押江蘇無錫卷第23-26題（統(tǒng)計綜合、尺規(guī)作圖、圓綜合問題、一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際問題）（解析版）

押江蘇無錫卷第23-26題押題方向一：統(tǒng)計綜合3年江蘇無錫卷真題考點命題趨勢2023年江蘇無錫卷第23題統(tǒng)計從近年江蘇無錫中考來看，統(tǒng)計是近幾年江蘇無錫中考的必考題；預(yù)計2024年江蘇無錫卷還將繼續(xù)重視對統(tǒng)計的考查。2022年江蘇無錫卷第23題統(tǒng)計2021年江蘇無錫卷第23題統(tǒng)計1．（2023·江蘇無錫·中考真題）2023年5月30日，神州十六號載人飛船成功發(fā)射，為大力弘揚航天精神，普及航天知識，激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新熱情，某初中在全校開展航天知識競賽活動現(xiàn)采用簡單隨機抽樣的方法從每個年級抽取相同數(shù)量的學(xué)生答題成績進行分析，繪制成下列圖表，請根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：學(xué)生參加航天知識競賽成績頻數(shù)分布表競賽成績x（組別）（A）（B）（C）（D）（E）（F）頻數(shù)2196a57b6學(xué)生參加航天知識競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)七年級8281八年級8282九年級8380

(1)_________；_________%；(2)請根據(jù)“學(xué)生參加航天知識競賽成績統(tǒng)計表”對本次競賽中3個年級的總體情況做出評價，并說明理由．【答案】(1)90；10(2)七年級的平均分最高；八年級的中位數(shù)最大；九年級的眾數(shù)最大【分析】（1）先求出總?cè)藬?shù)，再根據(jù)C所占的百分比求出a，再由所有頻率之和為1，求出“E”所占的百分比，進而確定m的值；（2）比較中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的大小得出答案．【詳解】（1）解：∵抽取的總?cè)藬?shù)為（人），∴C組的人數(shù)為（人），；故答案為：90，10；（2）解：七年級的平均分最高；八年級的中位數(shù)最大；九年級的眾數(shù)最大．（答案不唯一）．【點睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及樣本估計總體，理解中位數(shù)、眾數(shù)的定義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫·中考真題）育人中學(xué)初二年級共有200名學(xué)生，2021年秋學(xué)期學(xué)校組織初二年級學(xué)生參加30秒跳繩訓(xùn)練，開學(xué)初和學(xué)期末分別對初二年級全體學(xué)生進行了摸底測試和最終測試，兩次測試數(shù)據(jù)如下：育人中學(xué)初二學(xué)生30秒跳繩測試成績的頻數(shù)分布表跳繩個數(shù)（x）x≤5050＜x≤6060＜x≤7070＜x≤80x＞80頻數(shù)（摸底測試）192772a17頻數(shù)（最終測試）3659bc育人中學(xué)初二學(xué)生30秒跳繩最終測試成績的扇形統(tǒng)計圖(1)表格中a＝；(2)請把下面的扇形統(tǒng)計圖補充完整；（只需標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）(3)請問經(jīng)過一個學(xué)期的訓(xùn)練，該校初二年級學(xué)生最終測試30秒跳繩超過80個的人數(shù)有多少？【答案】(1)65(2)見解析(3)50名【分析】（1）用全校初二年級總?cè)藬?shù)200名減去非70＜x≤80的總?cè)藬?shù)即可求得a；（2）用戶減去小于等于80個點的百分比，即可求出大于80個占的百分比，據(jù)此可補全扇形統(tǒng)計圖；（3）用總?cè)藬?shù)200名乘以大于80個占的百分比，即可求解．【詳解】（1）解：a=200-19-27-72-17=65，故答案為：65；（2）解：x>80的人數(shù)占的百分比為：1-1.5%-3%-29.5%-41%=25%，補充扇形統(tǒng)計圖為：（3）解：最終測試30秒跳繩超過80個的人數(shù)有：200×25%=50（名），答：最終測試30秒跳繩超過80個的人數(shù)有50名．【點睛】本題考查頻數(shù)分布表與扇形統(tǒng)計圖，頻數(shù)與頻率，能從統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖中獲取有用的信息是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇無錫·中考真題）某企業(yè)為推進全民健身活動，提升員工身體素質(zhì)，號召員工開展健身鍛煉活動，經(jīng)過兩個月的宣傳發(fā)動，員工健身鍛煉的意識有了顯著提高．為了調(diào)查本企業(yè)員工上月參加健身鍛煉的情況，現(xiàn)從1500名員工中隨機抽取200人調(diào)查每人上月健身鍛煉的次數(shù)，并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：某企業(yè)員工參加健身鍛煉次數(shù)的頻數(shù)分布表鍛煉次數(shù)x（代號）（A）（B）（C）（D）（E）（F）頻數(shù)10a68c246頻率0.05b0.34d0.120.03某企業(yè)員工參加健身鍛煉次數(shù)的扇形統(tǒng)計圖（1）表格中________；（2）請把扇形統(tǒng)計圖補充完整；（只需標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）（3）請估計該企業(yè)上月參加健身鍛煉超過10次的員工有多少人？【答案】（1）42；（2）見詳解；（3）估計該企業(yè)上月參加健身鍛煉超過10次的員工有1110人．【分析】（1）由扇形統(tǒng)計圖直接得出b的值，再用200×b，即可求解；（2）先算出c，d的值，再補充統(tǒng)計圖，即可；（3）用總?cè)藬?shù)×健身鍛煉超過10次的員工的頻率之和，即可求解．