押廣東省卷第22-23題（圓的綜合、二次函數(shù)的綜合）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題

押廣東省卷第22-23題押題方向一：圓的綜合問(wèn)題3年廣東省卷真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年廣東省卷第22題圓的有關(guān)問(wèn)題從近年廣東省中考來(lái)看，圓的有關(guān)問(wèn)題綜合比較強(qiáng)，是?？碱}型，也是考查重點(diǎn)，難度一般。預(yù)計(jì)2024年廣東省卷還將繼續(xù)考查圓的有關(guān)問(wèn)題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。2022年廣東省卷第22題圓的有關(guān)問(wèn)題2021年廣東省卷第22題圓的有關(guān)問(wèn)題1．（2023·廣東·中考真題）綜合探究如圖1，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．①如圖2，與相切，求證：；②如圖3，與相切，，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）由點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為可知點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，從而得到是的中位線，繼而得到，從而證明；（2）①過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，先證明得到，由與相切，得到，繼而得到，從而證明是的角平分線，即，，求得，利用直角三角形兩銳角互余得到，從而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性質(zhì)得出；②先證明四邊形是正方形，得到，再利用是的中位線得到，從而得到，，再利用平行線的性質(zhì)得到，從而證明是等腰直角三角形，，設(shè)，求得，在中，即，解得，從而得到的面積為．【詳解】（1）∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，又∵四邊形是矩形，∴O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴∴，∴（2）①過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，則，

∵四邊形是矩形，∴，，∴，．∵，，，∴，∴．∵與相切，為半徑，，∴，∴又∵即，，∴是的角平分線，即，設(shè)，則，又∵∴∴又∵，即是直角三角形，∴，即解得：，∴，即，在中，，，∴，∴；②過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，

