河南省豫南六市2025屆高一下數(shù)學期末監(jiān)測試題含解析

河南省豫南六市2025屆高一下數(shù)學期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A．， B．，C．，，共面 D．，，共點，，共面2．已知角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊落在射線上，則（）A． B． C． D．3．我國古代名著《九章算術》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤4．三棱錐則二面角的大小為()A． B． C． D．5．如果數(shù)據的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為()A． B． C． D．6．在中，是邊上一點，，且，則的值為（）A． B． C． D．7．已知球面上有三點，如果，且球心到平面的距離為，則該球的體積為（）A． B． C． D．8．設，則（）A．3 B．2 C．1 D．09．在等差數(shù)列中，若公差，則（）A． B． C． D．10．已知點P(，)為角的終邊上一點，則（）A． B．- C． D．0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是等腰直角三角形，則該幾何體的體積為__________．12．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內放一個半徑為的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時容器中水的深度為___________．13．設數(shù)列是等差數(shù)列，，，則此數(shù)列前20項和等于______.14．已知滿足約束條件，則的最大值為__15．已知常數(shù)θ∈(0,π2)，若函數(shù)f(x)在Rf(x)=2sinπx-1≤x≤1log是________.16．已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為，設，若在數(shù)列中，對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在以、、、、、為頂點的五面體中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.（1）求證：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求的值.18．（1）已知圓經過和兩點，若圓心在直線上，求圓的方程；（2）求過點、和的圓的方程.19．若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對任意的，使得成立，則稱為階穩(wěn)增數(shù)列.（1）若由正整數(shù)構成的數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，且對任意，數(shù)列中恰有個，求的值；（2）設等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列且首項大于，試求該數(shù)列公比的取值范圍；（3）在（1）的條件下，令數(shù)列（其中，常數(shù)為正實數(shù)），設為數(shù)列的前項和.若已知數(shù)列極限存在，試求實數(shù)的取值范圍，并求出該極限值.20．已知直線與圓相交于，兩點．（1）若，求；（2）在軸上是否存在點，使得當變化時，總有直線、的斜率之和為0，若存在，求出點的坐標：若不存在，說明理由．21．某體育老師隨機調查了100名同學，詢問他們最喜歡的球類運動，統(tǒng)計數(shù)據如表所示.已知最喜歡足球的人數(shù)等于最喜歡排球和最喜歡羽毛球的人數(shù)之和.最喜歡的球類運動足球籃球排球乒乓球羽毛球網球人數(shù)a201015b5（1）求的值；（2）將足球、籃球、排球統(tǒng)稱為“大球”，將乒乓球、羽毛球、網球統(tǒng)稱為“小球”.現(xiàn)按照喜歡大、小球的人數(shù)用分層抽樣的方式從調查的同學中抽取5人，再從這5人中任選2人，求這2人中至少有一人喜歡小球的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

解：因為如果一條直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項A，可能相交．選項C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側棱，選項D，三線共點，可能是棱錐的三條棱，因此錯誤．選B.2、D【解析】

在的終邊上取點,然后根據三角函數(shù)的定義可求得答案.【詳解】在的終邊上取點,則,根據三角形函數(shù)的定義得.故選:D【點睛】本題考查了利用角的終邊上的點的坐標求三角函數(shù)值,屬于基礎題.3、D【解析】

直接利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因為每一尺的重量構成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前5項和為．即金錘共重15斤，故選D．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列求和公式的應用，意在考查運用所學知識解答實際問題的能力，屬于基礎題.4、B【解析】

P在底面的射影是斜邊的中點，設AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，則∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【詳解】因為AB＝10，BC＝8，CA＝6所以底面為直角三角形又因為PA＝PB＝PC所以P在底面的射影為直角三角形ABC的外心，為AB中點．設AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角．因為PD為三角形PAB的中線，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小為60°故答案為60°．【點睛】本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，確定出二面角的平面角是解答本題的關鍵．5、D【解析】

根據平均數(shù)和方差的公式，可推導出，，，的平均數(shù)和方差．【詳解】因為，所以，所以的平均數(shù)為；因為，所以，故選：D.【點睛】本題考查平均數(shù)與方差的公式計算，考查對概念的理解與應用，考查基本運算求解能力.6、D【解析】

根據，用基向量表示，然后與題目條件對照，即可求出．【詳解】由在中，是邊上一點，，則，即，故選．【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用及向量的線性運算．7、B【解析】

的外接圓半徑為球半徑球的體積為，故選B.8、B【解析】

先求內層函數(shù)，將所求值代入分段函數(shù)再次求解即可【詳解】，則故選：B【點睛】本題考查分段函數(shù)具體函數(shù)值的求法，屬于基礎題9、B【解析】

根據等差數(shù)列的通項公式求解即可得到結果．【詳解】∵等差數(shù)列中，，公差，∴．故選B．【點睛】等差數(shù)列中的計算問題都可轉為基本量（首項和公差）來處理，運用公式時要注意項和項數(shù)的對應關系．本題也可求出等差數(shù)列的通項公式后再求出的值，屬于簡單題．10、A【解析】

根據余弦函數(shù)的定義，可直接得出結果.【詳解】因為點P(，)為角的終邊上一點，則.故選A【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，熟記概念即可，屬于基礎題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先根據三視圖還原幾何體，再計算體積即可.【詳解】由三視圖知：該幾何體是以底面是直角三角形，高為的三棱錐，直觀圖如圖所示：.故答案為：【點睛】本題主要考查三視圖還原直觀圖，同時考查了錐體的體積計算，屬于簡單題.12、15【解析】

