2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版）圓錐曲線中范圍與最值問題

§8.11圓錐曲線中范圍與最值問題

題型一范圍問題

例1（2023?淄博模擬）已知F他,0）是橢圓C：，+5=1（a＞。＞0）的一個焦點，點M（y/3,，在

橢圓C上.

⑴求橢圓C的方程；

（2）若直線I與橢圓C相交于A,B兩點，且kOA+kOB=-^O為坐標(biāo)原點），求直線I的斜率

的取值范圍.

?2

解⑴由題意知，橢圓7+方=1（〃泌＞0）的左焦點為（一小，0）,

根據(jù)橢圓的定義，可得點〃到兩焦點的距離之和為小份二晶電二0＞+3=4,

即2〃=4,所以〃=2,

又因為c=小,可得—=1,

所以橢圓C的方程為?+y2=i.

⑵當(dāng)直線/的斜率不存在或斜率為。時，結(jié)合橢圓的對稱性可知，kOA+kOB=0,不符合題意.

故設(shè)直線》的方程為丁=丘+機(jī)（人/0）,A（X1,%）,B（X2,竺），

y=kx+m,

聯(lián)立方程組＜；+2=1

可得(43+1)爐+8切a+4(加2—1)=0,

.18km4(源一］)

N尤1+愈=47+1，X1X2=47+］，

yi.V2(Axi+ni)X2+(te+m)xi?一m(xi+x2)—Sknf_—2k

所以koA~\~koB十=---------------------------=2k-txix-=2Z：+4(m2-l)

X\X2X\X22m2—1

2

由koA+kOB=-I，可得m=4k+1,

所以后一"，

又由/＞0,可得16（4產(chǎn)一■+1）＞0,所以4右一4Q0,解得K0或左＞1,

綜上可得，直線/的斜率的取值范圍是

思維升華圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量

關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值

范圍.

跟蹤訓(xùn)練1(2022?濟(jì)寧模擬)已知拋物線E：尸=20加>0)上一點C(l,州)到其焦點F的距離

為2.

(1)求實數(shù)p的值；

(2)若過焦點P的動直線/與拋物線交于A,B兩點，過A,B分別作拋物線的切線A,h,且

h，，2的交點為。，/i,與y軸的交點分別為M,N.求面積的取值范圍.

解(1)因為點C(l,州)到其焦點廠的距離為2,

由拋物線的定義知1+介2,

解得p=2.

(2)由(1)可知，拋物線E：>2=4%,

設(shè)V),3仔，>2)(yiW0,"WO),

、[J2=4X,

設(shè)/：x=ty-\-l,聯(lián)立彳得y2—49一4=0,

[x=ty+1,

判別式/=165+16>0,故龍R,

%+丁2=4九%丁2=-4,

消去x,整理得ky2—4y+4yi—kyi=0,

所以J=16—4^(4yi—1)

=4(4一秋yi+玲彳)=0,

2

所以k=—9

即產(chǎn)親+.，

令x=0,得“（0,手，

同理L：y=轟+坂，乂0，/

卜=親+共

聯(lián)立l\

1=m+當(dāng),

得交點。的橫坐標(biāo)為/=于=—1,

SAQMN^MN\-\XQ\^~~2*]=1VGi+y2）2_4yiy2=、d+121,

...△QW面積的取值范圍是[1,+8）.

題型二最值問題

例2（2022?蘇州模擬）已知雙曲線C：，一方=1（。>0,6>0）過點（2吸，1）,漸近線方程為y=

±&,直線/是雙曲線C右支的一條切線，且與C的漸近線交于A,8兩點.

（1）求雙曲線C的方程；

⑵設(shè)點A,B的中點為M,求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值.

「811

解（1）由題設(shè)可知161

b=2'

a=2,

解得-

6=1,

則C：~^—y2=l.

