2024年中考數(shù)學復(fù)習（全國版）第五章 四邊形（測試）（解析版）

第五章四邊形

（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,則這個正多邊形是（）

A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

【答案】C

【分析】設(shè)這個外角是爐，則內(nèi)角是3x。，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補列出方程求出外角的度數(shù)，根據(jù)

多邊形的外角和是360。即可求解.

【詳解】解：：一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,

.?.設(shè)這個外角是尤。,則內(nèi)角是3x。，

根據(jù)題意得：x+3x=180°,

解得：無=45°,

360°+45°=8（邊）,

故選：C.

【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補列出方程是解題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學與實際生活—利用數(shù)學知識解決實際問題

2.如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框

之中.如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角Nl=（）

圖1圖2

A.45°B.60°C.110°D.135°

【答案】A

【分析】由正八邊形的外角和為360。，結(jié)合正八邊形的每一個外角都相等，再列式計算即可.

【詳解】解：???正八邊形的外角和為360。，

故選A

【點睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為360。是解本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在12aBe。中，一定正確的是（）

A.AD=CDB.AC=BDC.AB=CDD.CD=BC

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，然后對各選項進行判斷即可.

【詳解】解：：四邊形是平行四邊形，

：.AB=CD,AD=BC.

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).

4.如圖，在菱形A8C。中，對角線AC,8。相交于點。，點E為CD的中點.若OE=3,則菱形ABC。

的周長為（）

AD

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】由菱形的性質(zhì)可得出8。=。。，AB=BC=CD=DA,再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得BC=2OE=6,結(jié)合

菱形的周長公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：；四邊形ABC。為菱形，

：.BO=DO,AB=BC=CD=DA,

,：OE=3,且點石為。。的中點，

OE是△BCD的中位線，

：.BC=2OE=6.

：.菱形ABCD的周長為：4BC=4x6=24.

故選：c.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出BC=6.

5.下列說法鎮(zhèn)用的是（）

A.對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形

B.同圓或等圓中，同弧對應(yīng)的圓周角相等

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圓周角定理，分別分析得出答案.

【詳解】解：A.對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，所以A選項說法正確，故A選項不符合題意；

B.同圓或等圓中，同弧對應(yīng)的圓周角相等，所以A選項說法正確，故B選項不符合題意；

C.對角線相等的四邊形是不一定是矩形，所以C選項說法不正確，故C選項符合題意；

D.對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以D選項說法正確，故D選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定等知識，熟練掌握圓周角定

理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定方法等進行求解是解決本題的關(guān)鍵.

6.【創(chuàng)新題】如圖，拋物線y=a/+c經(jīng)過正方形。48C的三個頂點A,B,C,點8在、軸上，則ac的值

【答案】B

【分析】連接北，交y軸于點。，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知"=。8=24。=2。。，然后可得點4（|,|）,

進而代入求解即可.

【詳解】解：連接2C,交y軸于點。，如圖所示:

當％=0時，則y=c,即。8=c,

???四邊形04BC是正方形，

：.AC=OB=2AD=20D=c,AC1OB,

???f=ax，+c,

解得：ac=-2,

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】梯子模型

7.如圖，已知AMON=90。，線段力B長為6,AB兩端分別在。M、ON上滑動，以力B為邊作正方形

ABCD,對角線AC、BD相交于點P,連接。C.則。C的最大值為（）

【答案】C

【分析】取力B的中點E,連接。E、CE,根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得。E=

BE=\AB,再根據(jù)勾股定理求得CE='BE?+CB2=3瓜即可根據(jù)“兩點之間線段最短”得。C<3+

3V5,則。C的最大值為3+3西，于是得到問題的答案.

【詳解】解：取AB的中點E,連接OE、CE,

0E=BE=-AB=3,

2

???四邊形4BC0是正方形，

???乙CBE=90°,CB=AB=6,

??.CE=<BE2+CB2=V32+62=3V5,

OC<OE+CE,

???OC<3+3V5,

OC的最大值為3+3A/5,

故選：C.