∵與相切，∴，∵∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，∴，又∵是的中位線，∴∴∴又∵，∴又∵，∴又∵，∴是等腰直角三角形，，設(shè)，則∴在中，，即∴∴的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)定理，角平分線的判定定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見(jiàn)解析；(2)；【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據(jù)等弧對(duì)等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【詳解】（1）證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，∴CD=．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；掌握等弧對(duì)等角是解題關(guān)鍵．3．（2021·廣東·中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別在線段、上，且．（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】(1)設(shè)，進(jìn)而求得，再由即可求得；(2)取中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，由梯形中位線定理得到，利用得到，進(jìn)而，由此即可證明；(3)過(guò)點(diǎn)D，點(diǎn)A分別向作垂線交于點(diǎn)M，N，得到，分別求出，再代入求解即可．【詳解】解：(1)∵，設(shè)，∴，∵CD∥AB，∴，又∵，∴，∴，∴．(2)如圖，取中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，∵CD∥AB，∠ABC=90°，∴，又∵，∴OM∥AB，∴M為中點(diǎn)，∴，∵，又∵，∴，又∵，∴，∴以為直徑的圓與相切．(3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB，∴，又∵∴為等邊三角形，，∵CD∥EF，∴，由(2)得：，∴，∴，∵，在中，三邊之比為，∴，在中，三邊之比為，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)D，點(diǎn)A分別向作垂線交于點(diǎn)M，N，∵，∴四邊形為矩形，∴，同理，四邊形BENA為矩形，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形等腰對(duì)等角、梯形中位線定理、割補(bǔ)法求四邊形的面積、圓的切線的證明方法等，熟練掌握各圖形的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．1）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角；3）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等；4）注意圓的相關(guān)知識(shí)和相似、三角函數(shù)、勾股定理結(jié)合解決相關(guān)計(jì)算問(wèn)題。1．如圖，在中．，的平分線與以為半徑的交于、兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，．(1)填空：與的位置關(guān)系為；(2)求證：；(3)若，的半徑為3．求的長(zhǎng)．【答案】(1)與相切(2)見(jiàn)詳解(3)4【分析】（1）作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得，則點(diǎn)在上，即可證明與相切，于是得到問(wèn)題的答案；（2）由是的直徑，得，則，因?yàn)?，所以，而，即可根?jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明；（3）由的半徑為3，得，由相似三角形的性質(zhì)得，則，，所以，求得．【詳解】（1）解：作于點(diǎn)，，，平分交于點(diǎn)，，圓心到直線的距離等于的半徑，點(diǎn)在上，是的半徑，且，與相切，故答案為：與相切．（2）證明：是的直徑，，，，，，，．（3）解：的半徑為3，，，，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），的長(zhǎng)為4．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查角平分線的性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)、直徑所對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)，推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，與x軸相切于點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C，D，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H．(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到軸，由題意得，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由勾股定理得，根據(jù)垂徑定理可得，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：∵與x軸相切于點(diǎn)B，∴軸，又∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，∵，由勾股定理得，，∵，∴，∴弦的長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，為的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，．(1)求證：是的角平分線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的長(zhǎng)為．【分析】（1）連接，先證明，然后由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)題目中的條件，可以得到，，從而可以得到，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：連接，如圖1，與相切于點(diǎn)，為半徑，，又，∴，，，，，平分；（2）解：如圖2，平分，，是直徑，，，，，，，，，，，或（不符合題意，舍去），的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合應(yīng)用，考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，角平分線定義等知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．如圖，在等腰中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)若的半徑，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)相切，理由見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理等等：（1）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，，等量代換得到，則，推出，即可得出結(jié)論；（2）連接，則，解直角三角形得到，設(shè)，則，可得，，證明，得到，可得，，證明，得到，即，則．【詳解】（1）解：與相切，理由：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵D在上，∴是的切線；（2）解：如圖所示，連接，∵為的直徑，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，，∵，∴，∴，即，∴．5.如圖1，點(diǎn)E在正方形的邊上，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)H，以為直徑作圓O，連接，若平分．①求證：為圓O的切線；②若正方形的邊長(zhǎng)為1，求的值．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)①見(jiàn)詳解；②【分析】（1）根據(jù)是正方形，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）①證明，得出，連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)是直徑運(yùn)用圓周角定理得出，得出，，從而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，即可證明；②過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，得出，設(shè)，則，在直角中，用勾股定理求出，即可求出，證明，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，即，即可求解；【詳解】（1）是正方形，，在和中，，，，；（2）①，，平分，，由（1）知，，，，連接，則，，是直徑，，，，，，，，，，，為圓O的切線．②過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，，，，設(shè)，，在直角中，，，，，在中，，∵，，，，，．【點(diǎn)睛】該題主要考查了圓綜合，涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，圓周角定理，切線的證明，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等，解答該題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．6．綜合探究如圖，在扇形中，是上異于的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在線段上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在中，是否存在長(zhǎng)度不變的線段？若存在，請(qǐng)求出該線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)求證：是定值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)存在，1；(3)見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及勾股定理：（1）道德證明四邊形是矩形，得，同理可證，得出四邊形是平行四邊形．（2）根據(jù)點(diǎn)A是上的點(diǎn)，，得出，由得出；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，則，求出，，計(jì)算出，進(jìn)一步可得出結(jié)論【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)．，，四邊形是矩形，．，，，四邊形是平行四邊形．（2）解：存在，線段的長(zhǎng)度不變．∵點(diǎn)A是上的點(diǎn)，在矩形中，．，．（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，則．由，得，．，，，是定值．7．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，連接平分，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：為的切線．(2)求證：．(3)若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了圓切線的判定、圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．（1）如圖：連接，先說(shuō)明，再說(shuō)明，進(jìn)而說(shuō)明，再根據(jù)可得，即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換可得，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而得到；（3）由直徑所對(duì)的圓周角為直角和角平分線的意義可得出是等腰直角三角形，由勾股定理可求出，再由三角形相似求出．【詳解】（1）證明：如圖：連接．∵平分，∴，∴；∵為直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴與相切，即為的切線；（2）證明：∵，∴，∵，∴；∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴，（3）解：在中，在中，，∵，∴，∴，∴．8．如圖，矩形中，，點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的與交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G．(1)當(dāng)E是的中點(diǎn)時(shí)：的值為_(kāi)_____；(2)在（1）的條件下，證明：是的切線；(3)試探究：能否與相切？若能，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由，【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析(3)能與相切，此時(shí)或【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，求出的值即可；（2）連接，證明，得出，則．證出．可得出，則結(jié)論得證；（3）先假設(shè)能與相切，則，即．設(shè)的長(zhǎng)為，然后用表示出的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得出一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，若能與相切，那么方程的解即為的長(zhǎng)；若方程無(wú)解，則說(shuō)明不可能與相切．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，是的中點(diǎn)，，．故答案為：．（2）證明：連接，