【詳解】（1）解：由扇形統(tǒng)計圖可知：b=0.21，a=200×0.21=42，故答案是：42；（2）c=200-10-42-68-24-6=50，d=50÷200×100％=25％，補全扇形統(tǒng)計圖如下：（3）1500×(0.34+0.25+0.12+0.03)=1110（人），答：估計該企業(yè)上月參加健身鍛煉超過10次的員工有1110人．【點睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖以及頻數(shù)分布表，準(zhǔn)確找出相關(guān)數(shù)據(jù)，是解題的關(guān)鍵．1）如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。2）平均數(shù)能充分利用各數(shù)據(jù)提供的信息，在實際生活中常用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)；中位數(shù)不受個別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，一般用中位數(shù)來描述數(shù)據(jù)的集中趨勢；眾數(shù)考察的是各數(shù)據(jù)所出現(xiàn)的頻數(shù)，其大小只與部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，眾數(shù)往往更能反映問題。1．垃圾的分類處理與回收利用，可以減少污染，節(jié)省資源．無錫市環(huán)保部門抽樣調(diào)查了某居民小區(qū)一段時間內(nèi)生活垃圾的分類情況，將獲得的數(shù)據(jù)整理繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖．注：為廚余垃圾，為可回收垃圾，為其它垃圾，為有害垃圾根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：(1)本次調(diào)查的樣本容量是___________；(2)補全條形統(tǒng)計圖；(3)假設(shè)該小區(qū)每月產(chǎn)生的生活垃圾為噸，且全部分類處理，請估計每月產(chǎn)生的有害垃圾有多少噸？【答案】(1)50(2)見解析(3)12【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）由廚余垃圾噸數(shù)及其所占百分比可得抽樣總數(shù)，即樣本容量；（2）用減法求出可回收垃圾的數(shù)量，即可補全條形統(tǒng)計圖；（3）用總數(shù)量乘以樣本中有害垃圾數(shù)量所占比例即可．【詳解】（1）解：在這次抽樣調(diào)查中，生活垃圾一共有(噸，故答案為：50；（2）回收垃圾有：(噸，補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）(噸，答：估計每月產(chǎn)生的有害垃圾大約有12噸．2．為豐富同學(xué)們的學(xué)習(xí)生活，某校打算在七年級開設(shè)四種不同社團課，分別是A羽毛球、B插花、C健身操、D圍棋．為了解同學(xué)們對些課程的選擇傾向情況，學(xué)校在校園隨機抽取部分七年級同學(xué)做“你最喜愛的社團課”的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計圖部分如圖所示．請你根據(jù)如圖信息解決下列問題：(1)參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為名，“羽毛球”社團課所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是；(2)補全條形統(tǒng)計圖（畫圖并標(biāo)注相應(yīng)數(shù)據(jù)）；(3)若該校七年級一共有900名學(xué)生，試估計選擇“圍棋”社團課的學(xué)生有多少名？【答案】(1)100；(2)見解析(3)估計選擇“圍棋”社團課的學(xué)生約有名．【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）根據(jù)參加“健身操”的人數(shù)除以所占的百分比即可求出參加問卷的學(xué)生人數(shù)，用選擇“羽毛球”社團課的學(xué)生人數(shù)除以總?cè)藬?shù)乘即可得到結(jié)果；（2）用總?cè)藬?shù)減去參加其他各項的人數(shù)即可得到參加“插花”的人數(shù)，從而可補全條形統(tǒng)計圖；（3）先求出樣本中參加“圍棋”社團課的百分比，再用七年級人數(shù)乘以這個百分比即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為（名），“羽毛球”社團課所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是，故答案為：100；；（2）解：參加“插花”的人數(shù)有（名），補全條形統(tǒng)計圖如下，；（3）解：（名），答：估計選擇“圍棋”社團課的學(xué)生約有名．3．為了解某校初三學(xué)生英語口語檢測成績等級的分布情況，隨機抽取了該校若干名學(xué)生的英語口語檢測成績，按，，，四個等級進行統(tǒng)計分析，并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖：請根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：(1)本次抽取的學(xué)生有________名；(2)補全條形統(tǒng)計圖；(3)在抽取的學(xué)生中級人數(shù)所扇形圓心角的度數(shù)為是________；(4)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請你估計某校名初三學(xué)生英語口語檢測成績等級為級的人數(shù)．【答案】(1)；(2)見解析圖；(3)；(4)檢測成績等級為級的人數(shù)是人．【分析】（）根據(jù)等級的人數(shù)和所占的百分比即可求出總?cè)藬?shù)；（）用總?cè)藬?shù)乘以B等級所占的百分比，即可補全統(tǒng)計圖；（）用整體減去、、等級所占的百分比，即可求出級人數(shù)所占的百分比；（）用某校名初三學(xué)生乘以等級所占的百分比，即可得出答案；本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）本次抽取的學(xué)生有（人），故答案為：；（2）等級的人數(shù)是：（人），補圖如下：（3）等級所占的百分比是：，抽取的學(xué)生中級人數(shù)所扇形圓心角的度數(shù)為為，故答案為：；（4）等級所占的百分比是：，∴估計某校名初三學(xué)生英語口語檢測成績等級為級的人數(shù)為（人），答：估計某校名初三學(xué)生英語口語檢測成績等級為級的人數(shù)為人．4．某中學(xué)計劃根據(jù)學(xué)生的興趣愛好組建課外興趣小組，并隨機抽取了部分同學(xué)的興趣愛好進行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩幅統(tǒng)計圖，完成下列問題：

