黑龍江省哈爾濱市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

黑龍江省哈爾濱市第一一三中學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級下

學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列四種圖形都是軸對稱圖形，其中對稱軸條數(shù)最多的圖形是

A.等邊三角形B.矩形C.菱形D.正方形

2.下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.6,8,10C.8,12,15D.9,15,17

3.在平行四邊形ABC。中，ZA+ZC=160°,則N8的度數(shù)為（）

A.120°B.100°C.80°D.60°

4.如圖，在RfAABC中，ZACB=90,AC=5,8C=12,。為AB的中點，則O）的

長為（）

A.2.5B.5C.6D.6.5

5.順次連接矩形的中點所得的四邊形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四邊形

6.如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿A3的底端B處，繩子末端剛好接觸到地面，然后

將繩子末端拉到點D處，發(fā)現(xiàn)此時點O到旗桿A3水平距離為8m,點。到地面的距離

8為2m,則旗桿A3的高度為（）

A.23mB.17mC.15mD.10m

7.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊AADE,則的度數(shù)為（）.

A

B

A.10°B.12.5°C.15°D.20°

8.如圖，在YABCD中，BD=CD,ZC=70°,"1_1瓦）于點￡,則一D4E的度數(shù)為

C.30°D.35°

9.下列命題是真命題的是（）

A.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

B.一組對邊平行、一組對角相等的四邊形是平行四邊形

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形

10.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,E為AC上一點，F(xiàn)為的延長線上一點,

SLCF=AE.連接BE,EF,DF,EF交DC于點、M.下列結(jié)論：①AABE當ACDF；

°ACEF1

②EB=EF；③NDEE=60°；④若CE=2AE,則q=4,其中結(jié)論正確的序號

^△BEF

C.①④D.①②③④

二、填空題

11.菱形的兩條對角線的長分別為6和8,則這個菱形的周長為—.

12.已知△A3C的三邊長分別為5、12、13,則AABC的面積為.

13.如圖，點D、E、F分別是△ABC各邊的中點，連接DE、EF、DF,若△ABC的周

長為10,則ADEF的周長為.

試卷第2頁，共6頁

A

14.在菱形ABCD中，A3=2,ABAD=60°,點E是AB的中點，P是對角線AC上的

一個動點，則PE+PB的最小值為.

15.如圖，ABC的頂點AB,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，于點

D.則8的長為.

16.如圖，每一幅圖中有若干個大小不同的菱形，則第2024幅圖中有個菱形.

O<3€><3$€>…妗?

第I郵第2幅第3幅第隔I

17.已知矩形ABC。，E為8的中點，F(xiàn)為A8上一點，連接EF、OF,若AB=8,BC=4,

EF=2yl5>則。尸的長為.

18.如圖，在矩形A8CD中，點E在BC邊的延長線上，DE=3C,點尸在線段DE上,

EF=EC,連接AF,若DF=2EF,BE=4,則線段AF的長為

三、解答題

以先化簡‘再求值：""其中.癡+3（?3），

20.如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,線段AB、EF的端點均在小正方形的頂

點上.

⑴在圖中確定點C,點C在小正方形的頂點上，請你連接CB得至使ABC

的面積為2,ZACB=90°；

⑵確定點C后，網(wǎng)格內(nèi)確定點G、"，點G、”都在小正方形的頂點上，連接

FG、GH、HE,使四邊形￡7七”為面積為7的平行四邊形，連接CG,直接寫出CG的

長.

21.如圖，在四邊形A8CD中NA=90。，AB=2^,AD=3,BC=2布，CD=7.求

四邊形A8CZ)的面積.

22.已知四邊形A3CD是平行四邊形，點E在對角線80上，點尸在邊5c上，連接AE,

EF,DE=BF,BE=BC.

圖①圖②

(1)如圖①，求證△AED絲

(2)如圖②，若=AE^ED,過點C作CH〃AE交BE于點H,在不添加任何軸

助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角(NBAE除外)，使寫出的每個角都與ZR4E

相等.

23.端午節(jié)前夕，某商家預(yù)測某種水果能夠暢銷，就用3000元購進了一批這種水果，上

市后銷售非常好，商家又用8000元購進第二批這種水果，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量

的2倍，但每斤進價多了2元.

