2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第五章 四邊形（測(cè)試）（解析版）

第五章四邊形

（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,則這個(gè)正多邊形是（）

A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

【答案】C

【分析】設(shè)這個(gè)外角是爐，則內(nèi)角是3x。，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程求出外角的度數(shù)，根據(jù)

多邊形的外角和是360。即可求解.

【詳解】解：：一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,

.?.設(shè)這個(gè)外角是尤。,則內(nèi)角是3x。，

根據(jù)題意得：x+3x=180°,

解得：無(wú)=45°,

360°+45°=8（邊）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程是解題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活—利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題

2.如圖1是我國(guó)古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框

之中.如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角Nl=（）

圖1圖2

A.45°B.60°C.110°D.135°

【答案】A

【分析】由正八邊形的外角和為360。，結(jié)合正八邊形的每一個(gè)外角都相等，再列式計(jì)算即可.

【詳解】解：???正八邊形的外角和為360。，

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為360。是解本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在12aBe。中，一定正確的是（）

A.AD=CDB.AC=BDC.AB=CDD.CD=BC

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：：四邊形是平行四邊形，

：.AB=CD,AD=BC.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).

4.如圖，在菱形A8C。中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn).若OE=3,則菱形ABC。

的周長(zhǎng)為（）

AD

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】由菱形的性質(zhì)可得出8。=。。，AB=BC=CD=DA,再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得BC=2OE=6,結(jié)合

菱形的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：；四邊形ABC。為菱形，

：.BO=DO,AB=BC=CD=DA,

,：OE=3,且點(diǎn)石為。。的中點(diǎn)，

OE是△BCD的中位線，

：.BC=2OE=6.

：.菱形ABCD的周長(zhǎng)為：4BC=4x6=24.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出BC=6.

5.下列說法鎮(zhèn)用的是（）

A.對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形

B.同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等

C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

D.對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圓周角定理，分別分析得出答案.

【詳解】解：A.對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，所以A選項(xiàng)說法正確，故A選項(xiàng)不符合題意；

B.同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等，所以A選項(xiàng)說法正確，故B選項(xiàng)不符合題意；

C.對(duì)角線相等的四邊形是不一定是矩形，所以C選項(xiàng)說法不正確，故C選項(xiàng)符合題意；

D.對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以D選項(xiàng)說法正確，故D選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定

理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定方法等進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

6.【創(chuàng)新題】如圖，拋物線y=a/+c經(jīng)過正方形。48C的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)8在、軸上，則ac的值

【答案】B

【分析】連接北，交y軸于點(diǎn)。，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知"=。8=24。=2。。，然后可得點(diǎn)4（|,|）,

進(jìn)而代入求解即可.

【詳解】解：連接2C,交y軸于點(diǎn)。，如圖所示:

當(dāng)％=0時(shí)，則y=c,即。8=c,

???四邊形04BC是正方形，

：.AC=OB=2AD=20D=c,AC1OB,

???f=ax，+c,

解得：ac=-2,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】梯子模型

7.如圖，已知AMON=90。，線段力B長(zhǎng)為6,AB兩端分別在。M、ON上滑動(dòng)，以力B為邊作正方形

ABCD,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P,連接。C.則。C的最大值為（）

【答案】C

【分析】取力B的中點(diǎn)E,連接。E、CE,根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得。E=

BE=\AB,再根據(jù)勾股定理求得CE='BE?+CB2=3瓜即可根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得。C<3+

3V5,則。C的最大值為3+3西，于是得到問題的答案.

【詳解】解：取AB的中點(diǎn)E,連接OE、CE,

0E=BE=-AB=3,

2

???四邊形4BC0是正方形，

???乙CBE=90°,CB=AB=6,

??.CE=<BE2+CB2=V32+62=3V5,

OC<OE+CE,

???OC<3+3V5,

OC的最大值為3+3A/5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、兩點(diǎn)之間線

段最短等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】半角模型

8.如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，連接ZE,AF,EF,^EAF=45°.若4B4E=

A.2aB.90°-2aC.45°-aD.90。-a

【答案】A

【分析】利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求

解.

