押江蘇南京卷第25-26題（二次函數(shù)的綜合、三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題

押江蘇南京卷第25-26題押題方向一：二次函數(shù)的綜合3年江蘇南京卷真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年江蘇南京卷第26題二次函數(shù)的綜合從近年江蘇南京中考來(lái)看，二次函數(shù)的綜合的考查，難度較大，綜合性比較強(qiáng)；預(yù)計(jì)2024年江蘇南京卷還將繼續(xù)重視對(duì)二次函數(shù)的綜合問(wèn)題的考查。2022年江蘇南京卷第26題二次函數(shù)的綜合2021年江蘇南京卷第26題二次函數(shù)的綜合1．（2023·江蘇南京·中考真題）已知二次函數(shù)為常數(shù)，．（1）若，求證：該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，．（3）若該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，且，則的取值范圍是或．【分析】（1）證明即可解決問(wèn)題．（2）將代入函數(shù)解析式，進(jìn)行證明即可．（3）對(duì)和進(jìn)行分類討論即可．【解答】證明：（1）因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，，所以，所以該函?shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）將代入函數(shù)解析式得，，所以拋物線的對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向下．則當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．（3）因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線，且過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，且，所以當(dāng)時(shí)，，解得，故．當(dāng)時(shí)，，解得，故．綜上所述，或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點(diǎn)，，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且（為常數(shù)，），分別過(guò)點(diǎn)、作、的垂線相交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為．

(1)若，，則的值為_(kāi)_______；(2)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若線段上存在點(diǎn)，則的值應(yīng)滿足什么條件？直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，得，則，代入計(jì)算即可；（2）利用，得，再由，得，即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)點(diǎn)P在上，可得，再由點(diǎn)G在上，可得，進(jìn)而解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：5；（2）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，在中，，，∴，又∵，∴，∴即；（3）解：若點(diǎn)在上，則，由（2）得，∴，∵點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∴，∴，∴即，又∵是上一點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇南京·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．（1）求b的值．（2）當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是________．（3）設(shè)是該函數(shù)的圖像與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫(xiě)出a的取值范圍．【答案】（1）；（2）1；（3）或．【分析】（1）將點(diǎn)代入求解即可得；（2）先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得；（3）分和兩種情況，再畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入得：，兩式相減得：，解得；（2）由題意得：，由（1）得：，則此函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得：，解得，則，下面證明對(duì)于任意的兩個(gè)正數(shù)，都有，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），當(dāng)時(shí)，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立），即，故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是1；（3）由得：，則二次函數(shù)的解析式為，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，解得；②如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．一、二次函數(shù)的圖象1.二次函數(shù)（）的圖象是一條拋物線，它關(guān)于軸對(duì)稱，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).2.二次函數(shù)（）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），對(duì)稱軸是直線.圖象的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下.3.二次函數(shù)（）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，k），對(duì)稱軸是直線.圖象的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下.4.二次函數(shù)（）的圖象是一條拋物線，它de對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是拋物線上的最高點(diǎn).二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)（）的系數(shù)與圖象的關(guān)系（1）的符號(hào)由拋物線的開(kāi)口方向決定：，；（2）的符號(hào)由拋物線的對(duì)稱軸的位置及的符號(hào)共同決定：對(duì)稱軸在軸左側(cè)同號(hào)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)異號(hào)；（3）的符號(hào)由拋物線與軸的交點(diǎn)的位置決定：與軸正半軸相交，與軸正半軸相交三、二次函數(shù)的圖象與幾何變換1.二次函數(shù)的平移（1）平移步驟：①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；②保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：（2）平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．2.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱（1）關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；（2）關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．1．已知二次函數(shù)（a為常數(shù)且）．(1)求證：不論a為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別記為A、B，線段（含端點(diǎn)）上有若干個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，且這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為9．①直接寫(xiě)出a的取值范圍；②若a為負(fù)整數(shù)，則函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)隨b的值變化而變化，直接寫(xiě)出交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的b的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)①或；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)．【分析】（1）令，得到一元二次方程，證明即可；（2）①當(dāng)，，則與x軸交于，由或，得或；②討論和的情況，逐個(gè)畫(huà)圖，找臨界狀態(tài)即可，重點(diǎn)在于畫(huà)出函數(shù)的圖像．【詳解】（1）解：當(dāng)，則，，∵，∴，∴不論a為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）①當(dāng)，，∴與x軸交于，∵或，∴或；②當(dāng)時(shí)，第一種情況，直線經(jīng)過(guò)時(shí)，得，∴時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，如圖示：