在矩形中，，，又，，，．，，．．，，是的切線．（3）解：若能與相切，由是的直徑，則，．設(shè)，則．，，由勾股定理得：，即，整理得，解得：，，或9，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，能與相切，此時(shí)或．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定、解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握切線判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．綜合探究：如圖，已知，以為直徑作半圓O，半徑繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)停止．連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使得，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，連接，當(dāng)與半圓O相切時(shí)，判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析(2)的長(zhǎng)為或(3)．理由見(jiàn)解析【分析】（1）由圓周角定理得到，結(jié)合已知條件和等腰三角形“三線合一”性質(zhì)推知，再由等腰“三線合一”性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論；（2）分類討論：點(diǎn)E在線段和線段上，借助勾股定理求得的長(zhǎng)度；（3）由三角形中位線定理知，又由切線的性質(zhì)知，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）是等邊三角形，理由如下：如圖1，是圓O的直徑，，又，，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，，，，，，是等邊三角形；（2），，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，則，，，，在和中，由勾股定理得，即，解得，；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，同理可得，解得，；綜上所述，BC的長(zhǎng)為或；（3）．理由如下：如圖3，連接．點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，是的中位線，又與半圓O相切，．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定，等腰三角形三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)點(diǎn)E的位置正確分類是解題的關(guān)鍵．押題方向二：二次函數(shù)的綜合3年廣東省真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年廣東省卷第23題二次函數(shù)綜合問(wèn)題從近年廣東省中考來(lái)看，二次函數(shù)圖形和性質(zhì)綜合問(wèn)題壓軸主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，試題以解答題壓軸形式呈現(xiàn)，難度較高；預(yù)計(jì)2024年廣東省卷還將繼續(xù)重視對(duì)二次函數(shù)圖形和性質(zhì)綜合問(wèn)題的考查。2022年廣東省卷第23題二次函數(shù)綜合問(wèn)題2022年廣東省卷第23題二次函數(shù)綜合問(wèn)題1．（2023·廣東·中考真題）綜合運(yùn)用如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A在軸的正半軸上，如圖2，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，；（直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求寫(xiě)解答過(guò)程）(2)若點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，對(duì)角線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，將與的面積分別記為與，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及直角三角形全等的判定及性質(zhì)得出，再由題意得出，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作軸，根據(jù)勾股定理及點(diǎn)的坐標(biāo)得出，再由相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)及四點(diǎn)共圓條件得出O、C、F、N四點(diǎn)共圓，再由圓周角定理及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得出，，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)Q，利用全等三角形及矩形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形分別表示出，，得出，再由等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵交直線于點(diǎn)，∴，∴，即；

