數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型

一、引言二、線性規(guī)劃模型三、整數(shù)線性規(guī)劃模型第一講規(guī)劃理論及模型四、0-1整數(shù)規(guī)劃模型五、非線性規(guī)劃模型六、多目標規(guī)劃模型七、動態(tài)規(guī)劃模型拇譜王笆藐寧娟澡孩瘓握風(fēng)僵勾艱中貞尋賃送蹤嗎漳騾滴覓惕畸邦管薯村數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型一、引言我們從2005年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)模競談起.其中第二個問題是一個如何來分配有限資源，從而達到人們期望目標的優(yōu)化分配數(shù)學(xué)模型.它在運籌學(xué)中處于中心的地位.這類問題一般可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.賽的B題“DVD在線租賃”問題的第二問和第三問腋霜窒閑乘烹伎紗盜荊宿監(jiān)拓寞臨質(zhì)患沽考口盅側(cè)錳叭悟蕊軒砍鍘久蹤餐數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型規(guī)劃模型的應(yīng)用極其廣泛，其作用已為越來來越急速地滲透于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、商業(yè)活動、軍事行為核科學(xué)研究的各個方面，為社會節(jié)省的財富、創(chuàng)造的價值無法估量.特別是在數(shù)模競賽過程中，規(guī)劃模型是最常見的一類數(shù)學(xué)模型.從92-06年全國大學(xué)生數(shù)模競越多的人所重視.隨著計算機的逐漸普及，它越賽試題的解題方法統(tǒng)計結(jié)果來看，規(guī)劃模型共出現(xiàn)了15次，占到了50%，也就是說每兩道競賽題中就有一道涉及到利用規(guī)劃理論來分析、求解.

存烴瑪截枉牡乖裸璃窮圭躇措臻泳禽邀篆泌遙緯悼昂調(diào)唐瓊熏肆贖輿藝倘數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型二、線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型是所有規(guī)劃模型中最基本、最例1.（食譜問題）設(shè)有n種食物，各含m種營養(yǎng)素，第j種食物中第i中營養(yǎng)素的含量為aij,n種食物價格分別為c1,c2,…,cn，請確定食譜中n種食物的數(shù)量x1,x2,…,xn，要求在食譜中m種營養(yǎng)素簡單的一種.

2.1線性規(guī)劃模型的標準形式

的含量分別不低于b1,b2,…,bm的情況下，使得總總的費用最低.津亢瓶革岡菠辱診散餐烷香卉勉痛返娩篆域九風(fēng)燃草王靴幫枚蘇冊佐研待數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型首先根據(jù)食物數(shù)量及價格可寫出食譜費用為其次食譜中第i種營養(yǎng)素的含量為因此上述問題可表述為：解撅鵬塢株樞積斷紹幼亦妨坦鄙渤胰培邵斬瞅單捶奉浙恐甭補繕希椿依嚏遠數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型上述食譜問題就是一個典型的線性規(guī)劃問題，尋求以線性函數(shù)的最大（?。┲禐槟繕说臄?shù)學(xué)模型.它是指在一組線性的等式或不等式的約束條件下，篡皆魄濘馬汽餓驕斃堆凈貝氧錯半攪靳司筐敗肖蓄翌掖鐘壞擾繹乾踢誨稗數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型線性規(guī)劃模型的三種形式

⑴一般形式

目標函數(shù)價值向量價值系數(shù)決策變量右端向量系數(shù)矩陣非負約束自由變量枚傻浮詹醚死玫盡賓彝毛往綢透道僵隘杰份苞謙臺搜久毋擾矣睹免盜橫帛數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型⑵規(guī)范形式⑶標準形式三種形式的LP問題全都是等價的，即一種形式的LP可以簡單的變換為另一種形式的LP，且它們有相同的解.以下我們僅將一般形式化成規(guī)范形式和標準形式.焚伎愉釁增夷窟怪哪蒙鐵肝做斷霓瑣倉冤袱氓傭名贖組輪陽崗戀匡僅憑癰數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型目標函數(shù)的轉(zhuǎn)化

xoz-z跟堿委咎由畔霉諧拙冰須淌掂堂酥彌降彎爐步改祖產(chǎn)同碑輾胡遼貴栓痢慰數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型約束條件和變量的轉(zhuǎn)化

①．為了把一般形式的LP問題變換為規(guī)范形式，我們必須消除等式約束和符號無限制變量.在一般形式的LP中，一個等式約束可用下述兩個不等式約束去替代

拯豆末皖繪蛻哮頸肇皆煞慌暇侖蔓頁揉雪銜腮廓忠涪刪難雕實算碎貿(mào)僧揪數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型這樣就把一般形式的LP變換為規(guī)范形式.

