高中數(shù)學(xué)必修二《第八章 立體幾何初步》同步練習(xí)

高中數(shù)學(xué)必修二《第八章立體幾何初步》同步練習(xí)《8.1第1課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．觀察如下所示的四個(gè)幾何體，其中判斷不正確的是()A．①是棱柱 B．②不是棱錐C．③不是棱錐 D．④是棱臺(tái)B[結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺(tái)，③不是棱錐，故B錯(cuò)誤．]2．下列說法正確的是()A．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)B．多面體至少有3個(gè)面C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形D[選項(xiàng)A錯(cuò)誤，反例如圖①；一個(gè)多面體至少有4個(gè)面，如三棱錐有4個(gè)面，不存在有3個(gè)面的多面體，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤：選項(xiàng)C錯(cuò)誤，反例如圖②，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；根據(jù)棱柱的定義，知選項(xiàng)D正確．①②]3．如圖所示都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④B[在圖②③中，⑤不動(dòng)，把圖形折起，則②⑤為對面，①④為對面，③⑥為對面，故圖②③完全一樣，而①④則不同．]4．如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A．棱柱 B．棱臺(tái)C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定A[如圖．因?yàn)橛兴牟糠质冀K有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此是棱柱．]5．用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐，截面形狀是()A．四邊形B．三角形C．三角形或四邊形D．不可能為四邊形C[按如圖①所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是四邊形．①②]二、填空題6．一棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，其所有的側(cè)棱長的和為60cm，則每條側(cè)棱長為cm.12[該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，每條側(cè)棱長都相等，所以每條側(cè)棱長為12cm.]7．如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)A1，則爬行的最短路程為．eq\r(10)[將三棱柱沿AA1展開如圖所示，則線段AD1即為最短路線，即AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(10).]8．以三棱臺(tái)的頂點(diǎn)為三棱錐的頂點(diǎn)，這樣可以把一個(gè)三棱臺(tái)分成個(gè)三棱錐．3[如圖，三棱臺(tái)可分成三棱錐C1-ABC，三棱錐C1-ABB1，三棱錐A-A1B1C1，三個(gè)．]三、解答題9．如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體的構(gòu)成？有幾個(gè)面、幾個(gè)頂點(diǎn)、幾條棱？[解]這個(gè)幾何體是由兩個(gè)同底面的四棱錐組合而成的八面體，有8個(gè)面，都是全等的正三角形；有6個(gè)頂點(diǎn)；有12條棱．10．試從正方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取若干，連接后構(gòu)成以下空間幾何體，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎境鰜恚?1)只有一個(gè)面是等邊三角形的三棱錐；(2)四個(gè)面都是等邊三角形的三棱錐；(3)三棱柱．[解](1)如圖①所示，三棱錐A1-AB1D1(答案不唯一)．(2)如圖②所示，三棱錐B1-ACD1(答案不唯一)．(3)如圖③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．①②③[等級過關(guān)練]1．由五個(gè)面圍成的多面體，其中上、下兩個(gè)面是相似三角形，其余三個(gè)面都是梯形，并且這些梯形的腰延長后能相交于一點(diǎn)，則該多面體是()A．三棱柱 B．三棱臺(tái)C．三棱錐 D．四棱錐B[該多面體有三個(gè)面是梯形，而棱錐最多有一個(gè)面是梯形(底面)，棱柱最多有兩個(gè)面是梯形(底面)，所以該多面體不是棱柱、棱錐，而是棱臺(tái)．三個(gè)梯形是棱臺(tái)的側(cè)面，另兩個(gè)三角形是底面，所以這個(gè)棱臺(tái)是三棱臺(tái)．]2．五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對角線，那么一個(gè)五棱柱的對角線共有條．10[在上底面選一個(gè)頂點(diǎn)，同時(shí)在下底面選一個(gè)頂點(diǎn)，且這兩個(gè)頂點(diǎn)不在同一側(cè)面上，這樣上底面每個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)兩條對角線，所以共有10條．]《8.1第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球與簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是()①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體．A．①和⑤ B．①C．③和④ D．①和④D[根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念可知，①和④是旋轉(zhuǎn)體．]2．圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是()①②A．圓錐、棱柱 B．圓錐、棱錐C．球、棱錐 D．圓錐、圓柱B[根據(jù)圖①的底面為圓，側(cè)面為扇形，得圖①折疊后的圖形是圓錐；根據(jù)圖②的底面為三角形，側(cè)面均為三角形，得圖②折疊后的圖形是棱錐．]3．圓錐的側(cè)面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是()A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為30°等腰三角形 D．其他等腰三角形A[設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，依題意可知2πr＝π·eq\f(a,2)，則r＝eq\f(a,4)，故軸截面是邊長為eq\f(a,2)的等邊三角形．]4．如圖，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個(gè)組合體，其結(jié)構(gòu)特征是()A．一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)棱柱B．一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)棱錐D．一個(gè)棱臺(tái)中挖去一個(gè)圓柱B[一個(gè)六棱柱挖去一個(gè)等高的圓柱，選B.]5．用長為8，寬為4的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，則圓柱的軸截面的面積為()A．32B.eq\f(32,π)C.eq\f(16,π)D.eq\f(8,π)B[若8為底面周長，則圓柱的高為4，此時(shí)圓柱的底面直徑為eq\f(8,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π)；若4為底面周長，則圓柱的高為8，此時(shí)圓柱的底面直徑為eq\f(4,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π).]二、填空題6．如圖是一個(gè)幾何體的表面展開圖形，則這個(gè)幾何體是．圓柱[一個(gè)長方形和兩個(gè)圓折疊后，能圍成的幾何體是圓柱．]7．下列命題中錯(cuò)誤的是．①過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑；②母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等；③圓臺(tái)所有平行于底面的截面都是圓面；④圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形．②[因?yàn)閳A錐的母線長一定，根據(jù)三角形面積公式，當(dāng)兩條母線的夾角為90°時(shí)，圓錐的軸截面面積最大．]