【詳解】將△4DF繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△48”，

：.AB=AD,AABC=NO=匕BAD=Z.C=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：Z-DAF=Z.BAH,ZD==90°,AF=AH,

：.Z-ABH+^LABC=180°,

???點(diǎn)H,B,。三點(diǎn)共線，

,：Z.BAE=a,Z.EAF=45°,/LBAD=Z.HAF=90°,

：.Z.DAF=乙BAH=45°-a,^EAF=^EAH=45°,

\^AHB+^BAH=90°,

：.Z.AHB=45。+。，

在AAEF和中

AF=AH

Z-FAE=^HAE，

AE-AE

：.△AFE=AHE(SAS),

：.￡.AHE=/-AFE=45。+a,

：,Z-AHE=^.AFD=/.AFE=45。+a,

:?(DFE=AAFD+AAFE=90°+2a,

???乙DFE=乙FEC+ZC=乙FEC+90°,

/.Z-FEC=2a,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋

轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度.

9.如圖，點(diǎn)O為矩形A8CQ的對(duì)稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿A8向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)8停止，延長(zhǎng)E。

交CD于點(diǎn)F,則四邊形AECF形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一正方形一平行四邊形一矩形

B.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形

C.平行四邊形-正方形一菱形一矩形

D.平行四邊形一菱形-正方形一矩形

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形AECP形狀的變化情況.

【詳解】解：觀察圖形可知，四邊形AEC尸形狀的變化依次為平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了中心對(duì)稱，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，根據(jù)EF與AC的位置關(guān)

系即可求解.

10.如圖，已知菱形力BCD的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)N分別是邊BC、CD上的動(dòng)

點(diǎn)，^BAC=AMAN=60°,連接MN、0M.以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）

①AAMN是等邊三角形；②MN的最小值是舊；③當(dāng)MN最小時(shí)SACMN=^S菱形4BCD；④當(dāng)。M1BC時(shí),

0A2=DN-AB.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證出NM4C=NZMN,然后證△

CAM=ADANIASA）,AM=AN,即可證出.

②當(dāng)兒W最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)4M1BC時(shí)，AM值最小，利用勾股定理求出AM=

7AB2-BM2=V22-I2=V3,即可得到MN的值.

③當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為BC、CZ)中點(diǎn)，利用三角形中位線定理得到4CLMN,用勾股定理求出

CE=y/CN2-EN2=J12-歲2=SHMN-|x|xV3=y,而菱形ABCD的面積為：2x遮=

2V3,即可得到答案.

④當(dāng)。M1BC時(shí)，可證△OCMsABC。，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得。。2=BC,根據(jù)等量代

換，最后得到答案.

【詳解】解：如圖：在菱形ABCO中，A2=BC=AD=CZ),AC1BD,OA=OC,

'：Z.BAC=乙MAN=60°,

:.乙ACB=AADC=60°,△力BC與△4DC為等邊三角形，

又NM4C=/.MAN-乙CAN=60°-/.CAN,

4DAN=/.DAC-乙CAN=60°-乙CAN,

J./.MAC=/.DAN,

在△乙4用與4DAN中

/.CAM=4DAN

AC=AC

.AACM=乙ADN

：.△CAM三△DAN(ASA),

：.AM=AN,

即A4MN為等邊三角形，

故①正確；

'：AC1BD,

當(dāng)MN最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)4M1BC時(shí)，AM值最小，

'：AB=2,BM=-BC=1,

2

：.AM=7AB2一BM2=V22-I2=V3

即MN=V3,

故②正確；

當(dāng)MN最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為BC、CO中點(diǎn)，

：.MN\\BD,

：.AC1MN,

在△CMN中，

CE=y/CN2-EN2=Jl2-(y)2=I，

?c11nzV3

?*S^CMN=；x三x73=—,

zzq

而菱形ABC。的面積為：2xV5=2W，

/.ix2V3=—,

84

故③正確，

當(dāng)OMIBC時(shí)，

~BOC=匕OMC=90°

t1.0CM=乙BCO

：.△OCM?△BC。

.OC_CM

"BC-OC

：.OC2=CM-BC

：.OA2=DN-AB

故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，三角

形中位線定理等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11?【原創(chuàng)題】|一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之和為900。，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

【答案】5

【分析】本題需先根據(jù)已知條件以及多邊形的外角和是360。，解出內(nèi)角和的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和度數(shù)的計(jì)

算公式即可求出邊數(shù).