【點睛】此題重點考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、兩點之間線

段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】半角模型

8.如圖，在正方形4BCD中，點E,F分別在BC,CD上，連接ZE,AF,EF,^EAF=45°.若4B4E=

A.2aB.90°-2aC.45°-aD.90。-a

【答案】A

【分析】利用三角形逆時針旋轉(zhuǎn)90。后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求

解.

【詳解】將△4DF繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。至△48”，

：.AB=AD,AABC=NO=匕BAD=Z.C=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：Z-DAF=Z.BAH,ZD==90°,AF=AH,

：.Z-ABH+^LABC=180°,

???點H,B,。三點共線，

,：Z.BAE=a,Z.EAF=45°,/LBAD=Z.HAF=90°,

：.Z.DAF=乙BAH=45°-a,^EAF=^EAH=45°,

\^AHB+^BAH=90°,

：.Z.AHB=45。+。，

在AAEF和中

AF=AH

Z-FAE=^HAE，

AE-AE

：.△AFE=AHE(SAS),

：.￡.AHE=/-AFE=45。+a,

：,Z-AHE=^.AFD=/.AFE=45。+a,

:?(DFE=AAFD+AAFE=90°+2a,

???乙DFE=乙FEC+ZC=乙FEC+90°,

/.Z-FEC=2a,

故選：A.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋

轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度.

9.如圖，點O為矩形A8CQ的對稱中心，點E從點A出發(fā)沿A8向點B運動，移動到點8停止，延長E。

交CD于點F,則四邊形AECF形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一正方形一平行四邊形一矩形

B.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形

C.平行四邊形-正方形一菱形一矩形

D.平行四邊形一菱形-正方形一矩形

【答案】B

【分析】根據(jù)對稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形AECP形狀的變化情況.

【詳解】解：觀察圖形可知，四邊形AEC尸形狀的變化依次為平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形.

故選：B.

【點睛】考查了中心對稱，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，根據(jù)EF與AC的位置關(guān)

系即可求解.

10.如圖，已知菱形力BCD的邊長為2,對角線AC、BD相交于點。，點N分別是邊BC、CD上的動

點，^BAC=AMAN=60°,連接MN、0M.以下四個結(jié)論正確的是（）

①AAMN是等邊三角形；②MN的最小值是舊；③當MN最小時SACMN=^S菱形4BCD；④當。M1BC時,

0A2=DN-AB.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證出NM4C=NZMN,然后證△

CAM=ADANIASA）,AM=AN,即可證出.

②當兒W最小值時，即AM為最小值，當4M1BC時，AM值最小，利用勾股定理求出AM=

7AB2-BM2=V22-I2=V3,即可得到MN的值.

③當最小時，點M、N分別為BC、CZ)中點，利用三角形中位線定理得到4CLMN,用勾股定理求出

CE=y/CN2-EN2=J12-歲2=SHMN-|x|xV3=y,而菱形ABCD的面積為：2x遮=

2V3,即可得到答案.

④當。M1BC時，可證△OCMsABC。，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得。。2=BC,根據(jù)等量代

換，最后得到答案.

【詳解】解：如圖：在菱形ABCO中，A2=BC=AD=CZ),AC1BD,OA=OC,

'：Z.BAC=乙MAN=60°,

:.乙ACB=AADC=60°,△力BC與△4DC為等邊三角形，

又NM4C=/.MAN-乙CAN=60°-/.CAN,

4DAN=/.DAC-乙CAN=60°-乙CAN,

J./.MAC=/.DAN,

在△乙4用與4DAN中

/.CAM=4DAN

AC=AC

.AACM=乙ADN

：.△CAM三△DAN(ASA),

：.AM=AN,

即A4MN為等邊三角形，

故①正確；

'：AC1BD,

當MN最小值時，即AM為最小值，當4M1BC時，AM值最小，

'：AB=2,BM=-BC=1,

2

：.AM=7AB2一BM2=V22-I2=V3

即MN=V3,

故②正確；

當MN最小時，點M、N分別為BC、CO中點，

：.MN\\BD,

：.AC1MN,

在△CMN中，

CE=y/CN2-EN2=Jl2-(y)2=I，

?c11nzV3

?*S^CMN=；x三x73=—,

zzq

而菱形ABC。的面積為：2xV5=2W，

/.ix2V3=—,

84

故③正確，

當OMIBC時，

~BOC=匕OMC=90°

t1.0CM=乙BCO

：.△OCM?△BC。

.OC_CM

"BC-OC

：.OC2=CM-BC

：.OA2=DN-AB

故④正確；

故選：D.