(1)學(xué)校這次調(diào)查共抽取了______名學(xué)生；(2)求m的值并補全條形統(tǒng)計圖；(3)在扇形統(tǒng)計圖，“圍棋”所在扇形的圓心角度數(shù)為______；(4)設(shè)該校共有學(xué)生1000名，請你估計該校有多少名學(xué)生喜歡足球．【答案】(1)100；(2)20，圖見解析；(3)；(4)250名．【分析】（1）用“圍棋”的人數(shù)除以其所占百分比可得；（2）用總?cè)藬?shù)乘以“書法”人數(shù)所占百分比求得其人數(shù)，據(jù)此即可補全圖形；（3）用乘以“圍棋”人數(shù)所占百分比即可得；（4）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中“足球”人數(shù)所占百分比可得．【詳解】（1）解：學(xué)校本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為（名）；（2）解：，“書法”的人數(shù)為（人）；補全圖形如下：

（3）解：在扇形統(tǒng)計圖中，“圍棋”所在扇形的圓心角度數(shù)為；（4）解：估計該校喜歡足球的學(xué)生人數(shù)為（名．答：估計該校有250名學(xué)生喜歡足球．【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．也考查了用樣本估計總體的思想．押題方向二：尺規(guī)作圖3年江蘇無錫卷真題考點命題趨勢2023年江蘇無錫卷第24題尺規(guī)作圖從近年江蘇無錫中考來看，尺規(guī)作圖在近三年的必考題，重點考查尺規(guī)作圖基本作法，考查難度一般；預(yù)計2024年江蘇無錫卷還將繼續(xù)重視對尺規(guī)作圖的考查。2022年江蘇無錫卷第24題尺規(guī)作圖2021年江蘇無錫卷第24題尺規(guī)作圖1．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知，點M是上的一個定點．

(1)尺規(guī)作圖：請在圖1中作，使得與射線相切于點M，同時與相切，切點記為N；(2)在（1）的條件下，若，則所作的的劣弧與所圍成圖形的面積是_________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作的平分線，再過M點作的垂線交于點O，接著過O點作于N點，然后以O(shè)點為圓心，為半徑作圓，則滿足條件；（2）先利用切線的性質(zhì)得到，，根據(jù)切線長定理得到，則，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計算出，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用的劣弧與所圍成圖形的面積進行計算．【詳解】（1）解：如圖，為所作；

；（2）解：∵和為的切線，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴的劣弧與所圍成圖形的面積．故答案為：．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積計算．2．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，△ABC為銳角三角形．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點D；（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長，求出梯形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，∴點D為所求點．（2）解：過點A作AE垂直于BC，垂足為E，∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四邊形ABCD是梯形，∴，∴四邊形AECD是矩形，∴，∴四邊形ABCD的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知銳角中，．（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的平分線；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，的半徑為5，則________．（如需畫草圖，請使用圖2）【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作的平分線，作出AC的中垂線交CD于點O，再以點O為圓心，OC為半徑，畫圓，即可；（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，進而即可求解．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）連接OA，∵，的平分線，∴AD=BD=，CD⊥AB，∵的半徑為5，∴OD=，∴CD=CO+OD=5+=，∴BC=，∴．故答案是：．【點睛】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點，是解題的關(guān)鍵．尺規(guī)作圖與幾何性質(zhì)綜合主要掌握以下三方面的知識：（1）通過題干描述辨別是何種尺規(guī)作圖（主要有：作已知角、角平分線、中垂線等）；（2）圖形背景設(shè)置的幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)（一般為特殊的三角形或四邊形）；（3）相關(guān)的運算工具（一般長度計算工具：相似、勾股定理等）1．如圖，在中，．