高考沖刺資源培優(yōu)沖刺07數(shù)列遞推公式與求和歸類（含答案解析）

培優(yōu)沖刺07數(shù)列遞推公式與求和歸類目錄TOC\o"1-3"\p""\u題型一：數(shù)列型恒成立求參……………………………1題型二：是否存在型求參………………………………2題型三：恒成立證明型…………………3題型四：求和型不等式證明…………………………3題型五：數(shù)列不定方程型………………………………4題型六：恒成立求參：奇偶討論型………………5題型七：下標(biāo)數(shù)列…………………………6題型八：高斯取整數(shù)列型………………………………6題型九：前n項(xiàng)積型不等式恒成立求參………………………7題型十：先放縮再求和型證明不等式……………………………8題型十一：插入數(shù)型：等差型…………………………9題型十二：插入數(shù)列型……………………10題型十三：新結(jié)構(gòu)19題型壓軸………………………11題型一：數(shù)列型恒成立求參分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對(duì)待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進(jìn)行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.數(shù)列恒成立求參數(shù)關(guān)鍵“坑”：數(shù)列是以正整數(shù)為“變量”的函數(shù)，所以求最小值時(shí)要注意正整數(shù)的取值范圍1.（河北省邯鄲市部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）若數(shù)列滿足，，m為常數(shù).(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2..（河北省石家莊二中教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列滿足，，且為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，試求的取值范圍．3.（重慶市巫山第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足且.(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型二：是否存在型求參一般地，已知函數(shù)，不等關(guān)系(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．1.（上海市敬業(yè)中學(xué)2022屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為1，已知對(duì)任意整數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為正常數(shù)）恒成立．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)證明：數(shù)列是遞增數(shù)列；(3)是否存在正常數(shù)，使得為等差數(shù)列？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，說明理由．2.（四川省綿陽市2023屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．3.（江蘇省南通市如東縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出實(shí)數(shù)的值若不存在，說明理由．題型三：恒成立證明型數(shù)列與不等式問題要抓住一個(gè)中心——函數(shù)，兩個(gè)密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理．1.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，點(diǎn)，在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，試問：是否存在關(guān)于的整式，使得（，且）恒成立？若存在，寫出的表達(dá)式，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．2.（廣西南寧市第八中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）在數(shù)列中，已知，，且對(duì)于任意正整數(shù)n都有.(1)令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m是一個(gè)正數(shù)，無論m為何值，是否都有一個(gè)正整數(shù)n使成立.3.（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的公比；(2)是否存在r，s，且使得成等差數(shù)列？若存在，求出r，s，t的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型四：求和型不等式證明求和型不等式證明：先求和再放縮，放縮時(shí)，可以直接放縮，可以借助數(shù)列的單調(diào)性放縮。求和常用方法1.形如（等差）（等比），用分組求和法，分別求和而后相加減2.形如（等差比）（裂項(xiàng)），用分組求和法，分別求和而后相加減3.形如（，為可以求和的常見數(shù)列），用分組求和法，分別求和而后相加減4.錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．5.常見的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對(duì)數(shù)型.等1.（山東省德州市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列和通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)證明：．2.（2023上·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式：(2)若，的前n項(xiàng)和為，證明：.3.（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.題型五：數(shù)列不定方程型1.（重慶市第十一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期10月自主質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)試求所有的正整數(shù)，使得為整數(shù).2.（23-24高三·上?！つM）已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)和.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記是正整數(shù)，是的前n項(xiàng)和，解關(guān)于n的不等式；（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列，整數(shù)是否為中的項(xiàng)？若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)；若不是，則說明理由.3.（22-23高三·湖北·聯(lián)考）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，若，，成等差數(shù)列且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為整數(shù)，是否存在正整數(shù)使成立？若存在，求正整數(shù)及；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型六：恒成立求參：奇偶討論型正負(fù)相間討論型：1.奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)。3.分奇偶討論時(shí)，對(duì)于奇數(shù)，帶入時(shí)要代入1，3，5等奇數(shù)。