8．一個(gè)半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm，則截面圓面積為cm2.9π[設(shè)截面圓半徑為rcm，則r2＋42＝52，所以r＝3.所以截面圓面積為9πcm2.]三、解答題9．如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成了一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征．[解]如圖所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐后剩余部分構(gòu)成的組合體．10．一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求：(1)圓臺(tái)的高；(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長．[解](1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得上底面半徑O1A＝2(cm)，下底面半徑OB＝5(cm)，又因?yàn)檠L為12cm，所以高AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如圖所示，延長BA，OO1，CD交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為l，則由△SAO1∽△SBO可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20(cm)，即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為20cm.[等級過關(guān)練]1．如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A．一個(gè)球體B．一個(gè)球體中間挖出一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長方體B[圓旋轉(zhuǎn)一周形成球，圓中的矩形旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓柱，所以選B.]2．如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM＝x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.則繩子的最短長度的平方f(x)＝.x2＋16(0≤x≤4)[將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA′的長度L就是圓O的周長，所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝eq\f(L,2πl(wèi))×360°＝eq\f(2π,2π×4)×360°＝90°.由題意知繩子長度的最小值為展開圖中的AM，其值為AM＝eq\r(x2＋16)(0≤x≤4)．所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．]《8.2立體圖形的直觀圖》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．如圖，已知等腰三角形ABC，則如下所示的四個(gè)圖中，可能是△ABC的直觀圖的是()①②③④A．①②B．②③C．②④D．③④D[原等腰三角形畫成直觀圖后，原來的腰長不相等，③④兩圖分別為在∠x′O′y′成135°和45°的坐標(biāo)系中的直觀圖．]2．對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是()A．三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形B．90°的角的直觀圖會(huì)變?yōu)?5°的角C．與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同B[對于A，根據(jù)斜二測畫法特點(diǎn)知，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個(gè)三角形，故A正確；對于B,90°的角的直觀圖會(huì)變?yōu)?5°或135°的角，故B錯(cuò)誤；C，D顯然正確．]3．把△ABC按斜二測畫法得到△A′B′C′(如圖所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一個(gè)()A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形A[根據(jù)斜二測畫法還原三角形在直角坐標(biāo)系中的圖形，如圖所示：由圖易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC為等邊三角形，故選A.]4．一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20m、5m、10m，四棱錐的高為8m，若按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cmC[由比例尺可知長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為4cm,1cm,2cm和1.6cm，再結(jié)合斜二測畫法，可知直觀圖的相應(yīng)尺寸應(yīng)分別為4cm,0.5cm，2cm，1.6cm.]5．如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)A[畫出其相應(yīng)平面圖易求，故選A.]二、填空題6．斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點(diǎn)是M′，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為．M′(4,2)[在x′軸的正方向上取點(diǎn)M1，使O′M1＝4，在y′軸上取點(diǎn)M2，使O′M2＝2，過M1和M2分別作平行于y′軸和x′軸的直線，則交點(diǎn)就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長度為．2．5[由直觀圖知，由原平面圖形為直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，計(jì)算得AB＝5，所求中線長為2.5.]8．如圖所示，水平放置的△ABC在直角坐標(biāo)系中的直觀圖，其中D′是A′C′的中點(diǎn)，且∠ACB≠30°，則原圖形中與線段BD的長相等的線段有條．2[△ABC為直角三角形，因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，所以BD＝AD＝CD.所以與BD的長相等的線段有2條．]三、解答題9．如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的直觀圖，試畫出原平面圖形△ABC.[解](1)畫法：過C′，B′分別作y′軸的平行線交x′軸于D′，E′；(2)在直角坐標(biāo)系xOy中．在x軸上取二點(diǎn)E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分別過E，D作y軸平行線，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.連接OB，OC，BC即求出原△ABC.10．畫出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖．[解](1)畫軸．畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如圖①.(2)畫底面．以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi)畫出正方形水平放置的直觀圖ABCD.(3)畫頂點(diǎn)．在Oz軸上截取OP，使OP的長度是原四棱錐的高．(4)成圖．連接PA、PB、PC、PD，并擦去輔助線，得四棱錐的直觀圖如圖②.①②[等級過關(guān)練]1．已知兩個(gè)圓錐，底面重合在一起，其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為2cm，另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為()A．2cmB．3cmC．2.5cm D．5cmD[由題意可知其直觀圖如圖：由圖可知兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為5cm.故選D.]2．已知用斜二測畫法，畫得的正方形的直觀圖面積為18eq\r(2)，則原正方形的面積為．72[如圖所示，作出正方形OABC的直觀圖O′A′B′C′，作C′D′⊥x′軸于點(diǎn)D′.S直觀圖＝O′A′×C′D′.又S正方形＝OC×OA.