江蘇省南京市六校2024屆高三年級下冊期初聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省南京市六校2024屆高三下學(xué)期期初聯(lián)合調(diào)研

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題

^^=l+i2023

1.復(fù)數(shù)z滿足2+31則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點位于第（）象限.

A.—B.二C.三D.四

K答案XA

K解析》由題意得：

由?■=l+i2°23=l+i2°20.i3,可得Z=（l—i）（2+3i）=5+i,對應(yīng)點（5,1）,在第一象

限.故選：A.

2.在數(shù)列｛4｝中，已知4+i+a“=3-2",4=5,則｛4｝的前11項的和為（）

A.2045B.2046C.4093D.4094

（答案UC

（解析U由a“+i+4=3-2",得。1+出=6,而出=5,解得囚=1,

所以｛。"｝的前11項的和區(qū)+（%+%）+（。4+%）+（。6+。7）+（。8+。9）+（。10+%）

=1+3（22+24+26+28+210）=1+3（4+16+64+256+1024）=4093.

故選：C.

3.已知平面向量，=（2,0）,b=（l,6）,則向量與a—9的夾角為（）

兀7T2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

［答案工A

K解析X因為a=（2,0）,人=（1,石），所以a—b=（1,一百），d--b=一-—,

2122J

所以=所以cos（a-b,a-^b^==~~，

又OVa—Z?,a—二心《兀，所以向量a—b與a—工人的夾角為

226

故選：A.

4.畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的

交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓

22

%+2=1（?！?〉0）的蒙日圓是/+寸=/+〃，若圓（了一3）2+（丁—4）2=9與橢圓

丫2

土+/=1的蒙日圓有且僅有一個公共點，則m的值為（）

m

A.2或8B.3或63C.6或病D.4或64

[答案XB

K解析X由已知條件可知，加＞0且加wl,

蒙日圓方程為f+v=m+1,蒙日圓的圓心為原點。，半徑為標斤，

圓（x—3）2+（y—4）2=9的圓心為4（3,4）,半徑為3，

因為兩圓只有一個公共點，則兩圓外切或內(nèi)切，

則|。4|=3+（加+1或|。4|=|3—，0+1],

又因為=13?+4?=5,所以，3+癡+[=5或|3-加+1卜5,解得機=3或63,

故選：B.

5.有5個人到南京、鎮(zhèn)江、揚州三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個學(xué)校錄用，每個學(xué)

校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）

A.300B.360C.390D.420

[答案』C

k解析1（1）當5人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為A；=60;

C2cl

⑵當5人中有四人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為=180；

A?

c2c之de4

（3）當5人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為」^A；+二^A；=150；

A；A；

綜上不同的錄取情況數(shù)共有60+180+150=390.

故選：C.

20241

6.已知a=------,&=lnc=tan,則（)

202320232023

A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.c<a<b

k答案』A

K解析廠In墨=1(1+/],11

b—a—In1+

20232023

1丫

設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(O<xvl),則/"(%)=-----1=---------<0,

1+X1+X

\f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，???/(壺)</(o)=o.

即ln(l+」一1

<------:.b<a\

I20232023

令g(x)=tanx-x(0<x<l),貝!Jg'(x)=―\——1>0,g(%)是增函數(shù),

COSX

所以g［短］〉g⑼川11

即tan>----貝-I-]c>a,

20232023

綜上所述：b<a<c.

故選：A.

7.某中學(xué)校園內(nèi)紅豆樹已有百年歷史，小明為了測量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部C

在同一水平面的A,B兩點，在A點測得紅豆樹根部。在北偏西60。的方向上，沿正西方

向步行40米到B處，測得樹根部。在北偏西15。的方向上，樹梢。的仰角為30。，則紅豆

樹的高度為（）

A.10痣米B.20g"米C.如叵米D.史亞米

33

（答案ID

k解析》依題意可得如下圖形:

D

在一ABC中，ABAC=30°-ZABC=105°-ZBG4=75°-30°=45°，AB=40,

所以由正弦定理得：就科=篇'解得：BC=2W，

在Rt_5CD,ZCfiD=30°，

所以CD=BCtan30°=20&x走=迎?，則紅豆樹的高度為迎E米.