第二種情況：時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)；第三種情況：直線經(jīng)過(guò)時(shí)，則，此時(shí)有3個(gè)交點(diǎn)，如圖示：

第四種情況：當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，如圖示：

當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，如圖示：

聯(lián)立直線與函數(shù)得，∴，由得：，∴第五種情況：時(shí)，直線與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)；第六種情況：當(dāng)，有4個(gè)交點(diǎn)，如圖示：

第七種情況：當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，如圖示：

綜上，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，同理可求：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了根的判別式，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問(wèn)題，與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，與不等式的關(guān)系，題目綜合性強(qiáng)，難度大．2．某公司成功研制出一種產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，年銷售量y(萬(wàn)件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系如圖所示，其中曲線為反比例函數(shù)圖像的一部分，為一次函數(shù)圖像的一部分．(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知每年該產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用為40萬(wàn)元，該產(chǎn)品成本價(jià)為4元/件，設(shè)銷售產(chǎn)品年利潤(rùn)為w(萬(wàn)元)，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?(說(shuō)明：年利潤(rùn)年銷售利潤(rùn)研發(fā)費(fèi)用)【答案】(1)(2)當(dāng)銷售單價(jià)為16元時(shí)，該產(chǎn)品利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是104萬(wàn)元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）分兩段：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，分兩段：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，求出w關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，∵點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，，解得，即當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）當(dāng)時(shí)，，∵，∴y隨x的增大而增大，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值，此時(shí)，∵，∴當(dāng)銷售單價(jià)為16時(shí)，該產(chǎn)品利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是104萬(wàn)元，答：當(dāng)銷售單價(jià)為16元時(shí)，該產(chǎn)品利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是104萬(wàn)元．3．已知二次函數(shù)．(1)求證：該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)若該函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為且求證(3)若，，都在該二次函數(shù)的圖像上，且結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫(xiě)出k的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）先求出，然后利用不等式的性質(zhì)證明即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，，結(jié)合，求出，，然后代入，整理即可得證；（3）分對(duì)稱軸在y軸左側(cè)和右側(cè)討論，分別畫(huà)出草圖，結(jié)合圖象列出不等式組求解即可．【詳解】（1）解：，∵，∴，又，∴，即，∴該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）解∵該函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為∴，是的兩個(gè)根，∴，，聯(lián)立方程組，解得，把代入，得，整理得；（3）解：∵，都在該二次函數(shù)的圖像上，∴拋物線的對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，∵，∴畫(huà)出草圖，如下：或此時(shí)B的橫坐標(biāo)小于0，不符合題意，舍去；當(dāng)，即時(shí)，∵，∴畫(huà)出草圖，如下：∴，解得；或∴，解得，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式等知識(shí)，明確題意，合理分類討論，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合列出不等式組是解答第（3）的關(guān)鍵．4．在二次函數(shù)中．(1)求證：不論取何值，該函數(shù)圖像與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)(2)當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為_(kāi)_______．(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且．