所以eq\f(S正方形,S直觀圖)＝eq\f(OC×OA,O′A′×C′D′)，又在Rt△O′D′C′中，O′C′＝eq\r(2)C′D′，即C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′，結(jié)合平面圖與直觀圖的關(guān)系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，所以eq\f(S正方形,S直觀圖)＝eq\f(OC×OA,OA×\f(\r(2),2)O′C′)＝eq\f(2O′C′,\f(\r(2),2)O′C′)＝2eq\r(2).又S直觀圖＝18eq\r(2)，所以S正方形＝2eq\r(2)×18eq\r(2)＝72.]《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)C[∵VC-A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC-A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]2．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6)B．64C．16 D．96[答案]B3．棱錐的一個(gè)平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點(diǎn)到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個(gè)截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于()A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3B[兩個(gè)錐體的側(cè)面積之比為1∶9，小錐體與臺(tái)體的側(cè)面積之比為1∶8，故選B.]4．若正方體八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\f(2,\r(3))D.eq\f(\r(3),2)A[如圖所示，正方體的A′、C′、D、B的四個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)正四面體，設(shè)正方體邊長為a，則正四面體邊長為eq\r(2)a.∴正方體表面積S1＝6a2，正四面體表面積為S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).]5．四棱臺(tái)的兩底面分別是邊長為x和y的正方形，各側(cè)棱長都相等，高為z，且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系式中正確的是()A.eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B.eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C.eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D.eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)C[由條件知，各側(cè)面是全等的等腰梯形，設(shè)其高為h′，則根據(jù)條件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4·\f(x＋y,2)·h′＝x2＋y2,z2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－x,2)))2＝h′2))，消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y).]二、填空題6．已知一個(gè)長方體的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個(gè)長方體的體積為．eq\r(6)[設(shè)長方體從一點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).]7．已知棱長為1，各面均為等邊三角形的四面體，則它的表面積是，體積是．eq\r(3)eq\f(\r(2),12)[S表＝4×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\r(3)，V體＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)×12×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(2),12).]8．長方體ABCD-A1B1C1D1中，寬、長、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一個(gè)小蟲從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C1來獲取食物，則其路程的最小值為．eq\r(74)[把長方體含AC1的面作展開圖，有三種情形如圖所示：利用勾股定理可得AC1的長分別為eq\r(90)、eq\r(74)、eq\r(80).①②③由此可見圖②是最短路線，其路程的最小值為eq\r(74).]三、解答題9．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．[解]以四面體的各棱為對角線還原為長方體，如圖．設(shè)長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD-ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V長方體，同理，VC-ABF＝VD-ACG＝VD-BCH＝eq\f(1,6)V長方體，∴V四面體ABCD＝V長方體－4×eq\f(1,6)V長方體＝eq\f(1,3)V長方體．而V長方體＝2×3×4＝24，∴V四面體ABCD＝8.10．如圖，已知正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．[解]如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點(diǎn)O作OE⊥AB，與AB交于點(diǎn)E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.∵S側(cè)＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側(cè)＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S側(cè)＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).[等級過關(guān)練]1．用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是．8[如圖①為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②所示，由圖知正方形的邊長為2eq\r(2)，其面積為8.圖①圖②]2．如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．[解]如圖，連接EB，EC.四棱錐E-ABCD的體積V四棱錐E-ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱錐F-EBC＝V三棱錐C-EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C-ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E-ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E-ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E-ABCD＋V三棱錐F-EBC＝16＋4＝20.《8.3.2第1課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．面積為Q的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的側(cè)面積為()A．πQB．2πQC．3πQD．4πQB[正方形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓柱，其側(cè)面積為S＝2πrl＝2π·eq\r(Q)·eq\r(Q)＝2πQ.故選B.]2．一個(gè)圓臺(tái)的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．8C[圓臺(tái)的軸截面如圖，由題意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l(xiāng)＝4.]3．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A．4πB．3πC．2π D．πC[底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C.]4．已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形ABCD是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側(cè)面上，從A到C的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(10)B．