（2）設(shè)點M的橫坐標(biāo)為xM>0,

當(dāng)直線/的斜率不存在時，則直線/：x=2,

易知點M到y(tǒng)軸的距離為XM=2；

當(dāng)直線/的斜率存在時，

設(shè)Z：y—kx-\-m,A(xi,yi),B(X2,yi),

件-尸1,,

聯(lián)立《4整理得(4F—1)，+8的優(yōu)+4m2+4=0,

y=kx+m,

/=646》―16(4^—1)(蘇+1)=0,

整理得4產(chǎn)=療+1,

y—y2=0,

聯(lián)立<整理得(就2—1)/+8初a+4療=0,

y=kx+m,

LA.8km8km8kxi+x24k八

則-—，貝

xi+x2=747%2~一~17——mT=——mIXM~~~o2~~=-—m>0,

即km<0,

則扁=警=4+力4,

即xM>1,

此時點M到y(tǒng)軸的距離大于2.

綜上所述，點M到y(tǒng)軸的最小距離為2.

思維升華圓錐曲線中最值的求法

⑴幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.

(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個

函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法

等.

跟蹤訓(xùn)練2(2023?臨沂模擬)已知橢圓C：5+^=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Q,F2,

離心率為坐，直線x=也被C截得的線段長為羋.

(1)求C的方程；

⑵若A和B為橢圓C上在x軸同側(cè)的兩點，且工益=力麗，求四邊形面積的最大值.

b2=a2—c1=/一］〃2=/,

?,?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+3y2=〃2,

fx2+3y2=a2,/a2-2

由匕位

由題可知2、。2=半,解得。2=3,

⑵由禍=/前，

得A3〃BF1,如圖,

延長AB交橢圓于C,。兩點，根據(jù)橢圓的對稱性可知,四邊形ABC。為平行四邊形,

且四邊形尸2的面積為四邊形A5CD的面積的一半.

由題知，5/1的斜率不為零，

故設(shè)BF\的方程為x=my—y[2,

^x=my—y[2,

得（機(jī)2+3?2—2吸機(jī)p一1=0,

設(shè)3（為，”），。（%2,丁2）,

VJ>0,

.2yf2m-1

■-yi+y2~m2+3'

故|因=行點心”|=宰了,

O到BFi的距離d=qi+/〃2'

S四邊形啊％=250ii*ABCD=2X4S^obc

^2X^X\BC\-d^\BC\-d

245（〃11）小

m2+3m2+1

=2⑥7序+1

=2\16-

m2+1+2

=2乖?iJ202禍*^75=^3，

y]iir+i+I7q

vy/m2+l

當(dāng)且僅當(dāng)、加2+1=、；+],即加=±1時取等號,

.?.當(dāng)機(jī)=±1時，四邊形ABFiB的面積最大，最大值為小.

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.已知雙曲線C：a―%=1(。>°，b>0)的左焦點為尸，右頂點為41,0)，離心率為2,

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知2(0,小)，直線/：y=履+加(k"W0)與雙曲線C相交于不同的兩點Af,N,若

\BN\,求實數(shù)，”的取值范圍.

解5=2,

?*.c=2,Z>2=3,

雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為%2—-y=l.

(2)設(shè)M(x\,y1),N(尤2,yi),

線段MN的中點。(xo,y0),

y=kx+m,

聯(lián)立，￡得(3—F)X2—2切優(yōu)一根2—3=0,

=

x--T11

3-lc^0,

依題意

/=(一2h〃)2—4(3—F)(一加—3)>0,

3一標(biāo)*0,

即3+m2—^>0,°

，1cm

由根與系數(shù)的關(guān)系可得制+無2=獸,

_蘇+3

__3_F'

_X1+X2km

則xo-2

3—P

3m

yo=kxoH-/yi—

3-F'

V\BM\^\BN\,：.BQ±MN,

3mr-

尸73_]

,?依?！猉O—km~k9

3—決

；?3-廬=4^1/1,②

又嚴(yán)=3—華〃2>0,③

由①②③得加<一生乎或0<m<^p-.

2.（2023?呂梁模擬）已知。為坐標(biāo)原點，橢圓C：務(wù)/=1（。>6>0）的離心率為坐且經(jīng)過點

P（乖,1）.