【詳解】解：：多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為900。，多邊形的外角和是360。，

多邊形的內(nèi)角和是900-360=540°,

多邊形的邊數(shù)是：540。勺80。+2=3+2=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角，在解題時(shí)要根據(jù)外角和的度數(shù)以及內(nèi)角和度數(shù)的計(jì)算公式解

出本題即可.

12.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，為了測(cè)量校園內(nèi)被花壇隔開的A,2兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們?cè)?B外選擇一點(diǎn)C,測(cè)得

力兩邊中點(diǎn)的距離OE為10m（如圖），則A,8兩點(diǎn)的距離是m.

【分析】根據(jù)題意得出DE為AABC的中位線，然后利用其性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：：點(diǎn)。、E為AC,8C的中點(diǎn)，

為AABC的中位線，

VZ)E=10,

：.AB=2.DE=20,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形中位線的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分

的面積為.

【答案】15

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：如圖，

A10D

由題意可知4。=DC=10,CG=CE=GF=6,Z.CEF=Z.EFG=90°,GH=4,

:.CH=10=AD,

,:KD=Z.DCH=90°,Z.AJD=Z.HJC,

：.AADJ三△HC/(AAS),

：.CJ=DJ=5,

：.E]=1,

VGI||C],

：.△HGlsxHCJ,

,GI_GH_2

??CJ-CH-5’

：.GI=2,

：.FI=4,

???S梯形初F=*E7+F)EF=15；

故答案為15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】十字架模型

14.如圖，在正方形48C。中，點(diǎn)E是邊8C上的一點(diǎn)，點(diǎn)p在邊的延長(zhǎng)線上，且BE=DF,連接EF

交邊于點(diǎn)G.過點(diǎn)A作力N1EF,垂足為點(diǎn)交邊于點(diǎn)N.若BE=5,CN=8,則線段AN的

長(zhǎng)為

BEC

【答案】4V34

【分析】連接AE、AF.EN,首先可證得△力BE三△4DF(S4S),AE=AF,可證得AN垂直平分EF,可得

EN=FN,再根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求得AN的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖：連接AE、AF.EN,

?-?TSAB=BC=CD=AD=a,NB=NADF=90。,

在AABE與AADF中，

AB=AD

Z-B=Z.ADF

.BE=DF

???^ABE^J\ADF(SAS),

???AE=AF,

A4EF是等腰三角形，

又?■?4"1EF,

???AN垂直平分EF,

???EN=FN=DN+DF=CD-CN+DF=a-8+5=a-3,

又???BE=5,

?1?EC=BC-BE=a-5,

在RtAECN中，???EN2=EC2+CN2,

(n-3)2—(a—5)2+8?,

解得a=20,

■■.AD=20,DN=CD-CN=20-8=12,

在RSADN中，-AN2=AD2+DN2,

AN=7AD2+DN2=7202+122=4房,

故答案為：4V34.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分

線的性質(zhì)，勾股定理，證得4V垂直平分E尸是解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，E,尸是正方形力BCD的邊48的三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線北上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，

【分析】作點(diǎn)尸關(guān)于4C的對(duì)稱點(diǎn)F',連接EF咬4C于點(diǎn)P,此時(shí)PE+PF取得最小值，過點(diǎn)F'作4。的垂線

段，交4C于點(diǎn)K,根據(jù)題意可知點(diǎn)F'落在4D上，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,求得AK的邊長(zhǎng)，證明

KF'P',可得第=2,即可解答.