2eq\r(5)C．3 D．2A[圓柱的側(cè)面展開圖如圖，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，且矩形的長為12，寬為2，則在此圓柱側(cè)面上從A到C的最短路徑為線段AC，AC＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).故選A.]5．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1∶3，這截面把圓錐母線分為兩段的比是()A．1∶3B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9D.eq\r(3)∶2B[由面積比為1∶3，知小圓錐母線與原圓錐母線長之比為1∶eq\r(3)，故截面把圓錐母線分為1∶(eq\r(3)－1)兩部分，故選B.]二、填空題6．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為．2[設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl(wèi)＝2πr.解得r＝1，即直徑為2.]7．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)3[圓臺(tái)的軸截面是下底長為12寸，上底長為28寸，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，所以降水量為eq\f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．]8．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是180°(如圖)，那么圓臺(tái)的體積是．eq\f(7000π,3)eq\r(3)cm3[180°＝eq\f(20－10,l)×360°，∴l(xiāng)＝20，h＝10eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)·h＝eq\f(7000\r(3)π,3)(cm3)．]三、解答題9．若圓錐的表面積是15π，側(cè)面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．[解]設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(1,3)πl(wèi)，得l＝6r.又S圓錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(\f(15,7))))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))2)＝5eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.10．如圖是一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，且水面高于圓錐頂部，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？[解]因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3)，設(shè)水面下降的高度為xcm，則小圓柱的體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2x＝100πx.所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.故杯里的水將下降0.6cm.[等級過關(guān)練]1．已知圓柱的側(cè)面展開圖矩形面積為S，底面周長為C，它的體積是()A.eq\f(C3,4πS) B.eq\f(4πS,C3)C.eq\f(CS,2π) D.eq\f(SC,4π)D[設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ch＝S,C＝2πr))，∴r＝eq\f(C,2π)，h＝eq\f(S,C).∴V＝πr2·h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))2·eq\f(S,C)＝eq\f(SC,4π).]2．如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b.那么圓柱被截后剩下部分的體積是．eq\f(πr2a＋b,2)[采取補(bǔ)體方法，相當(dāng)于一個(gè)母線長為a＋b的圓柱截成了兩個(gè)體積相等的部分，所以剩下部分的體積V＝eq\f(πr2a＋b,2).]《8.3.2第2課時(shí)球的表面積和體積》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．如果三個(gè)球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的()A.eq\f(5,9)倍B.eq\f(9,5)倍C．2倍D．3倍B[設(shè)小球半徑為1，則大球的表面積S大＝36π，S?。玈中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).]2．把半徑分別為6cm,8cm,10cm的三個(gè)鐵球熔成一個(gè)大鐵球，這個(gè)大鐵球的半徑為()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cmD[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·63＋eq\f(4,3)π·83＋eq\f(4,3)π·103，得R3＝1728，檢驗(yàn)知R＝12.]3．將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．2π B．3πC．4π D．6πB[由題意知，該幾何體為半球，表面積為大圓面積加上半個(gè)球面積，S＝π×12＋eq\f(1,2)×4×π×12＝3π.]4．將棱長為2的正方體削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的體積為()A.eq\f(16π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(32π,3) D．4πB[根據(jù)題意知，此球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，所以球的直徑等于正方體的棱長，故r＝1，所以V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4π,3).]5．已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．πB.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)B[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).∴圓柱的體積為V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故選B.]二、填空題6．若一個(gè)球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為．3[設(shè)此球的半徑為R，則4πR2＝eq\f(4,3)πR3，R＝3.]7．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為．33π[由三視圖可知該幾何體是上面為半球，下面為圓錐的組合體，所以表面積S＝eq\f(1,2)×4π×32＋π×3×5＝33π.]8．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是．eq\f(3,2)[設(shè)球O的半徑為R，∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).]三、解答題9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．[解]該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．已知過球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．[解]因?yàn)锳B∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′為截面圓的圓心，也即是Rt△ABC的外接圓的圓心，所以斜邊AC為截面圓O′的直徑(如圖所示)，設(shè)O′C＝r，OC＝R，則球半徑為R，截面圓半徑為r，在Rt△O′CO中，由題設(shè)知sin∠O′CO＝eq\f(OO′,OC)＝eq\f(1,2)，所以∠O′CO＝30°，所以eq\f(r,R)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，即R＝eq\f(2,\r(3))r，(*)又2r＝AC＝30?r＝15，代入(*)得R＝10eq\r(3).