333

故選：D

8.斜率為;的直線/經(jīng)過雙曲線二-占=1（。>0/>0）的左焦點耳，與雙曲線左，右兩支分

別交于A,B兩點，以雙曲線右焦點工為圓心的圓經(jīng)過A,8,則該雙曲線的離心率為（）

A.V2B.C.-^5Df

（答案』D

由題意可知：|A月|=|典則gLAB,

設(shè)|相|=">0,則配卜的=2匹

即忸閭=|AF^=772+2。，

因為忸周一忸閭=2a,則忸制=忸閭+2a=m+4a,

可得|AA/j=51AB|=2a"=|A閶=根+2〃,

又因為直線A3的斜率為g,

即tanNA耳工二；,且/A工耳為銳角，

sin1

AAFXF2_sinZAFK=——smZAFF=-

5x25

則＜cos/A耳與2，可得＜廠或＜

2出275

sin2ZAFF+cos2ZAFF=1coscosNAT譙=-

i2{2ZAFXF2=-----

(舍去)，

則|“用=閨工忖11/4大為=個,|“用=內(nèi)用<^a1耳為=胃，

且=|A&「，即4a2整理得c?=*/,

3

所以雙曲線的離心率e

故選：D.

二、多項選擇題

9.已知樣本數(shù)據(jù)占，%2),x“的平均數(shù)為無，則數(shù)據(jù)不，X2,L,xn,x()

A.與原數(shù)據(jù)的極差相同B.與原數(shù)據(jù)的眾數(shù)相同

C.與原數(shù)據(jù)的方差相同D.與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同

(答案》AD

K解析U不妨設(shè)石<L<xn,則玉WxW%,

對A,樣本數(shù)據(jù)Xpx2,，x”的極差為》“一石，

數(shù)據(jù)與X2,L,的極差也為％一西，A正確；

對B,如數(shù)據(jù)1,1,2,2,4的眾數(shù)為1和2,平均數(shù)為2,

數(shù)據(jù)1,1,2,2,4,2眾數(shù)為2,B錯誤；

對C,原數(shù)據(jù)的方差為s；=x)、?—3++<X—%)

n

(%—X)2+(%2—%)2+L+(%—X)2

新數(shù)據(jù)的方差為s；=

n+1

所以新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)方差不同，C錯誤;

對D,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為無，

新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

——玉+%+L+x+x_x+x+L+%+%_(〃+l)x_-

石---------------n-------x----2----------------------X，

〃+1〃+1〃+1

D正確；

故選:AD.

10.已知函數(shù)/(x)=2j5sinxcos1+e)，給出下列四個選項，正確的有()

A.函數(shù)〃力的最小正周期是兀

兀57r

B.函數(shù)/(九)在區(qū)間丁丁上是減函數(shù)

OO

函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點-1,0對稱

D.函數(shù)/(力的圖象可由函數(shù)y=J^sin2x的圖象向左平移丁個單位，再向下平移1個單

8

位得到

K答案UABD

71

K解析Xf(x)=2近sinxcosXH--

4

兀..兀

=20sinxcosxcos——sinxsm—

44

=2sinxcosx-2sin2x=sin2x+cos2x-l

‘交sin2x+旦。s2x1—l=0

=A/2sin12%+；,

S2J

所以函數(shù)/(%)的最小正周期是7=牛=兀，故A正確;

713TT

?■-2x+r5'T

71371

又、=$[11%在—上單調(diào)遞減,

jl5

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確;

OO

行sinO-1=-1/0,所以函數(shù)/（力的圖象不關(guān)于點-對稱，故C

錯誤；將y=0sin2x的圖象向左平移9個單位得到

O

y=J5sin2[x+=J5sin[2x+；）,再將y=J5sin[2x+[）向下平移1個單位得到

y=0sin|2x+；,故D正確.故選：ABD.