【詳解】解：作點(diǎn)/關(guān)于4C的對(duì)稱點(diǎn)尸'，連接E戶交2C于點(diǎn)P,過點(diǎn)F'作2。的垂線段，交AC于點(diǎn)K,

由題意得：此時(shí)F'落在2。上，且根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，當(dāng)尸點(diǎn)與P'重合時(shí)PE+PF取得最小值，

設(shè)正方形4BCD的邊長(zhǎng)為a,則4F'=4F=|a,

???四邊形48CD是正方形，

AF'AK=45°,AP'AE=45°,AC=&a

F'K1AF',

?-?/.F'AK=Z.F'KA=45°,

???AK=—a,

3

乙F'P'K=AEP'A,

E'KP'-AEAP',

F'KKP'r

—=--7=2,

AEAP'

：.AP'=-AK=-V2a,

39

CP'^AC-AP'=（缶，

.AP'_2

「CP'~7'

.,當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，器的值是為:

故答案為：泉

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的最值問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的證明與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確

畫出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】對(duì)角互補(bǔ)模型

16.如圖，在四邊形力BCD中，4B=BC/力BC=NCDA=90°,BE14。于E,S四茲的BCO=則1的長(zhǎng)

為

B

C

AED

【答案】同

【分析】過點(diǎn)B作BFLCD交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,證明△AEB2△CFB(AAS)推出BE=BF,SAABE=

S^BFC，可得S四邊/ABCD=S正方形BEDF=12，由此即可解決問題；

【詳解】解：過點(diǎn)B作BFJ.CD交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,如右圖所示，

VBF1CD,BE1AD

???ZBFC=ZBEA=90°

???ZABC=ZADC=90°

ZABE+Z.EBC=90°,ZEBC+zCBF=90°

ZABE=Z.CBF

???AB=CB

AEB^ACFB(AAS)

BE=BF,SAABE=SABFC

"S阿龍形ABCD=^JEWBEDF=1"

BExBF=10,

即BE2=10,

BE=V10,

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題，屬于中考?？碱}型.

三.解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分)

17.連接多邊形任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段稱為多邊形的對(duì)角線.

(1)

(2)n邊形可以有20條對(duì)角線嗎？如果可以，求邊數(shù)n的值；如果不可以，請(qǐng)說明理由.

(3)若一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1800。，求它對(duì)角線的條數(shù).

【答案】(1)2；5；9；若2(2)n邊形可以有20條對(duì)角線，此時(shí)邊數(shù)n為八；(3)這個(gè)多邊形有54

條對(duì)角線

【詳解】分析：(1)設(shè)n邊形的對(duì)角線條數(shù)為a。，根據(jù)多邊形對(duì)角線條數(shù)公式即可求出結(jié)論；

(2)假設(shè)可以，根據(jù)多邊形對(duì)角線條數(shù)公式，可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，可求出邊數(shù)，再套用多邊形對(duì)角線條數(shù)公式，即可得出結(jié)論.

詳解：(1)設(shè)n邊形的對(duì)角線條數(shù)為an，

川?,,4x(4-3)5X(5-3)6X(6-3)_i-3)

火d4~2-乙，d5—2一。，《—2—力?一，而一7?

(2)假設(shè)可以，根據(jù)題意得：

峋3=20,

2

解得：n=8或n=-5(舍去)，

；.n邊形可以有20條對(duì)角線，此時(shí)邊數(shù)n為八.

(3):一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1800。，

/.180°x(n-2)=1800°,

解得：n=12,

.n(n-3)12x(12-3),.

..-------=-----------=54.

22

答：這個(gè)多邊形有54條對(duì)角線.

點(diǎn)睛：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、多邊形的對(duì)角線以及多邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：(1)根

據(jù)多邊形對(duì)角線條數(shù)公式求出多邊形的對(duì)角線條數(shù)；(2)根據(jù)多邊形對(duì)角線條數(shù)公式，列出關(guān)于n的一元

二次方程；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，求出邊數(shù)n.

18.學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對(duì)角線的垂直平分

線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分.她的解決思路是通過證明對(duì)

應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作4C的垂直平分線交DC于點(diǎn)E,交48于點(diǎn)E垂足為點(diǎn)0.（只保留作圖痕跡）

己知：如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，4C是對(duì)角線，EF垂直平分AC,垂足為點(diǎn)。.

求證：0E=OF.

證明：?..四邊形ABC。是平行四邊形，

：.DC||AB.

."EC。=①.

：￡尸垂直平分AC,

又乙EOC=（§）.

:.MOE=△40FG4S4）.

：.0E=OF.

小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對(duì)角線2C中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形成的線段均有此

特征.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線⑷.