【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，三角

形中位線定理等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11?【原創(chuàng)題】|一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之和為900。，則這個多邊形的邊數(shù)為.

【答案】5

【分析】本題需先根據(jù)已知條件以及多邊形的外角和是360。，解出內(nèi)角和的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和度數(shù)的計

算公式即可求出邊數(shù).

【詳解】解：：多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為900。，多邊形的外角和是360。，

多邊形的內(nèi)角和是900-360=540°,

多邊形的邊數(shù)是：540。勺80。+2=3+2=5.

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角，在解題時要根據(jù)外角和的度數(shù)以及內(nèi)角和度數(shù)的計算公式解

出本題即可.

12.數(shù)學實踐活動中，為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的A,2兩點的距離，同學們在2B外選擇一點C,測得

力兩邊中點的距離OE為10m（如圖），則A,8兩點的距離是m.

【分析】根據(jù)題意得出DE為AABC的中位線，然后利用其性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：：點。、E為AC,8C的中點，

為AABC的中位線，

VZ)E=10,

：.AB=2.DE=20,

故答案為：20.

【點睛】題目主要考查三角形中位線的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分

的面積為.

【答案】15

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進行求解.

【詳解】解：如圖，

A10D

由題意可知4。=DC=10,CG=CE=GF=6,Z.CEF=Z.EFG=90°,GH=4,

:.CH=10=AD,

,:KD=Z.DCH=90°,Z.AJD=Z.HJC,

：.AADJ三△HC/(AAS),

：.CJ=DJ=5,

：.E]=1,

VGI||C],

：.△HGlsxHCJ,

,GI_GH_2

??CJ-CH-5’

：.GI=2,

：.FI=4,

???S梯形初F=*E7+F)EF=15；

故答案為15.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】十字架模型

14.如圖，在正方形48C。中，點E是邊8C上的一點，點p在邊的延長線上，且BE=DF,連接EF

交邊于點G.過點A作力N1EF,垂足為點交邊于點N.若BE=5,CN=8,則線段AN的

長為

BEC

【答案】4V34

【分析】連接AE、AF.EN,首先可證得△力BE三△4DF(S4S),AE=AF,可證得AN垂直平分EF,可得

EN=FN,再根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長，再根據(jù)勾股定理即可求得AN的長.

【詳解】解：如圖：連接AE、AF.EN,

?-?TSAB=BC=CD=AD=a,NB=NADF=90。,

在AABE與AADF中，

AB=AD

Z-B=Z.ADF

.BE=DF

???^ABE^J\ADF(SAS),

???AE=AF,

A4EF是等腰三角形，

又?■?4"1EF,

???AN垂直平分EF,

???EN=FN=DN+DF=CD-CN+DF=a-8+5=a-3,

又???BE=5,

?1?EC=BC-BE=a-5,

在RtAECN中，???EN2=EC2+CN2,

(n-3)2—(a—5)2+8?,

解得a=20,

■■.AD=20,DN=CD-CN=20-8=12,

在RSADN中，-AN2=AD2+DN2,

AN=7AD2+DN2=7202+122=4房,

故答案為：4V34.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分

線的性質(zhì)，勾股定理，證得4V垂直平分E尸是解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，E,尸是正方形力BCD的邊48的三等分點，P是對角線北上的動點，當PE+PF取得最小值時，

【分析】作點尸關(guān)于4C的對稱點F',連接EF咬4C于點P,此時PE+PF取得最小值，過點F'作4。的垂線

段，交4C于點K,根據(jù)題意可知點F'落在4D上，設(shè)正方形的邊長為a,求得AK的邊長，證明

KF'P',可得第=2,即可解答.

