江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題

江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知向量d=(1,2),/?=(-2,3),則a-b=

A.2B.4C.6D.8

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+1=(2+i)z，則|z|=

A.-B.-C.lD.V2

22

3.已知集合A={x|ln掇0},8={x\2x2}，則“xeA”是“xe3”的

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

——2%元<0

4.已知%'，則不等式/(X)<2的解集是

log2(x+l),x..O

A.(-oo,2)B.(-OO,3)C.[0,3)D.(3,+oo)

5.在三棱錐A-BCD中,A5，平面BCD,AB=6,BC=BD=CD=2,E,F分別為AC,CD的中點(diǎn)，則下

列結(jié)論正確的是

A.AF,BE是異面直線,AFA.BEB.AF,BE是相交直線;AF1BE

C.AF,BE是異面直線,AP與BE不垂直D.AF,BE是相交直線,A尸與BE不垂直

71

6.已知2cos[2x+^Jcos[%-cos3x=—，貝！Isin

124

1177

A.-B.——c.一D.一一

2288

7.已知雙曲線C:5—[=1(?！?]〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，雙曲線的右支上有一點(diǎn)A,AFX與雙

ab

jr

曲線的左支交于B，線段AF,的中點(diǎn)為M，且滿足BM±AF,，若ZFXAF2=§,則雙曲線C的離心率為

A.73B.A/5C,A/6D.A/7

8.校足球社團(tuán)為學(xué)校足球比賽設(shè)計(jì)了一個(gè)獎(jiǎng)杯，如圖，獎(jiǎng)杯的設(shè)計(jì)思路是將側(cè)棱長(zhǎng)為6的正三棱錐P-ABC

的三個(gè)側(cè)面沿AB,BC,AC展開得到面P}AB,P,BC,,使得平面PyAB,P2BC,P.AC均與平面ABC垂直,

再將球。放到上面使得小鳥,鳥三個(gè)點(diǎn)在球。的表面上，若獎(jiǎng)杯的總高度為60,且A3=4,則球。的表面

積為

140萬100萬98132乃

A.--------B.--------C.——D.------

3993

二、選擇題:本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.為了解中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校的課題組分別隨機(jī)抽取了本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,

得到如下兩個(gè)表格：

喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性15520

女性81220

合計(jì)231740

甲校樣本

喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性7030100

女性4555100

合計(jì)11585200

乙校樣本

則下列判斷中正確的是

A.樣本中，甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例

B.樣本中，甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例

C.根據(jù)甲校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

D.根據(jù)乙校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

(參考公式及數(shù)據(jù)=+=

a0.10.010.001

%2.7066.63510.828

10.已知/(x)=x+acos尤(awO),則下列說法中正確的是

A./(x)在R上可能單調(diào)遞減B.若/(%)在R上單調(diào)遞增，則ae[-1,0)0(0,1]

是/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心D.7(x)所有的對(duì)稱中心在同一條直線上

11.已知||=4,"為AB上一點(diǎn)，且滿足AM=3MB.動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|=21CM|,。為線段BC上一點(diǎn)，

滿足ICD|=|DM|,則下列說法中正確的是

J15

A.若CMJ_AB，則D為線段5C的中點(diǎn)B.當(dāng)AC=3時(shí)，ABC的面積為-^―

4

C.點(diǎn)D到A,B距離之和的最大值為5D.ZMCB的正切值的最大值為g

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.在ABC中，角4,8,(7所對(duì)的邊分別為。力,。,若051115=2反054,則tanA=.

13.一次知識(shí)競(jìng)賽中，共有A,5C,O,E5個(gè)題，參賽人每次從中抽出一個(gè)題回答(抽后不放回).已知參賽人甲A

311

題答對(duì)的概率為一,B題答對(duì)的概率為—,C,D,E題答對(duì)的概率均為一,則甲前3個(gè)題全答對(duì)的概率為

442

14.如圖，有一張較大的矩形紙片ABCD,O,C>1分別為AB,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在。。上,|0P|=2.將矩形按圖示

方式折疊,使直線(被折起的部分)P點(diǎn)，記AB上與P點(diǎn)重合的點(diǎn)為M,折痕為/.過點(diǎn)M再折一條與BC

平行的折痕m，并與折痕/交于點(diǎn)。，按上述方法多次折疊,Q點(diǎn)的軌跡形成曲線￡.曲線E在。點(diǎn)處的切線

與AB交于點(diǎn)N,則，PQN的面積的最小值為.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足/=1，4=3,4“+?+2=kan+1.

⑴當(dāng)左=2時(shí)，求

(2)若女=1?，設(shè)包=-2a”,求｛d｝的通項(xiàng)公式.