(1)求第一批該種水果的進價是多少元.

(2)由于儲存不當，第二批購進的水果中有10%腐壞，不能售賣.該商家將兩批水果按同

試卷第4頁，共6頁

一價格全部銷售完畢后獲利不低于3000元，求每斤這種水果的售價至少是多少元.

24.閱讀材料：當一個三角形的兩個內(nèi)角有倍數(shù)關(guān)系時，此三角形會有一些特殊的性質(zhì)，

如圖，ABC中，ZB=2NC,我們稱之為省重三角形，做小明發(fā)現(xiàn)以下性

質(zhì)并給出如下證明：

在3c上取一點E,使BD=DE,連接AE,

；BD=DE,AD±BC,

**?AB=AE,

:.ZB=ZAED,

ZB=2ZC,

ZAED=2ZC,

：.ZEAC=/C,

:.AE=EC=AB,

；?AB+BD=CE+DE=CD,AB+BD=CD

請直接應(yīng)用小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，完成下列問題：

(1)如圖1,已知：在省重A5C中，AD1BC,AB=5,BD=3,則ABC的面積=

⑵如圖2,在省重ABC中，ADJ.BC,尸為2C中點，求證：AB=2DF

(3)如圖3,平行四邊形ABCD,對角線交于點O,BELAC,BF±BC,ZBAC^2ZDAC,

OE=4,AF=2,求四邊形ABC。的面積.

25.如圖：在平面直角坐標系xoy中，正方形AOBC的兩邊分別在x軸和y軸上，對角

線AB=10后.

(1)求C點的坐標；

(2)。為，ABC內(nèi)部一點，連接AD,BD,將沿翻折，。的對應(yīng)點為E,連接

OE,設(shè)。的橫坐標為r,ZiOBE的面積為S,求S與r的關(guān)系式；

⑶在(2)的條件下，連接0。，若OD=BC,S三,平面內(nèi)是否存在一點K,使以

O,E,B,K為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在求出K點坐標，若不存在，說明理

由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.D

【詳解】試題分析：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖

形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，分別判斷出各圖形的對稱軸條數(shù)，可得出答案:

A、等邊三角形有3條對稱軸；

B、矩形有2條對稱軸；

C、菱形有2條對稱軸；

D、正方形有4條對稱軸.

故選D.

2.B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個

三角形是直角三角形.如果沒有這種關(guān)系，這個就不是直角三角形，逐一判定即可.

【詳解】A、42+52^62,不符合勾股定理的逆定理，故本選項不符合題意；

B、62+82=102,符合勾股定理的逆定理，故本選項符合題意；

C、82+122/15z,不符合勾股定理的逆定理，故本選項不符合題意；

D、92+152^172,不符合勾股定理的逆定理，故本選項不符合題意.

故選B.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認真分析所給邊

的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而

作出判斷.

3.B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得/A=NC=80。，然后問題可求解.

【詳解】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，ZA+ZC=160°,

AZA=ZC=80°,ZA+ZB=180°,

ZB=100°；

故選B.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.D

【分析】利用勾股定理求出A2,再利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解：在放AACB中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,

答案第1頁，共20頁

，AB=VAC2+BC2=后+122=13,

?.?。為AB的中點，

：.AD=BD,

：.CD=-AB=6.5,

2

故選：D.

【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練勾股定理與直角三角

形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

5.B

【分析】連接AC、BD,根據(jù)矩形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，可得

EF=GH=FG=EH,進而即可求解.

E、F、G、目分別是矩形ABCD的A3、BC、CD、AD邊上的中點，

,-.EF=GH=-AC,FG=EH=-BD,

22

矩形ABCD的對角線AC=3。，

:.EF=GH=FG=EH,

四邊形EFGH是菱形.

故選：B.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握中位線的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，過點。作?！旯ひ朴贓,設(shè)旗桿A3的高度為由，

在RtA4即中，由勾股定理可得（x-2y+82=/,解方程即可求解，正確作出輔助線，構(gòu)

造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點。作于E,則乙?=90。，DE=BC=8m,BE=CD=2m,

答案第2頁，共20頁

設(shè)旗桿AB的高度為Q,貝|AE=(x—2)m,AD=AB=xm,

在RtAA匹中，AE2+DE2=AD2,

：.(X-2)2+82=X2,

解得x=17,

旗桿AB的高度為17m,

故選：B.