則的取值范圍是________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，利用方程的來(lái)證明即可；（2）分“當(dāng)時(shí)”、“當(dāng)時(shí)”、“當(dāng)時(shí)”，三種情況計(jì)算討論，得出答案即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式，結(jié)合點(diǎn)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等可知，對(duì)稱軸，結(jié)合，，列不等式求出的各種范圍，綜合得到完整的取值范圍即可．【詳解】（1）證明：∵二次函數(shù)，∴函數(shù)圖象與軸相交時(shí)，，∴不論取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴不論取何值，該函數(shù)圖象與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）解：∵二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，且拋物線的開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值，解得∶（舍去，或；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值，解得∶（舍去；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值，解得∶（舍去．綜上所述，的值為，故答案為：；（3）解：∵二次函數(shù)，點(diǎn)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，∴對(duì)稱軸，∴，，∵，∴，即，將代入函數(shù)解析式，得：，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴點(diǎn)離拋物線的對(duì)稱軸比點(diǎn)離拋物線的對(duì)稱軸遠(yuǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上所述，的取值范圍是或．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、最值問(wèn)題、利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍，存在待定參數(shù)的情況下，對(duì)可能情況作出分類討論是解題的關(guān)鍵．5．若一次函數(shù)與反比例函數(shù)同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“共享函數(shù)”，稱點(diǎn)為共享點(diǎn)．(1)判斷與是否存在“共享函數(shù)”，如果存在，請(qǐng)求出“共享點(diǎn)”．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知：整數(shù)，，滿足條件，并且一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“共享函數(shù)”，求的值．(3)若一次函數(shù)和反比例函數(shù)在自變量的值滿足的的情況下．其“共享函數(shù)”的最小值為3，求其“共享函數(shù)”的解析式．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或；(2)(3)或．【分析】（1）聯(lián)立與并整理得：，即可求解；（2）由題意得，解得，而，故，則，故，是整數(shù)，故；（3）①當(dāng)時(shí)，即，，函數(shù)取得最小值，即，即可求解；②當(dāng)，即，函數(shù)在處取得最小值，即，即可求解；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處，取得最小值，即可求解．【詳解】（1）解：（1）與存在“共享函數(shù)”，理由如下：聯(lián)立與并整理得：，解得：或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或；（2）解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“共享函數(shù)”，依據(jù)“共享函數(shù)”的定義得：，解得：，，，解得：；，，是整數(shù)，；（3）解：由和反比例函數(shù)得：“共享函數(shù)”的解析式為，函數(shù)的對(duì)稱軸為：；①當(dāng)時(shí)，即，，函數(shù)取得最小值，即，解得或（舍去）；②當(dāng)，即，函數(shù)在處取得最小值，即，無(wú)解；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處，取得最小值，即，解得：（舍去，綜上，或4，故“共享函數(shù)”的解析式為或．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式組的解法，一元二次方程的解法．本題是閱讀型題目，理解題干中的定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．已知函數(shù)（m為常數(shù)）．(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)．(2)不論m為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是．(3)在的范圍中，y的最大值是2，直接寫(xiě)出m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)和(3)0或【分析】本題考查的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)變形為，函數(shù)為一次函數(shù)，圖象與x軸總有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，，即可求解；（2）由，當(dāng)，即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為，根據(jù)題意即可求解；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，分或討論即可．【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)變形為，函數(shù)為一次函數(shù)，圖象與x軸總有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，令，即，，∴方程總有實(shí)數(shù)根，∴該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)；（2）由，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，不論m為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和，故答案為：和；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為，，隨的增大而增大，由，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，y的最大值是2，即，解得：，不符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)最高點(diǎn)為頂點(diǎn)，即，解得：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)對(duì)稱軸為，不符合題意，m的值為0或．