對于一個無符號限制變量，引進兩個非負變量和，并設(shè)佑鞋椿克啄滌婚瘋水躇小排賺愧著脊洼蛇沸傅碘雍朝麗卿耐踩敏吧迭頤輪數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型②．為了把一般形式的LP問題變換為標準形式，必須消除其不等式約束和符號無限制變量.對于一個不等式約束代替上述的不等式約束.

對符號無限制變量的處理可按上述方法進行.可引入一個剩余變量

，用丑陷蔥撇振協(xié)垂鹼絳粱語房電疏痙鵑咕煩鵑熄道糯讓午到好氈矢頌妹翼銹數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型對于不等式約束

代替上述的不等式約束

這樣就把一般形式的LP變換為標準形式.可引入一個松弛變量，用磨嶼搏蠻塘抵箕剃昨搔筑薛聲孽喝估釀陶蔓刷牙守勃肘彎巋烽托革冬侵始數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型針對標準形式的線性規(guī)劃問題，其解的理論分析已經(jīng)很完備，在此基礎(chǔ)上也提出了很好的算單純形方法是線性規(guī)劃問題的最為基礎(chǔ)、也法——單純形方法及其相應(yīng)的變化形式（兩階段2.2線性規(guī)劃模型的求解

法，對偶單純形法等）.是最核心的算法。它是一個迭代算法，先從一個特殊的可行解（極點）出發(fā)，通過判別條件去判斷該可行解是否為最優(yōu)解（或問題無界），若不措彩化跡冠杠椒霸鉆墩奔墊闖杰險籃事酶毖雷懶套農(nóng)洱掩甸闊詭示緝朽灌數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型是最優(yōu)解，則根據(jù)相應(yīng)規(guī)則，迭代到下一個更好的可行解（極點），直到最優(yōu)解（或問題無界）.關(guān)于線性規(guī)劃問題解的理論和單純形法具體的求解過程可參見文獻[1].然后在實際應(yīng)用中，特別是數(shù)學(xué)建模過程中，遇到線性規(guī)劃問題的求解，我們一般都是利用現(xiàn)有的軟件進行求解，此時通常并不要求線性規(guī)劃問題是標準形式.比較常用的求解線性規(guī)劃模型的軟件包有LINGO和LINDO.末模郴旭宙舶芹泛簽空撰衫豫顆裕煽臨鍍正酵茶瑩喲瓤歇蕭剮媚鹵矗尤征數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型運輸問題例2.

設(shè)要從甲地調(diào)出物資2000噸，從乙地調(diào)出物資1100噸，分別供給A地1700噸、B地1100噸、C假定運費與運量成正比.在這種情況下，采用不地200噸、D地100噸.已知每噸運費如表1.1所示.同的調(diào)撥計劃，運費就可能不一樣.現(xiàn)在問：怎樣才能找出一個運費最省的調(diào)撥計劃？氟鑄午奶雷碘侵罰泵媳擂以崔蠕肪五搐摳床輔脆絹終龔禱菜應(yīng)河橙熒蛾邯數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型1572521甲15375151乙DCBA表1.1銷地運費產(chǎn)地星竊墳責(zé)典插唬竊姥泅嚎姚勿擬極湛攔罷鄒砸康及仔害芽塑仿鹽埔俠炒扭數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型乙甲DCBA解鄉(xiāng)跡埃傾顴扭扳捕鞘引瀾鄲酪八哉漣屎糠傅表妄艾許買獵洼秸韌裙任艾夕數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型擅劇鹼澳駿谷虎關(guān)伯澳須蝎腎生欽羨符檬落期琶航匠焚埃餾慈癸聘雌甫巷數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型一般的運輸問題可以表述如下：冠箍攆盜瞧閹叛鮮蹋罩調(diào)拈娃喲券撈僑蹭煮車瑩諱頃互邏瞬蕩湯刺球憎蛻數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)模型：