7.C

【分析】由于四邊形ABCD是正方形，AADE是正三角形，由此可以得到AB=AE,接著利

用正方形和正三角形的內(nèi)角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】：四邊形ABCD是正方形，

AZBAD=90°,AB=AD,

又???△ADE是正三角形，

；.AE=AD,ZDAE=60°,

AAABE是等腰三角形，ZBAE=90°+60°=150°,

.".ZABE=ZAEB=15°.

故選C.

【點睛】此題主要考查了正方形和等邊三角形的性質(zhì)，同時也利用了三角形的內(nèi)角和，解題

時首先利用正方形和等邊三角形的性質(zhì)證明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可解

決問題.

8.A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩

銳角互余，由等腰三角形的性質(zhì)可得NO3C=NC=70。，由平行四邊形可得AD〃3C,進

而得到NAZ)E=/DBC=70。，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得ZZME=20。，掌握平行四

答案第3頁，共20頁

邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：BD=CD，ZC=70°,

ZDBC=NC=70。,

?..四邊形ABC。為平行四邊形，

AD//BC,

：.ZADE=ZDBC=10°,

AE1BD,

：.ZAED=90°,

：.ZDAE=90°-70°=20°,

故選：A.

9.B

【分析】本題考查了判斷命題的真假，根據(jù)平行四邊形、矩形、正方形的判定方法逐項判斷

即可求解，平行四邊形、矩形、正方形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，該選項錯誤，不合題意;

B、一組對邊平行、一組對角相等的四邊形是平行四邊形，該選項正確，符合題意；

C、對角線相等的平行四邊形是矩形，該選項錯誤，不合題意；

D、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，該選項錯誤，不合題意；

故選：B.

10.D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三

角形的面積，由四邊形ABCD是菱形，可得」.ABC為等邊三角形，AB=CD=BC,進而可

ZBAE=ZDCF=60°,由SAS即可證明△ASE名△CC^；連接OE,證明

ABE^ADE(SAS),得到BE=DE,ZABE=ZADE,進而可得，ED尸為等邊三角形，即

可判斷②③；由CE=2AE可得=即可判斷④；掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：四邊形ABC。是菱形，

AB//CD,AB=CD=BC,

,：ZABC=60°,

：.ZDCF=ZABC=60°,..ABC為等邊三角形，

ZBAE=60°,AC=BC,

答案第4頁，共20頁

：.ZBAE=ZDCF,

XVAE=FC,

A.(SAS),故①正確;

:?BE=DF,ZABE=ZCDF,

連接D￡,

???四邊形ABC。是菱形，

AAB=AD,ZBAE=ZDAE,ZADC=ZABC=6Q0,

*.*AE=AE,

：.ABE^ADE(SAS),

ABE=DE,ZABE=ZADE,

:?DE=DF,ZADE=ZCDF,

：.ZADE+NCDE=Z.CDF+ZCDE,

即ZADC=ZEDF=60°,

；?_EDF為等邊三角形,

AEF=DF,NDFE=60°,

ABE=EF,故②③正確；

CE=2AE,

：.AC=3AE,

AC=BC,

：.BC=3AE,

;CF=AE,

：.BC=3CF,

：.BF=4CF,

答案第5頁，共20頁

qi

=］，故④正確；

、八BEF4

結(jié)論正確的序號有①②③④，

故選：D.

11.20

【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，利用對角線的一半，根據(jù)勾股定理求出菱

形的邊長，再根據(jù)菱形的四條邊相等求出周長即可.

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得AO=gx8=4,BO=yx6=3,

:四邊形ABCD是菱形，.?.AB=BC=CD=DA,AC±BD.

/.△AOB是直角三角形.

AB=^AOr+BCr=716+9=5-

.??此菱形的周長為：5x4=20

故答案為：20.

【分析】由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，由三角形面積公式即可得出結(jié)果.

【詳解】解：：△ABC的三邊長分別為5、12、13,52+122=132,

/XABC是直角三角形，

"BC的面積」x5xl2=30,

2

故答案為：30.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形面積公式，證明△ABC是直角三角形是解

題的關(guān)鍵.

