四川省瀘州老窖天府中學2022-2023學年高二下學期第一次質量檢測理科數(shù)學試題

四川省瀘州老窖天府中學2022—2023學年第二學期第一次質量檢測高二數(shù)學理科時間：120分鐘滿分：150分一單項選擇題（每題5分，共12道小題，共計60分）1.設復數(shù)z滿足，則它的共軛復數(shù)的虛部為（）．A. B.1 C. D.i【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算得到，再由共軛復數(shù)的概念得到，即可判斷其虛部.【詳解】解：由復數(shù)z滿足，可得，則，所以它的共軛復數(shù)的虛部為，故選：A.2.橢圓的短軸的長是（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程確定其焦點位置，再根據(jù)短軸長的定義確定其短軸長.【詳解】橢圓的，，且焦點在軸上，所以橢圓的短軸長為，故選：C.3.“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式，根據(jù)與其解集的關系即可求出.【詳解】由解得：或，當時，能推出或成立，反之，不能由或推出，故“”是“”的充分不必要條件，故選A.【點睛】本題主要考查了二次不等式解法，充分必要條件的判定，屬于中檔題.4.如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖，則下列描述中不正確的是A.與去年同期相比2018年第一季度五個省的GDP總量均實現(xiàn)了增長B.2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C.2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)柱型圖與折線圖的性質，對選項中的結論逐一判斷即可，判斷過程注意增長量與增長率的區(qū)別與聯(lián)系.詳解】由2018年第一季度五省情況圖，知：在中,與去年同期相比，2018年第一季度五個省的總量均實現(xiàn)了增長，正確；在中，2018年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省，故正確；在中，2018年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省有江蘇和河南，共2個,故不正確；在中，去年同期河南省的總量增長百分之六點六后達到2018年的億元，可得去年同期河南省的總量不超過4000億元,故正確，故選C.【點睛】本題主要考查命題真假的判斷，考查折線圖、柱形圖等基礎知識，意在考查閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題.5.如表是某廠節(jié)能降耗技術改造后，在生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對應數(shù)據(jù)：34563m若根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法可求得對的回歸直線方程是，則表中的值為A.4 B. C.3 D.【答案】A【解析】【詳解】由題意可得，故樣本中心為．因為回歸直線過樣本中心，所以，解得．選A．6.在區(qū)間[－2,2]內(nèi)隨機取一個數(shù)x，使得不等式成立的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得,再根據(jù)幾何概型的計算方法求解即可.【詳解】解：由可得，由幾何概型的定義可得使不等式成立的概率為：.故選：B.7.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（）A.35 B.56 C.84 D.120【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，模擬程序運行即可得出結果.【詳解】第一次執(zhí)行程序，，第二次執(zhí)行程序，，以此類推，第六次執(zhí)行程序，，，不滿足，輸出.故選：B8.設實數(shù)，滿足，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對于A，B，D可以取特殊值驗證，對于C，根據(jù)題意得，，利用基本不等式求解即可.【詳解】對于A：當，時不成立，故A錯誤；對于B：當，，所以，，即，故B錯誤；對于C：因為，所以，又，所以（等號成立的條件是），故C正確.對于D：當，時不成立，故D錯誤；故選：C.9.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求函數(shù)在處的導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義確定切線斜率，并利用點斜式求切線方程.【詳解】函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)，所以，所以曲線在點處的切線的斜率為1，又，故曲線在點處的切線方程為.故選：D.10.已知函數(shù)有兩個極值點求的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題化為有兩個實根，即在上有兩個交點，利用導數(shù)研究的值域，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題意，令，即有兩個左右異號的實根，所以在上有兩個交點，令，記在上單調(diào)遞減，且，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，當趨向于時趨向；當趨向于時趨向，綜上，當，即時在上有兩個交點.故選：A11.如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線與圓在第二象限的一個交點，點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接,設,設，由題意推得，可得，根據(jù),可得，在中，由余弦定理推得，從而求得，可得，進而求得雙曲線離心率.【詳解】由題意知，連接,設,設，由雙曲線的定義可得，點是雙曲線與圓在第二象限的一個交點，可得，則，即，在中，，由,則，由雙曲線的定義可得,因為，故，所以，在中，，由余弦定理可得：,即，所以，結合，可得，所以，故所以雙曲線的離心率為，則，故選；D【點睛】方法點睛：求解雙曲線的離心率問題，一般是要推出之間的關系式，即可求得離心率，本題中，結合題意連接,設,設，利用圖形的幾何性質，結合余弦定理，逐步求得，則問題得解.12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù)討論單調(diào)性和最值可比較得，再構造函數(shù)可比較得.【詳解】設，令解得，令解得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時取等，所以，所以，即.設，所以，即當時，，所以，綜上所述，，故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于利用導數(shù)與最值之間的關系證明不等式和當時，，根據(jù)不等式賦值即可比較大小.二填空題（每題5分，共4道小題，共計20分）13.如圖的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次體育測試中的成績（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為18，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為16，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖和題中所說的平均數(shù)和中位數(shù)計算未知量即可.【詳解】由莖葉圖得甲組數(shù)據(jù)為：9，12，，24，27，因為甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為18，所以，解得;由莖葉圖可知乙組數(shù)據(jù)為：9，15，，18，24，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為16，所以，解得，所以．故答案為：214.設x，y滿足約束條件，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，進而利用直線的截距即可確定最優(yōu)解，進而可求最值.【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，聯(lián)立，解得，當直線經(jīng)過點A（1，2）時，縱截距-z最大，則z取最小值，此時.故答案為：15.寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線斜率不為0，不妨設直線方程為，于是，故①，于是或，再結合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.