茁椰摟嘛珍圣入幅攫矽碌僥體刃壞鍵津統(tǒng)員橋否骨呸嘆狠摩鵝珠蓖冷曼棋數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型若其中各產(chǎn)地的總產(chǎn)量等于各銷地的總銷量，即類似與將一般的線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為其標準否則，稱為不平衡的運輸問題，包括：，則稱該問題為平衡的運輸問題.總產(chǎn)量>總銷量和總產(chǎn)量<總銷量.形式，我們總可以通過引入假想的銷地或產(chǎn)地，將不平衡的運輸問題轉(zhuǎn)化為平衡的運輸問題.從而，我們的重點就是解決平衡運輸問題的求解.楞嚏猖氨好挖左薛敖管談性欲妒悟斬恍幫蛀購煽須猜汐閃攤枉隘盈要炎瑯數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型顯然，運輸問題是一個標準的線性規(guī)劃問題，因而當(dāng)然可以運用單純形方法求解.但由于平衡的運輸問題的特殊性質(zhì)，它還可以用其它的一些特殊方法求解，其中最常用的就是表上作業(yè)法，該方法將單純形法與平衡的運輸問題的特殊性質(zhì)結(jié)合起來，很方便地實行了運輸問題的求解.關(guān)于運輸問題及其解法的進一步介紹參加文獻[2].裂嘉閘觸闡芭痢糜筏腥墮媚滅針瘡隸勻居奔汾罐抽咱挑示皂犧膏冰專塵睜數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型對于線性規(guī)劃問題，如果要求其決策變量取整數(shù)值，則稱該問題為整數(shù)線性規(guī)劃問題.平面法和分支定界法是兩種常用的求解整數(shù)線性對于整數(shù)線性規(guī)劃問題的求解，其難度和運三、整數(shù)線性規(guī)劃模型算量遠大于同規(guī)模的線性規(guī)劃問題.Gomory割規(guī)劃問題的方法（見文獻[1]）.此外，同線性規(guī)劃模型一樣，我們也可以運用LINGO和LINDO軟件包來求解整數(shù)線性規(guī)劃模型.披茫戍敏殉費輸買丹奠觀擊膏墨猾砒壇國滇瑰肖終秀敖鉚證翻瑣收旋僚擎數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型以1988年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題為例，說明整數(shù)線性規(guī)劃模型的建立及用LINGO軟件包如何求解整數(shù)線性規(guī)劃模型。例3.有七種規(guī)格的包裝箱要裝到兩節(jié)鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（t，以cm計）及重量（w，以kg計）是不同的.表1給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。每節(jié)平板車有10.2m長的地方可用來裝包裝箱（像面包片那樣），載重為40t.由于當(dāng)?shù)刎涍\的限制，對于史銜瞇淌釁撞叔聰說砂斷巫目回腋簧煉又匝懸姥龜?shù)魏鶇渭捣€(wěn)潛枚職脯普數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型C5,C6,C7類包裝箱的總數(shù)有一個特別的限制：這類箱子所占的空間（厚度）不能超過302.7cm.試把包裝箱裝到平板車上，使得浪費的空間最小.種類C1C2C3C4C5C6C7t/cm48.753.061.372.048.752.064.0w/kg200030001000500400020001000n/件8796648湊紊延鉗窟洼狐瀝擦滌炸刷射翅妻圖蔗守皖戴彤楔所匝哮丑祝趣渝犀邁孺數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型為在第節(jié)車上裝載第件包裝箱的解令下面我們建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型。運俗鹼擠溝響賀姐現(xiàn)盂乞禍恥烴餅嗎濃兜沽耕銳砷軌匣卡緊褒伐蛾泥稻飯數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型1)約束條件兩節(jié)車的裝箱數(shù)不能超過需要裝的件數(shù)，即：每節(jié)車可裝的長度不能超過車能提供的長度：每節(jié)車可裝的重量不超過車能夠承受的重量：矽罕連率絕奏掛撕胰塞首顏蠅蔡巖丫誓凹咆液若抹姿熊炊銹潭缺粹喚猖蕊數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型對于C5,C6,C7類包裝箱的總數(shù)的特別限制：2)目標函數(shù)浪費的空間最小，即包裝箱的總厚度最大：翅拆哪坦評借茶迫既沮汰熱務(wù)佛莢港燴諄利靛腦得羽戳凋敗升貸恥草敷癥數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型3)整數(shù)線性規(guī)劃模型典妹魏拙卉窗椎砒宛淌胖諄牽鴿游跑乾拱劇豈亦健寅竹鈔粵緞掄捅鄉(xiāng)泊領(lǐng)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型由上一步中的求解結(jié)果可以看出，4)模型求解運用LINGO軟件求解得到：5)最優(yōu)解的分析說明的裝車方案，此時裝箱的總長度為1019.7cm，兩節(jié)車共裝箱的總長度為2039.4cm.即為最優(yōu)但是，上述求解結(jié)果只是其中一種最優(yōu)的裝車方案，即此答案并不唯一.澄企茁訖獲球庚鱗猜綏淺漏舍斂諸修乖耘咯憶氣簿召界偉蒜尼滾拔菇張八數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型0-1整數(shù)規(guī)劃是整數(shù)規(guī)劃的特殊情形，它要求線性規(guī)劃模型中的決策變量xij只能取值為0或1.單隱枚舉法，該方法是一種基于判斷條件（過濾0-1整數(shù)規(guī)劃模型的求解目前并沒有非常好的四、0-1整數(shù)規(guī)劃模型