對(duì)于偶數(shù)，代入時(shí)要代入2.4.6.·····1.（重慶市第一中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的所有取值；若處存在，說明理由．2.（天津市青光中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)記．是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，恒有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．3.（22-23高三·吉林·階段練習(xí)）數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．求；是否存在整數(shù)，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型七：下標(biāo)數(shù)列下標(biāo)數(shù)列下標(biāo)數(shù)列，最常用的是直接函數(shù)代入型，下標(biāo)數(shù)列，要注意隨著下標(biāo)數(shù)列的代入，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)和新數(shù)列的性質(zhì)，以及系數(shù)列與原母數(shù)列是否存在著聯(lián)系，以利用解題突破1.（2023江蘇高考模擬）已知數(shù)列滿足：（為常數(shù)），數(shù)列中，。⑴求；⑵證明：數(shù)列為等差數(shù)列；⑶求證：數(shù)列中存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)，為有理數(shù)。2.(湖北省黃岡中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.3.(河北省衡水市第二中學(xué)2023屆高考模擬數(shù)學(xué)試題)定義集合，數(shù)列滿足(1)定義數(shù)列，證明：為等比數(shù)列(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的正整數(shù)題型八：高斯取整數(shù)列型取整函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，又叫做“高斯函數(shù)”，1.（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，集合共有4個(gè)元素，求范圍；(3)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2.（23-24高三·河北保定·）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（說明：）3.（23-24高三上·天津）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，集合共有4個(gè)元素，求范圍；(3)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．題型九：前n項(xiàng)積型不等式恒成立求參注意區(qū)分“和”與“積”的公式：1.通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是：2.可以類比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過程來求數(shù)列前n項(xiàng)積：1.，得2.時(shí)，，所以1.（23-24高三·江西·階段練習(xí)）已知數(shù)列和滿足，，且.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.2.（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．(1)求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若（，），求的取值范圍；(3)在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，，使，，（，，）構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，求符合條件的一組的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．3.（22-23高三·四川成都）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，其中.(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為；(3)求使不等式，對(duì)任意正整數(shù)都成立的最大實(shí)數(shù)的值.題型十：先放縮再求和型證明不等式常用的數(shù)列放縮式還有：，等，解題過程中，注意觀察數(shù)列特征選擇合適的放縮方法.1.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列不為常數(shù)數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，滿足，其中是不為零的常數(shù)，．(1)是否存在使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，證明：（且）．2.（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求證：．3.（21-22高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）已知數(shù)列是公差d不等于0的等差數(shù)列，且是等比數(shù)列，其中．(1)求的值．(2)若，證明：．題型十一：插入數(shù)型：等差型插入數(shù)型1.插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為，所以：1.（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為2，且滿足．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，求證：．2.（2023上海閔行·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為．規(guī)定：若數(shù)列滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”．（1）若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，求出，并證明：對(duì)任意，；（3）若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，當(dāng)時(shí),在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求，并探究在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，，其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說明理由.3.（2023·安徽馬鞍山·高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型十二：插入數(shù)列型插入數(shù)混合型混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項(xiàng)，其余都是插入進(jìn)來的。1.（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序依次插入數(shù)列中，在任意的，之間插入項(xiàng)，從而構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.2.（2023福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)校考）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前40項(xiàng)的和.3.