所以球的表面積為S＝4πR2＝4π×(10eq\r(3))2＝1200π.球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(10eq\r(3))3＝4000eq\r(3)π.[等級過關(guān)練]1．如果一個(gè)球的外切圓錐的高是這個(gè)球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比為()A．4∶3B．3∶1C．3∶2D．9∶4C[作圓錐的軸截面，如圖，設(shè)球半徑為R，則圓錐的高h(yuǎn)＝3R，圓錐底面半徑r＝eq\r(3)R，則l＝eq\r(h2＋r2)＝2eq\r(3)R，所以eq\f(S圓錐側(cè),S球)＝eq\f(πrl,4πR2)＝eq\f(π×\r(3)R·2\r(3)R,4πR2)＝eq\f(3,2).]2．在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是.eq\f(9π,2)[當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的體積最大.在直三棱柱內(nèi)，當(dāng)球和三個(gè)側(cè)面都相切時(shí)，因?yàn)锳B⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時(shí)球的半徑r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，直徑為4>側(cè)棱.所以球的最大直徑為3，半徑為eq\f(3,2)，此時(shí)體積V＝eq\f(9π,2).]《8.4.1平面》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知點(diǎn)A，直線a，平面α，以下命題表述正確的個(gè)數(shù)是()①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α.A．0B．1C．2D．3A[①不正確，如a∩α＝A；②不正確，∵“a∈α”表述錯(cuò)誤；③不正確，如圖所示，A?a，a?α，但A∈α；④不正確，“A?α”表述錯(cuò)誤．]2．下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是()①三角形是平面圖形；②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)B[根據(jù)，基本事實(shí)1可知①④正確，②③錯(cuò)誤．故選B.]3．兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面()A.相交 B.重合C.相交或重合 D.以上都不對C[若三點(diǎn)在同一條直線上，則這兩個(gè)平面相交或重合，若三點(diǎn)不共線，則這兩個(gè)平面重合．]4．如果空間四點(diǎn)A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是()A．A，B，C，D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線B．A，B，C，D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行B[兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點(diǎn)都分別確定一個(gè)平面，選B.]5．三條兩兩平行的直線可以確定平面的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．0或1 D．1或3D[當(dāng)三條直線是同一平面內(nèi)的平行直線時(shí)，確定一個(gè)平面，當(dāng)三條直線是三棱柱側(cè)棱所在的直線時(shí)，確定三個(gè)平面，選D.]二、填空題6．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則Ml.∈[因?yàn)閍∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.]7．在長方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有條.5[由題圖可知，既與AB共面又與CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5條．]8．已知平面α與平面β、平面γ都相交，則這三個(gè)平面可能的交線有條．1或2或3[當(dāng)β與γ相交時(shí)，若α過β與γ的交線，有1條交線；若α不過β與γ的交線，有3條交線；當(dāng)β與γ平行時(shí)，有2條交線．]三、解答題9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖所示．求證：直線AD，BD，CD共面．[證明]因?yàn)镈?l，所以l與D可以確定平面α，因?yàn)锳∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD?α.同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面．10．求證：三棱臺(tái)A1B1C1-ABC三條側(cè)棱延長后相交于一點(diǎn)．[證明]如圖，延長AA1，BB1,設(shè)AA1∩BB1＝P，又BB1?平面BC1，∴P∈平面BC1，AA1?平面AC1，∴P∈平面AC1，∴P為平面BC1和平面AC1的公共點(diǎn)，又∵平面BC1∩平面AC1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延長后交于一點(diǎn)P.[等級過關(guān)練]1．如圖，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C?l，直線AD∩l＝D，過A、B、C三點(diǎn)確定的平面為γ，則平面γ、β的交線必過()A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C，但不過點(diǎn)D D．點(diǎn)C和點(diǎn)DD[A、B、C確定的平面γ與直線BD和點(diǎn)C確定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交線上．]2．若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是．共線[∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O，C，D三點(diǎn)共線．]《8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面D[異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a，b異面，直線c的位置可如圖所示．]2．給出以下結(jié)論：(1)直線a∥平面α，直線b?α，則a∥b；(2)若a?α，b?α，則a，b無公共點(diǎn)；(3)若a?α，則a∥α或a與α相交；(4)若a∩α＝A，則a?α.正確的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)B[結(jié)合直線與平面的位置關(guān)系可知，(1)(2)錯(cuò)誤，(3)(4)正確．]3．過平面外兩點(diǎn)作該平面的平行平面，可以作()A．0個(gè) B．1個(gè)C．0個(gè)或1個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)C[平面外兩點(diǎn)的連線與已知平面的位置關(guān)系有兩種情況：①直線與平面相交，可以作0個(gè)平行平面；②直線與平面平行，可以作1個(gè)平行平面．]4．若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是()A．α內(nèi)的所有直線都與直線a異面B．α內(nèi)不存在于a平行的直線C．α內(nèi)的直線都與a相交D．直線a與平面α有公共點(diǎn)D[直線a不平行于平面α，則a與平面α相交或a?α.]5．若a，b為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．異面或相交D[由空間直線的位置關(guān)系，知c與b可能異面或相交．]二、填空題6．若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關(guān)系是．平行或相交[當(dāng)這兩點(diǎn)在α的同側(cè)時(shí)，l與α平行；當(dāng)這兩點(diǎn)在α的異側(cè)時(shí)，l與α相交．]7．在四棱錐P-ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有對．8[以底邊所在直線為準(zhǔn)進(jìn)行考察，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平面圖形，4條邊在同一平面內(nèi)，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側(cè)棱組成2對異面直線，所以共有4×2＝8(對)異面直線．]