7．已知函數(shù)（為常數(shù)）．(1)若，，求該函數(shù)圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離；(2)若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，將該函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新函數(shù)的圖象，且這兩個(gè)函數(shù)圖象與軸的四個(gè)交點(diǎn)中任意相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等．若函數(shù)的圖象如圖所示，直接寫(xiě)出新函數(shù)的表達(dá)式；若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)；(2)或；或或或．【分析】（）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，二者相減取絕對(duì)值即可；（）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，根據(jù)新函數(shù)的對(duì)稱軸是將原函數(shù)的對(duì)稱軸向右平移與軸的兩個(gè)交點(diǎn)1之間距離的倍或倍解答即可求解；根據(jù)值為函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間距離的倍或2倍，結(jié)合點(diǎn)在函數(shù)圖象上，列出方程組解答即可；本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象的平移，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：若，則有，當(dāng)時(shí)，，解得或，∴該函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為；（2）解：將和代入得，，解得，∴，∴，若，則的對(duì)稱軸為，∴，即；若時(shí)，則的對(duì)稱軸為，∴，即；∴新函數(shù)的表達(dá)式為或；將點(diǎn)代入，得，設(shè)和分別為函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，∴，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有，∴，∴，解得或；當(dāng)，有，∴，∴，解得或；綜上，的值為或或或．押題方向二：三角形的旋轉(zhuǎn)3年江蘇南京卷真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年江蘇南京卷第27題三角形的旋轉(zhuǎn)從近年江蘇南京中考來(lái)看，三角形的旋轉(zhuǎn)的考查，難度較大，常常與全等和相似三角形結(jié)合一起考查，綜合性比較強(qiáng)；預(yù)計(jì)2024年江蘇南京卷還將繼續(xù)重視對(duì)三角形的旋轉(zhuǎn)的綜合問(wèn)題的考查。2022年江蘇南京卷第27題三角形的旋轉(zhuǎn)1．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，順，；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，逆，．例如：如圖①，先將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，再將△以點(diǎn)為位似中心縮小到原來(lái)的，得到△，這個(gè)變換記作，逆，．（1）如圖②，經(jīng)過(guò)，順，得到△，用尺規(guī)作出△．（保留作圖痕跡）（2）如圖③，經(jīng)過(guò)，逆，得到，經(jīng)過(guò)，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．（3）如圖④，在中，，，．若經(jīng)過(guò)（2）中的變換得到的四邊形是正方形．Ⅰ．用尺規(guī)作出點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；Ⅱ．直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【分析】（1）旋轉(zhuǎn)，可作等邊三角形，，從而得出點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，進(jìn)而作出圖形；（2）根據(jù)和位似，與位似得出，，，進(jìn)而推出，從而，進(jìn)而得出，同理可得：，從而推出四邊形是平行四邊形；（3）要使是正方形，應(yīng)使，，從而得出，從而得出，從而，于是作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法．【解答】（1）解：如圖1，1．以為圓心，為半徑畫(huà)弧，以為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧在的上方交于點(diǎn)，分別以，為圓心，以為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，2．延長(zhǎng)至，使，延長(zhǎng)至，使，連接，則△就是求作的三角形；（2）證明：和位似，與位似，，，，，，，，，同理可得：，四邊形是平行四邊形；（3）解：如圖2，1．以為邊在上方作等邊三角形，2．作等邊三角形的外接圓，作直徑，連接，3．作，，延長(zhǎng)，交于，連接，，則四邊形是正方形，證明：由上知：，，，，，，，要使是正方形，應(yīng)使，，，，，，，作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法；，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，確定圓的條件，尺規(guī)作圖等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是較強(qiáng)的分析能力．2．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過(guò)該點(diǎn)的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對(duì)稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱．例如：如圖①，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過(guò)點(diǎn)的直線翻折，得到，則與成自位似軸對(duì)稱．

