押廣東省卷第16-18題（實(shí)數(shù)運(yùn)算與解不等式組、分式的化簡求值、三角函數(shù)的應(yīng)用）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題

押廣東省卷第16-18題押題方向一：實(shí)數(shù)的運(yùn)算與解不等式組3年廣州省卷真題考點(diǎn)命題趨勢2023年廣州省卷第16題實(shí)數(shù)的運(yùn)算與一次函數(shù)表達(dá)式從近年廣州省中考來看，實(shí)數(shù)的運(yùn)算和解不等式組是近幾年廣州省的?？碱}，考查比較簡單；預(yù)計(jì)2024年廣州省卷還將繼續(xù)重視實(shí)數(shù)與整式的運(yùn)算和解不等式組的考查。2022年廣州省卷第16題解不等式組2022年廣州省卷第16題解不等式組1．（2023·廣東·中考真題）（1）計(jì)算：；（2）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出立方根及有理數(shù)的乘方運(yùn)算，絕對值的化簡，然后計(jì)算加減法即可；（2）將兩個(gè)點(diǎn)代入解析式求解即可．【詳解】解：（1）；（2）∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，∴代入解析式得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2022·廣東·中考真題）解不等式組：．【答案】【分析】分別解出兩個(gè)不等式，根據(jù)求不等式組解集的口訣得到解集．【詳解】解：解①得：，解②得：，∴不等式組的解集是．【點(diǎn)睛】本題考查求不等式組的解集，掌握求不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”是解題關(guān)鍵．3．（2021·廣東·中考真題）解不等式組.【答案】﹣1＜x≤2．【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可.【詳解】解：由①得：x≤2；由②得：x＞﹣1，則不等式組的解集為﹣1＜x≤2．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.主要考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，整式混合運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值、平方差公式是解題的關(guān)鍵．實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算主要考查零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值、乘方、二次根式等，需要學(xué)生熟記相應(yīng)的運(yùn)算公式和值。整式的混合運(yùn)算主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則，熟記平方差、完全平分公式是解題的關(guān)鍵。3.一元一次不等式組的解法原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了；特別注意系數(shù)化1時(shí)，注意系數(shù)的符號(hào)。1．（1）計(jì)算：．（2）已知y與成正比例，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求y的函數(shù)值．【答案】（1）；（2）．【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正比例及函數(shù)的定義，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）原式利用算術(shù)平方根，立方根的定義，絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪即可求解；（2）利用正比例的定義，設(shè)，把已知的一組對應(yīng)值代入求出即可得到函數(shù)的解析式，即可求解．【詳解】解：（1）；（2）設(shè)，∵當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴函數(shù)的解析式為：，∴當(dāng)，．2．（1）計(jì)算：．（2）已知是關(guān)于的一次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．求一次函數(shù)的解析式．【答案】（1），（2）．