（1）求橢圓C的方程；

2=

（2）直線I與橢圓C交于A,B兩點,直線OA的斜率為ki，直線OB的斜率為k2,且左水

-1,求殖?歷的取值范圍.

cy[6

a3

解（1）由題意可得，

又〃2=廬+。2,解得〃=3,小.

22

所以橢圓C的方程為方■十5=1.

(2)設(shè)A(%1,yi),8a2,丁2),

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)/：y=kx+t,

y~~kx~\~t,

聯(lián)立

消去y得(l+SA^V+Ghx+Sz2—9=0,/=12(3+9^—產(chǎn))>0,

產(chǎn)X2=I+3」，

故》1>2=一$1X2且為尤2片0,即3p—9W0,則PW3,又yi=Axi+r,yi—kx2+t,

所以丫1丫2_(-1+。(依2+。_/卜公(Xl+X2)+產(chǎn)卜1+3產(chǎn)(

m，尤1X2XlX2尤1X23產(chǎn)—9

1+3S

產(chǎn)一9._]

3/一9=一3'

3

整理得則P汽且/>o恒成立.

_1_223產(chǎn)-9產(chǎn)一3(

OA'OB=x\X2~\-y\y2=x\X2_§為愈一于1&一］?訐而一3?一於一一3(1

又且產(chǎn)W3,故30—36一3,0)U(0,3).

當(dāng)直線/的斜率不存在時，%2=X1,、2=—M，則左的=一看=一g,又5■+/=L解得才=3,

_2

則0AoB=x?—'y?=qx?=3.

綜上，51而的取值范圍為［―3,0)U(0,3］.

S合提升練

3.(2023?濟(jì)寧模擬)已知拋物線E：尸=2內(nèi)3>0)的焦點為凡點M(4,%)在拋物線E上，且

AOMF的面積為52(o為坐標(biāo)原點).

(1)求拋物線E的方程；

(2)過焦點尸的直線/與拋物線E交于A,2兩點，過A,B分別作垂直于/的直線AC,BD,

分別交拋物線于C,。兩點，求|AC|+|B￡)|的最小值.

n^—Sp,

解(1)由題意可得,121,

/引刑=呼，,

解得p=2.

故拋物線E的方程為y2=4x.

(2)由題意知直線/的斜率一定存在且不為0,F(l,0),設(shè)直線/的方程為x="+l,fWO,

設(shè)A(xi,%),8(x2,yi),C(尤3,g)，

易知Xl="l+l>0,》2=。2+1>。，

x=(y+l,

聯(lián)立

y=4x,

消去x得j2—4(y—4=0.

所以yi+y2=4f,y\yi=-4.

由AC垂直于l,得直線AC的方程為y—yx=-t{x—x\),

聯(lián)立,消去x得。2+4y—4txi—4yi=0.

[y—4x,

濟(jì)24—4/xi—4yi

所以％+丫3——7,yi》一■

所以|AC|=yj(xi—%3)2+(ri—J3)2

2

i+z)[Cyi+y3)-4yiy3]

16+16^X1+16(yi

所以當(dāng)x￡(0,2)時，f(x)<0,7(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x￡(2,+8)時，/(%)>(),式x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)尤=2時，犬x)取得最小值，即當(dāng)/=小時，|Aq+|8。的最小值為126.

或拓展沖刺練

4.已知橢圓的兩個焦點是尸1(0,-2),尸2(0,2),點尸(啦，2)在橢圓上.

(1)求此橢圓的方程；

(2)過后作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于A,B,C,。四點，求四邊形面積的

取值范圍.

解(1)由題意知，c=2,

因為焦點在y軸，

27

設(shè)橢圓方程為，+廬=1(。泌>0),

將點P的坐標(biāo)代入上式得點4+東2=1,

、〃2=4+",

解得“2=8,〃=4,

22

所以橢圓方程為總+5=1.

o4

(2)如圖，當(dāng)過尸2的兩條互相垂直的直線的斜率都存在時，設(shè)直線的