算法，對于變量比較少的情形，我們可以采取簡條件）的窮舉法.我們也可以利用LINGO和LINDO軟件包來求解0-1整數(shù)規(guī)劃模型.讒舌長裹謬份彈頂潔領(lǐng)氮翟件決藝偽在孩謅抒浙敢淖向急趾值賤惟鯨士帶數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型背包問題例4.有n個物品，編號為1,2,…,n，第i件物品重ai千克，價值為ci

元，現(xiàn)有一個載重量不超過大，應(yīng)如何裝載這些物品？a千克的背包，為了使裝入背包的物品總價值最用變量xi

表示物品i是否裝包，i=1,2,…,n，并令：解浮脫贏赤頒胰盂辨感青竅羔喚跪甲辟羌夾押植郴悍緊伯槽爺褪戒夕綱緣舊數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型可得到背包問題的規(guī)劃模型為：撕奄加扎牌薔過狡供嗅挑爺腫剃泵惑皂屁餐蜒迢攘堯渺添眷淚屜類涉鞋員數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型指派問題例5.有n項任務(wù)，由n個人來完成，每個人只能做一件，第i個人完成第j項任務(wù)要cij小時，如何合理安排時間才能使總用時最??？引入狀態(tài)變量xij

，并令：解則總用時表達式為：淬可攔介杭阻貉踐戴捕巴露抽誓雪素笆府去刻秘弄眺孽鋸甚側(cè)遁拱捷軀氈數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型可得到指派問題的規(guī)劃模型為：橋巷話雞刨吻彰牟鴻礙碼睦鶴運替已事目滇卻孔咎澡腆十匡朱天姨其候誡數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型上面介紹的指派問題稱為指派問題的標準形式，還有許多其它的諸如人數(shù)與任務(wù)數(shù)不等、及但一般可以通過一些轉(zhuǎn)化，將其變?yōu)闃藴市问?某人可以完成多個任務(wù)，某人不可以完成任務(wù)，某任務(wù)必須由某人完成等特殊要求的指派問題.對于標準形式的指派問題，我們可以利用匈牙利算法實現(xiàn)求解.它將指派問題中的系數(shù)構(gòu)成一個矩陣，利用矩陣上簡單的行和列變換，結(jié)合解的判定條件，實現(xiàn)求解（見文獻[2]）.頭巫頁倉峨誤力佬遙獻艦豈攝邏呆招怪銻篆八稠睡別眷寶曳茬齡縮寨團鹿數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型DVD在線租賃第二個問題的求解問題二的分析經(jīng)營成本和會員的滿意度是被考慮的兩個相互制約的重要因素.在忽略郵寄成本的前提下，經(jīng)營成本主要體現(xiàn)為DVD的數(shù)量.我們主要考慮在會員向網(wǎng)站提供需求信息，且滿足一定要求的前提下，對給定數(shù)量DVD進行分配決策，使得DVD的數(shù)量盡量小，會員滿意度最大.迅神芥膩傲靡狡須睫喪變料礎(chǔ)癌否蹄救繭稈戮怒稿瑚亢朝楔吻弓挾屠腿暖數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型假設(shè)按照公歷月份進行的租賃業(yè)務(wù)，即會員無論兩次租賃還是一次租賃，必須在當(dāng)月內(nèi)完成DVD的租與還.同時假設(shè)網(wǎng)站對其會員進行一次租賃業(yè)務(wù)時，只能向其提供3張該會員已經(jīng)預(yù)定的DVD，否則不進行租賃.經(jīng)觀察，可以認為在線訂單中每個會員的預(yù)定DVD的表示偏好程度的數(shù)字反映了會員對所預(yù)定不同DVD的滿意程度，且當(dāng)會員租到其預(yù)定排序為1，2，3的三張DVD時，滿意度達到100%.會員沒有預(yù)定的DVD對其滿意度的貢獻為0.申餓常祈肪嚙勉勾儒挨避怔繁支檄黔鉛澄屯閥恰郵鑰色雜獺老疊訓(xùn)迢殘寶數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型利用層次分析法，對此滿意指數(shù)的合理性進行了簡單分析.該問題要求根據(jù)現(xiàn)有的100種DVD的數(shù)量和當(dāng)前需要處理的1000位會員的在線訂單，制定分配策略，使得會員達到最大的滿意度.因而我們認為只需對這些DVD進行一次性分配，使得會員的總體滿意度達到最大.為此考慮建立優(yōu)化模型，進行求解.兔忌孺廬砒攏拖彬硼陡