【分析】本題考查特殊三角函數(shù)值，零次冪，負(fù)整數(shù)冪的運(yùn)算，求一次函數(shù)解析式．（1）先算特殊三角函數(shù)值，零次冪，負(fù)整數(shù)冪，進(jìn)而即可求解．（2）利用待定系數(shù)法求出其解析式即可．【詳解】（1）解：，，．（2）解：∵是關(guān)于的一次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴將及兩點(diǎn)代入，可得：，求解此二元一次方程組，可得：，因此一次函數(shù)的解析式為：．3．（1）計(jì)算：（2）解不等式組：【答案】（1）3（2）【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)解不等式的法則分別解出兩個(gè)不等式，再取公共部分的解即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，三角函數(shù)的化簡，不等式組的解法，負(fù)整指數(shù)冪和零指數(shù)冪運(yùn)算．關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，解不等式組時(shí)要先解出每個(gè)不等式，再取公共部分即可．4．（1）計(jì)算：；（2）解不等式組：．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了零指數(shù)冪，化簡二次根式，解一元一次不等式組：（1）先計(jì)算零指數(shù)冪和乘方以及化簡二次根式，再計(jì)算加減法即可；（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】解：（1）；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為5．（1）計(jì)算：（2）解不等式組：【答案】（1）0；（2）x＜－1【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則和順序計(jì)算可得；（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：（1）=-32-1=0；（2），由①得x＜-1，由②得x≤3，所以原不等式組的解集為x＜-1．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．6．（1）計(jì)算：；（2）解不等式組：，并寫出所有整數(shù)解．【答案】（1）；（2），符合條件的整數(shù)解有0、1、2、3【分析】本題考查了二次根式、絕對值、計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，零整數(shù)冪運(yùn)算，一元一次不等式組的整數(shù)解，（1）先化簡二次根式、絕對值、計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，零整數(shù)冪，最后合并即可；（2）先求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，然后求出其公共解集，最后確定正整數(shù)解．【詳解】解：（1）；（2）解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為：．∴符合條件的整數(shù)解有0、1、2、3．7．（1）計(jì)算：．（2）解不等式組．【答案】（1），（2）【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，一元一次不等式組的求解;（1）根據(jù)開立方根，完全平方公式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值的運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)一元一次不等式組的解法求解即可．【詳解】解：（1）；（2）解①得：解②得：則不等式的解集為：.8．（1）計(jì)算：；（2）解不等式組并將解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】（1）1；（2），數(shù)軸見解析【分析】（1）先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的性質(zhì)化簡，再算加減即可；（2）先分別解兩個(gè)不等式，求出它們的解集，再求兩個(gè)不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后畫數(shù)軸表示即可．【詳解】解：（1）；（2），解①得，，解②得，，∴．如圖，