【答案】作圖：見解析；立凡4。；AO=CO；NF04被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中

點(diǎn)平分

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的畫法作圖，再推理證明即可并得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，即為所求；

DC

/。B

證明：?.?四邊形4BCD是平行四邊形,

：.DC||AB.

."EC。=Z.FAO.

垂直平分AC,

：.A0=CO.

又乙EOC=Z.FOA.

△COE=AXOF(ASA).

：.0E=OF.

故答案為：NF4。；AO=CO-,NF04；

由此得到命題：過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平

分，

故答案為：被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行

四邊形的性質(zhì)及線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，將矩形A2C。沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,AE與CD交于點(diǎn)八

(1)求證：ADAF=AECF；

⑵若NFCE=40°,求NC4B的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)NC4B=25°

【分析】(1)由矩形與折疊的性質(zhì)可得力。=BC=EC,ND=AB=NE=90。，從而可得結(jié)論；

(2)先證明=Z.ECF=40°,再求解NR48=/.DAB-/.DAF=90°-40°=50°,結(jié)合對(duì)折的性質(zhì)

可得答案.

【詳解】(1)證明：將矩形ABC。沿對(duì)角線AC折疊，

則4D=BC=EC,ND=N8=NE=90°.

在小D4尸和△ECF中,

（/.DFA=乙EFC,

（乙D=乙E,

（DA=EC,

△DAF為ECF.

（2）解：VADAF=^ECF,

J.^DAF=乙ECF=40°.

..?四邊形ABCO是矩形，

C.Z.DAB=90°.

：.^EAB=乙DAB-ADAF=90°-40°=50°,

VzFXC=4CAB,

"CAB=25°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)

證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵.

【幾何模型】中點(diǎn)四邊形模型

20.我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

（1）如圖1,四邊形ABC。中，點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn).求證：中點(diǎn)四邊形

EEG”是平行四邊形；

（2）如圖2,點(diǎn)尸是四邊形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且滿足陰=尸2,PC=PD,ZAPB=ZCPD,點(diǎn)E,F,G,H分

別為邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EEG”的形狀，并證明你的猜想；

（3）若改變（2）中的條件，使NAP8=/CPD=90。，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFG”的形

狀.（不必證明）

F

圖1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形EFG”是菱形，證明見解析；（3）四邊形EFGH是正方形

【分析】（1）如圖1中，連接加，根據(jù)三角形中位線定理只要證明E?〃FG,E//=fG即可.

(2)四邊形EFGH是菱形.先證明△APC^ABPD,得至！JAC^BD,再證明EF=FG即可.

(3)四邊形EFGH是正方形，只要證明/￡〃G=90。，利用△APCgZkB尸。，得/ACP=/BDP,即可證明

ZCOD=ZCPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.

【詳解】(1)證明：如圖1中，連接80.

?點(diǎn)E,〃分別為邊AB,D4的中點(diǎn)，

1

:?EH〃BD,EH=-BD,

2

???點(diǎn)RG分別為邊BC,CO的中點(diǎn)，

1

:.FG〃BD,FG=-BD,

2

J.EH//FG,EH=GF,

???中點(diǎn)四邊形EbGH是平行四邊形.

(2)四邊形E尸GH是菱形.

證明：如圖2中，連接AC,BD.

'：ZAPB=ZCPD,

：./APB+NAPD=NCPD+/APD,

BP/APC=/BPD,

在△人尸。和45P。中，

?：AP=PB,ZAPC=ZBPD,PC=PD,

：.AAPC^ABPD(SAS),

：.AC=BD.

??,點(diǎn)E,F,G分別為邊AB,BC,CO的中點(diǎn)，

ii

：.EF^-AC,FG=-BD,

22

V四邊形EfGH是平行四邊形，

四邊形EBGX是菱形.

(3)四邊形E/G8是正方形.

證明：如圖2中，設(shè)AC與8。交于點(diǎn)。AC與P。交于點(diǎn)M,AC與EH交于點(diǎn)N.

:AAPC^ABPD,

：./ACP=/BDP,

,：ZDMO=ZCMP,

ZCOD=ZCPD=90°,

'."EH//BD,AC//HG,

：.ZEHG=ZENO=ZBOC=ZDOC=90°,

?.?四邊形EPGH是菱形,

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)和中點(diǎn)四邊形，綜合性較強(qiáng)，作出適當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵.