8．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是；(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是．(1)平行(2)相交[(1)AD1所在的直線與平面BCC1沒有公共點(diǎn)，所以平行；(2)平面A1BC1與平面ABCD有公共點(diǎn)B，故相交．]三、解答題9．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線B1D1與長方體的六個(gè)面之間的位置關(guān)系如何？[解]B1D1在平面A1C1內(nèi)，B1D1與平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交，B1D1與平面AC平行．10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，畫出過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線，并說明理由．[解]如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，A1B，CF.因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形．所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1.所以E，F(xiàn)，C，D1四點(diǎn)共面．因?yàn)镋∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F(xiàn)∈平面ABB1A1，F(xiàn)∈平面D1CE，所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.所以過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線為EF.[等級過關(guān)練]1．以下四個(gè)命題：①三個(gè)平面最多可以把空間分成八部分；②若直線a?平面α，直線b?平面β，則“a與b相交”與“α與β相交”等價(jià)；③若α∩β＝l，直線a?平面α，直線b?平面β，且a∩b＝P，則P∈l；④若n條直線中任意兩條共面，則它們共面．其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①③D[對于①，正確；對于②，逆推“α與β相交”推不出“a與b相交”，也可能a∥b；對于③，正確；對于④，反例：正方體的側(cè)棱任意兩條都共面，但這4條側(cè)棱并不共面，故④錯(cuò)．所以正確的是①③.]2．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的任意一條直線m的位置關(guān)系是．平行或異面[如圖，由于ABCD是梯形，AB∥CD，所以AB與CD無公共點(diǎn)，又CD?平面α，所以CD與平面α無公共點(diǎn).當(dāng)m∥AB時(shí)，則m∥DC；當(dāng)m與AB相交時(shí)，則m與DC異面．]《8.5.1直線與直線平行直線與平面平行》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于G、H，則HG與AB的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行和異面A[由題意可知EF∥AB，∴EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，∴GH∥AB，故選A.]2．已知下列敘述：①一條直線和另一條直線平行，那么它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行；②一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)所有直線都沒有公共點(diǎn)，因此這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行；③若直線l與平面α不平行，則l與α內(nèi)任一直線都不平行；④與一平面內(nèi)無數(shù)條直線都平行的直線必與此平面平行．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3A[兩直線可能共面，①錯(cuò)；一條直線平行于一個(gè)平面，這個(gè)平面內(nèi)的直線可能與它異面，②錯(cuò)；對于③④，直線有可能在平面內(nèi)．]3．過直線l外兩點(diǎn)，作與l平行的平面，則這樣的平面()A．不可能作出 B．只能作出一個(gè)C．能作出無數(shù)個(gè) D．上述三種情況都存在D[設(shè)直線l外兩點(diǎn)為A，B，若直線AB∥l，則過A，B可作無數(shù)個(gè)平面與l平行；若直線AB與l異面，則只能作一個(gè)平面與l平行；若直線AB與l相交，則過A，B沒有平面與l平行．]4．在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)表面與六個(gè)對角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1平行的平面共有()A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)B[如圖所示，結(jié)合圖形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.]5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分別是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．直線GH和MN平行，GH和EF相交B．直線GH和MN平行，MN和EF相交C．直線GH和MN相交，MN和EF異面D．直線GH和EF異面，MN和EF異面B[易知GH∥MN，又∵E、F、M、N分別為所在棱的中點(diǎn)，由平面基本性質(zhì)3可知EF、DC、MN交于一點(diǎn)，故選B.]二、填空題6．平行四邊形的一組對邊平行于一個(gè)平面，則另一組對邊與這個(gè)平面的位置關(guān)系是．[答案]平行或相交7．如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，若過A、C、B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與AC的關(guān)系是．平行[連接A1C1(圖略)，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1B1C1D1，又∵AC?平面AB1C，平面AB1C∩平面A1B1C1D1＝l，∴AC∥l.]8．如圖，P為?ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面EBF時(shí)，eq\f(PF,FC)＝.eq\f(1,2)[連接AC交BE于G，連接FG，因?yàn)镻A∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又因?yàn)锳D∥BC，E為AD的中點(diǎn)，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).]三、解答題9．如圖所示，三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH.求證：CD∥EF.[證明]∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥GH，又GH?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD.而EF所在的平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.10．一塊長方體木塊如圖所示，要經(jīng)過平面A1C1內(nèi)一點(diǎn)P和棱BC將木塊鋸開，應(yīng)該怎樣畫線？[解]在平面A1B1C1D1內(nèi)，經(jīng)過點(diǎn)P作EF∥B1C1，且交A1B1于E，交D1C1于F；連接BE、CF，則BE、CF即為平面與長方體側(cè)面的交線，可知，要滿足題意，只要沿BE、EF、FC畫線即可．如圖所示．[等級過關(guān)練]1．對于直線m、n和平面α，下面命題中的真命題是()A．如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n∥αB．如果m?α，n與α相交，那么m，n是異面直線C．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥nC[對于A，如果m?α，n?α，m，n是異面直線，則n∥α或n與α相交，故A錯(cuò)；對于B，如果m?α，n與α相交，則m，n相交或是異面直線，故B錯(cuò)；對于C，如果m?α，n∥α，m，n共面，由線面平行的性質(zhì)定理，可得m∥n，故C對；對于D，如果m∥α，n∥α，m，n共面，則m∥n或m，n相交，故D錯(cuò)．]2．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面APD是否平行？