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的性質(zhì)，求不等式組的解集，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．9．（1）計(jì)算：；（2）解不等式組，并把它們的解集表示在數(shù)軸上．【答案】（1）；（2），數(shù)軸見解析【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，負(fù)指數(shù)冪，解不等式組；（1）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算，以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個(gè)不等式的解集，然后把解集表示在數(shù)軸上，根據(jù)數(shù)軸即可確定不等式的解集．【詳解】（1）解：原式；（2）由得：，由得：，則不等式組的解集為，將解集表示在數(shù)軸上如下：

10．（1）計(jì)算：（2）解不等式組

并在數(shù)軸上表示出解集．【答案】（1）；（2），不等式組解集在數(shù)軸的表示見解析【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，求特殊角三角函數(shù)值和解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是正確解不等式組，熟知同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到的原則和牢記實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則．（1）先化簡零指數(shù)冪，二次根號(hào)，絕對值，特殊角得三角函數(shù)值，在合并即可；（2）解不等式①②，求其公共部分，然后在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：（1）；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為，不等式組解集在數(shù)軸表示如下圖：．押題方向二：分式化簡求值3年廣州省卷真題考點(diǎn)命題趨勢2022年廣州省卷第17題分式的化簡求值從近年廣州省中考來看，分式化簡求值是近幾年廣州省的?？碱}，熟記分式的運(yùn)算法則；預(yù)計(jì)2024年廣州省卷還將繼續(xù)重視分式化簡求值的考查。1．（2022·廣東·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，11【分析】利用平方差公式約分，再合并同類項(xiàng)即可；【詳解】解：原式=，將a=5代入得：原式=2×5+1=11.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．主要考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，整式混合運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值、平方差公式是解題的關(guān)鍵．1.實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算主要考查零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值、乘方、二次根式等，需要學(xué)生熟記相應(yīng)的運(yùn)算公式和值。2.整式的混合運(yùn)算主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則，熟記平方差、完全平分公式是解題的關(guān)鍵。3.分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．先把括號(hào)里通分，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，并把分子分母分解因式約分化簡，最后把所給字母的值代入代入計(jì)算．1．先化簡，再求值：，其中【答案】，【分析】本題考查分式的化簡求值．正確的將分式化簡是解題關(guān)鍵．先通分，再計(jì)算分式的除法進(jìn)行化簡，最后代入求值即可求解．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式，2．先化簡，再求值：，其中【答案】，【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，化簡求值、分母有理化，掌握運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵，先因式分解，按照分式的加法和分式除法法則進(jìn)行化簡，再把字母的值代入運(yùn)算即可．【詳解】解：原式；當(dāng)時(shí)，原式．3．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．先把括號(hào)里通分，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，并把分子分母分解因式約分化簡，最后把所給字母的值代入計(jì)算．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．4．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查的是分式的化簡求值．先算括號(hào)里面的，再算除法，最后把的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．5．先化簡，再從不等式組中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．【答案】，當(dāng)時(shí)，原式．【分析】本題考查了分式的化簡求值，先利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則對分式化簡，再從不等式組中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)代入到化簡后的結(jié)果中計(jì)算即可求解，掌握分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，，當(dāng)或時(shí)，原式無意義，故取整數(shù)時(shí)，原式．6．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值和分母有理化，括號(hào)內(nèi)先通分進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，然后再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，最后代入數(shù)值進(jìn)行分母有理化計(jì)算即可【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．7．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡，代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．8．先化簡，然后從，0，1，2中選取一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值.【答案】，當(dāng)時(shí)，原式(或者選擇當(dāng)時(shí)，原式)【分析】先運(yùn)用分式的通分化簡括號(hào)內(nèi)的式子，再運(yùn)算分式的除法，熟練掌握分式化簡求值以及注意分母不為0是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∵或2時(shí)，分母為，分式無意義，∴只能取或1，∴當(dāng)時(shí)，原式，（或者選擇當(dāng)時(shí)，原式）．9．化簡求值：，其中．【答案】【分析】先利用分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再代入求值即可．【詳解】解：，，把代入得，原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．10．先化簡再求值，再從1，2，3中選取一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值．【答案】，5【分析】先因式分解，通分，去括號(hào)化簡，再選值計(jì)算即可．【詳解】，當(dāng)，時(shí)，分母為0，分式無意義，故不能??；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解，約分，通分是解題的關(guān)鍵．11．先化簡，再求值：，其中．【答案】，．【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將x的值代入計(jì)算可得．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．12．先化簡，然后從，，0，1選取一個(gè)合適的整數(shù)作為的值代入求值．【答案】；當(dāng)時(shí)，原式【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用異分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果，再根據(jù)分式有意義的條件，取代入求解即可．【詳解】解：原式，當(dāng)，0，1時(shí)，原式?jīng)]有意義；當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡求值以及分式有意義的條件，熟練掌握因式分解和分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．押題方向三：三角函數(shù)的應(yīng)用3年廣州省卷真題考點(diǎn)命題趨勢2023年廣州省卷第18題三角形函數(shù)求值問題從近年廣州省中考來看，三角形函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題是近幾年廣州省的?？碱}，理解題意并熟記三角函數(shù)定義是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵；預(yù)計(jì)2024年廣州省卷還將繼續(xù)重視對三角形函數(shù)的考查。1．（2023·廣東·中考真題）2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂，兩臂夾角時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，)

【答案】【分析】連接，作作于D，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知，，，在中利用求出，繼而求出即可．【詳解】解：連接，作于D，