16.(15分)一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時(shí)，生產(chǎn)的電阻阻值X(單位:。)服從正態(tài)分布N(1000,52).

(1)生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取2只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間(995,1000］和

(1005,1010］內(nèi)各一只的概率;(精確到0.001)

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，從服從正態(tài)分布N(〃,cr2)的總體中抽取容量為〃的樣本,則這個(gè)樣本的平均數(shù)服從正

(2A

態(tài)分布N——.某時(shí)刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取5只電阻，測(cè)得阻值分別為:1000,1007,1012,1013,1013(單

In)

位:。).你認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎?說明理由.(參考數(shù)據(jù):若X~NS,。?),則

P(N-cr<X,,//+cr)?0.6826,-2a<X領(lǐng)Jw+2cr)?0.9544,-3a<X〃+3cr)?0.9974.)

17.(15分)已知橢圓C:，+￡=1(?！?〉0)經(jīng)過點(diǎn)P為橢圓C的右頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OPE的面積為也.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)。(-1,0)作直線/與橢圓C交于A,BA關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C,若18Al=||,求直線AB的斜率.

18.（17分）已知/（x）-ax-xa（x〉0,a〉0且awl）.

(1)當(dāng)a=6時(shí),求證:7(%)在(6,+8)上單調(diào)遞增；

、看)一

(2)設(shè)a>e,已知Vxe—lna,+oo，有不等式/'(%)..0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

_2J

19.(17分)如圖所示，用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面,得到的幾何體稱之為“斜

截圓柱圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱'',AB是底面圓。的直徑,AB=2BC=2，橢圓所在平面垂直于

平面A8CQ,且與底面所成二面角為45°,圖一中，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在底面上的投影為點(diǎn)片,圖二中，

橢圓上的點(diǎn)EQ=1,2,3,…，n)在底面上的投影分別為月,且月均在直徑AB的同一側(cè).

DD

⑵①當(dāng)為=6時(shí)，若圖二中，點(diǎn)昂B，...，然將半圓均分成7等份，求（4片一2）?（反4—2）?（互耳―2）;

（ii）證明:然?巴耳+KCZ2E++F〃7F〃?E〃F〃+F〃B,BC<2TI.

2024年MAH第二次模擬測(cè)試

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見

一、單項(xiàng)選擇題:共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

題號(hào)12345678

答案BBABADDC

二、多項(xiàng)選擇題:共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

題號(hào)91011

答案ADBCDACD

三、填空題:共3小題,每小題5分，共15分.

四、解答題:共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】（1）當(dāng)左=2時(shí),｛4｝為等差數(shù)列，

因?yàn)閝=1,4=3,所以d=a2~=2,................................2分

10x9

所以do=1x10+^—x2=100......................................6分

5

⑵由已知'a*=5%+「％’

所以4+2—2。“+1=|an+l-an=^（4+1—2%）,即2+1=：2,..........................10分

且4=g—2%=1,所以也｝是以1為首項(xiàng),;為公比的等比數(shù)列，

所以.....................................................13分

16.【解析】（1）〃=1000,。=5,生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取1只，則這只電阻阻值在

（995,1000］和在（1005,1010］的概率分別為：

Pi=gp（〃-cr<XK〃+cr）B0.3413,......................................2分

p2=g[P(〃-2cr<X<〃+2cr)-P(〃—cr<X<//+cr)]~0.1359,..........................4分

因此所求概率為:p=2?也x0.093;..................................................................................7分

⑵生產(chǎn)正常時(shí)，這5個(gè)樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布N(1000,6，,........................................8分

記b=石，計(jì)算可得元=1009,.................................................................................................10分

這時(shí)1009>1000+3?,即無>〃+3b',

小概率事件發(fā)生了，因此認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)不正常.................................15分

17.【解析】(1)因?yàn)镺PE的面積為且，

2

則有，xax@=3,解得。=2,..................................................................................2分

222

‘13

又因?yàn)镋1,一在橢圓。上，則一+F=1,解得b=l,......................................................4分

(2J44b2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為亍+V=1；..................................................................................6分

⑵因?yàn)閨BA|=||,。為AC的中點(diǎn)，所以Q4，OB，設(shè)A（xp必）,5（%,%），

無2+4丫2=4

設(shè)直線的方程％=加丁-1,并與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，可得7-,

x=my—1

消去尤得（加2+4）y2-2my-3=0,

L-2m-3八

則有X+%=^77,%%=，...................................................9分

m+4m+4

因?yàn)镺A_LQB,則有。4-OB=0,則再々+%%=0，

即（加2+1）%%-加（％+%）+1=°，..................................................................................12分

/2-32mle

\m+1x----------mx----------1-1=0,

'7m+4m+4

]—4/22|

即2,=0,解得加=±-,..........................................................14分

m2+42

所以直線AB的斜率為±2........................................................................................................15分

18.【解析】⑴當(dāng)a=e時(shí),/(x)=eX—d,

貝U/'(x)=e，一exH=e(e'T—九e-i),.........................................................................................j分

令/'(x)〉0,貝Ue'T>尤,-I,兩邊取對(duì)數(shù)得x-l>(e-l)lnx.