（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．題型十三：新結(jié)構(gòu)19題型壓軸“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作答.關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.1.（2024·浙江嘉興·二模）已知集合，定義：當(dāng)時(shí)，把集合中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.例如：時(shí)，，.(1)寫出，并求；(2)判斷88是否為數(shù)列中的項(xiàng).若是，求出是第幾項(xiàng)；若不是，請(qǐng)說明理由；(3)若2024是數(shù)列中的某一項(xiàng)，求及的值.2.．（2024·北京門頭溝·一模）已知數(shù)列，數(shù)列，其中，且，．記的前項(xiàng)和分別為，規(guī)定．記，且，，且(1)若，，寫出；(2)若，寫出所有滿足條件的數(shù)列，并說明理由；(3)若，且．證明：，使得．3.（23-24高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）設(shè)集合，其中．若對(duì)任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．(1)設(shè)，判斷M，N是否為“T集”．若不是，請(qǐng)說明理由；(2)已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，求A；（ii）若（c為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式．

培優(yōu)沖刺07數(shù)列遞推公式與求和歸類目錄TOC\o"1-3"\p""\u題型一：數(shù)列型恒成立求參……………………………1題型二：是否存在型求參………………………………3題型三：恒成立證明型…………………6題型四：求和型不等式證明…………………………8題型五：數(shù)列不定方程型………………………………11題型六：恒成立求參：奇偶討論型………………12題型七：下標(biāo)數(shù)列…………………………15題型八：高斯取整數(shù)列型………………………………17題型九：前n項(xiàng)積型不等式恒成立求參………………………20題型十：先放縮再求和型證明不等式……………………………23題型十一：插入數(shù)型：等差型…………………………26題型十二：插入數(shù)列型……………………29題型十三：新結(jié)構(gòu)19題型壓軸………………………31題型一：數(shù)列型恒成立求參分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對(duì)待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進(jìn)行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.數(shù)列恒成立求參數(shù)關(guān)鍵“坑”：數(shù)列是以正整數(shù)為“變量”的函數(shù)，所以求最小值時(shí)要注意正整數(shù)的取值范圍1.（河北省邯鄲市部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）若數(shù)列滿足，，m為常數(shù).(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）等式兩邊同除以，用等差數(shù)列的定義證明；（2）將條件轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，求的最大值即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋仁絻蛇呁?，得，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）得，因此.由對(duì)恒成立，得對(duì)均成立.因?yàn)椋坏仁絻蛇呁?，得，即?duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，取最大值，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.2..（河北省石家莊二中教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列滿足，，且為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，試求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)求解即可；（2）由（1）得，利用錯(cuò)位相減法得，則原不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值即可.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且滿足，所以①，②，又因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即③，聯(lián)立①②③解得，所以.（2）由（1）得，所以④，⑤，⑤④得，由題意即對(duì)任意正整數(shù)恒成立，所以恒成立，則即可，又因?yàn)椋?，即的取值范圍?3.（重慶市巫山第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足且.(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系和等差數(shù)列的定義可求出，根據(jù)遞推公式和等比數(shù)列的定義求出；（2）根據(jù)裂項(xiàng)公式求出，將恒成立化為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求出的最大值，代入解不等式即可得解.【詳解】（1）∵，∴，所以，∴，化簡(jiǎn).∵，∴.又，解得，∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.∴.由，可得，，又，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.則.（2）由（1）知，則，所以，故即對(duì)任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，則，即，則單調(diào)遞減，，，解得或.故的取值范圍為.題型二：是否存在型求參一般地，已知函數(shù)，不等關(guān)系(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．1.（上海市敬業(yè)中學(xué)2022屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為1，已知對(duì)任意整數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為正常數(shù)）恒成立．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)證明：數(shù)列是遞增數(shù)列；(3)是否存在正常數(shù)，使得為等差數(shù)列？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2是(3)存在，.【分析】（1）由已知條件，可令，代入，即可得到所求出數(shù)列通項(xiàng)公式，從而可證是等比數(shù)列；（2）討論公比q是否為1，求得，以及，由單調(diào)性的定義即可得證；（3）假設(shè)存在正常數(shù)c使得為等差數(shù)列，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，總成立，所以時(shí)，令，得，即，當(dāng)時(shí)，也成立，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，，隨著的增大而增大；當(dāng)，時(shí)，，，由，綜上可得數(shù)列是遞增數(shù)列；（3）假設(shè)存在正常數(shù)使得為等差數(shù)列．