2023-2024學(xué)年全國百強(qiáng)校山西大學(xué)附屬中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年全國百強(qiáng)?！可轿鞔髮W(xué)附屬中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，兩個正方形和所在平面互相垂直，設(shè)、分別是和的中點(diǎn)，那么：①；②平面；③；④、異面.其中不正確的序號是（）A．① B．② C．③ D．④2．已知圓，由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為()A．1 B．2 C． D．3．已知函數(shù)在時取最大值，在是取最小值，則以下各式：①；②；③可能成立的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知平面向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．下列四個函數(shù)中，既是上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．在天氣預(yù)報中，有“降水概率預(yù)報”，例如預(yù)報“明天降水的概率為80%”，這是指（）A．明天該地區(qū)有80%的地方降水，有20%的地方不降水B．明天該地區(qū)降水的可能性為80%C．氣象臺的專家中有80%的人認(rèn)為會降水，另外有20%的專家認(rèn)為不降水D．明天該地區(qū)有80%的時間降水，其他時間不降水7．一個體積為的正三棱柱（底面為正三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的三視圖如圖所示，則該三棱柱的側(cè)視圖的面積為（）A． B．3 C． D．128．不等式的解集是()A． B． C． D．9．已知等差數(shù)列中，，，則的值為（）A．51 B．34 C．64 D．51210．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有的點(diǎn)（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線與圓相切，則________.12．求的值為________．13．已知兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為_________.14．如圖，半徑為的扇形的圓心角為，點(diǎn)在上，且，若，則__________.15．圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是______.16．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值是_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范圍18．在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若的面積為，求在上的投影.19．（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.20．某地統(tǒng)計局調(diào)查了10000名居民的月收入，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進(jìn)一步分析，則應(yīng)從月收入在[2500,3000)內(nèi)的居民中抽取多少人？21．已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；(2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

取的中點(diǎn)，連接，，連接，，由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷①；由三角形的中位線定理，以及線面平行的判定定理可判斷②③④．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，連接，，正方形和所在平面互相垂直，、分別是和的中點(diǎn)，可得，，平面，可得，故①正確；由為的中位線，可得，且平面，可得平面，故②③正確，④錯誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線線和線面的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求處切線長的最小值，即可得到答案．【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以切線長的最小值為，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

由余弦函數(shù)性質(zhì)得，()，解出后，計算，可知三個等式都不可能成立．【詳解】由題意，()，解得，，，，三個都不可能成立，正確個數(shù)為1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時要注意對中的整數(shù)要用不同的字母表示，否則可能出現(xiàn)遺漏，出現(xiàn)錯誤．4、C【解析】

根據(jù)列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算以及特殊角的三角函數(shù)值，求得與的夾角.【詳解】由于，故，所以，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，考查特殊角的三角函數(shù)值，考查兩個向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

本題首先可確定四個選項(xiàng)中的函數(shù)的周期性以及在區(qū)間上的單調(diào)性、奇偶性，然后根據(jù)題意即可得出結(jié)果．【詳解】A項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是增函數(shù),奇函數(shù)；B項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是減函數(shù)，偶函數(shù)；C項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是增函數(shù)，偶函數(shù)；D項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是減函數(shù)，偶函數(shù)；綜上所述，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性以及單調(diào)性，能否熟練的掌握正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題．6、B【解析】

降水概率指的是降水的可能性，根據(jù)概率的意義作出判斷即可.【詳解】“明天降水的概率為80%”指的是“明天該地區(qū)降水的可能性是80%”，且明天下雨的可能性比較大，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率的意義，掌握概率是反映出現(xiàn)的可能性大小的量是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)側(cè)視圖的寬為求出正三角形的邊長為4，再根據(jù)體積求出正三棱柱的高，再求側(cè)視圖的面積?！驹斀狻總?cè)視圖的寬即為俯視圖的高，即三角形的邊長為4，又側(cè)視圖的面積為：【點(diǎn)睛】理解：側(cè)視圖的寬即為俯視圖的高，即可求解本題。8、A【解析】