16.關于函數(shù)頭有如下四個命題：①函數(shù)的圖象是軸對稱圖象；②當時，函數(shù)有兩個零點；③函數(shù)的圖象關于點中心對稱；④過點且與曲線相切的直線有兩條．其中所有真命題序號是______（填上所有正確的序號）．【答案】①③④．【解析】【分析】對①求出導函數(shù)是二次函數(shù)，可直接判斷；對②利用導數(shù)研究函數(shù)圖象與性質即可判斷與軸的交點個數(shù)；對③根據(jù)對稱中心的概念即可判斷；對④根據(jù)題意轉化為有兩個解，即可求解.【詳解】因為，所以對稱軸是，故①正確；因時，所以在上單調(diào)遞減；時或，所以在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為，因為，則函數(shù)有1個零點，故②錯誤；，，所以函數(shù)函數(shù)的圖象關于點中心對稱，故③正確；設切點為，所以，所以切線方程為，因為經(jīng)過點，所以，即，解得或，此時方程有兩個解，過點且與曲線相切的直線有兩條，故④正確；故答案為：①③④．三解答題（共6道小題，共計70分，寫清楚必要演算步驟和解題過程）17.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，求的最值.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為和；遞減區(qū)間為.（Ⅱ）最大值為11；最小值為-16.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知中函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)的解析式，結合二次函數(shù)的圖象和性質，分析導函數(shù)在各區(qū)間上的符號，可得的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）中函數(shù)的單調(diào)性，分析當時，函數(shù)的極值和區(qū)間端點對應的函數(shù)值，比照后可得的最大值與最小值．【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，由，得和.∴當或時，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù).∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；遞減區(qū)間為.（Ⅱ）∵，由（Ⅰ）知當，，當時，，∴在處取得極大值也是最大值，∵，，，∴.∴時函數(shù)的最大值為11；時函數(shù)的最小值為-16.【點睛】本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值，是導數(shù)的簡單綜合應用，屬于基礎題．18.某電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為體育迷.若抽取100人中有女性55人，其中女體育迷有10人，完成答題卡中的列聯(lián)表并判斷能否在犯錯誤概率不超過的前提下認為體育迷與性別有關系？非體育迷體育迷合計男女1055合計附表及公式：，.【答案】表格見解析；不能【解析】【分析】先根據(jù)頻率分布直方圖求體育迷觀眾人數(shù)，進而得到男體育迷人數(shù)、男非體育迷人數(shù)、女非體育迷人數(shù)、填入表格；再根據(jù)卡方公式求卡方，對照數(shù)據(jù)作出判斷.【詳解】由直方圖可知，100名觀眾中體育迷觀眾有名，所以男體育迷有，男非體育迷有名.所以列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男女合計.故不能在犯錯概率不超過的前提下認為體育迷與性別有關系.【點睛】本題考查頻率分布直方圖以及卡方公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.19.在平面直角坐標系中，的頂點分別為.（1）求外接圓的方程；（2）若直線經(jīng)過點，且與圓相交所得的弦長為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）先設圓的方程為，根據(jù)圓過，，三點，列出方程組，即可求出結果；（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況，分別用代數(shù)法聯(lián)立直線與圓的方程，結合弦長公式求解，即可得出結果.【詳解】（1）設圓的方程為，因為圓過三點，所以有，解得，，∴外接圓的方程為，即.（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，聯(lián)立，得或，此時弦長為，滿足題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，由于圓心到該直線的距離為，故，解得，∴直線的方程為，即.綜上可得，直線的方程為或.【點睛】本題主要考查求圓的方程，以及已知弦長求直線方程的問題，通常需要聯(lián)立直線與圓的方程，結合弦長公式求解，屬于?？碱}型.20.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求解.（2）求出導函數(shù)，分情況求解不等式和即可得解.【小問1詳解】當時，，，，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】，當，令得，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當，令得，當時，由得或，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當時，由得或，由得，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.21.已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，求的最大值．【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）【解析】【分析】（1），討論或判斷的單調(diào)性；（2）由題意可得：對任意恒成立，即，通過導數(shù)求的最小值．【小問1詳解】，當時，當恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】依題意得對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，，當時，，即；當時，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故的最大值為．22.已知焦點在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．（1）求橢圓的標準方程；（2）如