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由為等差數(shù)列，得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列，所以存在使得為等差數(shù)列．2.（四川省綿陽市2023屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在，或；【分析】（1）由題設(shè)且，應(yīng)用關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，構(gòu)造且并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性判斷是否存在最大值，即可得結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)且，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，則；由，故，所以是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，故.（2）由（1）知：，要使，即恒成立，令且，則，若，即，則，在上，遞增，上，遞減，所以在有最大值，又，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，故存在或使恒成立.3.（江蘇省南通市如東縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出實(shí)數(shù)的值若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得出，再由與的關(guān)系可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合錯(cuò)位相減求出，先得出的前三項(xiàng)，由等差數(shù)列的性質(zhì)得出方程解出，再檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）因?yàn)?，?shù)列是公差為的等差數(shù)列，則，因此，當(dāng)時(shí)，，則有，因此，即，數(shù)列是常數(shù)列，有，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知，，則，于是得，兩式相減得：，因此，有，，，若數(shù)列成等差數(shù)列，則，解得，當(dāng)時(shí)，，則，從而數(shù)列成等差數(shù)列，所以存在，使得數(shù)列成等差數(shù)列．題型三：恒成立證明型數(shù)列與不等式問題要抓住一個(gè)中心——函數(shù)，兩個(gè)密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理．1.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，點(diǎn)，在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，試問：是否存在關(guān)于的整式，使得（，且）恒成立？若存在，寫出的表達(dá)式，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)已知條件點(diǎn)在直線上，可得，根據(jù)等差數(shù)列定義判斷為等差數(shù)列，即可求解.（2）根據(jù)已知條件得，化為，利用累加法求得，結(jié)合題意即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，在直線上，所以，即.又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，.（2）因?yàn)椋?，所以，即，所以，，，，所以，所?根據(jù)題意（，且）恒成立，所以，所以存在關(guān)于的整式，使得（，且）恒成立.2.（廣西南寧市第八中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）在數(shù)列中，已知，，且對(duì)于任意正整數(shù)n都有.(1)令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m是一個(gè)正數(shù)，無論m為何值，是否都有一個(gè)正整數(shù)n使成立.【答案】(1)；(2)存在，詳見解析.【分析】（1）由題可得，然后利用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即得；（2）由題可知，可得，令，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即可得出，假設(shè)存在正整數(shù)滿足題意，由題可得，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以，且，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）可得，所以，令，則，所以，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，無論為何值，假設(shè)存在一個(gè)正整數(shù)使成立，因?yàn)?，即，可得，取，因此是一個(gè)正數(shù)，無論為何值，都有一個(gè)正整數(shù)使成立，取的正整數(shù)即可．3.（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的公比；(2)是否存在r，s，且使得成等差數(shù)列？若存在，求出r，s，t的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1);(2)答案見解析.【分析】（1）利用成等差數(shù)列和是等比數(shù)列,建立方程，求出公比即可；（2）先假設(shè)存在,通過對(duì)數(shù)列求和，驗(yàn)證為等差數(shù)列矛盾，從而說明不存在.【詳解】（1）結(jié)合題意：成等差數(shù)列，所以，由是等比數(shù)列，所以，整理得，解得：（舍去），或.（2）假設(shè)存在r，s，且使得成等差數(shù)列由（1）可知，所以，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，整理得：，在上式兩邊同時(shí)除，得到：，又所以，因?yàn)?，所以，所以存在互不相等的正整?shù)r，s，且時(shí)，使得成等差數(shù)列.題型四：求和型不等式證明求和型不等式證明：先求和再放縮，放縮時(shí)，可以直接放縮，可以借助數(shù)列的單調(diào)性放縮。求和常用方法1.形如（等差）（等比），用分組求和法，分別求和而后相加減2.形如（等差比）（裂項(xiàng)），用分組求和法，分別求和而后相加減3.形如（，為可以求和的常見數(shù)列），用分組求和法，分別求和而后相加減4.錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．5.常見的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對(duì)數(shù)型.等1.（山東省德州市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列和通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)證明：．【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量求等差數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)找到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)分別求出奇數(shù)項(xiàng)和偶偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式再求和.(3)裂項(xiàng)相消法求和，再證明.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式．