(1)請在圖（1）中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的角平分線交于點，在上求作點，使；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，則（如需畫草圖，請使用圖2）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線和作一個角等于已知角的方法畫圖即可；（2）過點D作于G，過點E作于F，分別證明和得到，再分別證明和得到，然后利用正切定義求解即可．【詳解】（1）解：如圖，射線、點E即為所求；（2）解：如圖，過點D作于G，過點E作于F，則，∵平分，，，∴，又，∴，∴，∵，，∴，則，∴，∴，又，，∴，∴，∵，，∴，又，∴，即，∵，，∴，∴，即，∴（負(fù)值舍去），∴，故答案為：．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖-作角平分線、作一個角等于已知角，角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識，熟練掌握相關(guān)的知識的聯(lián)系與運用，正確添加輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵．2．如圖，中，．(1)尺規(guī)作圖：作菱形，使分別在上；(2)題（1）中所作的菱形的周長為_______．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（1）先作的平分線，再作交于點，作交于點，則四邊形滿足條件；（2）設(shè)菱形的邊長為，則，再證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到即利用比例性質(zhì)求出，從而得到菱形的周長．【詳解】（1）解：作的平分線，再作交于點，作交于點，如圖，則為所作菱形．（2）解：設(shè)菱形的邊長為，則，∵四邊形為菱形，即解得：即菱形的邊長為∴菱形的周長．3．在矩形中，．(1)請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖．先在上確定點E，使．再在上確定點F，使以F為圓心的圓經(jīng)過點E和點C．(2)在（1）的條件下，若，且，則的長為_____（如需要畫草圖請使用試卷中的備用圖）．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．（1）以為圓心，為半徑作弧交于點E，則．再作的垂直平分線，交于點F；（2）根據(jù)，設(shè)，，利用，列式計算求得，設(shè)，在中，由勾股定理列式計算求解即可．【詳解】（1）解：所作圖形如圖，（2）解：∵，∴，設(shè)，，∴，，∵，∴，，解得，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得，故答案為：．4．如圖1，在中，，且邊上有一點D．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：①作的角平分線，交邊點E；②作，其中點F在邊上；(2)在（1）的條件下，若，，點D在邊上運動，則面積的最小值為___________．【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查尺規(guī)基本作圖，角平分線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積．利用面積法求解是解題的關(guān)鍵．（1）①利用尺規(guī)基本作圖-作已知角的平分線，作出圖形即可；②利用尺規(guī)基本作圖-經(jīng)過直線上一點作已知直線的垂線，用出圖形即可．（2）根據(jù)，當(dāng)時，值最小，此時，值也最小，所以此時面積的最小，利用解平分線性質(zhì)得出，設(shè)，根據(jù)，即，求解得h值，再代入即可求解．【詳解】（1）解：①如圖所示，就是所求；②如圖所示，就是所求．（2）解：∵∴當(dāng)時，值最小，此時，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴值最小，∴此時，面積，如圖，∵平分，∴，設(shè)，∵∴即解得：，∴∴面積的最小值為：．押題方向三：圓的綜合問題3年江蘇無錫卷真題考點命題趨勢2023年江蘇無錫卷第25題圓與三角形相似綜合從近年江蘇無錫中考來看，圓與三角形相似綜合是?？碱}型，也是考查重點，難度一般。預(yù)計2024年江蘇無錫卷還將繼續(xù)考查圓與三角形相似綜合，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實掌握。2022年江蘇無錫卷第25題圓與三角形相似綜合2021年江蘇無錫卷第25題圓與三角形相似綜合1．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，是的直徑，與相交于點．過點的圓O的切線，交的延長線于點，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)為的切線，則，由，則，根據(jù)圓周角定理可得，又，根據(jù)等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接．

為的切線，．，．，．，．（2）如圖，連接，，，．，，且，，，即，，，即半徑為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．(1)求證；(2)當(dāng)時，求CE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)同弧所對圓周角相等可得，再由對頂角相等得，故可證明緒論；（2）根據(jù)可得由可得出連接AE，可證明，得出代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求出，從而可求出緒論．【詳解】（1）∵所對的圓周角是，∴，又，∴；（2）∵△是等邊三角形，∴∵，∴∴∵∴，∴∴連接如圖，∵∴∴∠又∠，∴△∴，∴∴，∴（負(fù)值舍去）∴，解得，【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與交于點E，切于點B．（1）求證：；（2）若，，求證：．