A—1A—11

設(shè)g(x)=x_l_(e_l)lnx(x〉e)^ijg'(x)=l------->1--------=->0,

xee

所以g(x)在(e,+00)單調(diào)遞增,........................................................4分

所以xe(e,+co)時(shí)g(x)>g(e)=0,即xe(e,+8)時(shí),x-1>(e-1)Inx,

所以xe(e,+8)時(shí)e'T>/t,即/(X)〉o,..............................................................................6分

所以f(x)在(e,+8)上單調(diào)遞增.

⑵法「/(x)>0=>ax>xa，兩邊取對(duì)數(shù)得:xlnaNalnx,

Inx,Ina

即Dn---<----8分

xa

Inx

設(shè)h(x)=——，則問題即為:當(dāng)％2—Ina時(shí),/z(x)</Z(Q)恒成立.

%2

2

e

只需時(shí),*X)max<%(〃).

A(x)=l~lnx，令h'(x)=0得X=e,

X

當(dāng)0vxve時(shí),"(%)>0,/z(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>e時(shí),"(九)<O,/z(x)單調(diào)遞減.

222

eee

又因?yàn)閍>e，則>—>e，所以x>^Ina時(shí),/z(x)單調(diào)遞減，

2

e七2、

所以％2—lnd^i/z(x)max=h一Ina<h(a),

212)

e2?2

所以—Ina2a,即InaN——,ci.....................................................................................12分

2e2

2i2

設(shè)0(x)=lnx--7y。，①，則(p\x)=-----

exe

當(dāng)e<%<(■時(shí),0(x)>0,°(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>~^時(shí),0(%)<0,9(x)單調(diào)遞減,

222

<e^e2e

所以O(shè)(x)max=0V=1口3—>lne-l=0,

12J2e2

22

當(dāng)％=e時(shí),0(e)=lne——--e=l——>0;%—+8時(shí),(p{x)<0,

ee

(2>l

所以0(X)的圖象與X軸有1個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)為^^>—e,

I2)

因?yàn)?12)=0,所以再=e2；

所以當(dāng)%>e時(shí),0(x)>0<?e<x<e2,

2

即當(dāng)a>e時(shí),不等式lnti>--6Z<^>e<d!<e2,

所以當(dāng)不等式/(%)20在％21-lntz(a>e)恒成立時(shí),e<^<e2...................17分

法二:/(%)20O優(yōu)2,兩邊取對(duì)數(shù)得:xlna>alnx,即史二《生9.............8分

xa

設(shè)/z(x)=g,“(X)=工1"，令/(x)=o得X=e,

XX

當(dāng)％〉e時(shí),“(％)<O,/z(x)單調(diào)遞減..............10分

AA

又因?yàn)閍>e,所以%之耳Ina2萬,在(e,+8)單調(diào)遞減，

InxIn/702\p2

由」<——，則〃Wx在±lna,+oo恒成立，即avJhiQ,.........................13分

xa22

上式等價(jià)于電92Ine2

15分

由/z(x)在(e,+8)單調(diào)遞減，所以e<aWe2...................................17分

19.【解析】⑴如圖，取CD中點(diǎn)M,過M作與該斜截圓柱的底面平行的平面，交DA于點(diǎn)G,交BC延長(zhǎng)線于

點(diǎn)〃，與P4交于點(diǎn)/,則。G=1,AG=2,過M作GH的垂線，交圓/于人K兩點(diǎn).過/作W,JK交

JK于點(diǎn)N,又由P/，圓M,IN為PN在圓M所在平面的射影，由三垂線定理知EV，JK,所以ZPNI為橢

圓面與圓M所在平面的夾角,也即橢圓面與底面所成角，

所以ZPNI=45°.則一PNI為等腰直角三角形,PI=IN.

設(shè)=8,如圖作圓M所在平面的俯視圖，則NGA〃=，，

由GH，JK,W，JK,所以GH//W,則有NA?W=NGA"=，，所以W=Mcos。=cos8,

27r27r3

所以pp-pp