【詳解】解：作點/關(guān)于4C的對稱點尸'，連接E戶交2C于點P,過點F'作2。的垂線段，交AC于點K,

由題意得：此時F'落在2。上，且根據(jù)對稱的性質(zhì)，當尸點與P'重合時PE+PF取得最小值，

設(shè)正方形4BCD的邊長為a,則4F'=4F=|a,

???四邊形48CD是正方形，

AF'AK=45°,AP'AE=45°,AC=&a

F'K1AF',

?-?/.F'AK=Z.F'KA=45°,

???AK=—a,

3

乙F'P'K=AEP'A,

E'KP'-AEAP',

F'KKP'r

—=--7=2,

AEAP'

：.AP'=-AK=-V2a,

39

CP'^AC-AP'=（缶，

.AP'_2

「CP'~7'

.,當PE+PF取得最小值時，器的值是為:

故答案為：泉

【點睛】本題考查了四邊形的最值問題，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的證明與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確

畫出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】對角互補模型

16.如圖，在四邊形力BCD中，4B=BC/力BC=NCDA=90°,BE14。于E,S四茲的BCO=則1的長

為

B

C

AED

【答案】同

【分析】過點B作BFLCD交DC的延長線交于點F,證明△AEB2△CFB(AAS)推出BE=BF,SAABE=

S^BFC，可得S四邊/ABCD=S正方形BEDF=12，由此即可解決問題；

【詳解】解：過點B作BFJ.CD交DC的延長線交于點F,如右圖所示，

VBF1CD,BE1AD

???ZBFC=ZBEA=90°

???ZABC=ZADC=90°

ZABE+Z.EBC=90°,ZEBC+zCBF=90°

ZABE=Z.CBF

???AB=CB

AEB^ACFB(AAS)

BE=BF,SAABE=SABFC

"S阿龍形ABCD=^JEWBEDF=1"

BExBF=10,

即BE2=10,

BE=V10,

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題，屬于中考常考題型.

三.解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分)

17.連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為多邊形的對角線.

(1)

(2)n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數(shù)n的值；如果不可以，請說明理由.

(3)若一個n邊形的內(nèi)角和為1800。，求它對角線的條數(shù).

【答案】(1)2；5；9；若2(2)n邊形可以有20條對角線，此時邊數(shù)n為八；(3)這個多邊形有54

條對角線

【詳解】分析：(1)設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為a。，根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式即可求出結(jié)論；

(2)假設(shè)可以，根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，可求出邊數(shù)，再套用多邊形對角線條數(shù)公式，即可得出結(jié)論.

詳解：(1)設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為an，

川?,,4x(4-3)5X(5-3)6X(6-3)_i-3)

火d4~2-乙，d5—2一。，《—2—力?一，而一7?

(2)假設(shè)可以，根據(jù)題意得：

峋3=20,

2

解得：n=8或n=-5(舍去)，

；.n邊形可以有20條對角線，此時邊數(shù)n為八.

(3):一個n邊形的內(nèi)角和為1800。，

/.180°x(n-2)=1800°,

解得：n=12,

.n(n-3)12x(12-3),.

..-------=-----------=54.

22

答：這個多邊形有54條對角線.

點睛：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、多邊形的對角線以及多邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：(1)根

據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式求出多邊形的對角線條數(shù)；(2)根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，列出關(guān)于n的一元

二次方程；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，求出邊數(shù)n.

18.學習了平行四邊形后，小虹進行了拓展性研究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分

線，那么這個平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分.她的解決思路是通過證明對

應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論.請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作4C的垂直平分線交DC于點E,交48于點E垂足為點0.（只保留作圖痕跡）

己知：如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，4C是對角線，EF垂直平分AC,垂足為點。.

求證：0E=OF.

證明：?..四邊形ABC。是平行四邊形，

：.DC||AB.

."EC。=①.

：￡尸垂直平分AC,

又乙EOC=（§）.

:.MOE=△40FG4S4）.

：.0E=OF.

小虹再進一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對角線2C中點的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此

特征.請你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形對角線中點的直線⑷.

【答案】作圖：見解析；立凡4。；AO=CO；NF04被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中

點平分

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的畫法作圖，再推理證明即可并得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，即為所求；

DC

/。B

證明：?.?四邊形4BCD是平行四邊形,

：.DC||AB.