分解因式，即可求得.【詳解】進(jìn)行分解因式可得：，故不等式解集為：故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解，屬基礎(chǔ)知識題.9、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì);若，則即可?！驹斀狻恳?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，所以選擇A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列比較重要的一個性質(zhì)；在等差數(shù)列中若，則，屬于基礎(chǔ)題。10、D【解析】

把系數(shù)2提取出來，即即可得結(jié)論．【詳解】，因此要把圖象向右平移個單位．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移變換．要注意平移變換是加減平移單位，即向右平移個單位得圖象的解析式為而不是．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線和圓相切，所以圓心到直線的距離，即，由于，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.12、44.5【解析】

通過誘導(dǎo)公式，得出，依此類推，得出原式的值．【詳解】，，同理，，故答案為44.5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，得出是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

求出直線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用兩直線垂直時斜率之積為可得出線段的垂直平分線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出中垂線的方程．【詳解】線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，其方程為，即.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線方程的求解，有如下兩種方法求解：（1）求出中垂線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式得出中垂線所在直線方程；（2）設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為，利用動點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等列式求出動點(diǎn)的軌跡方程，即可作為中垂線所在直線的方程．14、【解析】根據(jù)題意，可得OA⊥OC，以O(shè)為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則有C（1，0），A（0，1），B（cos30°，-sin30°），即.于是.由，得：，則：，解得.∴.點(diǎn)睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．15、【解析】

求圓心到直線的距離，用距離減去半徑即可最小值.【詳解】圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線的距離為：，所以最小值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值，若圓心距為d，圓的半徑為r且圓與直線相離，則圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為d+r，最小值為d-r.16、【解析】

利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，易將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，及函數(shù)在上的最大值為1，易求出的值．【詳解】函數(shù)又函數(shù)在上的最大值為1，≤0，又,且在上單調(diào)遞增，所以即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，其中利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）[0，].【解析】

(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x，∴f(α)＝＝＝＝.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋＝sin(2x＋)＋，∵≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin(2x＋)≤1，0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．本試題組要是考查了三角函數(shù)的運(yùn)用.18、（1）；（2）當(dāng)時，在上的投影為；當(dāng)時，在上的投影為.【解析】

（1）由已知條件，結(jié)合正弦定理，求得，即可求得C的大??；（2）由已知條件，結(jié)合三角形的面積公式及余弦定理，求得的值，再由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理知，即，又，所以，所以，在中，，所以，又，所以；?）在中，由余弦定理得，由，即，因此，所以，解得或，當(dāng)時，在上的投影為；當(dāng)時，在上的投影為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：（1）①當(dāng)時，即當(dāng)時，②①減②得經(jīng)檢驗(yàn)時，成立故（2）（）……將上述式相加可得【點(diǎn)睛】本題考查作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）0.15（2）2400（3）25人【解析】

(1)由頻率分布直方圖計算可得月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；(2)分別計算小長方形的面積值，利用中位數(shù)的特點(diǎn)即可確定中位數(shù)的值；(3)首先確定10000人中月收入在[2500,3000]內(nèi)的人數(shù)，然后結(jié)合分層抽樣的特點(diǎn)可得應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】（1）居民月收入在[3000,3500]內(nèi)的頻率為（2）因?yàn)椋?，，，所以樣本?shù)據(jù)的中位數(shù)為.（3）居民月收入在[2500,3000]內(nèi)的頻率為，所以這10000人中月收入在[2500,3000]內(nèi)的人數(shù)為.從這10000人中用分層抽樣的方法抽出100人，則應(yīng)從月收入在[2500,3000]內(nèi)的居民中抽取(人).【點(diǎn)睛】利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.21、（3）；（3）3．【解析】試題分析：（3）由題意可得，直線l的斜率存在，用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．（3）由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為