中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題4.5相似三角形驗(yàn)收卷(原卷版+解析)

專題4.5相似三角形驗(yàn)收卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．答題時(shí)間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題：①鄰邊之比相等的兩個(gè)平行四邊形相似；②對(duì)角線所夾銳角相等的兩個(gè)矩形相等；③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形相似；④任意兩個(gè)正方形相似．其中真命題個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，已知，那么添加一個(gè)條件后，仍不能判定與相似的是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·福建漳州·九年級(jí)漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，B、C兩點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，以點(diǎn)A為位似中心，把的邊長(zhǎng)縮小為原來的，所得的位似圖形為，設(shè)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，則C的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，、以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是(

)A． B． C． D．6．（2023秋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體到焦點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（

）A． B． C． D．7．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的中位線，點(diǎn)F在線段上，，連接交于點(diǎn)E，下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．8．（2023·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考一模）題目：“如圖，在矩形中，，，P，Q分別是上的點(diǎn)．”張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解決，甲、乙兩人的做法如下．下列判斷正確的是（

）甲：若，則在BC上存在2個(gè)點(diǎn)P，使與相似；乙：若，則的最大值為A．甲對(duì)乙錯(cuò) B．甲錯(cuò)乙對(duì) C．甲、乙都對(duì) D．甲、乙都錯(cuò)9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，連接，，，垂直于的直線從點(diǎn)出發(fā)，按的方向平移，移動(dòng)過程中，直線分別交，，于點(diǎn)，，，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合，記直線的平移距離為，的面積為，則隨變化的函數(shù)圖象大致為()A． B．C． D．10．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，，在邊上取點(diǎn)P，使得與相似，則滿足條件的點(diǎn)P有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則_________．12．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)石獅市石光中學(xué)?？计谀┤鐖D，與位似，位似中心為點(diǎn)O，且，若的周長(zhǎng)為9，則的周長(zhǎng)為______．13．（2022秋·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知四邊形中，平分，，，如果與相似，那么__________．14．（2023春·浙江金華·九年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？茧A段練習(xí)）如圖，是半圓O的直徑，弦相交于點(diǎn)P，且是一元二次方程的兩根，則是______．15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)E、F分別在、邊上，將沿直線翻折后，點(diǎn)B落在對(duì)邊的點(diǎn)為，若與相似，那么_____．16．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，將線段先沿軸正方向平移，然后沿軸正方向平移，得到線段，連接點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)踐與操作：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．(1)畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的；(2)點(diǎn)是的中點(diǎn)，在（1）的條件下，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．(3)以點(diǎn)為位似中心，相似比為，在軸的上方畫出放大后的．18．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）已知是等腰三角形，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、點(diǎn)．感知：如圖①，當(dāng)落在邊上時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是______（不需要證明）；探究：如圖②，當(dāng)不落在邊上時(shí)，與是否相等？如果不相等，請(qǐng)說明理由．19．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AB，交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BF．（1）求證：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四邊形ABCD與CEFD相似，求BC長(zhǎng)．20．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，連結(jié)對(duì)角線．點(diǎn)M為線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段上的一點(diǎn)，連結(jié)．回答下列問題：(1)當(dāng)點(diǎn)M為的中點(diǎn)且時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)當(dāng)且時(shí)，求的長(zhǎng)．21．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，連接，．已知四邊形是平行四邊形，．(1)若，求線段的長(zhǎng)．(2)若的面積為1，求平行四邊形的面積．22．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)她走到P點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)她向前再步行到Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前影子的頂端剛好接觸到路燈B的底部．已知小華的身高是，兩路燈的高度都是．(1)當(dāng)時(shí)，求x的值；(2)當(dāng)小華在路燈A與路燈B之間走動(dòng)時(shí)，在兩燈光下的影子長(zhǎng)是變化的，那么兩個(gè)影子長(zhǎng)的和是否發(fā)生變化？