."EC。=Z.FAO.

垂直平分AC,

：.A0=CO.

又乙EOC=Z.FOA.

△COE=AXOF(ASA).

：.0E=OF.

故答案為：NF4。；AO=CO-,NF04；

由此得到命題：過平行四邊形對角線中點的直線被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點平

分，

故答案為：被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點平分.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行

四邊形的性質(zhì)及線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，將矩形A2C。沿對角線AC折疊，點B的對應(yīng)點為E,AE與CD交于點八

(1)求證：ADAF=AECF；

⑵若NFCE=40°,求NC4B的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)NC4B=25°

【分析】(1)由矩形與折疊的性質(zhì)可得力。=BC=EC,ND=AB=NE=90。，從而可得結(jié)論；

(2)先證明=Z.ECF=40°,再求解NR48=/.DAB-/.DAF=90°-40°=50°,結(jié)合對折的性質(zhì)

可得答案.

【詳解】(1)證明：將矩形ABC。沿對角線AC折疊，

則4D=BC=EC,ND=N8=NE=90°.

在小D4尸和△ECF中,

（/.DFA=乙EFC,

（乙D=乙E,

（DA=EC,

△DAF為ECF.

（2）解：VADAF=^ECF,

J.^DAF=乙ECF=40°.

..?四邊形ABCO是矩形，

C.Z.DAB=90°.

：.^EAB=乙DAB-ADAF=90°-40°=50°,

VzFXC=4CAB,

"CAB=25°.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運用軸對稱的性質(zhì)

證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵.

【幾何模型】中點四邊形模型

20.我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.

（1）如圖1,四邊形ABC。中，點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,D4的中點.求證：中點四邊形

EEG”是平行四邊形；

（2）如圖2,點尸是四邊形ABC。內(nèi)一點，且滿足陰=尸2,PC=PD,ZAPB=ZCPD,點E,F,G,H分

別為邊AB,BC,CD,D4的中點，猜想中點四邊形EEG”的形狀，并證明你的猜想；

（3）若改變（2）中的條件，使NAP8=/CPD=90。，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFG”的形

狀.（不必證明）

F

圖1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形EFG”是菱形，證明見解析；（3）四邊形EFGH是正方形

【分析】（1）如圖1中，連接加，根據(jù)三角形中位線定理只要證明E?〃FG,E//=fG即可.

(2)四邊形EFGH是菱形.先證明△APC^ABPD,得至！JAC^BD,再證明EF=FG即可.

(3)四邊形EFGH是正方形，只要證明/￡〃G=90。，利用△APCgZkB尸。，得/ACP=/BDP,即可證明

ZCOD=ZCPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.

【詳解】(1)證明：如圖1中，連接80.

?點E,〃分別為邊AB,D4的中點，

1

:?EH〃BD,EH=-BD,

2

???點RG分別為邊BC,CO的中點，

1

:.FG〃BD,FG=-BD,

2

J.EH//FG,EH=GF,

???中點四邊形EbGH是平行四邊形.

(2)四邊形E尸GH是菱形.

證明：如圖2中，連接AC,BD.

'：ZAPB=ZCPD,

：./APB+NAPD=NCPD+/APD,

BP/APC=/BPD,

在△人尸。和45P。中，

?：AP=PB,ZAPC=ZBPD,PC=PD,

：.AAPC^ABPD(SAS),

：.AC=BD.

??,點E,F,G分別為邊AB,BC,CO的中點，

ii

：.EF^-AC,FG=-BD,

22

V四邊形EfGH是平行四邊形，

四邊形EBGX是菱形.

(3)四邊形E/G8是正方形.

證明：如圖2中，設(shè)AC與8。交于點。AC與P。交于點M,AC與EH交于點N.

:AAPC^ABPD,

：./ACP=/BDP,

,：ZDMO=ZCMP,

ZCOD=ZCPD=90°,

'."EH//BD,AC//HG,

：.ZEHG=ZENO=ZBOC=ZDOC=90°,

?.?四邊形EPGH是菱形,

【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)和中點四邊形，綜合性較強，作出適當輔助線是本題的關(guān)鍵.