【幾何模型】折疊模型

21.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

⑴操作判斷

操作一：對(duì)折矩形紙片ABC。，使與8C重合，得到折痕ER把紙片展平；

操作二：在上選一點(diǎn)P,沿2尸折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)〃在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30。的角：.

（2）遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交C。于點(diǎn)°,連接BQ.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在E尸上時(shí)，NMBQ=°,NCBQ=°；

②改變點(diǎn)尸在上的位置（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A,。重合），如圖3,判斷/MB。與的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

(3)拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，已知正方形紙片ABC。的邊長(zhǎng)為8cm,當(dāng)/。=1cm時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng).

【答案】⑴N8ME或4aBp或NPBM或NMBC

(2)①15,15；②乙MBQ=KCBQ,理由見解析

(3)4P=^cm或IIcm

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BE=：BM,結(jié)合矩形的性質(zhì)得N8ME=30。，進(jìn)而可得乙48P=

乙PBM=4MBC=30°；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RtABQMWRtABQC(HL),即可求解；

(3)由(2)可得QM=QC,分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的上方時(shí)，設(shè)4P=

PM=x,分別表示出產(chǎn)。，DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：???4E=BE=3a8,

1

BE=-BM

RF1

???乙BEM=90°,sinZBME=—=-

BM2

???Z-BME=30°

???乙MBE=60°

???Z.ABP=Z.PBM

???匕ABP=乙PBM=乙MBC=30°

(2),??四邊形ABC。是正方形

：.AB=BC,ZA=ZABC=ZC=90°

由折疊性質(zhì)得：AB=BMfZPMB=ZBMQ=ZA=90°

：.BM=BC

①???BM=BC,BQ=BQ

；?RtABQM=RtABQC(HL)

???Z-MBQ=乙CBQ

???乙MBC=30°

?，?Z.MBQ=乙CBQ=15°

②???BM=BC,BQ=BQ

???RtABQM=RtAFQC(HL)

乙MBQ=乙CBQ

(3)當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的下方時(shí)，如圖,

圖3

FQ=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

QC=CD-DF-FQ=8-4-1=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)

由(2)可知，QM=QC

設(shè)/P=PM=x,PD=8—x,

PD2+DQ2=PQ2,

即(8—X)2+52=(%+3)2

解得：”詈

?.AP——cm；

li

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)歹的上方時(shí)，如圖，

FQ=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

?1.QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，QM=QC

設(shè)AP=PM=x,PD=8-x,

???PD2+DQ2=PQ2,

即(8—%)2+32=(%+5)2

解得：x=g

.9.AP=—cm.

13

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵.

22.如圖是4X4的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).

4

B,

CC

圖1圖2

⑴在圖1中作乙48c的角平分線；

(2)在圖2中過點(diǎn)C作一條直線Z,使點(diǎn)4,8到直線1的距離相等.

【答案】(1)作圖見解析部分

(2)作圖見解析部分

【分析】(1)連接AC,HG,AC與HG交于點(diǎn)P,作射線BP即可；

(2)取格點(diǎn)D,過點(diǎn)C和點(diǎn)。作直線/即可.

【詳解】(1)解：如圖1,連接AC、HG,4：與HG交于點(diǎn)P,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位,

?.?線段4c和HG是矩形的兩條對(duì)角線且交于點(diǎn)P,

：.AP=CP,

又,.,AB=V22+l2=V5,BC=V22+I2=V5,

：.AB=BC,

C.BP^^-^ABC,

...射線BP即為所作；

HC

圖1

(2)如圖2,連接4D、AB.BC、CD,直線2經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位,

.\AB=V22+I2=V5,4。=V224-I2=V5,

BC=V224-I2=V5,CD=V22+l2=縣,

：.AB=AD=CD=BC,

???四邊形/BCD是菱形，

又???/￡*=OF=1,BE=AF=2,=4OFZ=90°,

在和△DF/中，

=DF

Z.AEB=Z.DFA

BE=AF

：.△AEB=△DFA(SAS),

：./.ABE=Z.DAF,

'：^ABE+^BAE=90°,

：.^DAF+^BAE=90°,

：./.BAD=90°,

???四邊形/BCD是正方形，

：.AD1Z,BC1Z,且40=BC,

???直線/即為所作.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判

定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，勾股定理等知識(shí).解題的關(guān)鍵是理解題

意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

23.如圖，平行四邊形ABCD中，2B=5,BC=10,BC邊上的高AM=4,點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與8、

C重合，過點(diǎn)E作直線4B的垂線，垂足為尸，連接。E、DF.