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由圓周角定理的推論，可知∠ABC=90°，由切線的性質(zhì)可知∠OBP=90°，進而即可得到結(jié)論；（2）先推出，從而得∠AOB=40°，繼而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，進而即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵是的直徑，∴∠ABC=90°，∵切于點B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定定理，掌握圓周角定理的推論，相似三角形的判定定理，切線的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．1）在證明圓周角相等或弧相等時，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）當(dāng)已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角；3）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等；4）注意圓的相關(guān)知識和相似、三角函數(shù)、勾股定理結(jié)合解決相關(guān)計算問題。1．如圖，在△中，，以為直徑的圓分別交，于點D，E，過點B作圓的切線交的延長線于點F．(1)求證：；(2)如果，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)等，得到相似三角形是求解的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，可以得到，從而證明結(jié)論．（2）連接，證明，得到，可求出的值，即可．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，∴．∴．∴．（2）解：連接．∵是的直徑，∴．∵是的切線，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，即：，∴，∴．2．如圖，在中以為直徑作圓，圓心為，交于點，連接，延長至，連接．已知，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理：（1）先證，推出，即可證得是的切線；（2）根據(jù)求出，連接，得到，列得，勾股定理求出，即可求得．【詳解】（1）∵，，∴，∴，∵，∴，即，∵是的直徑，∴是的切線；（2）∵，∴，即，∴，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．3．如圖，四邊形是平行四邊形，以為直徑的經(jīng)過點，與交于點．連接，，作，與的延長線交于點．

(1)求證：是的切線；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)以及圓周角定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）連接．由等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定得出，從而得出，即可得證；（2）根據(jù)圓周角定理和平行線的性質(zhì)可得出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：連接．

，，．．，，，，是的半徑，是的切線．（2）解：連接．

，中，，，∵，．，，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，．4．如圖，已知內(nèi)接于，若，平分交于D，交于點E．(1)求證：；(2)若，試求、的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判定，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）設(shè)的圓心為點O，連接交于H，過點B作交的延長線于F，先證及為等邊三角形，從而得，，設(shè)，則，，，再證，由得，于是可設(shè)，則，從而得，則，，然后由（1）得，據(jù)此由相似三角形的性質(zhì)得，最后設(shè)，則，由（1）的結(jié)論得，再證，可得，據(jù)此即可求出x，進而得的長．【詳解】（1）證明：∵平分，，，，，，，；（2）解：設(shè)的圓心為點O，連接交于H，過點B作交的延長線于F，，平分，，，，，，，為等邊三角形，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，，，，，，∴可設(shè)，，，即，，，由（1）得：，，即，，設(shè)，則，由（1）的結(jié)論得：，即：，，，，，，，將代入上式得：，，，，．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，圓周角與圓心角之間的關(guān)系；解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理．押題方向四：一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合問題3年江蘇無錫卷真題考點命題趨勢2023年江蘇無錫卷第26題一次函數(shù)與二次函數(shù)實際問題的綜合從近年江蘇無錫中考來看，一次函數(shù)與二次函數(shù)實際問題的綜合是?？碱}型，也是考查重點，難度一般。預(yù)計2024年江蘇無錫卷還將繼續(xù)考查一次函數(shù)與二次函數(shù)實際問題的綜合，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實掌握。2022年江蘇無錫卷第26題一次函數(shù)與二次函數(shù)實際問題的綜合1．