若不變，求出兩個(gè)影子長(zhǎng)的和；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．23．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一．小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．如圖（1），已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)D，E分別在線段上，且．（1）觀察猜想小華將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，如圖（2），當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線恰好經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，①的值為________；②的度數(shù)為_______度；（2）類比探究如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，請(qǐng)求出的值及的度數(shù)，并說明理由．（3）拓展延伸若，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，請(qǐng)你直接寫出的長(zhǎng)．專題4.5相似三角形驗(yàn)收卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．答題時(shí)間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵，∴四條線段成比例，不符合題意；D、∵，∴四條線段成比例，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．2．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題：①鄰邊之比相等的兩個(gè)平行四邊形相似；②對(duì)角線所夾銳角相等的兩個(gè)矩形相等；③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形相似；④任意兩個(gè)正方形相似．其中真命題個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)相似多邊形的定義（如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形）進(jìn)行證明判斷即可．【詳解】解：①鄰邊之比相等，但是角度不確定，不能證明兩個(gè)平行四邊形相似，是假命題，不符合題意；②對(duì)角線所夾銳角相等的兩個(gè)矩形相等相似，如圖所示：矩形矩形，，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∵矩形的四個(gè)角均為直角，∴矩形矩形，該命題是真命題，符合題意；③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形，由于角度不確定，不能判斷兩個(gè)菱形相似，是假命題，不符合題意；④任意兩個(gè)正方形相似，四個(gè)角均為直角，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，是真命題，符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似多邊形的定義及證明，熟練掌握相似多邊形的定義是解題關(guān)鍵．3．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，已知，那么添加一個(gè)條件后，仍不能判定與相似的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)得到，結(jié)合選項(xiàng)根據(jù)三角形相似的判定逐個(gè)判斷即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，若或或都可以得到與相似，故A、B、D不符合題意，與，不能得到與相似，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)得到．4．（2022秋·福建漳州·九年級(jí)漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，中，B、C兩點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，以點(diǎn)A為位似中心，把的邊長(zhǎng)縮小為原來的，所得的位似圖形為，設(shè)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，則C的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M，結(jié)合位似圖形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出C點(diǎn)橫坐標(biāo)．【詳解】解：過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，以點(diǎn)A為位似圖形，并把的邊長(zhǎng)縮小為原來的倍，記所得的位似圖形為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，∴，由，∴，∴，∴，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，掌握位似圖形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．5．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，、以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得為等腰直角三角形，則為等腰直角三角形那個(gè)，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，∴，即為等腰直角三角形，∵以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴為等腰直角三角形那個(gè)，當(dāng)時(shí)，如圖：，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，如圖：∵，，∴點(diǎn)F為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，綜上：點(diǎn)E的坐標(biāo)可能是：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形形狀相同，對(duì)應(yīng)邊成比例．6．（2023秋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體到焦點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證出四邊形為矩形，得到，再根據(jù)，求出，從而得到物體被縮小到原來的幾分之幾．【詳解】解：∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，即∴物體被縮小到原來的．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，從實(shí)際問題中找到相似三角形并利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是的中位線，點(diǎn)F在線段上，，連接交于點(diǎn)E，下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A．根據(jù)中位線性質(zhì)得出，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可判斷A正確；B．根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，，根據(jù)，得出，即可判斷B正確；C．根據(jù)，，即可判斷C錯(cuò)誤；D．根據(jù)，，即可判斷D正確．【詳解】解：A．∵是的中位線，∴，，，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，故B正確，不符合題意；C．∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，故C錯(cuò)誤，符合題意；D．∵，，∴，故D正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．8．（2023·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考一模）題目：“如圖，在矩形中，，，P，Q分別是上的點(diǎn)．”張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解決，甲、乙兩人的做法如下．下列判斷正確的是（