∵，，∴是邊邊上的中線，也是的角平分線，∴，，在中，，，∴，∴∴答：A，B兩點(diǎn)間的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解。1．某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為30米，在坡頂處測得教學(xué)樓的樓頂?shù)难鼋牵xB點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處測得C的仰角，求的長（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】（米）【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，深入理解題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵．先根據(jù)斜坡的坡角和長度求出點(diǎn)距的高度，然后根據(jù)求底部不能到達(dá)的物體的高度求出的高度，即可求出的長．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)到的距離為，在中，米，設(shè)米，則米，米，在中，，即，∴，∴米．2．傳統(tǒng)工藝品油紙傘是我國的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，使用歷史已有1000多年．傘是由傘柄，傘骨，傘面三部分組成．傘柄是傘的主心骨，傘骨是用來支撐整個(gè)傘面的，傘面是傘中重要的組成部分．如圖，傘打開時(shí)，其傘面的直徑的長為，相對兩根傘骨的最大夾角，求此傘的傘骨的長度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】此傘的傘骨的長度約為【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)三角函數(shù)求出即可，【詳解】解：由題意得，，于E點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴在中，，，∴，∴此傘的傘骨的長度約為．3．“醒獅”是嶺南文化名城佛山一塊閃亮的招牌，是國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，舞獅者用獅嘴將懸于高處、寓意著吉祥的“生菜”采摘的過程稱為“采青”．舞獅者腳站立的位置與獅嘴可觸摸到的位置之間的距離稱為“采摘距離”，如圖，舞獅者站在梅花樁上，與“生菜”放置點(diǎn)D的水平距離為米，．已知該舞獅者采摘距離為米，請利用所學(xué)知識(shí)判斷該舞獅者能否“采青”成功，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】該舞獅者“采青”成功．理由見解析【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，如圖，過作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，再利用銳角三角函數(shù)求解，再比較即可．【詳解】解：如圖，過作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，∴，，，

∴，∴，∴該舞獅者“采青”成功．4．如圖，在斜坡傳送帶上有一矩形，已知斜坡夾角，矩形的邊在上，對角線．(1)求度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的長．（參考數(shù)據(jù)：；；，結(jié)果精確到）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、對頂角相等、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．（1）延長交于點(diǎn)，可知，可得在中，易知，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，然后由求解即可；（2）在中，由銳角三角函數(shù)可得，然后求解即可．【詳解】（1）解：延長交于點(diǎn)，如下圖，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴；（2）∵四邊形是矩形，∴，在中，∵，∴．5．甲、乙兩人去登山，甲從小山西邊山腳B處出發(fā)，已知西面山坡的坡度（坡度：坡面的垂直高度與水平長度的比，即）．同時(shí)，乙從東邊山腳C處出發(fā)，東面山坡的坡度，坡面米．(1)求甲、乙兩人出發(fā)時(shí)的水平距離．(2)已知甲每分鐘比乙多走10米．兩人同時(shí)出發(fā)，并同時(shí)達(dá)到山頂A．求：甲、乙兩人的登山速度．【答案】(1)米(2)甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米；【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)A作，根據(jù)坡度比設(shè)，則，利用勾股定理即可求解；（2）設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為分鐘/米，列分式方程即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作，如圖，由題意得：，，∴設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴，解得：，∴米；（2）解：由（1）得：，，∴，設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為分鐘/米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，則，∴甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米；6．如圖，一扇窗戶打開后可以用窗鉤將其固定，窗鉤的一個(gè)端點(diǎn)A固定在窗戶底邊上，且，窗鉤的另一個(gè)端點(diǎn)B在窗框邊上的滑槽上移動(dòng)，構(gòu)成一個(gè)三角形，當(dāng)窗鉤端點(diǎn)B與點(diǎn)O之間的距離是的位置時(shí)（如圖2），窗戶打開的角的度數(shù)為．(1)求點(diǎn)A到的距離的長；(2)求窗鉤的長度（精確到)（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理．（1）由銳角三角函數(shù)即可求出；（2）由銳角三角函數(shù)求出，然后利用，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可知，，．在中，∵，∴；（2）解：∵，∴．∴．在中，答：窗鉤的長度約等于15cm．7．為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿與鉛垂線的夾角為點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿與鐵環(huán)相切于點(diǎn)B時(shí)，手上的力量通過切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果．

(1)求證：．(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng)．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離最小，測得．已知鐵環(huán)的半徑為，推桿的長為，求此時(shí)的長．【答案】(1)證明見