試證明你的結(jié)論．[解](1)因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，可以證得NE∥AM且NE＝AM.可知四邊形AMNE為平行四邊形．所以MN∥AE，又因?yàn)镸N?平面APD，AE?平面APD，所以MN∥平面APD.《8.5.2平面與平面平行》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列命題正確的有()①如果兩個(gè)平面不相交，那么它們平行；②如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行；③空間兩個(gè)相等的角所在的平面平行．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)B[對①，由兩個(gè)平面平行的定義知正確；對②，若這無數(shù)條直線都平行，則這兩個(gè)平行可能相交，②錯(cuò)誤；對③，這兩個(gè)角可能在同一平面內(nèi)，故③錯(cuò)誤．]2．下列命題：①一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交，必與另外一個(gè)平面相交；②如果一個(gè)平面平行于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，必平行于另一個(gè)平面；③夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3 D．0C[根據(jù)面面平行的性質(zhì)知①②③正確，故選C.]3．平面α∥平面β，點(diǎn)A、C在平面α內(nèi)，點(diǎn)B、D在平面β內(nèi)，若AB＝CD，則AB，CD的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.異面 D.以上都有可能D[可將AB與CD想象為同高圓臺(tái)的母線，顯然相交、平行、異面都有可能．]4．設(shè)平面α∥平面β，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈β，C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，B分別在平面α，β內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么所有的動(dòng)點(diǎn)C()A.不共面B.不論A，B如何移動(dòng)，都共面C.當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩直線上移動(dòng)時(shí)才共面D.當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面B[如圖，不論點(diǎn)A，B如何移動(dòng)，點(diǎn)C都共面，且所在平面與平面α、平面β平行．]5．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶5，則△A′B′C′與△ABC的面積比為()A.2∶5 B.2∶7C.4∶49 D.9∶25C[因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭BC，A′B′?α，AB?平面ABC，所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB＝PA′∶PA.又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7.同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.]二、填空題6．已知平面α，β和直線a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，則α與β的關(guān)系是．相交或平行[b，c?β，a?α，a∥b∥c，若α∥β，滿足要求；若α與β相交，交線為l，b∥c∥l，a∥l，滿足要求，故答案為相交或平行．]7．如圖，四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個(gè)平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是．平行四邊形[因?yàn)槠矫鍭C∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可證CD∥C1D1.又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD.同理可證AD∥BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．]8．已知直線a∥平面α，平面α∥平面β，則a與β的位置關(guān)系為．a(chǎn)?β或a∥β[若a?β，則顯然滿足題目條件．若a?β，過直線a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直線a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a?β，c?β，所以a∥β.]三、解答題9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，底面ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于點(diǎn)O.求證：平面EFO∥平面PCD.[證明]因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，AC∩BD＝O，所以點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．又因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CD.又OF?平面PCD，CD?平面PCD，所以O(shè)F∥平面PCD，因?yàn)辄c(diǎn)O，E分別是AC，PA的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PC，又OE?平面PCD，PC?平面PCD，所以O(shè)E∥平面PCD.又OE?平面EFO，OF?平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.10．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點(diǎn)，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求證：N為AC的中點(diǎn)．[證明]∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四邊形ANC1M為平行四邊形，∴AN＝C1M＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)AC，∴N為AC的中點(diǎn)．[等級過關(guān)練]1．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積為()A．2B．4C.eq\f(9,2) D．5C[如圖，由面面平行的性質(zhì)知截面與平面ABB1A1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝eq\r(2)，CD1＝2eq\r(2)，MD1＝NC＝eq\r(5)，所以此截面的面積S＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－\r(2),2)))2)＝eq\f(9,2).]2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED與AF相交于點(diǎn)H，則GH＝.eq\f(\r(3),2)[因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AB＝CD，因?yàn)镋、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因?yàn)槠矫鍭GF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中點(diǎn)，因?yàn)镻A＝PB＝AB＝2，所以PE＝2×sin60°＝eq\r(3).所以GH＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(\r(3),2).]《8.6.1直線與直線垂直》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知直線a，b，c，下列三個(gè)命題：①若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；②若a∥b，a和c相交，則b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，則b∥c.其中，正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3A[①不正確如圖；②不正確，有可能相交也有可能異面；③不正確．可能平行，可能相交也可能異面．]