13.5

【詳解】解：根據(jù)三角形的中位線定理可得DE=gAC,EF=|AB,DF=1BC

所以△DEF的周長為4ABC的周長的一半，即4DEF的周長為5

故答案為：5.

【點睛】本題考查三角形的中位線定理.

答案第6頁，共20頁

14.6

【分析】根據(jù)軸對稱最短問題作法，可得P點的位置，再結(jié)合菱形的性質(zhì)得出AAEE，為等

邊三角形，然后利用勾股定理，求出PE+PB的最小值.

【詳解】作E點關(guān)于AC對稱點E，，連接EB,E，B與AC的交點即是P點，

?.,菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°,E是AB的中點，

；.AE，=AE=BE=1,

二AAEE，為等邊三角形，

/AEE，=60。，

ZE,EB=120°,

VBE=EE,,

/EEB=30。，

/AEB=90。，

BE，=7AB2-AE/2=V22-12=V3，

VPE+PB=PE4PB=BE\

.;PE+PB的最小值是：V3.

故答案為：厲.

H

【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理

以及“馬飲水”模型，是解題的關(guān)鍵.

【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，利用勾股定理求出A3的長，利用網(wǎng)格求出ABC

的面積，再根據(jù)面積法即可求出8的長，利用割補法求出AfiC的面積是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由勾股定理可得，鉆=斤彳=5，

由網(wǎng)格可得，S=4x4——x4xl——x3xl——x3x4=—,

CDLAB,

答案第7頁，共20頁

S=-ABCD=-x5xCD=-CD,

.ARr222

,13

故答案為：—.

16.4047

【分析】本題考查了圖形的規(guī)律型變化問題，根據(jù)已知圖形找到圖形的變化規(guī)律即可求解,

根據(jù)已知圖形找到圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:由圖形可得，

第1幅圖中有1個菱形，

第2幅圖中有2x2—1=3個菱形，

第3幅圖中有2x3-1=5個菱形，

第4幅圖中有2x4—1=7個菱形，

L,

可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形都比前一個圖形多2個，

第”幅圖中共有（2〃-1）個菱形，

當”=2024時，2〃—1=2x2024—1=4047,

第2024幅圖中有4047個菱形,

故答案為：4047.

17.2亞或29

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，分兩種情況：①點尸靠近點A和②點尸靠近

點B,畫出圖形解答即可求解，運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：分兩種情況：

①點尸靠近點A時，如圖1所示，作FGLCD于G,則/G=3C=4,/FGE=90。，

答案第8頁，共20頁

圖1

，GE=^EF2-FG2=J（2A/5）2-42=2,

?.?四邊形ABC。是矩形，

CD=AB=8,AD=BC=4,

E是CO的中點，

/.DE=-CD=4,

2

：.DG=4-2=2,

DF=>JFG2+DG2=742+22=2逐；

②點尸靠近點8時，如圖2所示，作BGLCD于G,貝|所=3。=4,ZFGE=90°,

圖2

同①得出EG=2,DE=4,

：.DG=DE+EG=4+2=6,

；?DF=y/FG2+DG2=A/42+62=2相；

DF的長為2君或2日，

故答案為：2君或2萬.

18.V17

答案第9頁，共20頁

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，過點尸作FG1AB

于G,交CD于點則G"=3C,AG=DH,由即，EF=EC,￡)E=BC可得

BE=4EC=4,得到EC=1,BC=DE=3,由勾股定理得到DC=2夜，由"尸〃CE得到

進而得到華^=^^="|,得至

DHF^DCE,DH=速,得到尸G==，再

33

利用勾股定理即可求出線段"的長，正確作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點尸作FG1AB于G,交8于點“，則G"=3C,AG=DH,

???四邊形ABC。是矩形，

J.AB//CD,ZBCD=90。,

：.FGLCD,ZDCE=90。,

:?ZDHF=ZAGF=90。,HF//CE,

*.*DF=2EF,

：.DE=3EF,

,:EF=EC,

：.DE=3EC,

又?；DE=BC,

BC=3EC,

???BE=4EC=4,

：.EC=1,

：.BC=DE=3xl=3f

???DC=^DE2-CE2=A/32-12=2^/2,

*：HF//CE,

:：DHFsDCE,

.HFPHDF

^~CE~~DC~~DE

答案第10頁，共20頁

HFD?H____2______

"1-2A/2-3

472

故答案為：厲.