(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對(duì)三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對(duì)稱的是________（填寫(xiě)所有符合條件的序號(hào)）；(2)如圖③，已知經(jīng)過(guò)自位似軸對(duì)稱變換得到，是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)，使與是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；(3)如圖④，在中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．【答案】(1)①②(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題中定義作出圖形，即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)題意和軸對(duì)稱性質(zhì)作出軸對(duì)稱前的，即以點(diǎn)為位似中心縮小的，在作出Q對(duì)應(yīng)的，進(jìn)而作出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P即可；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明和得到，進(jìn)而得到，證明得到，利用平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①與成自位似軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為的角平分線所在的直線，如圖；

②與成自位似軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為平分線所在的直線，如圖，

，③與不成自位似軸對(duì)稱，故答案為：①②；（2）解：如圖，1）分別在和上截取，，2）連接，在上截取，3）連接并延長(zhǎng)交于P，則點(diǎn)即為所求；

（3）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查位似和軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，理解題中所給定義，熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．1.旋轉(zhuǎn)：2.相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．3、相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有1．【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中．【問(wèn)題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．

(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，求的長(zhǎng)．(2)若點(diǎn)C、E、D在同一條直線上，求點(diǎn)D到直線的距離．(3)連接，取的中點(diǎn)G，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．(4)如圖4，G為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)G到直線的距離的最大值是______．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）在中，根據(jù)余弦的定義求解即可；（2）分點(diǎn)在上方和下方兩種情況討論求解即可；（3）取的中點(diǎn)，連接，從而求出，得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；（4）由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，過(guò)O作于H，當(dāng)G在的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，即點(diǎn)到直線的距離的最大，在中求出，進(jìn)而可求．【詳解】（1）解：由題意得，，∵在中，，，．∴．（2）①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

∵在中，，，，∴，∴．∵在中，，，，，∴．∵點(diǎn)、、在同一直線上，且，∴．又∵在中，，，，∴，∴．∵在中，，∴．②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖2，

在中，∵，，，∴．∴．過(guò)點(diǎn)作，垂足為．在中，，∴．綜上，點(diǎn)到直線的距離為．（3）解：如圖3，取的中點(diǎn)，連接，則．

∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．當(dāng)三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、B、首次在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的軌跡為所對(duì)的圓弧，圓弧長(zhǎng)為．∴點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．（4）解：由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，如圖四，過(guò)O作于H，

當(dāng)G在的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，即點(diǎn)到直線的距離的最大，在中，，，，∴，∴，即點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于壓軸題，分點(diǎn)在上方和下方是解第（2）的關(guān)鍵，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解第（3）（4）的關(guān)鍵．2．如圖，和都是等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)E與的斜邊的中點(diǎn)重合．將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與線段相交于點(diǎn)P，射線與線段相交于點(diǎn)G，與射線相交于點(diǎn)Q．(1)求證：．(2)當(dāng)，，求的長(zhǎng)．(3)在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)10(3)【分析】由和是兩個(gè)等腰直角三角形，得，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得，則可證得；由相似三角形的性質(zhì)可求，可求，，即可求的長(zhǎng)；首先解，求出的長(zhǎng)，再證明，進(jìn)而解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：和是兩個(gè)等腰直角三角形，，，即，，，，（2）解：，，且，，，，，，，；（3）解：過(guò)點(diǎn)作于，，，，，在中，由勾股定理得，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查相似形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，E分別在線段，上，且．(1)觀察猜想小華將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖②，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)：①的值為_(kāi)_____；②的度數(shù)為_(kāi)_____度；(2)類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：若，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②45(2)（1）中的兩個(gè)結(jié)論=，仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)的長(zhǎng)為或【分析】（1）①設(shè)交于點(diǎn)O．證明得到；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合對(duì)頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（2）設(shè)交于點(diǎn)O．證明得到，，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）分兩種情況，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，利用勾股定理和（2）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：①如圖②中，設(shè)交于點(diǎn)O．∵，都是等腰直角三角形，∴，，，∴，；∴，∴；②∵，∴，∵，，∴，故答案為：，45；（2）解：，仍然成立如圖③中，設(shè)交于點(diǎn)O．∵，都是等腰直角三角形，∴，，，∴，；∴，∴，，∵，∴，即，成立；（3）解：如圖④-1中，當(dāng)于O時(shí)，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．如圖④-2中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于O．同理可得，，∴，∵，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．4．如圖1，將一個(gè)三角形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，那么可以得到：，，，．（___________）圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．(1)上述問(wèn)題情境中“（________）”處應(yīng)填理由：________________；(2)如圖2，將一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置．①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)；②如果，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____________；(3)如果將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止．此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少(如圖3)？【答案】(1)旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等(2)①作圖見(jiàn)詳解；②(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)處即可求解；②根據(jù)弧長(zhǎng)公式的計(jì)算方法即可求解；（3）如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可求出，再根據(jù)，，陰影部分的面積為，由此即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，∴應(yīng)填理由為：旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，故答案為：旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)，作圖如下：②如圖所示，點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，且，∴在中，，∴，故答案為：；（3）解：如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，在中，，，∴，則，則，在中，，，∴，則，∴，∴，，∴陰影部分，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同理，，，∴陰影部分，∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)中心的確定，弧長(zhǎng)公式的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算方法，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，不規(guī)則圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．5．（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖l，在矩形和矩形中，，，，小明將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2所示．①問(wèn)：的值是否變化?若不變，求的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．