）甲：若，則在BC上存在2個(gè)點(diǎn)P，使與相似；乙：若，則的最大值為A．甲對(duì)乙錯(cuò) B．甲錯(cuò)乙對(duì) C．甲、乙都對(duì) D．甲、乙都錯(cuò)【答案】B【分析】（1）由與相似，，分與兩種情況求解：設(shè)，則，將各值分別代入與中計(jì)算求解即可判斷甲的正誤；由，可證，則，設(shè)，則，即，解得，然后求最大值即可判斷乙的正誤．【詳解】解：甲：∵與相似，，∴分與兩種情況求解：①當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，∴，即，解得：或，②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，∴，即，解得：，綜上所述，當(dāng)，在上存在3個(gè)點(diǎn)P，使與相似，故甲錯(cuò)誤；乙：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，即，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，且，故乙正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形的性質(zhì)寫出等量關(guān)系式．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，連接，，，垂直于的直線從點(diǎn)出發(fā)，按的方向平移，移動(dòng)過程中，直線分別交，，于點(diǎn)，，，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合，記直線的平移距離為，的面積為，則隨變化的函數(shù)圖象大致為()A． B．C． D．【答案】A【分析】連結(jié)交于，勾股定理得出，分兩種情況，①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，②當(dāng)在右側(cè)時(shí)，由三角形的面積公式列出關(guān)于的函數(shù)解析式即可，【詳解】解：連結(jié)交于，，是菱形的對(duì)角線，，，，①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，如圖所示：，，，，，，當(dāng)時(shí)，圖象是開口向上的拋物線，且隨的增大而增大；②當(dāng)在右側(cè)時(shí)，如圖所示：，，，，，，，當(dāng)時(shí)，圖象是開口向下的拋物線，且隨的增大而增大．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)解析式．10．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，，在邊上取點(diǎn)P，使得與相似，則滿足條件的點(diǎn)P有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分兩種情況列式計(jì)算：①若；②若．【詳解】解：，若與相似，可分兩種情況：①若，則，；解得．②若，則，，解得或6．則滿足條件的長(zhǎng)為2.8或1或6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則_________．【答案】3【分析】先設(shè)，可得，，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵設(shè)，∴，，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的計(jì)算，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)石獅市石光中學(xué)?？计谀┤鐖D，與位似，位似中心為點(diǎn)O，且，若的周長(zhǎng)為9，則的周長(zhǎng)為______．【答案】6【分析】根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∵與位似，∴，∴，∴∴與的周長(zhǎng)比為，∵的周長(zhǎng)為9，∴的周長(zhǎng)為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知四邊形中，平分，，，如果與相似，那么__________．【答案】【分析】根據(jù)平分，得到，再結(jié)合圖形可以確定如果與相似，可能有或者兩種情況，分類得到相似比代值求解即可得到結(jié)論．【詳解】解：已知四邊形中，平分，，如果與相似，則有或者兩種情況，①當(dāng)時(shí)，，，，，即，解得或（舍去）；②當(dāng)時(shí)，，，，即是等腰三角形，，，，，即，解得或（舍去）；綜上所述，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用相似求線段長(zhǎng)，熟練掌握相似的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握對(duì)與相似的表示進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．14．（2023春·浙江金華·九年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？茧A段練習(xí)）如圖，是半圓O的直徑，弦相交于點(diǎn)P，且是一元二次方程的兩根，則是______．【答案】【分析】連接，解方程求出的長(zhǎng)，證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DP與的關(guān)系，即可求解.【詳解】如圖，連接，解方程，得，，即，.，，，.為半圓O的直徑，..【點(diǎn)睛】本題是一道一元二次方程、圓、相似三角形、三角函數(shù)綜合題，掌握解一元二次方程的方法，及圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)及判定及三角函數(shù)的求法是關(guān)鍵.15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)E、F分別在、邊上，將沿直線翻折后，點(diǎn)B落在對(duì)邊的點(diǎn)為，若與相似，那么_____．【答案】3或【分析】由于對(duì)應(yīng)邊不確定，所以本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①；②，分別計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，根據(jù)是等腰三角形，則也是等腰三角形，則，設(shè)，則，，根據(jù)，得到：，得到，解得x；②當(dāng)，，則，則，解得．