19.二B.

x-33

【分析】本題考查了分式的化簡求值，先利用分式的性質(zhì)和運算法則對分式化簡，然后利用

零指數(shù)幕公式對x化簡，再把化簡后的無代入到分式化簡后的結(jié)果中計算即可求解，掌握分

式的運算法則是解題的關(guān)鍵.

1x2-6x+9

【詳解】解:x-2J2尤-4

x-2__1\；2(x-2)

x-2x-2)(x-3)2

二一3乂2（＞2）

x-2（尤-3）2，

2

*=疵+3（兀+3）°=2肉3,

2

二原式二33J

2

-麗

1

-耳

蟲

-3

20.（1）作圖見解析；

⑵作圖見解析，CG=A/26.

【分析】（1）取格點C,連接。1、CB,勾股勾股定理可得AC=20,BC=拒,AB=前,

答案第11頁，共20頁

即有4。2+8。2=4笈，故ABC為直角三角形，ZACB=90°,所以ABC的面積為

-AC-BC=-x2V2x^=2,即點C為所求；

22

（2）取格點G、H,連接尸G、GH、HE,由網(wǎng)格可知，四邊形EFG8為平行四邊形，由

害I」補法可得其面積為4x3*2x1x2xl-《x3xl-!x3xl=7,利用勾股定理即可求出

2222

CG的長；

本題考查了勾股定理及其逆定理，平行四邊形的性質(zhì)，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】（1）解：如圖，點C即為所求；

（2）解：如圖，四邊形EFG〃即為所求，由勾股定理可得，CG=#7#=庫?

21.四邊形48CD的面積為10百.

【分析】如圖：連接加＞,由勾股定理可得3。2=仞2+至2即802=32+（2/『=21；然后

再求CD?-BC。=21,即=可得△BCD為直角三角形，即/CB￡）=90。；最后

根據(jù)S?ABCD=S/\BCD+SAABD求解即可.

【詳解】連接2，

?.?在及"DB中，/A=90°,

???BD2=AD2+AB\

：.BD2=32+（2^）2=21,

答案第12頁，共20頁

又：CD2-BC2=72-（2A/7）2=21,

；?CD2=BD-+BC2,

△BCD為直角三角形，即ZCBD=90°，

??^WABCD=S4BCD+S4ABD

=-BDBC+-ABAD

22

=-xV21x2^+-x3x2^=10^.

22

答：四邊形ABC。的面積為10g.

【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，作出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為解

答本題的關(guān)鍵.

22.⑴見解析;

⑵ZBEA=NEFC=/DCH=NDHC=ZBAE,理由見解析.

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得40=30=3",BC//AD,進而有=

從而利用SAS即可證明結(jié)論成立；

（2）先證四邊形ABCD是菱形，得AB=3C=BE=CD=AD,又證ABEMCDH（AAS）,

得/BAE=/DCH=/BEA=/DHC,由（1）得一AED—EFB（SAS）得ZAED=ZEFB,

根據(jù)等角的補角相等即可證明.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，BE=BC

：.AD=BC=BE,BC//AD,

?*.ZADE=NEBF,

'：DE=BF,ZADE=ZEBF,AD=BE

.AED%ETB（SAS）；

（2）解:/BEA=NEFC=NDCH=NDHC=NBAE,理由如下：

VAB=AD,四邊形A3CD是平行四邊形，

答案第13頁，共20頁

???四邊形ABC。是菱形，BC//AD,ABCD

AB=BC=BE=CD=AD,ZADE-ZEBF,/ABE=NCDH,

:.ZBEA=ZBAE,

CH//AE,

：?NBEA=NDHC,

???-ABE-CD"（AAS）,

:.NBAE=NDCH=ZBEA=NDHC,

由（1）得AAED%EFB（SAS）,

JZAED=ZEFB,

???ZAED+ZBEA=ZEFB+ZEFC=180°,

???/BEA=NEFC=NDCH=NDHC=NBAE.

B

圖②

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對等角、全等三角形的判

定及性質(zhì)以及等角的補角相等.熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.⑴6元/斤；

（2）10元.