2．如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成角為()A．30° B．45°C．60° D．90°C[連接BC1、A1C1(圖略)，∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故異面直線A1B與AD1所成角為60°.]3．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．C1C與AE共面C．AE，B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°C[由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯(cuò)誤．綜上所述，故選C.]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，面對角線中與AD1成60°的有()A．4條 B．6條C．8條 D．10條C[如圖所示在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△AD1B1是等邊三角形，故B1D1，AB1與AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等邊三角形，AC，CD1與AD1也成60°角，則在面對角線中，與AC，CD1，B1D1，AB1分別平行的對角線與AD1也成60°角．]5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是()A．60° B．75°C．90° D．105°C[設(shè)BB1＝1，如圖，延長CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補(bǔ)角)．連接AC2，因?yàn)锳B1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，則∠AB1C2＝90°.]二、填空題6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是．90°[如圖，過點(diǎn)M作ME∥DN交CC1于點(diǎn)E，連接A1E，則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)正方體的棱長為a，則A1M＝eq\f(3,2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a，A1E＝eq\f(\r(41),4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即異面直線A1M與DN所成的角為90°.]7．如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN等于．5[取AD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.]8．一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號為．①③[把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．]三、解答題9．如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF和AB所成的角．[解]如圖所示，取BD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.∵E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.∴∠GFE就是EF與AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°.10．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD中點(diǎn)．求證：CD1⊥EF.[解]取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG，∵E是BD1的中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC.∵F是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形．且G為CD1的中點(diǎn)，∴DG⊥CD1.∴∠D1GD＝90°，∴異面直線CD1，EF所成的角為90°.∴CD1⊥EF.[等級過關(guān)練]1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°D[如圖，連接CD1，AC，因?yàn)镃D1∥BA1，所以CP與BA1所成的角就是CP與CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.當(dāng)點(diǎn)P從D1向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠D1CP從0°增大到60°，但當(dāng)點(diǎn)P與D1重合時(shí)，CP∥BA1，與CP與BA1為異面直線矛盾，所以異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是0°<θ≤60°.]2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，則異面直線EF與B1D1所成的角為．60°[連接BC1，AD1，AB1，則EF為△BCC1的中位線，∴EF∥BC1.又∵AB綊CD綊C1D1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形．∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1.∴∠AD1B1為異面直線EF和B1D1所成的角或其補(bǔ)角．在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，∴△AB1D1為正三角形，∴∠AD1B1＝60°.∴EF與B1D1所成的角為60°.]《8.6.2直線與平面垂直》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行B[由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面，所以它們平行．]2．已知直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則b與α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°B[根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°.]3．直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi)D．不能確定D[如下圖所示，直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．故選D.]4．如圖所示，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A．異面B．平行C．垂直 D．不確定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC.]5．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的()A．內(nèi)心B．重心C．外心 D．垂心C[如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接OA，OB，OC.∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故頂點(diǎn)P在底面的射影為底面三角形的外心．]二、填空題6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如圖所示，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝.6[因?yàn)锳F⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四邊形，所以EF＝AD＝6.]7．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此圖形中有個(gè)直角三角形．4[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.綜上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4個(gè)．]8．如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為．2[因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.]三、解答題9．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.[證明]∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.10