【幾何模型】折疊模型

21.綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

⑴操作判斷

操作一：對折矩形紙片ABC。，使與8C重合，得到折痕ER把紙片展平；

操作二：在上選一點P,沿2尸折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據(jù)以上操作，當點〃在EF上時，寫出圖1中一個30。的角：.

（2）遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交C。于點°,連接BQ.

①如圖2,當點M在E尸上時，NMBQ=°,NCBQ=°；

②改變點尸在上的位置（點尸不與點A,。重合），如圖3,判斷/MB。與的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

(3)拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，已知正方形紙片ABC。的邊長為8cm,當/。=1cm時，直接寫出AP的長.

【答案】⑴N8ME或4aBp或NPBM或NMBC

(2)①15,15；②乙MBQ=KCBQ,理由見解析

(3)4P=^cm或IIcm

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BE=：BM,結(jié)合矩形的性質(zhì)得N8ME=30。，進而可得乙48P=

乙PBM=4MBC=30°；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RtABQMWRtABQC(HL),即可求解；

(3)由(2)可得QM=QC,分兩種情況：當點。在點尸的下方時，當點。在點尸的上方時，設(shè)4P=

PM=x,分別表示出產(chǎn)。，DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：???4E=BE=3a8,

1

BE=-BM

RF1

???乙BEM=90°,sinZBME=—=-

BM2

???Z-BME=30°

???乙MBE=60°

???Z.ABP=Z.PBM

???匕ABP=乙PBM=乙MBC=30°

(2),??四邊形ABC。是正方形

：.AB=BC,ZA=ZABC=ZC=90°

由折疊性質(zhì)得：AB=BMfZPMB=ZBMQ=ZA=90°

：.BM=BC

①???BM=BC,BQ=BQ

；?RtABQM=RtABQC(HL)

???Z-MBQ=乙CBQ

???乙MBC=30°

?，?Z.MBQ=乙CBQ=15°

②???BM=BC,BQ=BQ

???RtABQM=RtAFQC(HL)

乙MBQ=乙CBQ

(3)當點。在點尸的下方時，如圖,

圖3

FQ=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

QC=CD-DF-FQ=8-4-1=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)

由(2)可知，QM=QC

設(shè)/P=PM=x,PD=8—x,

PD2+DQ2=PQ2,

即(8—X)2+52=(%+3)2

解得：”詈

?.AP——cm；

li

當點。在點歹的上方時，如圖，

FQ=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

?1.QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，QM=QC

設(shè)AP=PM=x,PD=8-x,

???PD2+DQ2=PQ2,

即(8—%)2+32=(%+5)2

解得：x=g

.9.AP=—cm.

13

【點睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵.

22.如圖是4X4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).

4

B,

CC

圖1圖2

⑴在圖1中作乙48c的角平分線；

(2)在圖2中過點C作一條直線Z,使點4,8到直線1的距離相等.

【答案】(1)作圖見解析部分

(2)作圖見解析部分

【分析】(1)連接AC,HG,AC與HG交于點P,作射線BP即可；

(2)取格點D,過點C和點。作直線/即可.

【詳解】(1)解：如圖1,連接AC、HG,4：與HG交于點P,設(shè)小正方形的邊長為1個單位,

?.?線段4c和HG是矩形的兩條對角線且交于點P,

：.AP=CP,

又,.,AB=V22+l2=V5,BC=V22+I2=V5,

：.AB=BC,

C.BP^^-^ABC,

...射線BP即為所作；

HC

圖1

(2)如圖2,連接4D、AB.BC、CD,直線2經(jīng)過點C和點D,設(shè)小正方形的邊長為1個單位,

.\AB=V22+I2=V5,4。=V224-I2=V5,

BC=V224-I2=V5,CD=V22+l2=縣,

：.AB=AD=CD=BC,

???四邊形/BCD是菱形，

又???/￡*=OF=1,BE=AF=2,=4OFZ=90°,

在和△DF/中，

=DF

Z.AEB=Z.DFA

BE=AF

：.△AEB=△DFA(SAS),

：./.ABE=Z.DAF,

'：^ABE+^BAE=90°,

：.^DAF+^BAE=90°,

：./.BAD=90°,

???四邊形/BCD是正方形，

：.AD1Z,BC1Z,且40=BC,

???直線/即為所作.