（2）過(guò)點(diǎn)A作軸，如圖所示：

∵，∴，∴，∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴即，∴；（3）∵正方形，∴，∵直線，∴，∴，∴O、C、F、N四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)Q，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，∵，，∴四邊形為矩形，∴，∴，，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四邊形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2022·廣東·中考真題）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作//交于點(diǎn)Q．(1)求該拋物線的解析式；(2)求面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)2；P（-1，0）【分析】（1）用待定系數(shù)法將A，B的坐標(biāo)代入函數(shù)一般式中，即可求出函數(shù)的解析式；（2）分別求出C點(diǎn)坐標(biāo)，直線AC，BC的解析式，PQ的解析式為：y=-2x+n，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)以及n的取值范圍，由列出函數(shù)式求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A（1，0），AB=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），將點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）代入函數(shù)解析式中得：，解得：b=2，c=-3，∴拋物線的解析式為；（2）解：由（1）得拋物線的解析式為，頂點(diǎn)式為：，則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直線BC的解析式為：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直線AC的解析式為：y=2x-2，∵PQ∥BC，設(shè)直線PQ的解析式為：y=-2x+n，與x軸交點(diǎn)P，由解得：，∵P在線段AB上，∴，∴n的取值范圍為-6＜n＜2，則∴當(dāng)n=-2時(shí)，即P（-1，0）時(shí)，最大，最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的面積最值問(wèn)題，二次函數(shù)的圖象與解析式間的關(guān)系，一次函數(shù)的解析式與圖象，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021·廣東·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)．問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，或或或【分析】（1）令，解得，可得函數(shù)必過(guò)，再結(jié)合必過(guò)得出，，即可得到，再根據(jù)，可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，且整體位于的上方，可得，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，再根據(jù)，可解得的值，即可求出二次函數(shù)解析式．（2）結(jié)合（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)為對(duì)角線時(shí),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別列出方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：（1）令，解得，當(dāng)時(shí)，，∴必過(guò)，又∵必過(guò)，∴，∴，即，即可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，且整體位于的上方∴，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴，∴，∴，∴，，∴．（2）由（1）可知：，，設(shè)，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，∴，解得（舍），，∴，即．②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，∴，解得（舍），∴，即．③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，∴，解得，∴或，∴．綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到二次函數(shù)與不等式組，考查了平行四邊形的存在性問(wèn)題，利用中點(diǎn)公式，分類討論是解題關(guān)鍵．1.二次函數(shù)（含參）最值討論技巧：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0為例進(jìn)行討論）。圖1圖2圖3圖4圖51）如圖1，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值ymin=，無(wú)最大值。2）如圖2，當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=ax22+bx2+c；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。3）如圖3，當(dāng)且時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。4）如圖4，當(dāng)且時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。5）如圖4，當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=ax12+bx1+c；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。1．在山體中修建隧道可以保護(hù)生態(tài)環(huán)境，改善公路技術(shù)狀態(tài)，提高運(yùn)輸效率．某城市道路中一雙向行駛隧道（來(lái)往方向各一車(chē)道，路面用黃色雙實(shí)線隔開(kāi)）圖片如圖所示．隧道的縱截面由一個(gè)矩形和一段拋物線構(gòu)成。隧道內(nèi)路面的總寬度為，雙向行駛車(chē)道寬度為（路面兩側(cè)各預(yù)留給非機(jī)動(dòng)車(chē)），隧道頂部最高處距路面，矩形的高為．(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出該段拋物線的解析式；(2)為了保證安全，交通部門(mén)要求行駛車(chē)輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少要有．問(wèn)：通過(guò)隧道的車(chē)輛應(yīng)限制高度為多少？【答案】(1)(2)通過(guò)隧道的車(chē)輛應(yīng)限制高度為【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）將代入解析式，求得的值，根據(jù)交通部門(mén)要求行駛車(chē)輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少要有，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，隧道頂部最高處距路面6m，矩形的高為2m．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：依題意，當(dāng)時(shí)，，∵交通部門(mén)要求行駛車(chē)輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少要有．∴通過(guò)隧道的車(chē)輛應(yīng)限制高度為，答：通過(guò)隧道的車(chē)輛應(yīng)限制高度為2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上），與軸交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式；(2)若為直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．①求線段的最大值；②是否存在點(diǎn)，使得四邊形為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)；存在符合條件的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為【分析】（）先求出、的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（）設(shè)．求得直線的解析式為．①證．利用相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：直線中，令得，解得，∴點(diǎn)，拋物線中，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)．如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線中，當(dāng)?shù)茫帱c(diǎn)．∴．又∵，∴．∴．又∵，∴是等腰直角三角形．∴點(diǎn)在的垂直平分線上，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．又∵點(diǎn)在直線上，∴，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴拋物線過(guò)點(diǎn)，．∴解得∴拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線為：，把，代入得，，解得∴直線的解析式為，設(shè)．由，可設(shè)直線的解析式為，把代入，得，∴，可得直線的解析式為．①聯(lián)立解得，∴．如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．∴．∵，，，∴，∴．∴當(dāng)時(shí)，為最大值．②由為直線：與軸的交點(diǎn)，可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，，，∴，．∵，∴，即，解得或或．∵，∴．∴或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)四邊形為平行四邊形，不符合條件；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)四邊形為等腰梯形，符合條件．∴存在符合條件的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)，求一次函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握，平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線交拋物線于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)P、C分別作的垂線，交過(guò)點(diǎn)A且垂直于x軸的直線于點(diǎn)E、D．(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)當(dāng)線段的長(zhǎng)隨m值的增大而增大時(shí)，求m的取值范圍；(4)拋物線在點(diǎn)P、A之間的部分（包括點(diǎn)P、A）的最低點(diǎn)到x軸的距離記為，四邊形PCDE截該拋物線的圖象（包括邊界的點(diǎn)）的最低點(diǎn)到x軸的距離記為，若，直接寫(xiě)出m的值．【答案】(1)(2)(3)或(4)或【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．（1）將代入，求出b和c的值，即可解答；（2）將（1）中得出的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可解答；（3）令，求出x的值，得出該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為．根據(jù)該拋物線的對(duì)稱軸為直線，結(jié)合二次函數(shù)的增減性，即可解答；（4）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，即可解答．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴將代入得，，解得，∴該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝．（2）解：，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）解：令，則，解得，∴該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵該拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)或時(shí)，線段的長(zhǎng)隨m值的增大而增大．（4）解：①當(dāng)時(shí)，，∵，∴此時(shí)不成立．②當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)不成立．③當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，解得（舍去）．④當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，解得（舍去）．綜上，或．4．【建立模型】（1）如圖1，點(diǎn)B是線段上的一點(diǎn)，，，，垂足分別為C，B，D，．求證：；【類比遷移】（2）如圖2，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，連接，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．求反比例函數(shù)的解析式；【拓展延伸】（3）如圖3拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)，連接，拋物線上是否存在點(diǎn)M，便得，若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）M的坐標(biāo)為或．【分析】（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；（2）如圖2，分別過(guò)點(diǎn)A，B作軸，軸，垂足分別為C，D．求解，，．利用，可得；由反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，可得答案；（3）如圖3，當(dāng)M點(diǎn)位于x軸上方，且，過(guò)點(diǎn)Q作，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E．證明，可得，，可得，求解，令，可得M的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)M點(diǎn)位于x軸下方，且，同理可得，為．由，可得M的坐標(biāo)是．【詳解】證明：（1）如圖，

∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴．（2）①如圖2，分別過(guò)點(diǎn)A，B作軸，軸，垂足分別為C，D．將代入得：，∴，，．同（1）可得，∴，，∴，∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴；（3）存在；如圖3，當(dāng)M點(diǎn)位于x軸上方，且，過(guò)點(diǎn)Q作，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E．

∵，，∴，∴，∵軸，，∴，，∴，∵，∴，∴，，令，得，，∴，又，∴，∴，設(shè)為，則

解得：，∴令，得，(舍去)，當(dāng)時(shí)，，∴；如圖，當(dāng)M點(diǎn)位于x軸下方，且，

同理可得，為．由，得，(舍去)∴當(dāng)時(shí)，，∴．綜上：M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練的利用類比的方法解題是關(guān)鍵．5．綜合運(yùn)用在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b，c是常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．P為x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)填空：，．(2)如圖，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的右側(cè)時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)P作，交直線l于點(diǎn)D．若，求m的值．(3)過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線與直線交于點(diǎn)Q，線段的長(zhǎng)記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式．【答案】(1)2；3(2)(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，得，根據(jù)，表示出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可；（3）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式為，再分當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)兩種情況討論．【詳解】（1）解：拋物線（b，c是常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)，，拋物線的解析式為，∴，故答案為：2；3；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵直線的解析式為，點(diǎn)在直線上，，且點(diǎn)P在直線l的右側(cè)時(shí)，即，；（3）解：拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)直線的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，∴．6．如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，與y軸相交于C，已知拋物線對(duì)稱軸為直線，直線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上找一個(gè)點(diǎn)D（不與點(diǎn)C重合），使得，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作x軸的垂線交拋物線于F點(diǎn)，連接，將沿折疊，如果點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M恰好落在y軸上，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由直線的解析式求出、點(diǎn)的坐標(biāo)，由對(duì)稱軸得，代入拋物線的解析式，解方程組，即可求解；（2）作直線關(guān)于軸對(duì)稱直線，交軸于，交拋物線于，由對(duì)稱的性質(zhì)得，，設(shè)直線的解析式為，求出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，解方程組，即可求解；（3）①當(dāng)在軸下方時(shí)，由平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)得，，由等腰三角形的判定方法得，設(shè)，則，求出和，即可求解；②當(dāng)在軸上方時(shí)，同理可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，；設(shè)拋物線的解析式為，則有，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：如圖，作直線關(guān)于軸對(duì)稱直線，交軸于，交拋物線于，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立直線和拋物線的解析式得：，解得：或，．（3）解：①如圖，當(dāng)在軸下方時(shí)，軸，，由折疊得：，，，設(shè)，則，，，，解得：，（舍去），；；②如圖，當(dāng)在軸上方時(shí)，同理可證：，設(shè)，則，，，，解得：，（舍去），；；綜上所述：E的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法，平行于坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)距離，勾股定理，等腰三角形的判定等，掌握待定系數(shù)法，能根據(jù)點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．7．綜合應(yīng)用．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，作出該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸直線l，交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M始終位于x軸上方，作直線，，分別交l于點(diǎn)E，F(xiàn)，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫(xiě)出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，，(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)的值是定值；【分析】（1）當(dāng)時(shí)，即，解方程可得圖象與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，從而得圖象與軸交于點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求解直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）分點(diǎn)在上方時(shí)和點(diǎn)在下方兩種情況討論求解即可；（3）由（）得拋物線的對(duì)稱軸為直線，從而，設(shè)且，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得直線和直線的解析式，從而得，于是即可得．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，即，解得：．∴圖象與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，∴圖象與軸交于點(diǎn)，設(shè)直線為：，把，代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：存在，理由如下：當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，

∵，∴，即軸，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線；∵，∴；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，

則，．∵，∴．在中，，∴，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，得，解得：舍去，，∴．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：存在，的值為定值，理由如下：由得拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，設(shè)且，設(shè)直線的解析式為，將和點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，同理，直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴的值是定值，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二元一次方程組的應(yīng)用以及勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)且與軸的正半軸交于點(diǎn)．(1)求的值及拋物線的解析式．(2)如圖①，若點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖②，若是線段的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點(diǎn)、，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時(shí)，線段有最大值，并寫(xiě)出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，直接寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理