因而或，故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，將線段先沿軸正方向平移，然后沿軸正方向平移，得到線段，連接點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，連接，根據(jù)平移的性質(zhì)，可證得四邊形是矩形，，，，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得，即可證得，，即可求得，，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，連接，點(diǎn)，，，線段平移得到線段，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，，又，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)踐與操作：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．(1)畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的；(2)點(diǎn)是的中點(diǎn)，在（1）的條件下，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．(3)以點(diǎn)為位似中心，相似比為，在軸的上方畫出放大后的．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．（2）由題意得，點(diǎn)是的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．（3）根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：（3）解：如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——旋轉(zhuǎn)變換、位似變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)和位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）已知是等腰三角形，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、點(diǎn)．感知：如圖①，當(dāng)落在邊上時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是______（不需要證明）；探究：如圖②，當(dāng)不落在邊上時(shí)，與是否相等？如果不相等，請(qǐng)說明理由．【答案】感知：相等；探究：相等【分析】感知：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證、是頂角相等的等腰三角形，從而得出答案；探究：由旋轉(zhuǎn)知，可證明，即可得到結(jié)論；【詳解】感知：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又，，∴、都是等腰三角形，∴，即，故答案為：相等；探究：，證明如下：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．19．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AB，交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BF．（1）求證：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四邊形ABCD與CEFD相似，求BC長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）證明四邊形ABEF是菱形即可；（2）根據(jù)相似列出比例式求解即可．【詳解】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD.∴∠FAE＝∠AEB.∵EF∥AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝EB.∴四邊形ABEF是菱形．∴BF平分∠ABC；(2)∵四邊形ABEF為菱形，∴BE＝EF＝AB＝6.∵四邊形ABCD與CEFD相似，∴＝，即＝.解得,BC＝3±3．∵BC＞0，∴BC＝【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)定理和性質(zhì)進(jìn)行推理證明與計(jì)算．20．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，連結(jié)對(duì)角線．點(diǎn)M為線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段上的一點(diǎn)，連結(jié)．回答下列問題：(1)當(dāng)點(diǎn)M為的中點(diǎn)且時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)當(dāng)且時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)5(2)【分析】（1）勾股定理求出的長(zhǎng)，利用平行線分線段成比例，得到，即可得解；（2）證明，列出比例式，即可得解．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，∴，∴；（2）解：∵，∴，又，∴，∴，即：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．21．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，連接，．已知四邊形是平行四邊形，．(1)若，求線段的長(zhǎng)．(2)若的面積為1，求平行四邊形的面積．【答案】(1)(2)平行四邊形的面積為6．【分析】（1）證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列式，可解答；（2）根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可得的面積是16，同理可得的面積是9，根據(jù)面積差可得答案．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，；（2）解：，，的面積為1，的面積是16，四邊形是平行四邊形，，，，的面積是9，平行四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．22．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)她走到P點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)她向前再步行到Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前影子的頂端剛好接觸到路燈B的底部．已知小華的身高是，兩路燈的高度都是．(1)當(dāng)時(shí)，求x的值；(2)當(dāng)小華在路燈A與路燈B之間走動(dòng)時(shí)，在兩燈光下的影子長(zhǎng)是變化的，那么兩個(gè)影子長(zhǎng)的和是否發(fā)生變化？若不變，求出兩個(gè)影子長(zhǎng)的和；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)不發(fā)生變化，兩個(gè)影子長(zhǎng)的和是【分析】（1）證明，利用對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意作出圖形，找出其中的相似三角形，根據(jù)三角形的相似比即可求出影子的長(zhǎng)度和．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，即：，解得：；（2）解：不會(huì)發(fā)生變化；如圖，當(dāng)小華在A，B之間走動(dòng)時(shí)，在A路燈下的影子長(zhǎng)度為，在B路燈下的影子長(zhǎng)度為，∵，∴，∴，∴，，則，，整理得：，，∴，∴，由（1）得：，∴，解得：，∴兩個(gè)影子的長(zhǎng)的和不會(huì)變，一直都是．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的