11.如圖，該幾何體是由正方形A3CD沿直線A3旋轉(zhuǎn)90得到的，已知點G是圓弧CE的

中點，點”是圓弧。尸上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的是（）

A.不存在點H,使得CH，平面BDG

B.存在點H,使得平面AHE〃平面BDG

C.存在點“，使得直線與平面BDG的所成角的余弦值為五

3

D.不存在點使得平面BDG與平面CEH的夾角的余弦值為g

[答案XBCD

k解析》由題意，可將幾何體補全為一個正方體AQMF-6QVE,建立空間直角坐標系,

如圖所示，

z

設(shè)正方體棱長為2,則A（0,0,0）,5（0,0,2）,C（2,0,2）,D（2,0,0）,

G（V2,V2,2）,E（0,2,2）,F（0,2,0）,設(shè)“（2??%25皿③0）［0<￡<>|

對于A選項，假設(shè)存在點〃，使得CH1.平面BDG,

因為CH=（2cosa_2,2sintz,—2）,DB=（-2,0,2）,3G=（四，點,0）,

CH?DB=4—4cosi—4=01sin。=1

則〈/-z、i—，可得｛,

CHBG=2V2（cosa—1）+2y/2sina=0〔cos。二0

jrjr

因為0Vtz<—，則（/=—,

22

即當點”與點廠重合時，CHL平面BDG,故A選項錯誤；

對于B選項，由A選項可知，平面加G的一個法向量為bC=（2,—2,2）,

假設(shè)存在點”，使得平面A7/E〃平面3DG,則FCLA/Z,FCLAE,

FC-AH=4cosa-4sina=0

AH=(2coscr,2sintz,0),AE=(0,2,2),貝卜,可得

FC-AE=-4+4=0

tana=L

7171

又因為0??！度f，解得。=工，即當點〃為。尸的中點時，平面AHE〃平面BDG,

故B選項正確;

對于C選項，若存在點〃，使得直線石H與平面BDG所成角的余弦值為五,

3

叵

則直線EH與平面&X7所成角的正弦值為

￡7/=(2cosdf,2sin6z-2,-2),

II\EH-FC\|4cos6z-4sin6z|

所以卜osEH,FC\=可=JI

|E//|-|FC|2gxJ4cos2o+4(sina—l)+4

|coscr-sincif|_V2

6d3-2sina3

整理可得3sin2a-4sina+3=0,

因為函數(shù)/(a)=3sin2a—4sina+3在ae0,^時的圖象是連續(xù)的,

且/(0)=3>0,/R=-4+3=-1<0,所以存在%W使得/'(a"。,

所以，存在點“，使得直線由與平面BDG所成角的余弦值為也，C選項正確;

3

對于D選項，設(shè)平面C￡H的法向量為〃=(x,y,z),

CE-(-2,2,0),CH-(2cosa-2.2sina.-2),

nCE=-2x+2y=0

則｛一,取x=l,貝！Jy=l,z=sina+cosa—l,

n-CH=2x(cosa-l)+2ysina-2z=0

可得〃=(l/,sina+cosa—l),

假設(shè)存在點H,使得平面BDG與平面CEH的夾角的余弦值為1,

I.1月2|sina+cosa-l|1

則cosn,FC\=4n—L=iJ---=-,

|n|-|FC|j2+(sina+cosa-l)2x2g3

可得(sina+cosa-l)2=1,即sina+cosa-l=±l可得sina+cosa=0或

sina+cosa=2,

因為a(?！?，則5a+5,則白vsin"酢1,

所以sina+cosa

71

故當aw0,—時，方程sina+cosa=0和sina+cosa=2均無解，

綜上所述，不存在點使得平面BDG與平面CEH的夾角的余弦值為,，故D選項正

3

確.故選:BCD

三、填空題

12.已知卜2yMx-y)5的展開式中必14的系數(shù)為80,則根的值為.

K答案X±2

K解析U由題意可知，-2yj(wu-y)5=^(nvc-y)5-2.y(nvc-y)5,

在:(如-的展開式中，由廣(―?=(—1)'/'G”y,

令1,得r無解，即口爾-JO'的展開式中沒有好:/的項；

在刀(g7)5的展開式中，由2yC；(〃優(yōu)廣(_0=2(—1)‘/匕產(chǎn)了+1,

5-r=2

令《解得廠=3,

r+l=4

即2y。加-y)5的展開式中x2/的項的系數(shù)為2(—I)，M-c：=_20m2,

所以(3-20(如—>)5的展開式中好;/的系數(shù)為20相2,

又因為狂2ym5的展開式中x2/的系數(shù)為80,

所以20/=80，解得加=±2.

所以m的值為±2.

故［答案X為：±2.

