—/(x2)|<20i-,

可轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意/E［l,e］,都有一2V/0)<2,

由f(x)<2可轉(zhuǎn)化為a<'+嗎+3,令g(x)="+嗎+3，只需a

xexe

G(x)=(1+力)(_?———,4"=—2—\nx—x,u{x)在［l,e］單調(diào)遞減,

xex

所以“Q)⑴=—3<0,g{x)VO,故gQ)在［l,e］單調(diào)遞減，

g(%)min=g(e)

e

由/⑸>-2可轉(zhuǎn)化為Q>,+嗎T，令h㈤=’+嗎—1，只需a>M心)max

xexe

=(1+""山"一的"，令M(力)=2—\nx—x,m⑸在［l,e］單調(diào)遞減，

且m⑴=1>0,m(e)=1—eVO,所以3XQE［l,e］使m(g)=0,即2—Ing—g=0,

=

即lna702—g,g=e2f,

當(dāng)力C［l,x0)時(shí)，m{x}>0,h\x)>0,故無(wú)(力)在［1,T0)單調(diào)遞增，

當(dāng)力G(x0,e］時(shí)，m(x)<0,h!(x)VO,故九(力)在(g,e］單調(diào)遞減，

/、/、g+lng-l1

以/)max="70)=----肅一==，

xoee

認(rèn)1,~/4+e

故

題目目已知函數(shù)/（劣）=靖一eloga力一e,其中Q>1.討論/（劣）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).

【解析】由題意知，函數(shù)/（力）的定義域?yàn)椋?,+oo）,

e/a,ln2a—6

/'(力)=(flna—

xlnaxina

設(shè)gQ)=xaxlr^a—e,。>1,顯然函數(shù)9(/)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,g(x)與f(力)同號(hào),

①當(dāng)a>e時(shí)，g(0)=—e<0,g(l)=tzln2a—e>0,

所以函數(shù)g[x}在（0,1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)x0,SLxE（O,XO）,g（x）<0,xE（g,+8）,g（宏）>0,

故/O）在（0,g）單調(diào)遞減，在（T0,+oo）單調(diào)遞增；

所以函數(shù)f（劣）在（0,+8）上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)a=e時(shí)，由（1）知，函數(shù)/（力）在（0,+8）上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

③當(dāng)l<aVe時(shí)，—^—>1,g（；）=aln2a—e,

In%'In%）

］

Ina1

因?yàn)镮na1"%=~~->1，所以a0>e,g>0,

In2aInaln2a

又g（l）=Q1II2Q—evO,所以函數(shù)gQ）在fl,一內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)電,

'Ina）

且nG（0,Xi）,g{x）<0,T6（Xi,+oo）,g（①）>0,

故/（⑼在（0,為）單調(diào)遞減，在（0,+8）單調(diào)遞增；

所以函數(shù)/（力）在（0,+co）上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

綜上所述，函數(shù)/（力）在（0,+oo）上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).

[題目|4）（2024?陜西安*安康中學(xué)校聯(lián)考模擬覆費(fèi)）已知函數(shù)/⑺=/In工-mx（meR）.當(dāng)c>1時(shí)，不等

式/（力）+InN+3>0恒成立,求整數(shù)m的最大值.

【答案】2

【解析】由題意，知x\nx—mx+In/+3>0對(duì)任意力>1恒成立，

可知7nVinx+I"”十）對(duì)任意力>1恒成立.

x

設(shè)函數(shù)g（力）=inx+E*+3-（力>1）,只需m<^（T）min.

對(duì)函數(shù)g⑸求導(dǎo)，得g'（c）=工+1-嗎+刃=工Tn廠2.

XXX

設(shè)函數(shù)八（力）=%—In/—2（力>1）,對(duì)函數(shù)無(wú)（力）求導(dǎo)，得九'（0）=1——=——->0,

xx

所以函數(shù)人（力）在（1,+8）上單調(diào)遞增.

又九（3）=1—ln3<0,從曰）=—ln-1->0,

所以存在（3,日），使無(wú)（g）=0,即g—Ing—2=0,

所以當(dāng)/C（l,a?o）時(shí)，h（x）V0,g'（①）V0,函數(shù)g（力）單調(diào)遞減；

當(dāng)力E（g,+8）時(shí)，h（x）>0,g'（劣）>0,函數(shù)g（力）單調(diào)遞增，

的!'/（\（\1Ilng+3.劣o—2+3.11

所以g（6）min=g（g）=1ng+-------=x0-2+---------=x0-\------1,

GXQXQ

所以nzVgH-----1.又x0E（3,所以x0-\■---1E（2彳,2界~）,

3?0/O.Li

所以整數(shù)771的最大值為2.

（^§^3（2023?湖北黃網(wǎng)?貴岡中學(xué)校考三模）已知函數(shù)/（劣）=/sin力+cos劣+a/,g⑺=/］□/_.

7U

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/（力）在［―7t,7t］上的極值；

（2）用max{m,n}表示m,n中的最大值，記函數(shù)后（6）=max{/（c）,g（c）}3>0）,討論函數(shù)人（力）在

（0,+oo）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】答案見(jiàn)解析

【解析】由h{x}=max{/（/）,g（/）}，知九（力）

（i）當(dāng)力G（7r,+oo）時(shí)，g{x}>0,/.h（x）>0,故%（%）在（7U,+oo）上無(wú)零點(diǎn).

（ii）當(dāng)力=兀時(shí)，g（7i）=0,/（7r）=-1+兀2Q.

故當(dāng)f（7l）&0時(shí)，即Q4時(shí)，h（7T）=OX=兀是無(wú)（力）的零點(diǎn)；

71f

當(dāng)f（7l）>0時(shí)，即a>時(shí)，h（7l）—fM>0,力=7T不是九（力）的零點(diǎn).

7U

（iii）當(dāng)力e（0,兀）時(shí)，gQ）<0.

故無(wú)（宏）在（0,7T）的零點(diǎn)就是/（%）在（0,7U）的零點(diǎn),

/‘（6）=x（2a+cosx）,y（0）=1.

①當(dāng)a4-y時(shí)，2a+cosrc40,故力E（0,兀）時(shí)，/'（力）&0,/（力）在（0,兀）是減函數(shù)，

結(jié)合/（0）=l,/（7t）=—1+