因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，又n＝1時(shí)，，所以，所以，因?yàn)椋?，而，即，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，所以．（2）當(dāng)k＝2m，時(shí)，，當(dāng)k＝2m－1，時(shí)，所以．（3）由可得＝因?yàn)椋?，所以．則原命題得證．2.（2023上·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式：(2)若，的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）已知求的問題，一定要分和進(jìn)行討論；（2）用裂項(xiàng)相加法求和，再分為奇數(shù)、偶數(shù)討論，確定的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故：.（2）證明：因?yàn)?，所?當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所?綜上，.3.（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.【答案】(1)證明見解析，(2)，證明見解析【分析】（1）由，有，可得數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由和的關(guān)系得數(shù)列的遞推公式，累加法求出的通項(xiàng)，得數(shù)列的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求，并確定范圍.【詳解】（1）由，可得，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則有，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由，有，即，則當(dāng)時(shí)，有：，時(shí)也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為得，則①，②，②-①得：，解得，由，，所以，又所以遞增，所以，因此，.題型五：數(shù)列不定方程型1.（重慶市第十一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期10月自主質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)試求所有的正整數(shù)，使得為整數(shù).【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，可得出，根據(jù)為正整數(shù)可求得的值.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，.（2）解：由（1）可得，則，所以，，則，因?yàn)闉檎麛?shù)，且為大于的正奇數(shù)，故，解得故只有時(shí)，為整數(shù)成立.2.（23-24高三·上?！つM）已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)和.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記是正整數(shù)，是的前n項(xiàng)和，解關(guān)于n的不等式；（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列，整數(shù)是否為中的項(xiàng)？若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)；若不是，則說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不是數(shù)列中的項(xiàng)，理由見解析【分析】（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B代入函數(shù)解析式，求得a，b即可.（2）易得，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到，解不等式即可.（3）令，再論證方程是否有正整數(shù)解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖像過點(diǎn)和，所以，解得，所以.（2）由（1）知：，所以所以，即為，所以，解得，故（3）由（2）知，設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，，，，，由（2）知當(dāng)時(shí)，易知，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因此不是數(shù)列中的項(xiàng).3.（22-23高三·湖北·聯(lián)考）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，若，，成等差數(shù)列且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為整數(shù)，是否存在正整數(shù)使成立？若存在，求正整數(shù)及；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在時(shí)滿足條件，理由見解析.【分析】（1）由已知求出，即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出，然后將數(shù)列的通項(xiàng)公式及代入化簡(jiǎn)即可解決問題.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則即，∴，∴或.又即，∵，∴，，∴.（2），，∴，∵為整數(shù)，∴時(shí).∴存在時(shí)滿足條件.題型六：恒成立求參：奇偶討論型正負(fù)相間討論型：1.奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)。3.分奇偶討論時(shí)，對(duì)于奇數(shù)，帶入時(shí)要代入1，3，5等奇數(shù)。對(duì)于偶數(shù)，代入時(shí)要代入2.4.6.·····1.（重慶市第一中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的所有取值；若處存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在，0.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，探討數(shù)列的性質(zhì)，再求出其通項(xiàng)公式作答.（2）由（1）求出，利用錯(cuò)位相減法求出，再結(jié)合數(shù)列不等式恒成立求解作答.【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即有，而，即，因此數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，，則，兩式相減得：，于是得，顯然，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立，則存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，即，成立，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，從而，所以存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立，的值為0.2.（天津市青光中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)記．是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，恒有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合題設(shè)求基本量，進(jìn)而寫出和的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和；（3）由（1）得，要使題設(shè)不等式恒成立即在上恒成立，討論的奇偶性，判斷是否存在使之成立.