【點睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判

定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，勾股定理等知識.解題的關(guān)鍵是理解題

意，學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

23.如圖，平行四邊形ABCD中，2B=5,BC=10,BC邊上的高AM=4,點E為BC邊上的動點(不與8、

C重合，過點E作直線4B的垂線，垂足為尸，連接。E、DF.

⑴求證：AABMFEBF；

(2)當點E為8C的中點時，求DE的長；

(3)設(shè)BE=尤,AOEF的面積為》求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當尤為何值時，y有最大值，最大值是

多少？

【答案】(1)證明見解析

Q)DE=4A/5

(3)解析式為y=—《(x—占)+當?shù)?自時，y有最大值為號1

【分析】(1)利用44證明AABM即可；

(2)過點E作ENL4D于點N,可得四邊形4MEN為矩形，從而得到NE=4M=4,4N=ME,再由勾股

定理求出BM=3,從而得到ME=AN=2,進而得到DN=8,再由勾股定理，即可求解；

(3)延長FE交DC的延長線于點G.根據(jù)sin/B=^=更，可得EF=±久，MWAXBM-AECG,可得

ABBE5

GC=|(10-x),從而得到DG=|(10-x)+5,再根據(jù)三角形的面積公式，得到函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)證明：是8c邊上的高，

：.AAMB=乙EFB=90°,

又，；4B=Z.B,

△ABMEBF；

(2)解：過點E作EN14D于點N,

在平行四邊形中，AD||BC,

又..NM是BC邊上的高，

C.AMLAD,

.?.乙4ME=/.MAN=LANE=90°,

四邊形4MEN為矩形，

：.NE=AM=4,AN=ME,

在Rt△4BM中，BM=y/AB2-AM2=V52-42=3,

又為BC的中點，

1

：.BE=-BC=5,

2

：.ME=AN=2,

：.DN=8,

在Rt△ONE中，DE=yjDN2+NE2=V42+82=4西;

(3)解：延長FE交。C的延長線于點G.

EF

.?2=非~BE9

,4_EF

**5x

=|4x,

：AB\\CDf

??乙B=^ECG,ZEGC=ZBFE=90°,

又??ZM8=乙EGC=90°,

\AABM~AECG,

.CG_EC

*BM~AB9

,CG10-x

*V-5'

'.￡；C=|(10-x),

?.DG=DC+CG=|(10-x)+5.

\y=^EF-DG=^x^x[|(10-%)+5)=一盤/+豈=一乳光一當了十詈,

..當x=臺時，y有最大值為號.

o6

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì),

解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在平面直角坐標系中，菱形。ABC的一邊OC在久軸正半軸上，頂點力的坐標為(2,2舊)，點。是邊

。。上的動點，過點。作。E1OB交邊。4于點E,作。尸||OB交邊于點F,連接EF.設(shè)。。=%,△DE尸的

面積為S.

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當x取何值時，S的值最大？請求出最大值.

【答案】⑴S=-yX2+2V3X

（2）當x=2時，S的最大值為2百

【分析】（1）過點2作力G10C于點G,連接AC,證明AAOC是等邊三角形，可得DE=x,進而證明小

CDFfCOB,得出DF=75（4—%）,根據(jù)三角形面積公式即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點4作4G10C于點G,連接AC,

:頂點4的坐標為（2,2次），

A0A=亞+（2V3）2=4,0G=2,AG=2日

COS/.A0G——

AO2

???乙40G=60°

???四邊形。是菱形，

:,乙BOC=乙4。8=30°,AC1BD,AO=OC,

△40C是等邊三角形，

：.^ACO=60°,

,：DE1OB,

：.DE\\AC,

?"EDO=Z.ACO=60°

???△E。。是等邊三角形，

ED=OD=x

9：DF||OB,

△CDFCOB,

.DF_C