【分析】（1）第一批水果的進價為尤元/斤，根據(jù)題意，可得方程里”=2x型四，解方程

即可求解；

（2）設(shè)每斤這種水果的售價為y元，根據(jù)題意，可得不等式

型％2x型型x（l一10%）y-（3000+8000）＞3000,解不等式即可求解；

66J

本題考查了分式方程及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意，正確列出分式方程和一元一次不

等式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：第一批水果的進價為X元/斤，則第二批這種水果的進價為（元+2）元/斤,

答案第14頁，共20頁

幽

由題意可得,=2,3

x+2x

解得尤=6,

經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解，且符合題意，

答：第一批水果的進價為6元/斤；

(2)解:設(shè)每斤這種水果的售價為y元，

由題意可得，^^+2x^^x(l-10%)P-(3000+8000)>3000,

整理得，1400y214000

解得ywi。，

答：這種水果的售價每斤至少是1。元.

24.(1)22

(2)見解析

(3)18739

【分析】(1)在QC上截取止=BD=3,連接AE,從而可得AD是BE的垂直平分線，進

而可得AB=AE=5,然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得ZB=NAEB,從而可得ZAEB=2/C,

再利用三角形的外角性質(zhì)可得NA￡S=NE4C+NC,從而可得NE4C=/C,進而可得

AE=CE=5,最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答；

(2)取AC的中點N,連接RV,DN,由尸為BC的中點，得到FN為J1BC的中位線，

利用中位線定理得到FN等于AB的一半,且FN與AB平行,得到ZNFC=ZB,而ZB=2ZC,

得至|JZA/FC=2NC,由。N為直角三角形APC斜邊上的中線，得到DN=NC,得到

ZFDN=ZC,利用三角形的外角性質(zhì)及等量代換可得出/EDN=NRVE>,利用等角對等邊

可得出。尸=對，即可得證.

(3)設(shè)EF=x,先證得ABC是省重三角形，可得AB=8,可得

BE2=AB2-AE2=82-(X+2)2,再由勾股定理得

BF2+BC2=CF2,BF2=BE2+EF2,BC2=BE2+CE2,從而得出

EF2+BE1+BE2+CE-={EF+CE)2,再列出方程求出無，最后求出四邊形ABCD的面積.

【詳解】(1)在0c上截取DE=BD=3,連接AE,

答案第15頁，共20頁

A

ADLBC,

AD是BE的垂直平分線，

AB=AE=5,

:.ZB=ZAEB,

ZB=2/C,

:.ZAEB=2ZC,

ZAEB是△AEC的一個外角，

:.ZAEB=ZEAC+ZC,

:.ZEAC^ZC,

AE=CE=5,

.-.CD=DE+CE=3+5=8,

:.BC=BD+CD=3+8=U,

RtA43Z)中，BD2+AD2=AB2,

:.AD=yj52-32=4>

S,?=-BC?AD^-xllx4=22

r22

(2)證明：取AC的中點N,連接fTV,DN,如圖所示:

產(chǎn)為BC的中點，

:.FN為ABC的中位線，

FN//AB,S.FN=~AB,

2

:.ZB=ZNFC,又NB=2NC,

:.ZNFC=2ZC,

答案第16頁，共20頁

ZNFC為ADFN的外角，

ZNFC=ZFDN+ZFND=2ZCf

又DN為RtADC斜邊上的中線，

.\DN=NC=AN=-AC,

2

:.NFDN=4C,

.\ZFND=ZC=ZFDNf

:.DF=FN,

則。/=^A5,

2

AB=2DF.

(3)設(shè)石尸=犬，

OE=4,AF=2,

/.AE=x+2,AO=x+6,

平行四邊形ABC。，

OC=OA=x+6,AD//BC,

:.ZDAC=ZACB,

ABAC=2ADAC,

:.ZBAC=2ZACB,

BE±AC,

ABC是省重三角形，

:.AB+AE=CE

AB+x+2=4+x+6,

/.AB=8,

BE2=AB2-AE2=S2-(x+2)2,

BF-+BC2=CF2,BF-=BE2+EF2,BC2=BE2+CE2,

EF-+BE2+BE2+CE2=(EF+CE?,

:.BE2=EFCE=x(x+10),

x(x+10)=82-(x+2)~

答案