根據球的半徑，先求得球的體積；根據圓與等邊三角形關系，設出的邊長為，由面積關系表示出圓錐的體積；設拿出鐵球后水面高度為，用表示出水的體積，由即可求得液面高度.【詳解】因為鐵球半徑為，所以由球的體積公式可得，設的邊長為，則由面積公式與內切圓關系可得，解得，則圓錐的高為.則圓錐的體積為，設拿出鐵球后的水面為，且到的距離為，如下圖所示：則由，可得,所以拿出鐵球后水的體積為，由，可知，解得，即將鐵球取出后容器中水的深度為15.故答案為：15.【點睛】本題考查了圓錐內切球性質的應用，球的體積公式及圓錐體積公式的求法，屬于中檔題.13、180【解析】

根據條件解得公差與首項，再代入等差數(shù)列求和公式得結果【詳解】因為，，所以，【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題14、【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，化目標函數(shù)為，由圖可得，當直線過時，直線在軸上的截距最大，所以有最大值為．故答案為1．【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．15、15【解析】

根據f(-1【詳解】∵函數(shù)f(x)在R上恒有f(-1∴f-∴函數(shù)周期為4.∵常數(shù)θ∈(0,π∴cos∴函數(shù)y=f(x)-cosθ-1在區(qū)間[-5,14]上零點,即函數(shù)y=f(x)?(x∈[-5,14])與直線由f(x)=2sinπx由圖可知，在一個周期內，函數(shù)y=f(x)-cos故函數(shù)y=f(x)-cosθ-1在區(qū)間故填15.【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的個數(shù)判斷，涉及數(shù)形結合思想在解題中的運用，屬于難題.16、【解析】

首先分析題意，可知是取和中的最大值，且是該數(shù)列中的最小項，結合數(shù)列的單調性和數(shù)列的單調性可得出或，代入數(shù)列的通項公式即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，是取和中的最大值，且是數(shù)列中的最小項.若，則，則前面不會有數(shù)列的項，由于數(shù)列是單調遞減數(shù)列，數(shù)列是單調遞增數(shù)列.，數(shù)列單調遞減，當時，必有，即.此時，應有，，即，解得.，即，得，此時；若，則，同理，前面不能有數(shù)列的項，即，當時，數(shù)列單調遞增，數(shù)列單調遞減，.當時，，由，即，解得.由，得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用數(shù)列的最小項求參數(shù)的取值范圍，同時也考查了數(shù)列中的新定義，解題的關鍵就是要分析出數(shù)列的單調性，利用一些特殊項的大小關系得出不等式組進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由面面垂直的性質定理得出平面，可得出，再推導出，利用線面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）推導出平面，計算出的面積，然后利用錐體體積公式可求得三棱錐的體積，進而得解.【詳解】（1）因為四邊形是矩形，故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又面，所以，在等腰梯形中，，，因，故，，即，又，故平面，平面，所以平面平面；（2）的面積為，，平面，所以，平面，，故.【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用三棱錐體積求參數(shù)，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18、（1）；（2）【解析】

（1）由直線AB的斜率，中點坐標，寫出線段AB中垂線的直線方程，與直線x-2y-3=0聯(lián)立即可求出交點的坐標即為圓心的坐標，再根據兩點間的距離公式求出圓心到點A的距離即為圓的半徑，根據圓心坐標與半徑寫出圓的標準方程即可；（2）設圓的方程為，代入題中三點坐標，列方程組求解即可【詳解】（1）由點和點可得，線段的中垂線方程為．∵圓經過和兩點，圓心在直線上，∴，解得，即所求圓的圓心，∴半徑，所求圓的方程為；（2）設圓的方程為，∵圓過點、和，∴列方程組得解得，∴圓的方程為．【點睛】本題考查了圓的方程求解，考查了待定系數(shù)法及運算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）設，由題意得出，求出正整數(shù)的值即可；（2）根據定義可知等比數(shù)列中的奇數(shù)項構成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項構成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列，分和兩種情況討論，列出關于的不等式，解出即可；（3）求出，然后分、和三種情況討論，求出，結合數(shù)列的極限存在，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設，由于數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，則，對任意，數(shù)列中恰有個，則數(shù)列中的項依次為：、、、、、、、、、、、、、、、、，設數(shù)列中值為的最大項數(shù)為，則，由題意可得，即，，解得，因此，；（2）由于等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，即對任意的，，且.所以，等比數(shù)列中的奇數(shù)項構成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項構成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列.①當時，則等比數(shù)列中每項都為正數(shù)，由可得，整理得，解得；②當時，（i）若為正奇數(shù)，可設，則，由，得，即，整理得，解得；（ii）若為正偶數(shù)時，可設，則，由，得，即，整理得，解得.所以，當時，等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（3），由（1）知，則.①當時，，，則，此時，數(shù)列的極限不存在；②當時，，，上式下式得，所以，，則.（i）若時，則，此時數(shù)列的極限不存在；（ii）當時，，此時，數(shù)列的極限存在.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查數(shù)列新定義“階穩(wěn)增數(shù)列”的應用，涉及等比數(shù)列的單調性問題、數(shù)列極限的存在性問題，同時也考查了錯位相減法求和，解題的關鍵就是理解新