13.函數(shù)y=loga(x+2)-3(。>0且awl)的圖象恒過定點A,若點A在直線

〃1

mx+ny+l=O±.,其中m〃>0,則一+—的最小值為.

mn

K答案H5

k解析》對于函數(shù)y=loga(x+2)—3,令X+2=1,可得x=—Ly=-3,可知4(—1,—3),

若點4(一1,一3)在直線〃zr+"y+l=0上，則一加一3〃+1=0,即加+3〃=1,

n1nm+3nnm

則一+—=—+------=—+—+3,

mnmnmn

且mn>0,則一,一>0,

mn

r砥n1nm_

可得—I—=—I---F322J------1-3=5，

mnmn\mn

V!j

當且僅當一=—,即加=〃=—時，等號成立，

mn4

〃1

所以一+一的最小值為5.

mn

故K答案》為：5.

〃+In〃=3

14.已知實數(shù)加，〃滿足<?2一］皿，則根〃=________.

l+lnm=e

(答M3e2

K解析X由l+ln/Ti=e2-m機可得1+］口根=?娶("1n間，

由〃+1口〃=3得〃=匕3一"，

記g(x)=x—e3f,因為y=e'，在R上單調(diào)遞增，f=3—x在R上單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)性質(zhì)知y=e3r在R上在單調(diào)遞減，所以g(x)=x-e3r在R上單調(diào)遞增,

由“=可得g(〃)-n—e3^'1=0,又g(l+ln?z)=］+ln/n_e*"M"。=g,

因此l+ln/77=〃，由〃+ln九=3可得卜1九=3—〃，

所以ln〃+ln〃z=(3—〃)+(〃-1)=2,可得m”=e2,

故K答案為為：e2

四、解答題

15.己知函數(shù)/(%)=尤(46“+1),46氏

(1)若。=1,求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若/(x)2必在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解：(1)當a=l時，/(尤)=x(e*+l),/f(x)=eT(x+l)+l,

貝ij尸(0)=2,而/(0)=0,

所以曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程為y=2%；

(2)Vxe(0,+co),由/(幻之父，

得二，

ex

x—12—x

設(shè)g(x)=",貝Ug，(x)=一，

ee

2—x

令g'(%)=----=0,得％=2,

ex

則xe(O,2)時，g'(x)>0,函數(shù)g(K單調(diào)遞增,

時，gr(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

故g(x)max=g(2)=e-2,故a?e-2,

即實數(shù)a的取值范圍為［e-2,+oo).

16.某制藥公司研發(fā)一種新藥，需要研究某種藥物成分的含量x(單位：mg)與藥效指標

值y(單位：m)之間的關(guān)系，該公司研發(fā)部門進行了20次試驗，統(tǒng)計得到一組數(shù)據(jù)(七,K)

(z=l，2,…，20),其中西，為分別表示第i次試驗中這種藥物成分的含量和相應(yīng)的藥效

2020

指標值，已知該組數(shù)據(jù)中y與尤之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且Z%=60，Z%=1200,

Z=1Z=1

202020

?：=260,Z.=81000,2%%=4400.

i=li=ii=l

a)求y關(guān)于*的經(jīng)驗回歸方程f=%+6；

(2)該公司要用A與8兩套設(shè)備同時生產(chǎn)該種新藥，已知設(shè)備A的生產(chǎn)效率是設(shè)備3的2

倍，設(shè)備A生產(chǎn)藥品的不合格率為0.009,設(shè)備8生產(chǎn)藥品的不合格率為0.006,且設(shè)備A與

8生產(chǎn)的藥品是否合格相互獨立.

①從該公司生產(chǎn)的新藥中隨機抽取一件，求所抽藥品為不合格品的概率；

②在該新藥產(chǎn)品檢驗中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中至少有兩件是設(shè)備A生產(chǎn)的概率.

,訃-y)Exiyi-nxy

參考公式：B——二^=號-------h，-公?

￡(x，Tfxjx

i=li=l

_120

解(1)X—x60=3丁一”二—X1200=60

2020

_n___

^^y.-nxy

i=l4400-20x3x60

所以8二上一........---n-—

9260—20x32

Z")￡x；-nx

i=li=\

d=7—石：=60—10x3=30,所以,關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為》=10x+30.