【詳解】（1）若的公差為，結(jié)合題設(shè)可得：，又，故，∴，若的公比為且，結(jié)合題設(shè)可得：，又，故，∴.（2）由（1）知：，∴，∴，以上兩式相減，得：，∴.（3）由題設(shè)，，要使任意恒有，∴，則恒成立當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，而，故當(dāng)且時(shí)，存在使其成立；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，而，故當(dāng)且時(shí)，存在使其成立；綜上，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，恒有.3.（22-23高三·吉林·階段練習(xí)）數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．求；是否存在整數(shù)，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意結(jié)合等差數(shù)列的定義可知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，據(jù)此求解其通項(xiàng)公式即可；（2）(ⅰ)由題意可得，然后裂項(xiàng)求和確定其前n項(xiàng)和即可.(ⅱ)由題意分類討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況可得取值集合為.【詳解】（1）因?yàn)椋谥本€，所以，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以-1.（2）(ⅰ)，，.(ⅱ)存在整數(shù)使得不等式(n∈N)恒成立．因?yàn)椋?要使得不等式(n∈N)恒成立，應(yīng)有：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即-.所以當(dāng)時(shí)，的最大值為－，所以只需－.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以只需.可知存在，且.又為整數(shù)，所以取值集合為.題型七：下標(biāo)數(shù)列下標(biāo)數(shù)列下標(biāo)數(shù)列，最常用的是直接函數(shù)代入型，下標(biāo)數(shù)列，要注意隨著下標(biāo)數(shù)列的代入，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)和新數(shù)列的性質(zhì)，以及系數(shù)列與原母數(shù)列是否存在著聯(lián)系，以利用解題突破1.（2023江蘇高考模擬）已知數(shù)列滿足：（為常數(shù)），數(shù)列中，。⑴求；⑵證明：數(shù)列為等差數(shù)列；⑶求證：數(shù)列中存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)，為有理數(shù)。【答案】（1），，；（2）首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；（3）見解析.【詳解】⑴由已知，得，⑵，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列⑶證明：由⑵知若三個(gè)不同的項(xiàng)成等比數(shù)列，、、為非負(fù)整數(shù)，且，則：，得若，則，得，這與矛盾。若，則、、為非負(fù)整數(shù)是有理數(shù)2.(湖北省黃岡中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，根據(jù)條件求出，，再代入通項(xiàng)公式即可；（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和，即可得答案；【詳解】（1）設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，由，，，，可得，，解得，，則，，；（2）.3.(河北省衡水市第二中學(xué)2023屆高考模擬數(shù)學(xué)試題)定義集合，數(shù)列滿足(1)定義數(shù)列，證明：為等比數(shù)列(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的正整數(shù)【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出，再根據(jù)等比數(shù)列的定義可證結(jié)論正確；（2）求出，再根據(jù)累加法求出，然后解方程可得結(jié)果.【詳解】（1）依題意可得，，，，當(dāng)時(shí)，，又，都適合上式，所以，因?yàn)?，所以為等比?shù)列.（2）依題意得，，,所以，又，，，，，所以，所以，由，得，得，得，得，得.題型八：高斯取整數(shù)列型取整函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，又叫做“高斯函數(shù)”，1.（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，集合共有4個(gè)元素，求范圍；(3)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）設(shè)出數(shù)列公比，數(shù)列公差，結(jié)合題意計(jì)算即可得；（2）由，即可得，令，由的值，可得數(shù)列的單調(diào)性，計(jì)算出前五項(xiàng)，即可得的取值范圍；（3）分奇偶討論后，分別借助錯(cuò)位相減法與裂項(xiàng)相消法求和計(jì)算即可得.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，設(shè)公比，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，設(shè)公差，∵，即，∴，（舍去），，∴．；（2），其中，∴，集合，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．計(jì)算可得，，，，，因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，；（3），，設(shè)，，則，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，設(shè)，所以.2.（23-24高三·河北保定·）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（說明：）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）采用分組求和和裂項(xiàng)相消法可求得，由取整運(yùn)算定義可得，分類討論可求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.（2）由（1）得：，，；則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.3.（23-24高三上·天津）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，集合共有4個(gè)元素，求范圍；(3)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)出公比和公差，得到方程組，求出公比和公差，求出通項(xiàng)公式；（2）求出，設(shè)，作差法得到其單調(diào)性，結(jié)合集合有4個(gè)元素，求出；（3）設(shè)，錯(cuò)位相減法求和得到，設(shè)，裂項(xiàng)相消法得到，從而求出，求和證明出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，設(shè)公比，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，設(shè)公差，∵，即，∴，（舍去），，∴．；（2），其中，∴，集合，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．