（2023·江蘇無錫·中考真題）某景區(qū)旅游商店以元的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于元，不高于元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量與銷售價格（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式：(2)當(dāng)銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤=（銷售價格一采購價格）×銷售量】【答案】(1)(2)銷售價格為元時，利潤最大為【分析】（1）分時，當(dāng)時，分別待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)利潤為，根據(jù)題意當(dāng)時，得出，當(dāng)時，，進而根據(jù)分時，當(dāng)時，分別求得最大值，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時，設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，將點代入得，∴解得：∴，當(dāng)時，設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，將點代入得，解得：∴，（2）設(shè)利潤為當(dāng)時，∵在范圍內(nèi)，隨著的增大而增大，當(dāng)時，取得最大值為；當(dāng)時，∴當(dāng)時，w取得最大值為，當(dāng)銷售價格為元時，利潤最大為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫·中考真題）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時x的值；(2)當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)x的值為2m；(2)當(dāng)時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時x的值為2m；；（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墻的長度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4時，S隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=時，S有最大值，最大值為，即當(dāng)時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的表達(dá)式；利用不等式，不等式組求自變量的范圍；利用一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性求出自變量范圍里的最大值或最小值。1．水果店購進某品種榴蓮，榴蓮的保質(zhì)期為30天，平均每顆榴蓮的售價為100元，由于榴蓮需要冷藏保存，因此成本也會逐日增加，設(shè)第x天的銷售量m顆，每顆榴蓮的成本為y元．y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．m與x之間的關(guān)系如表：第x天銷售量m顆15(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式．(2)若每天的銷售利潤為W元，求W與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天時當(dāng)天的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少元？【答案】(1)；(2)第天時，當(dāng)天的銷售利潤最大，最大銷售利潤是元．【分析】（1）設(shè)與的函數(shù)表達(dá)式為，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）分兩種情況討論：當(dāng)時，，當(dāng)時，，再利用函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)表達(dá)式為，把和分別代入得：，解得：，∴與的函數(shù)表達(dá)式為；（2）當(dāng)時，，∵，∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∵不在范圍內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大而減小，∴當(dāng)時，；綜上述，第天時，當(dāng)天的銷售利潤最大，最大銷售利潤是元．2．為加強勞動教育，各校紛紛落實勞動實踐基地．某校學(xué)生在種植某種高產(chǎn)番茄時，經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)每平方米種植2株番茄時，平均單株產(chǎn)量為8.4千克；②在每平方米種植的株數(shù)不超過10的前提下，以同樣的栽培條件，株數(shù)每增加1株，平均單株產(chǎn)量減少0.8千克．(1)求平均單株產(chǎn)量（千克）與每平方米種植的株數(shù)（為整數(shù)，且）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知學(xué)校勞動基地共有10平方米的空地用于種植這種番茄．問：當(dāng)每平方米種植多少株時，該學(xué)校勞動基地能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？【答案】(1)（，且為整數(shù)）(2)6株，312千克【分析】（1）根據(jù)題意，找出數(shù)量關(guān)系式，即可求出平均單株產(chǎn)量（千克）與每平方米種植的株數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用總產(chǎn)量平均的產(chǎn)量種植的株數(shù)，列關(guān)于的一元二次方程，將其轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)為整數(shù)，即可求出種多少株最大產(chǎn)量，以及最大產(chǎn)量多少.【詳解】（1）解：每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.8千克，，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為（，且為整數(shù)）；故答案為：（，且為整數(shù)）.（2）解：設(shè)每平方米番茄產(chǎn)量為千克，根據(jù)題意得：，為整數(shù)，當(dāng)時，取最大值，最大值為，（千克），答：每平方米種植6株時，該學(xué)校勞動基地能獲得最大的產(chǎn)量，最大產(chǎn)量為312千克．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合運用，解題的關(guān)鍵需要找出和存在的關(guān)系，以及熟練掌握頂點式二次函數(shù)表達(dá)式．