押江蘇南京卷第25-26題（二次函數(shù)的綜合、三角形旋轉(zhuǎn)問題）（原卷版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題

押江蘇南京卷第25-26題押題方向一：二次函數(shù)的綜合3年江蘇南京卷真題考點(diǎn)命題趨勢2023年江蘇南京卷第26題二次函數(shù)的綜合從近年江蘇南京中考來看，二次函數(shù)的綜合的考查，難度較大，綜合性比較強(qiáng)；預(yù)計(jì)2024年江蘇南京卷還將繼續(xù)重視對(duì)二次函數(shù)的綜合問題的考查。2022年江蘇南京卷第26題二次函數(shù)的綜合2021年江蘇南京卷第26題二次函數(shù)的綜合1．（2023·江蘇南京·中考真題）已知二次函數(shù)為常數(shù)，．（1）若，求證：該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，．（3）若該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，且，則的取值范圍是或．2．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點(diǎn)，，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且（為常數(shù)，），分別過點(diǎn)、作、的垂線相交于點(diǎn)，設(shè)的長為，的長為．

(1)若，，則的值為________；(2)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若線段上存在點(diǎn)，則的值應(yīng)滿足什么條件？直接寫出的取值范圍．3．（2021·江蘇南京·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點(diǎn)．（1）求b的值．（2）當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是________．（3）設(shè)是該函數(shù)的圖像與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出a的取值范圍．一、二次函數(shù)的圖象1.二次函數(shù)（）的圖象是一條拋物線，它關(guān)于軸對(duì)稱，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).2.二次函數(shù)（）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），對(duì)稱軸是直線.圖象的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下.3.二次函數(shù)（）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，k），對(duì)稱軸是直線.圖象的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下.4.二次函數(shù)（）的圖象是一條拋物線，它de對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)是拋物線上的最高點(diǎn).二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)（）的系數(shù)與圖象的關(guān)系（1）的符號(hào)由拋物線的開口方向決定：，；（2）的符號(hào)由拋物線的對(duì)稱軸的位置及的符號(hào)共同決定：對(duì)稱軸在軸左側(cè)同號(hào)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)異號(hào)；（3）的符號(hào)由拋物線與軸的交點(diǎn)的位置決定：與軸正半軸相交，與軸正半軸相交三、二次函數(shù)的圖象與幾何變換1.二次函數(shù)的平移（1）平移步驟：①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；②保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：（2）平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．2.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱（1）關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；（2）關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．1．已知二次函數(shù)（a為常數(shù)且）．(1)求證：不論a為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別記為A、B，線段（含端點(diǎn)）上有若干個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，且這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為9．①直接寫出a的取值范圍；②若a為負(fù)整數(shù)，則函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)隨b的值變化而變化，直接寫出交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的b的取值范圍．2．某公司成功研制出一種產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研，年銷售量y(萬件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系如圖所示，其中曲線為反比例函數(shù)圖像的一部分，為一次函數(shù)圖像的一部分．(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知每年該產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用為40萬元，該產(chǎn)品成本價(jià)為4元/件，設(shè)銷售產(chǎn)品年利潤為w(萬元)，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，年利潤最大?最大年利潤是多少?(說明：年利潤年銷售利潤研發(fā)費(fèi)用)3．已知二次函數(shù)．(1)求證：該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)若該函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為且求證(3)若，，都在該二次函數(shù)的圖像上，且結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出k的取值范圍．4．在二次函數(shù)中．(1)求證：不論取何值，該函數(shù)圖像與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)(2)當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為________．(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且．則的取值范圍是________．5．若一次函數(shù)與反比例函數(shù)同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“共享函數(shù)”，稱點(diǎn)為共享點(diǎn)．(1)判斷與是否存在“共享函數(shù)”，如果存在，請(qǐng)求出“共享點(diǎn)”．如果不存在，請(qǐng)說明理由；(2)已知：整數(shù)，，滿足條件，并且一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“共享函數(shù)”，求的值．(3)若一次函數(shù)和反比例函數(shù)在自變量的值滿足的的情況下．其“共享函數(shù)”的最小值為3，求其“共享函數(shù)”的解析式．6．已知函數(shù)（m為常數(shù)）．(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)．(2)不論m為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是．(3)在的范圍中，y的最大值是2，直接寫出m的值．7．已知函數(shù)（為常數(shù)）．(1)若，，求該函數(shù)圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離；(2)若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，將該函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到新函數(shù)的圖象，且這兩個(gè)函數(shù)圖象與軸的四個(gè)交點(diǎn)中任意相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等．若函數(shù)的圖象如圖所示，直接寫出新函數(shù)的表達(dá)式；若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．押題方向二：三角形的旋轉(zhuǎn)3年江蘇南京卷真題考點(diǎn)命題趨勢2023年江蘇南京卷第27題三角形的旋轉(zhuǎn)從近年江蘇南京中考來看，三角形的旋轉(zhuǎn)的考查，難度較大，常常與全等和相似三角形結(jié)合一起考查，綜合性比較強(qiáng)；預(yù)計(jì)2024年江蘇南京卷還將繼續(xù)重視對(duì)三角形的旋轉(zhuǎn)的綜合問題的考查。2022年江蘇南京卷第27題三角形的旋轉(zhuǎn)1．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，順，；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，逆，．例如：如圖①，先將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，再將△以點(diǎn)為位似中心縮小到原來的，得到△，這個(gè)變換記作，逆，．（1）如圖②，經(jīng)過，順，得到△，用尺規(guī)作出△．（保留作圖痕跡）（2）如圖③，經(jīng)過，逆，得到，經(jīng)過，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．（3）如圖④，在中，，，．若經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形是正方形．Ⅰ．用尺規(guī)作出點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；Ⅱ．直接寫出的長．2．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點(diǎn)的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對(duì)稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱．例如：如圖①，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過點(diǎn)的直線翻折，得到，則與成自位似軸對(duì)稱．

(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對(duì)三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對(duì)稱的是________（填寫所有符合條件的序號(hào)）；(2)如圖③，已知經(jīng)過自位似軸對(duì)稱變換得到，是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)，使與是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；(3)如圖④，在中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．1.旋轉(zhuǎn)：2.相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡稱為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡稱為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡稱為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．3、相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有1．【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中．【問題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，延長交于點(diǎn)F，求的長．(2)若點(diǎn)C、E、D在同一條直線上，求點(diǎn)D到直線的距離．(3)連接，取的中點(diǎn)G，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長．(4)如圖4，G為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線的距離的最大值是______．2．如圖，和都是等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)E與的斜邊的中點(diǎn)重合．將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段與線段相交于點(diǎn)P，射線與線段相交于點(diǎn)G，與射線相交于點(diǎn)Q．(1)求證：．(2)當(dāng)，，求的長．(3)在（2）的條件下，求的長．3．圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，E分別在線段，上，且．(1)觀察猜想小華將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖②，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)：①的值為______；②的度數(shù)為______度；(2)類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；(3)拓展延伸：若，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，直接寫出的長．4．如圖1，將一個(gè)三角形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，那么可以得到：，，，．（___________）圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．(1)上述問題情境中“（________）”處應(yīng)填理由：________________；(2)如圖2，將一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置．①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)；②如果，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為______________；(3)如果將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止．此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少(如圖3)？5．（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖l，在矩形和矩形中，，，，小明將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2所示．①問：的值是否變化?若不變，求的值；若變化，請(qǐng)說明理由．②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)B、E、F在同一條直線上時(shí)，求的長度．（2）【類比探究】如圖3，在中，，，，G為