計(jì)算可得，，，，，因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，．（3），，設(shè)①，②，上式①-②得，，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，則，.題型九：前n項(xiàng)積型不等式恒成立求參注意區(qū)分“和”與“積”的公式：1.通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是：2.可以類比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過程來求數(shù)列前n項(xiàng)積：1.，得2.時(shí)，，所以1.（23-24高三·江西·階段練習(xí)）已知數(shù)列和滿足，，且.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）利用條件得到的關(guān)系，再利用倒數(shù)法，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得解；（2）利用裂項(xiàng)求和法即可得解；（3）構(gòu)造新數(shù)列，將問題轉(zhuǎn)化為，再利用作商法求得，從而得解.【詳解】（1）依題意，易知，由，得，又，所以（），整理得（），又，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，所以.（2）易知，所以.（3）原不等式可化為，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，則，即是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，由，得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.2.（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．(1)求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若（，），求的取值范圍；(3)在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，，使，，（，，）構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，求符合條件的一組的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，，；(2)(3)存在，.【分析】（1）由與數(shù)列的遞推關(guān)系證明是等差數(shù)列，進(jìn)而得通項(xiàng)；（2）分離參數(shù)得，再構(gòu)造數(shù)列，研究單調(diào)性求解最值可得的取值范圍；（3）由，，構(gòu)成等比數(shù)列得，由整數(shù)的性質(zhì)【詳解】（1）（1）由已知得：，．因?yàn)?，，所以，而，所以是?為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）不等式化為：，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，所以的取值范圍為．?）若，，（，，）構(gòu)成等比數(shù)列，則，即：，所以，由于，均為正整數(shù)，所以奇數(shù)必須是完全平方數(shù)，又因?yàn)椋?，則為奇數(shù)的平方，不妨取，，所以，當(dāng)時(shí)，，，即：，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，即：，，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，即：，.所以符合條件的一組的值可以是．3.（22-23高三·四川成都）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，其中.(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為；(3)求使不等式，對(duì)任意正整數(shù)都成立的最大實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，整理變形結(jié)合等差數(shù)列定義即可證明結(jié)論，并求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求得答案；（3）將原不等式化為，即可分離參數(shù)，繼而構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，即，即是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，故（2）由（1）可得，故，故，則，故；（3），則，即，即對(duì)任意正整數(shù)都成立，令，則，故，即隨著n的增大而增大，故，即，即實(shí)數(shù)的最大值為.題型十：先放縮再求和型證明不等式常用的數(shù)列放縮式還有：，等，解題過程中，注意觀察數(shù)列特征選擇合適的放縮方法.1.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列不為常數(shù)數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，滿足，其中是不為零的常數(shù)，．(1)是否存在使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，證明：（且）．【答案】(1)存在，(2)證明見解析.【分析】（1）由與的關(guān)系和等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，或由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式代入已知條件中求解.（2）由已知求出數(shù)列的通項(xiàng)，得，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明結(jié)論.【詳解】（1）方法一：由題意可知①，②，由得．因?yàn)榍?，所以．所以③．若存在使得?shù)列為等差數(shù)列，則（k是不為0的常數(shù)，），代入③化簡(jiǎn)得到．由于不為常數(shù)數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，所以解得所以．此時(shí)，滿足且為等差數(shù)列．方法二：若是公差為d的等差數(shù)列，由，則，整理得到，所以由③可得或．（i）若，由①②解得；（ii）若，代入①②解得，與題意不符．綜合以上可知存在使得為公差等于1的等差數(shù)列．（2）由于是公比為的等比數(shù)列，，所以，又，所以．令可知，所以．因?yàn)榍?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以．由于，且?dāng)時(shí)，，所以，原不等式成立．2.（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，再利用放縮法證明即可.【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由（1）知．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，．綜上，．3.（21-22高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）已知數(shù)列是公差d不等于0的等差數(shù)列，且是等比數(shù)列，其中．(1)求的值．(2)若，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)基本量法可求，從而可求的前項(xiàng)和.（2）利用代數(shù)變形可得，可證明，從而證明題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）根據(jù)題意，有，因此，從而數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，有．從而．（2）根據(jù)題意，有，因此，分析通項(xiàng)，只需要證明，也即，也即，也即，也即，這顯然成立，命題得證．