(2)設(shè)事件A表示“隨機取一件藥品來自設(shè)備A生產(chǎn)”，事件8表示“隨機取一件藥品來自設(shè)

備8生產(chǎn)”，事件。表示“所抽藥品為不合格品”，

①因為設(shè)備A的生產(chǎn)效率是設(shè)備8的2倍，所以P(A)=|,P(B)=|,

「(C|A)=0.009,P(C|3)=0.006,

2I

所以P(C)=P(A)-P(C|A)+P(B)P(C|B)=-x0.009+-x0.006=0,008，

33

尸⑷P(C|A)-x0.0093

②P(A|C)=

P(C)______4

0.008

27

所以三件不合格品中至少有兩件是設(shè)備A生產(chǎn)的概率為P=

32

17.如圖，在四棱錐P—A6CD中，底面A3CD是平行四邊形，E、尸分別為A3、PD

「BEPF,

上的點，且----1-----=1.

CDPD

(1)證明：AF〃平面PCE；

（2）若平面ABC。，E為AB的中點，PD=AD=CD=2,ZBAD=6Q，求

二面角P-CE-F的正切值.

（1）證明：如圖，在CD上取一點G,使得CG=A￡,連接AG、FG,

BEPF,

因為——+=1,且ABCD是平行四邊形,

CDPD

,PF,BE

所以---=1----—---,WFGIIPC,

PDCDCD

又因為PCu平面PCE,FG<Z平面PCE,所以EG〃平面PCE,

因為四邊形ABCD是平行四邊形，則AE〃CG且CG=AE,

所以四邊形AECG是平行四邊形，WAGIIEC,

又因為ECu平面PCE,AGu平面PCE,所以AG〃平面PCE,

因為AGcFG=G,且尸G、AGu平面APG,所以平面AEG〃平面PCE,

因為A/u平面AFG,所以A尸〃平面PCE.

（2）解：當點E為AB的中點，平面ABCD,PD=AD=CD,/BAD=60時,

連接3。，則△A3。為等邊三角形，所以，DE±CD,

以點。為坐標原點，DE、DC、所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標系，

則C(0,2,0)、E(百,0,0)、F(0,0,1),尸(0,0,2),

所以CE=(g,—2,0),FE=(A/3,0,-1),PE=(A0,-2).

設(shè)平面FCE與平面PCE的法向量分別為四=(％,4)，n=(x2,y2,z2),

m-CE=\[3x-2y,=0frr\

則〈廠}，?。?2,可得加=2,"3,2。3卜

m-FE=—Z]=0

jfi.fi1313

所以，cosm,n==-7=-7=

帆卜同V19xV10V190

貝！Jsinm,n=

sinm,nA/21J190A/21

所以,tanm,n=-------=/-----x-----=----,

cosm.nJ1901313

由圖可知，二面角尸—CE—尸為銳角，故二面角P—CE—尸的正切值為叵

13

18.已知耳(-1,0),8(1,0),動點Z滿足|ZG|+|Z2|=4.

(1)求動點Z的軌跡曲線E的標準方程；

(2)四邊形A8CO內(nèi)接于曲線E,點A,8分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，設(shè)直線AC,

8。的斜率分別是跖左2,且勺&=：

(i)記直線AC,8。的交點為G,證明：點G在定直線上；

(ii)證明：AB//CD.

(1)解:因為|Z周+|Z周=4>|取引=2

所以Z點的軌跡是以耳，鳥為焦點的橢圓，其長軸長2。=4,焦距為2c=2,

b=[a2-=V3,

22

所以曲線E的標準方程為土+匕=1.

43

(2)證明：由題意作出圖形如圖所示

（i）設(shè)點G（x,y）,因為y=%（x—2）,所以左］=——,

,x-2

因為y=N九+G，所以心=匕@

X

因為《公=|,所以=整理得（2y—氐）（2y+&一2百）=0,

因為ABC。為四邊形，所以2y+gx—2百W0,

所以點G在定直線上~j3x-2y=0；

（ii）由題知A（2,0）,8（0,61直線A3：y=—

設(shè)C（國,乂）,￡＞（x2，%）,直線CD：y=Ax+〃z,

22

2

將丁="+機代入土+上一=1得（3+4左2）尤2+Skmx+4m-12=0,

43

8km4加2—12

所CCH以I玉+%=—彳記'XX,=--------丁

1-3+4產(chǎn)

22

y2-yfiy2y2kxix2+km（＜xi+x2^+m+m）

所以k=

為一2x2（%-2）/Xi%—

27\8km28km

k+km\----------------7+m-y/3m

I3+4左2374?—

4m2-12c

3+4左22

2223

3m-12k+4y/3km