⑴求證：AABMFEBF；

(2)當(dāng)點(diǎn)E為8C的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長(zhǎng)；

(3)設(shè)BE=尤,AOEF的面積為》求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)尤為何值時(shí)，y有最大值，最大值是

多少？

【答案】(1)證明見解析

Q)DE=4A/5

(3)解析式為y=—《(x—占)+當(dāng)?shù)?自時(shí)，y有最大值為號(hào)1

【分析】(1)利用44證明AABM即可；

(2)過點(diǎn)E作ENL4D于點(diǎn)N,可得四邊形4MEN為矩形，從而得到NE=4M=4,4N=ME,再由勾股

定理求出BM=3,從而得到ME=AN=2,進(jìn)而得到DN=8,再由勾股定理，即可求解；

(3)延長(zhǎng)FE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.根據(jù)sin/B=^=更，可得EF=±久，MWAXBM-AECG,可得

ABBE5

GC=|(10-x),從而得到DG=|(10-x)+5,再根據(jù)三角形的面積公式，得到函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)證明：是8c邊上的高，

：.AAMB=乙EFB=90°,

又，；4B=Z.B,

△ABMEBF；

(2)解：過點(diǎn)E作EN14D于點(diǎn)N,

在平行四邊形中，AD||BC,

又..NM是BC邊上的高，

C.AMLAD,

.?.乙4ME=/.MAN=LANE=90°,

四邊形4MEN為矩形，

：.NE=AM=4,AN=ME,

在Rt△4BM中，BM=y/AB2-AM2=V52-42=3,

又為BC的中點(diǎn)，

1

：.BE=-BC=5,

2

：.ME=AN=2,

：.DN=8,

在Rt△ONE中，DE=yjDN2+NE2=V42+82=4西;

(3)解：延長(zhǎng)FE交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

EF

.?2=非~BE9

,4_EF

**5x

=|4x,

：AB\\CDf

??乙B=^ECG,ZEGC=ZBFE=90°,

又??ZM8=乙EGC=90°,

\AABM~AECG,

.CG_EC

*BM~AB9

,CG10-x

*V-5'

'.￡；C=|(10-x),

?.DG=DC+CG=|(10-x)+5.

\y=^EF-DG=^x^x[|(10-%)+5)=一盤/+豈=一乳光一當(dāng)了十詈,

..當(dāng)x=臺(tái)時(shí)，y有最大值為號(hào).

o6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì),

解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。ABC的一邊OC在久軸正半軸上，頂點(diǎn)力的坐標(biāo)為(2,2舊)，點(diǎn)。是邊

。。上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作。E1OB交邊。4于點(diǎn)E,作。尸||OB交邊于點(diǎn)F,連接EF.設(shè)。。=%,△DE尸的

面積為S.

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最大？請(qǐng)求出最大值.

【答案】⑴S=-yX2+2V3X

（2）當(dāng)x=2時(shí)，S的最大值為2百

【分析】（1）過點(diǎn)2作力G10C于點(diǎn)G,連接AC,證明AAOC是等邊三角形，可得DE=x,進(jìn)而證明小

CDFfCOB,得出DF=75（4—%）,根據(jù)三角形面積公式即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)4作4G10C于點(diǎn)G,連接AC,

:頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,2次），

A0A=亞+（2V3）2=4,0G=2,AG=2日

COS/.A0G——

AO2

???乙40G=60°

???四邊形。是菱形，

:,乙BOC=乙4。8=30°,AC1BD,AO=OC,

△40C是等邊三角形，

：.^ACO=60°,

,：DE1OB,

：.DE\\AC,

?"EDO=Z.ACO=60°

???△E。。是等邊三角形，

ED=OD=x

9：DF||OB,

△CDFCOB,

.DF_C