題型十一：插入數(shù)型：等差型插入數(shù)型1.插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為，所以：1.（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為2，且滿足．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，求證：．【答案】任意選?、佗冖?，（1）；（2）證明見解析；【分析】（1）選①，已知式變形得，數(shù)列是等比數(shù)列，求出后，利用可求得（已知）；選②，用累加法求得；選③，替換后同選①；（2）求出，先說明時(shí)成立，時(shí)，用二項(xiàng)式定理展開可證．【詳解】（1）選①，，則，又，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，所以，，時(shí)，，又，所以；選②，，則；選③，，則，即，以下同選①；（2）由（1），所以，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，上面展開式中至少有6項(xiàng)，所以，綜上，．2.（2023上海閔行·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為．規(guī)定：若數(shù)列滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”．（1）若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，求出，并證明：對(duì)任意，；（3）若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，當(dāng)時(shí),在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求，并探究在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，，其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2），證明見解析（3），不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到，，且.解得即可求出的通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，利用換元法證明數(shù)列的最小項(xiàng)為，即可證明對(duì)任意，.（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，由此可得出.假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，推導(dǎo)出故，這與題設(shè)矛盾，所以在數(shù)列中不存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.【詳解】（1）∵為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，∴前6項(xiàng)為等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起為等比數(shù)列.∴，，且.即，解得.∴.（2）由（1）得.：：，：，可見數(shù)列的最小項(xiàng)為.，由列舉法知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（），設(shè)，則，．（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋海?故：.假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則：，即：，即（*）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，（*）式可以化簡(jiǎn)為，即：，故，這與題設(shè)矛盾.所以在數(shù)列中不存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.3.（2023·安徽馬鞍山·高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（1）給出與的關(guān)系，求，常用思路：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與的關(guān)系，再求；由推時(shí)，別漏掉這種情況，大部分學(xué)生好遺忘;(2)一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)的和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放縮時(shí)掌握好規(guī)律，怎樣從條件證明出結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）∵，∴，兩式相減，得，4分又，∴，∴5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以，，8分（解法1）則，，兩式相減，得所以.13分（解法2）設(shè)，∴；∴.13分題型十二：插入數(shù)列型插入數(shù)混合型混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項(xiàng)，其余都是插入進(jìn)來的。1.（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序依次插入數(shù)列中，在任意的，之間插入項(xiàng)，從而構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，可得出，變形可得.然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出.由已知可得，累乘法即可得出；（2）設(shè)100項(xiàng)中，來自于數(shù)列中的有項(xiàng).根據(jù)已知可推得，然后根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，當(dāng)時(shí)，有，，兩式相減得：.又因?yàn)?，所以，，滿足上式.所以，.又，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即.又，所以，所以.又，所以，當(dāng)時(shí)，有，，，，，兩邊同時(shí)相乘可得，，所以，.（2）設(shè)100項(xiàng)中，來自于數(shù)列中的有項(xiàng).若第100項(xiàng)來自于，則應(yīng)有，整理可得，，該方程沒有正整數(shù)解，不滿足題意；若第100項(xiàng)來自于，則應(yīng)有，整理可得，.當(dāng)時(shí)，有不滿足，，故，所以，數(shù)列中含有10項(xiàng)數(shù)列中的項(xiàng)，含有90項(xiàng)數(shù)列中的項(xiàng).所以，.2.（2023福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？迹┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前40項(xiàng)的和.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數(shù)列是等差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)；利用消去得到與的遞推關(guān)系，得出數(shù)列是等比數(shù)列，可求出通項(xiàng)；（2）分析中前40項(xiàng)中與各有多少項(xiàng)，分別求和即可．【詳解】（1）由題設(shè)得：，∵，則，故是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，∴，當(dāng)時(shí)，得：，當(dāng)，由①，②，由①－②整理得：，，∴，故，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故.（2）